REVISTA DE MATEMATICĂ - neutrino

i s-ar adăuga un “punct la infinit”, care să fie la distanţă infinită faţă de
orice punct al dreptei AB , acest punct P∞ ar verifica egalitatea
AM AP∞
( = 1)
=− şi ar fi astfel conjugatul punctului M faţă de A , B .
MB P∞B Observaţie
Prin adăugarea de puncte la infinit fiecărei drepte putem înlocui relaţia
d1 d2
cu “ d 1 şi d 2 au acelaşi punct la infinit”. Cu alte cuvinte, două
drepte paralele “se intersectează la infinit”.
Observaţie
În acest mod, fiecare punct la infinit corespunde nu doar unei drepte, ci
unui întreg fascicol de drepte paralele.
Observaţie
Mulţimea tuturor punctelor la infinit ale tuturor dreptelor din plan vor
forma o aşa-numită “dreaptă la infinit” d∞ a planului.
Observaţie
Ţinând cont de cele de mai sus, centrul O al unui cerc C = C (O;r) este
conjugat armonic faţă de C cu orice punct de la infinit, astfel că are
polara π O = d∞ .
Observaţie
Ţinâd cont de echivalenţa P∈πQ ⇔ Q∈π P rezultă imediat următoarele
două proprietăţi:
a) Polarele unei familii de puncte coliniare sunt concurente (în polul
dreptei pe care se află punctele familiei)
b) Polii unei familii de drepte concurente sunt coliniari (pe polara
punctului de intersecţie al dreptelor familiei).
Observaţie
Deoarece pentru un punct P ≠ O , OP ∩π P = {P'} , unde P' este inversul
punctului P faţă de cercul C = C (O;r) , avem că P ∈π P ⇔ P= P'
2 2
⇔ OP = r ⇔ P ∈C (O,r) . În cazul în care P ∈C (O,r) , polara π P a
punctului P este tangenta în P la cerc.
9
Observaţie
Construcţia polarei π P a unui
punct P ∈Ext( C ) decurge
atunci în modul următor: fie
PT 1 şi PT 2 tangentele prin P
la cercul C . Atunci
P∈πT ∩π
1 T2
⇒ T,T 1 2∈πP ⇒ π P = TT 1 2.
Observaţie
Dacă P∈Int( C ) , considerăm
intersecţiile 1 M şi M 2 ale
perpendicularei în P pe OP
cu cercul C . Tangentele în
M 1 şi M 2 se intersectează
(din motive de simetrie, de
exemplu) într-un punct
P' ∈ (OP,
care este exact
inversul lui P faţă de C .
ww.neutrino.ro
10
Fig.1
Fig.2
Într-adevăr, aplicând teorema catetei în OM1P' avem că :
2 2
OP ⋅ OP' = OM1 = r . Prin urmare, polara punctului P este
perpendiculara în P' pe dreapta OP .
Definiţie
Fie ABCD un patrulater, iar E∈AB∩ CD,
F∈AD∩ BC,
punctele
de intersecţie ale laturilor opuse. Figura ABCDEF , formată din cele
4 drepte AB , AD , BC , CD şi cele 6 puncte de intersecţie ale lor
A , B , C , D , E , F se numeşte patrulater complet. Segmentele [AC],
[BD] şi [EF] se numesc diagonalele patrulaterului complet ABCDEF.
Folosind proprietăţile biraportului a patru puncte coliniare, respectiv ale
fascicolelor de câte patru drepte concurente, se poate demonstra uşor