REVISTA DE MATEMATICĂ - neutrino

VI.186 Determinaţi numerele întregi a,b,c pentru care sunt îndeplinite
simultan următoarele condiţii:
a+ 3 b+ 2 c
1) = = ;
2 3 6
⎛ 1 1 1⎞
2) ⎜ + + ⎟∈
.
⎝a+ 3 b+ 2 c⎠
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu
VI.187 O mulţime M de numere naturale are proprietatea (P) dacă pentru
x
orice x∈ M avem: ( x −4) ∈ M sau ∈ M .
4
Arătaţi că:
a) există mulţimi cu cinci elemente care au proprietatea (P);
b) dacă M are proprietatea (P), atunci 9∉ M ;
c) dacă M are proprietatea (P) şi 16∈ M , atunci 0 ∈ M.
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu
VI.188 Arătaţi că dacă n este un număr natural impar, atunci numărul
divizorilor naturali ai lui n divide numărul divizorilor naturali ai
numărului s = 1+ 2 + 3 + ... + n .
57
Prof. Andrei Eckstein, Timişoara
VI.189 Determinaţi cel mai mic număr natural n pentru care fracţia
n + 5
se poate simplifica.
20n + 11
Prof. Andrei Eckstein, Timişoara
Clasa a VII-a
VII.180 Determinaţi numerele întregi x şi y pentru care
x + y + xy = 8 .
Prof. Dana Heuberger, Baia Mare
VII.181 Arătaţi că un număr de n ( n ≥ 2)
cărţi diferite pot fi distribuite la
două persoane, astfel încât fiecare să primească cel puţin o carte, în
n−1
( )
2⋅ 2 −1 feluri.
ww.neutrino.ro
Concurs Ungaria, 1895
VII.182 În interiorul unui triunghi echilateral de latură 20 cm se pun
cinci furnici. Arătaţi că în orice moment există două furnici care se află la
o distanţă mai mică decât 10 cm.
Prof. Florica Banu, Bucureşti
VII.183 Se consideră numerele naturale nenule a,b,c pentru care a⋅ b< c.
Demonstraţi că : a+ b≤ c.
Concurs Baia Mare, 1989
3 2
VII.184 Pentru fiecare număr natural n se notează xn = n + n + n+ a,
unde a ∈ este fixat.
a) Arătaţi că, dacă x3 sau x4este divizibil cu 3, atunci x6 este
divizibil cu 3 ;
b) Determinaţi numerele întregi a pentru care 2 x şi x3 sunt pătrate
perfecte.
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu
VII.185 Se consideră un pătrat 8× 8,
format din 64 de pătrăţele 1× 1,
în
care scriem cele mai mici 64 de numere prime distincte.
a) Arătaţi că nu putem face în aşa fel încât suma numerelor de pe
fiecare linie şi de pe fiecare coloană să fie aceeaşi.
b) Arătaţi că nu putem face în aşa fel încât produsul numerelor de pe
fiecare diagonală să fie acelaşi.
Prof. Gabriel Popa, Iaşi
VII.186 Ştiind că pentru numerele naturale x şi y restul împărţirii
2 2
2 2
numărului x + y la 10 este 7, aflaţi restul împărţirii lui x + y la 20.
Prof. Andrei Eckstein, Timişoara
VII.187 O căruţă încărcată se mişcă cu viteza de 10 km/h la vale şi cu 6
km/h la deal. În aceste condiţii, căruţa a parcurs distanţa de la satul A la
satul B în două ore şi jumătate, iar de la satul B la satul A într-o oră şi
jumătate. Determinaţi distanţa dintre cele două sate, aflate pe două dealuri
vecine.
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu
58