REVISTA DE MATEMATICĂ - neutrino

Demonstraţie:
Fie punctele P∈Γ 1 şi Q∈Γ 2 astfel încât N∈ PQ şi PQ DE .
Din problema 1 rezultă că AP BQ şi EP DQ .Din PQ DE şi
EP DQ ⇒ PQDE este paralelogram ⇒ [PQ] ≡ [DE] şi PED≡ DQP
[AB] ≡ [DE] şi [PQ] ≡[DE] ⇒[AB] ≡ [PQ] . Din AP BQ şi
[AB] ≡ [PQ] ⇒ APQB este trapez isoscel ⇒APQ≡ PAB
AFN≡APN ≡PAM ≡PEM ≡DQN≡ DCN ⇒
⇒AFD ≡DCA⇒AFCD este patrulater inscriptibil ⇒
⇒FAN≡CDN⇒FMN≡ CMN ⇒(MN
este bisectoarea CMF
fig.2
3. Cercurile 1 Γ şi Γ 2 se intersectează în punctele M şi N .
Perpendiculara pe dreapta MN ce trece prin punctul M intersectează
a doua oară pe 1 Γ şi Γ 2 în punctele S , respectiv T şi fie punctul V
mijlocul segmentului ST . Dacă A este un punct variabil pe Γ 1 şi
dreapta AN intersectează a doua oară cercul Γ 2 în punctul C şi
cercul de diametru [VN] în punctul K , atunci punctul K este
mijlocul segmentului AC .
Demonstraţie:
21
fig.3
Din problema 1 rezultă că SA TC
⎫
⎬ ⇒
SM ⊥MN ⇒[SN] este diametru în cercul Γ1⇒ SAN = 90 ⎭
⇒ ACTS este trapez dreptunghic ⎫
⎪
V este mijlocul lui [ST] ⎬ ⇒ [VK] este linie mijlocie în
VK ⊥AN şi SA ⊥AN⇒VKSA⎪ ⎭
ACTS ⇒ punctul K este mijlocul lui [AC].
Observaţie
Problema este adevărată şi reciproc: Cercurile 1 Γ şi Γ 2 se intersectează
în punctele M şi N . Perpendiculara pe dreapta MN ce trece prin punctul
M intersectează a doua oară pe 1 Γ şi Γ 2 în punctele S , respectiv T şi fie
punctul V mijlocul segmentului ST . Atunci mijlocul unei coarde
variabile [AC] (A ∈Γ1 şi C ∈Γ 2)
ce trece prin punctul N este un punct
situat pe cercul de diametru [VN].
4. Cercurile Γ 1(O 1;R 1)
şi Γ 2(O 2;R 2)
se intersectează în punctele M şi
N . Fie A un punct variabil pe Γ 1 şi dreapta AN intersectează a
doua oară cercul Γ 2 în punctul C. Dacă punctul X se află pe cercul
Γ 1 astfel încât (MN este bisectoarea CMX atunci centrul cercului
circumscris triunghiului AXC este un punct fix.
ww.neutrino.ro
22