REVISTA DE MATEMATICĂ - neutrino

X.169 O funcţie f : → se numeşte complicată dacă
f( x+ 2 y) + 2 f(3 x+ y) = 3 f( x+ y), ∀x, y∈
.
a) Studiaţi dacă există funcţii injective complicate;
b) Studiaţi dacă există funcţii surjective complicate.
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu
Soluţie: a) Pentru 0
f x = f 3 x , ∀x∈ , deci f nu
y = ajungem la ( ) ( )
poate fi injectivă.
x= 0⇒ f 2 y = f y , ∀y∈; pentru x = y ajungem apoi la
b) ( ) ( )
f ( 4 y) f ( y) , y ;
= ∀ ∈ pentru că nu am primit nicio soluţie completă,
pentru că ni se pare destul de incitantă problema, mai aşteptăm!!!
Clasa a XI-a
XI.160 Se notează cu G mulţimea matricelor din ( ) 2
elemente sunt exact elementele mulţimii { 1,3,5, 7} şi H = { A A∈ G}
a) Arătaţi că: 0 ∉ H;
b) Determinaţi cel mai mare element al mulţimii H;
2
c) Arătaţi că există b∈ şi B∈G astfel încât B = b⋅ B+ 8 b⋅ I .
⎛a Soluţie: a) A= ⎜
⎝c b⎞
⎟∈G⇒
{ a, b, c, d}
= { 1,3,5,7}
şi
d⎠
det A = 0 ⇒ ad = bc , absurd
⎛1 b) 5⋅7−1⋅ 3 = 32 c) B= ⎜
⎝7 5⎞
⎟∈G
şi
3⎠
2
trB = 4,det B =−32 ⇒ B −4B− 32I = 0 , deci b = 4
2 2
45
M ale căror
det / .
2
* * *
n
9
XI.161 Studiaţi convergenţa şirului definit prin xn= , n≥1.
2n
⎛ 1 ⎞
⎜3+ ⎟
⎝ n ⎠
* * *
Soluţie: Problemă clasică. Avem imediat că
2n 3
⎛ 3n
⎞
−
2
xn = ⎜ ⎟ ⇒ lim xn = e
⎝3n+ 1⎠
XI.162 Studiaţi convergenţa şirului definit prin
x1 = 1, 3xn+ 1 = xn −4, ∀n≥ 1 .
* * *
Soluţie: Altă problemă clasică. Avem imediat că
x
2 1 2 1 2
n − 4
xn + xn−+ x +
xn+ 1 = ⇒ xn+
1 + 2 = = = ... = . Cum
2
n
3 3 3 3
x1
+ 2
lim = 0 ⇒ lim xn
=− 2
n→∞ n
3
n→∞
XI.163 Dacă ( n ) n 1
x ≥ este un şir definit prin 1 0
ww.neutrino.ro
46
x = a>
şi
xn+ 1 ln( n 1) xn ln n, n 1
− + = − ∀ ≥ , studiaţi convergenţa şirurilor ( ) xn n≥
1 şi
xn
( yn ) , unde y , 1.
n≥
1
n = ∀n≥ n
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu
Soluţie: xn+ 1 xn ln ( n 1) ln n, n 1.
− = + − ∀ ≥ Adunăm, membru cu
membru, egalităţile care se obţin pentru n = 1,2,3... şi se ajunge la
xn+ 1 x1 ln n xn a ln n,
− = ⇒ = + de unde lim xn
= ∞ . Avem acum
n→∞
xn+ 1 − xn
lim = 0, de unde(Cesaro-Stolz) lim yn
= 0
n→∞
n+ 1−n
n→∞
XI.164 Dacă ABC∈ ( )
, , Mn verifică egalităţile 3AB+ A+ B= Onşi
3AC+ A+ C = On,
arătaţi că B= C.
Prof. Alfred Eckstein,Viorel Tudoran, Arad
Soluţie: Prima inegalitate se poate scrie:
( 3A+ I3)( 3B+ I3) = I3 ⇒ 3A+
I3inversabilă.
Scădem acum cele două
3A+ I B− C = 0 ⇒ B− C = 0 ⇒ B= C
egalitătţi din enunţ şi avem: ( )( )
3 3 3
a+ 2 2a−1 2
a
XI.165 Se consideră determinantul D = b+ 2 2b−1 2
b . Stabiliţi
c+ 2 2c−1 2
c
natura triunghiului care are lungimile laturilor a,b,c în cazul D = 0.
* * *