Eletromagnetismo II Aula 20 ExercÃcios: faÃ§a os problemas ... - IFSC

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O problema é integrarmos( ( ))ˆd 3 r ′ δ(3) r ′ − r 0 t − |r−r′ |c.V ∞|r − r ′ |Para tal proeza, há um truque: é óbvio que a integral acima pode ser escrita comoˆ +∞ ˆdt ′ d 3 r ′ δ(3) (r ′ − r 0 (t ′ ())δ t ′ − t + |r − )r′ |−∞ V ∞|r − r ′ |ce, portanto, integrando sobre a variáveltemos( ( ))ˆd 3 r ′ δ(3) r ′ − r 0 t − |r−r′ |cV ∞|r − r ′ |A seguir, tomamos como fixose introduzimos a funçãor ′ ,=r e tˆ +∞−∞f (t ′ ) = t ′ − t + |r − r 0 (t ′ )|.cPortanto, temos a seguinte integral para calcular:ˆ +∞−∞dt ′ δ (f (t ′ ))|r − r 0 (t ′ )| .Das propriedades da função delta de Dirac, podemos escreverˆ +∞−∞dt ′ δ (f (t ′ ))|r − r 0 (t ′ )|= ∑ kˆ +∞−∞()dt ′δ t ′ − t + |r−r 0(t ′ )|c.|r − r 0 (t ′ )|dt ′ δ (t ′ − t k )∣|r − r 0 (t ′ )|∣ df(t′ ) ∣∣t′,dt ′ =t konde ossão os instantes de tempo em quet k ’sf (t k ) = 0.Em outras palavras, queremos os instantes de tempot k ’s2
tais quet k = t − |r − r 0 (t k )|. (1)cO fato é que só há um instante de tempo para essa relação valer. Para vermosisso, suponhamos que existam dois instantes,comtais queet 1 e t 2 ,t 1 ≠ t 2 ,t 1 = t − |r − r 0 (t 1 )|ct 2 = t − |r − r 0 (t 2 )|.cSem perda de generalidade, suponhamos queLogo,Mas,Assim,t 2 > t 1 .c (t 2 − t 1 ) = |r − r 0 (t 1 )| − |r − r 0 (t 2 )| .|r − r 0 (t 1 )| − |r − r 0 (t 2 )| |r − r 0 (t 1 ) − (r − r 0 (t 2 ))|implicando que a partícula deveria ir de= |r 0 (t 2 ) − r 0 (t 1 )| .c |r 0 (t 2 ) − r 0 (t 1 )|t 2 − t 1,r 0 (t 1 ) até r 0 (t 2 )com uma velocidade média maior ou igual à velocidade da luz no vácuo. Como,por hipótese, estamos considerando uma partícula massiva, de massam > 0,3
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