REVISTA DE MATEMATICĂ - neutrino

Demonstraţie:
Fie P∈AB∩ CD,
Q∈AD∩ BC şi
R∈AC∩ BD.
Atunci
E,G ∈π = QR
P
şi Q
F,H ∈π = PR .
Rezultă că
EG ∩ FH = {R} = AC ∩
Fig.6
3. Fie A , B , C , U , V cinci puncte conciclice, iar M∈UA∩ VB,
M1∈UB∩ VA,
N∈UB∩ VC,
N1∈UC∩ VB,
P∈UC∩ VA,
P1∈UA∩ VC.
Atunci dreptele MM 1,
sau paralele.
Demonstraţie:
Fie L∈MM1∩ NN1
şi L'∈MM1∩ PP1.
Deoarece polul dreptei
MM 1 este punctul de
intersecţie AB ∩ UV , iar
polul dreptei NN 1 este
BC ∩ UV , rezultă
că L este polul dreptei
NN 1 şi PP 1 sunt concurente
UV .
Fig.7
13
În mod analog, L' este polul dreptei UV , astfel că L= L',
deci dreptele
MM 1,
NN 1 şi PP 1 sunt concurente, sau, dacă MM1 NN1,
atunci L este
punctul de la infinit al dreptelor MM 1 şi NN 1 , UV este un diametru al
cercului (ABCUV) MM PP .
C , iar 1 1
4. Fie ABCD un patrulater înscris într-un cerc C = C (O;r) . Dacă
P∈AB∩ CD,
Q∈AD∩ BC şi R∈AC∩ BD,
atunci O este
ortocentrul triunghiului PQR .
Demonstraţie:
Deoarece
QR =πP ⊥ OP ,
PR = πQ⊥ OQ
şi PQ =πR ⊥ OR ,
afirmaţia este imediată
ww.neutrino.ro
14
Fig.8
5. Fie D , E , F punctele de contact ale cercului înscris C (I;r) în
triunghiul ABC cu laturile [BC] , [CA] , respectiv [AB], iar
P∈BC∩ EF.
Atunci AD ⊥ PI .
Demonstraţie:
P∈ EF=πA ⇒A∈πP⎫ ⎬ ⇒
P∈ BC=πD ⇒D∈πP⎭ ⇒ AD =π ⊥PI
P
Fig.9