REVISTA DE MATEMATICĂ - neutrino

) g( x) = x, ∀x∈ . Într-adevăr, pentru
y = 0⇒ g( x+ g( 0) ) = x+ 2g( 0)
. Notăm ( ) ( )
notăm x + b= y⇒ g( y) = y+ b.
Verificare!
41
g 0 = a⇒ g x+ b = x+ 2b;
IX.165 Arătaţi că, dacă abcd∈− , , , [ 2, ∞şi ) a+ b+ c+ d = 16 , atunci
3 3 3 3
a + b + c + d ≥ 40.
Prof.Dan Ştefan Marinescu, Ion Şerdean, Hunedoara
Soluţie: Folosim ( )( ) 2
3
a 3a 2 a 2 a 1
( )( ) 2
∑ a+ 2 a−1
≥0
şi ∑ ∑ ∑
− + = + − şi deducem
3 3
a − 3 a+ 8≥0⇒ a ≥40
IX.166 Determinaţi cel mai mic număr natural n pentru care primele
2
n n
două zecimale ale numărului + 4 + 1 sunt egale cu 9.
Prof. Costel Anghel, Slatina
2 2 2
Soluţie: Din ( n+ 1) ≤ n + 4n+ 1< ( n+ 2) ⇒ ⎡
⎣
2
n + 4n+ 1⎤= n+
1⇒
⎦
2
29601
n + 4n+ 1 − ( n+ 1) ≥0,99⇒n≥ ⇒n≥ 149. Numărul cerut
200
este 149.
n n
IX.167 Determinaţi n∈ pentru care 3+ 3 = 3⋅ 2 .
Prof.Dan Negulescu, Brăila
n−1n Soluţie: 1+ 3 = 2 . Observăm soluţiile n= 1, n=
2 . Pentru
n−1n − 1
n < 0⇒ 3 = 2 − 1< 0, fals. Pentru n > 3 se arată imediat că 3 > 2
IX.168 Se consideră un triunghi ABC în care ( ) 120 o
m ABC = .
n n
Perpendiculara din B pe BC taie pe AC în D. Arătaţi că, dacă
DC
= t ∈ ( 0,1)
, atunci t⋅ AB= 2(1 ⋅ −t) ⋅ BC.
AC
Concurs Bacău, 2008
Soluţie: Construim
CB CD CB
AM BD, M ∈BC⇒ΔCBD∼ ΔCMA⇒ = = t⇒ = t
CM CA CB + BM
( 1 ) ( 1)
⇒ BC ⋅ − t = t ⋅ BM . Totodată, din Δ AMB cu
AB
M= 90 ° , BAM = 30 ° , avem BM = şi astfel (1) conduce la
2
concluzia dorită.
IX.169 Se consideră un triunghi ABC în care AB= AC şi un punct D pe
latura AC astfel încât CD 2 DA
BD .
= ⋅ . Fie M un punct pe segmentul ( )
Arătaţi că MCB ≡ MBA dacă şi numai dacă AM ⊥ MC.
Prof.univ.dr. Dan Brânzei, Iaşi
Soluţie: MCB≡MBA ⇒MBC ≡MCA,
deoarece avem triunghi
m MCB= x, m MCA = y ⇒ m DMC = x + y 1
isoscel; notăm ( ) ( ) ( ) ( )
Considerăm acum N astfel încât ABCN este patrulater inscriptibil
⇒ ACN = ABN = x 2, NAC = MBC
= y 3
( ) ( )
( 4)
⇒MCA ≡NAC⇒AN MC . Fie ⇒MA∩ NC= { P}.
Din
DA 1 DN 1 AM 1
⇒ = avem ⇒ = ⇒ = ⇒AN este linie mijlocie în
DC 2 DM 2 MC 2
Δ PMC ( 5)
. Dar, NMC ≡ MBC+ MCB= x + y;
cum
NCM = x + y ⇒ΔNMC
este isoscel
PC
⇒ MN = NC⇒ MN = ⇒Δ PMC este dreptunghic cu AM ⊥ MC.
2
Reciproca ar trebui să o încercaţi singuri.
Clasa a X-a
X.160 Fie αβ∈ , rădăcinile ecuaţiei
7 7
Calculaţi S α β
ww.neutrino.ro
42
2
z z
5 5
= + şi T ( α 2) ( β 2)
= + + + .
+ 2 + 4= 0.
* * *
Soluţie:Problemă de clasă. Avem imediat că
2 2 3 3
α + 2α+ 4= 0⇒ α − 2 α + 2α+ 4 = α − 8= 0⇒ α = 8.
Analog,
3
β S α β
( )( )
= 8⇒ = + =− 2.
Pe de altă parte avem
2 2
α β 1 1 1
α + 2 =− , β + 2=−
⇒ T =− α + β =− α + β =
10 10 ( ) ( )
5 5
2 2 2 2 16