MAT-PORT-RED - Paper Inside

RESOLUÇÃO COMENTADACONCURSO EsPCEx2010-2011 19/SET/2010MATEMÁTICA – PORTUGUÊS – REDAÇÃO01. A represa de uma usina hidroelétrica está situada em umaregião em que a duração do período chuvoso é 100 dias. A partirdos dados hidrológicos dessa região, os projetistas concluíramque a altura do nível da represa varia, dentro do períodochuvoso, segundo a função real⎧ t⎪+ 8,para 0 ≤ t < 205⎪ 2t 4tN(t) = ⎨−+ ,para 20 ≤ t < 50⎪ 100 5⎪3t− + 21,para 50 ≤ t ≤ 100⎪⎩ 25Em que N(t) é a altura do nível da represa, medido em metros, t é onúmero de dias, contados a partir do início do período chuvoso.Segundo esse modelo matemático, o número de dias, dentro doperíodo chuvoso, em que a altura do nível da represa é maior ouigual a 12 metros éa) 40 b) 41 c) 53 d) 56 e) 60RESOLUÇÃO: ALTERNATIVA D- Para 0 ≤ t < 20t + 8 ≥ 12 → t ≥ 205Logo no primeiro intervalo não há solução.- Para 20 ≤ t < 50t 2 4t− + ≥ 12 → t 2 − 80t + 1200≤0 → 20 ≤ t ≤ 60100 5Fazendo a intersecção com o intervalo, encontramos comosolução 20 ≤ t < 50 .- Para 50 ≤ t ≤ 1003 t − + 21 ≥ 12 → t ≤ 7525Fazendo a intersecção com o intervalo, temos que 50≤t≤75.A solução final é a união das soluções parciais, logo 20 ≤ t ≤ 75, ouseja, há 56 dias que respeitam a condição do enunciado.02. Na figura abaixo, estão representados um sistema de eixoscoordenados com origem O, o gráfico de uma função real do tipo f(x) =ax 2 + bx + c e o quadrado OMNP, com 16 unidades de área.Sabe-se que o gráfico de f(x) passa pelos pontos P e N, vértices doquadrado, e pelo ponto de encontro das diagonais desse quadrado.Assim, o valor de a+b+c éRESOLUÇÃO: ALTERNATIVA CMATEMÁTICAa) 21c) 25e)5 22b) 23d)22O lado do quadrado OMNP mede √16 = 4.Assim a parábola passa pelos pontos (0,4), (4,4) e (2,2).4 = a·0 2 +b·0+c c = 44 = a·4 2 +b·4+4 4a+b = 02=a·2 2 +b·2+4 2a+b = –1Das duas últimas equações concluímos que a = ½ e b = –2, entãoa+b+c = ½ – 2 + 4 = 5/24X−X⎛ 1 ⎞03. Dada a expressão ⎜ ⎟ , em que x é um número real⎝ 3 ⎠qualquer, podemos afirmar que:a) o maior valor que a expressão pode assumir é 3b) o menor valor que a expressão pode assumir é 31c) o menor valor que a expressão pode assumir é811d) o maior valor que a expressão pode assumir é271e) o menor valor que a expressão pode assumir é9RESOLUÇÃO: ALTERNATIVA C4x−xCURSO PRÉ VESTIBULAR ELITE CURITIBA - 2 - (41) 3013 5400 www.elitecuritiba.com.br2⎛ 1 ⎞Seja f(x) = ⎜ ⎟ . O valor máximo de − x 2 + 4xocorre⎝ 3 ⎠1quando x = 2 e f (2) = , que é o valor mínimo de f.81204. Sendo 6ax = , com log 2 a = 4 e log 2 b = 5, em que a e bbsão números reais não nulos e diferentes de 1, então log x 2 é igualaa) 16 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2RESOLUÇÃO: ALTERNATIVA Elog 2 a = 4, logo a = 2 4 = 16log 2 b = 5, logo b = 2 5 = 322( )Assim, x = x = = 6 = 2 = 22Logo log x 2 = log 22 = 264 25228526 3log05. O conjunto-solução da inequação xx (x+1)≤ 4 , no conjuntodos números Reais, éa) { x ∈ R|0< x < 1}b) { x ∈ R|0≤ x ≤ 1}c) { x ∈ R|0< x ≤ 1}d) { x ∈ R|−3≤ x ≤ 1}x ∈ R|−3≤ x < 1e) { }RESOLUÇÃO: ALTERNATIVA ADesenvolvendo a inequação temos2logx (x + 1)2 ≤x ≤ 4 → (x + 1) 4 → − 3 ≤ x ≤ 1Observando as condições de existência da base do logaritmo ( x > 0 ex ≠ 1) e as condições de existência do logaritmando (que neste caso2