REVISTA DE MATEMATICĂ - neutrino

X.161 Se consideră numerele complexe
a= 1+ 3 i, b=− 2 + mi, c= 4 + mi.
Determinaţi m∈ astfel încât imaginile geometrice ale numerelor
considerate să fie vârfurile unui triunghi dreptunghic.
* * *
Soluţie:Deosebim trei cazuri, să analizăm unul dintre ele(celelalte sunt
2 2 2 2 2
analoage): a− b + a− c = b−c ⇒ 9+ ( 3− m) + 9+ ( m− 3) = 36⇒m∈ { 0,6}
π
X.162 a) Arătaţi că: cos ∉ ;
12
1
b) Dacă z ∈ astfel încât z z
2
2
6
− + =
100 100
numărului complex u z z
+
, determinaţi partea reală a
−
= + .
* * *
2
Soluţie: a) folosim cos 2x = 2cos x − 1.
Dacă cos x∈⇒cos2 x∈
. În
π π
cazul nostru, cos ∈⇒ cos =
12 6
3
∈,
fals
2
−1
π
n −n
π
b) z + z = 2cos = 2cost.
Se obţine imediat z + z = 2cos = 2cosnt
12
12
X.163 a) Rezolvaţi ecuaţia: log ( 6 x) log ( x 4)
− = − ;
2 3
b) Determinaţi numerele întregi y pentru care log2( 6 − y) = log3( 1+
y)
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu
t t t t
Soluţie: a) log2( 6 − x) = log3( x− 4) = t⇒ 2 = 6 − x,3= x−4⇒
2 + 3 = 2.
Se arată imediat că avem soluţie unică t = 0⇒ x=
5
y ∈ 0,6 ∩ . Avem doar 5 cazuri de studiat. Se obţine y = 4
b) ( )
x
X.164 Funcţia f : → A, f( x) = a + b,
cu a> 0, a≠
1,
este bijectivă,
având inversa g. Dacă g(7) = 1, g(9)
= 2 , calculaţi f (3), precizaţi A şi
determinaţi numerele naturale n pentru care ( ) 3 .
n
f n =
* * *
43
Soluţie: Problemă de clasă: g f ( ) g( ) f ( )
2
Din a+ b= 7, a + b= 9 ⇒ a= 2, b=
5 deci
f ( 3) = 13, A=
( 5, ∞ ) şi n = 2
( ) x
2 5
(7) = 1⇒ 1 = 7, 9 = 2 ⇒ 2 = 9 .
f x = + . Avem astfel
17
X.165 Demonstraţi că: < log 25+ log58< 4
5
* * *
5 3
Soluţie:Se arată imediat că log2 5 < şi log5 8 < . Pe de altă parte, cu
2 2
17
inegalitatea mediilor avem log25+ log58≥2⋅ log25⋅ log58= 2 3 >
5
x x
X.166 Rezolvaţi ecuaţia: ( ) ( )
5+ 2 + 9− 4 5 = 2.
5− 2 = t⇒ t
1
+ = 2⇒ t
t− 1 t
* * *
+ t− 1 = 0, t > 0 etc.
x
2 2
Soluţie: Notăm ( ) ( )( )
11
X.167 Demonstraţi că: log3 8 ≥ .
6
Prof. Alfred Eckstein,Viorel Tudoran, Arad
Soluţie: Cu inegalitatea mediilor avem:
48 3 + 9 ⋅5
6 5 6 11 1 11 11
8 = = ≥ 3⋅ 9 = 3 ⇒log38≥ log33= 6 6 6 6
1
⎛ π ⎞
X.168 Demonstraţi că: 3sinx + > 4,
∀x∈ 0, .
3
⎜ ⎟
sin x ⎝ 2 ⎠
Prof. Alfred Eckstein,Viorel Tudoran, Arad
Soluţie: Notăm sin x = t , deci inegalitatea se poate scrie:
4
2 2
3t+ 1 3
( t− 1) ( 3t + 2t+ 1) > 0.
Variantă: inegalitatea se poate scrie: > t
4
şi, folosind inegalitatea mediilor, avem:
4 4 4 4
3t + 1 t + t + t + 1 4
3
4
3
= > 4 ( t ) ⋅ 1=
t . (Mihai Monea)
4 4
ww.neutrino.ro
44