REVISTA DE MATEMATICĂ - neutrino

Caz I: a− b= 1, d − c=
1 . Deducem a= 1 + b, d = c+
1,
înlocuind obţinem
( b )( c )
2 + 1 2 + 1 = 3.
Imediat ajungem la b= 1, c= 0, a= 2, d = 1 sau
b= 0, c= 1, a= 1, d = 2 . De asemenea, avem şi b=− 1, c=− 2, a= 0, d =− 1
sau b=− 2, c=− 1, a=− 1, d = 0 . Analog pentru cazul II,
a− b=−1, d − c=−
1
VIII.163 Un număr natural se numeşte pretenţios dacă se poate scrie sub
2 2
forma x + 3y
cu x şi y numere întregi. Demonstraţi că:
a) 268 şi 279 sunt numere pretenţioase;
b) Numărul 1001 nu este pretenţios;
c) Produsul a două numere pretenţioase este un număr pretenţios.
Prof. Ion Pătraşcu, Craiova
2 2 2 2
Soluţie: a) 268 = 16 + 3⋅ 2 ,279 = 6 + 3⋅ 9
b) Dacă ar exista xy∈ , pentru care
2 2
1 3 1002
că
37
1001 3
2 2
= x + y am avea
2
+ x + y = . Deoarece 1002 şi 3y sunt divizibile cu 3, deducem
= 3 + 2, ∈ . Cum însă, pentru x p x k
2
x k k
2
= 3 + 1⇒ ≠ 3 + 2,
x p x k
este pretenţios
2
= 3 ⇒ ≠ 3 + 2,
pentru
2
= 3 + 2⇒ ≠ 3 + 2 deducem că 1001 nu
x p x k
2 2
2 2 2 2
c) ( x + 3y )( y + 3 t ) = ... = ( xy− 3yt) + 3(
xt− yz)
VIII.164 Fie x,y,z numere reale nenule astfel încât xy,yz,zx sunt numere
raţionale.
2 2 2
a) Arătaţi că numărul x + y + z este raţional;
3 3 3
b) Dacă, în plus, numărul x + y + z este raţional nenul, arătaţi că
x, yz , sunt raţionale.
Concurs Piatra – Neamţ, 2008
2 ( xy)( yz)
2 2 2
Soluţie: a) x = ∈ şi analoagele ⇒ ( x + y + z ) ∈
yz
b) am demonstrat că
2
x ∈ , de unde
( )
3 3 3 3 3 3
xyxzyz , , ,... yx y z y
∈⇒ + + ∈⇒ ∈.
Analog celelalte
VIII.165 Arătaţi că, dacă în piramida VABCD, cu baza ABCD pătrat,
muchiile laterale sunt congruente, atunci înălţimea piramidei are piciorul
în centrul pătratului.
Prof. Constantin Apostol, Rm. – Sărat
Soluţie: Rezultat valabil pentru baza ABCD patrulater inscriptibil, înscris
în cercul de centru O. Concluzia se obţine imediat din
OA = OB = OC = OD , apoi: VA = VC, OA = OC ⇒VO ⊥ AC . La fel,
VO ⊥ BD ⇒VO ⊥ ABCD
( )
VIII.166 Determinaţi numerele naturale nenule a şi b pentru care
⎛1 2⎞
⎜ + ⎟∈
⎝a b⎠
Concurs Focşani, 2009
1 2 1 2 1 2
Soluţie: + ≤ + = 3⇒ + ∈ { 1,2,3}
.
a b 1 1 a b
Dacă 1 2 + = 1⇒
a= 3, b=
3 sau a= 2, b=
4 .
a b
1 2
1 2
Dacă + = 2 ⇒ a= 1, b=
2 , iar dacă + = 3 ⇒ a= 1, b=
1
a b
a b
VIII.167 Stabiliţi natura triunghiului în care lungimile a,b,c ale laturilor
2
satisfac: a+ b+ c=
3 şi c − 2ab+ 4( a+ b)
≤ 7.
Prof. Antoanela Buzescu, Caransebeş
Soluţie: c= 3−a−
b şi inegalitatea din enunţ conduce imediat la
( ) ( )
2 2
a− 1 + b−1 ≤0⇒ a= b= c=
1,
aşadar triunghiul este echilateral.
VIII.168 Determinaţi perechile ( x, y) de numere întregi pentru care
2
x(2x+ y+ 1) = y + 2y+ 3.
Prof. Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu
2 2
Soluţie: Egalitatea se poate scrie: 2x + xy+ x− y −2y− 3= 0.
Căutăm
o descompunere de forma ( x + y+ a)( 2x−
y+ b) = c(aşa
ne “spune”
bunul simţ matematic-experienţa- care se câştigă prin rezolvări de
probleme, cel puţin).. Efectuăm calculele şi ajungem la
a 1, b 1, c 2 x+ y+ 1 2x− y−
1 = 2,
şi, deoarece
ww.neutrino.ro
= =− = . Aşadar ( )( )
38