1. S˘a se studieze pozitiile reciproce a dou˘a plane ıntr-un spatiu ...

1. Să se studieze pozit¸iile reciproce a două plane într-un spat¸iu vectorial 4-dimensional V4.
2. Fie V un spat¸iu vectorial, cu dim V = n. Dacă varietatea liniară A ∈ A(V ) nu are puncte comune cu
hiperplanul H, atunci A H.
3. Dacă A, B ∈ A(V ), A ∩ B = ∅, atunci există un hiperplan H, astfel încât H A ¸si H B.
4. Se consideră un corp finit K, cu q elemente. În A(Kn ), să se determine: a) Câte puncte cont¸ine o dreaptă?
b) Câte puncte cont¸ine un plan? c) Câte puncte cont¸ine o varietate liniară de dimensiune p? d) Câte puncte
sunt în A(K n )? f) Câte drepte trec printr-un punct?
5. În spat¸iul vectorial R4 , se dau varietăt¸ile liniare:
a = (2, 1, 2, 1), D = (1, 3, 0, 0)+ < (1, 1, 1, 1) >, α = (1, 0, 1, 0)+ < (2, 1, 3, −1), (1, 0, 2, −2) >,
H =< (1, 0, 0, 0), (0, 1, 00), (0, 0, 1, 0) > .
Care dintre relat¸iile următoare au loc:
1) a ∈ D; 2) a ∈ α; 3) a ∈ H; 4) D α; 5) D H; 6) α H; 7) D ⊆ α; 8) α ⊆ H.
6. În R4 se dau dreapta D = (2, 3, −1, 1)+ < (1, 1, −1, 1) ¸si planul α = (2, 4, 1, 2)+ < (1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1) >.
Să se determine D ∩ α ¸si af (D ∪ α).
7. În A(V4) se consideră varietăt¸ile liniare
A =
Se cere:
x1 + x3 = 2
2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 1
a) Să se calculeze dimensiunile varietăt¸ilor A ¸si B.
; B =
b) Să se scrie ecuat¸iile vectoriale ale varietăt¸ilor A ¸si B;
c) Să se verifice dacă A B;
d) Să se determine af (A ∪ B).
x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = 1
x2 + x3 − 3x4 = 1
8. În R4 se dau varietăt¸ile liniare A = (1, −1, 0, 2)+ < (1, 1, −1, 0) >, B = (0, 0, 4, −1)+ < (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0) >,
C = (0, −2, 1, 2)+ < (2, 0, 0, −1), (1, 3, 4, −1), (−2, −12, −16, 3) >. Să se determine dimensiunea acestora, A∩B
¸si af (A ∪ B).
9. Să se arate că dacă, în structura afină a unui spat¸iu vectorial 4-dimensional, două hiperplane au un punct
comun, atunci ele au ¸si un plan comun.
10. Fie A ¸si B două varietăt¸i liniare, astfel încât A ∩ B = ∅. Să se arate că prin A ¸si B pot fi duse câte un
hiperplan, paralele între ele.
11. În structura afină a unui spat¸iu vectorial n-dimensional, fie H un hiperplan, iar Ap o varietate liniară de
dimensiune p (p < n − 1). Să se arate că are loc una dintre relat¸iile
a) dim(H ∩ Ap) = p − 1 b)H Ap.
12. a) Dacă A ¸si B sunt K-spat¸ii afine, având spat¸iile directoare V , respectiv W , să se arate că A × B are o
structură canonică de K-spat¸iu afin, cu spat¸iul director V × W .
b) Dacă A ′ ¸si B ′ sunt, respectiv, subspat¸ii afine nevide ale lui A ¸si B, având, respectiv, spat¸iile directoare V ′
¸si W ′ , atunci, în raport cu structura canonică de la a), să se verifice că A ′ × B ′ este un subspat¸iu afin al lui
A × B, cu spat¸iul director V ′ × W ′ .
c) Să se arate că, în general, nu orice subspat¸iu afin al lui A × B este de forma A ′ × B ′ , cu A ′ subspat¸iu al
lui A ¸si B ′ subspat¸iu al lui B.
13. Fie (A, V, ϕ) un K-spat¸iu afin. Să se arate că aplicat¸ia ψ : ({1} × A) × ({1} × A) → {0V } × V , definită
prin ψ((1, P ), (1, Q)) = (0V , ϕ(P, Q)) determină pe {1} × A o structură afină.
14. Într-un spat¸iu afin A, se consideră un sistem de patru puncte {A, B, C, D}. Să se arate că următoarele trei
relat¸ii sunt echivalente: a) AB = CD; b) AD = BC; c) 1 1 1 1
A + C = B +
2 2 2 2 D.
15. Fie A1, A2, A3, A4 patru puncte ale unui spat¸iu afin real A, B1 mijlocul segmentului orientat (A1, A2),
B2 mijlocul segmentului orientat (A2, A3), B3 mijlocul segmentului orientat (A3, A4) ¸si B4 mijlocul segmentului
orientat (A4, A1). Să se arate că:
1
.

a) B1B2 = B4B3.
b) CD = (1 − λ)A1A3 + λA2A4, unde punctele C, D ∈ A sunt definite prin A1C = λA1A2 ¸si A3D = λA3A4.
16. Fie A un K-spat¸iu afin, cu car K = 2. Fie P1, P2, P3, P4, P ′ 1, P ′ 2, P ′ 3, P ′ 4 ∈ A, astfel încât P1P2 = P4P3,
P ′ 1P ′ 2 = P ′ 4P ′ 3 ¸si Pi = P ′ ′′
i , i = 1, 4. Fie P i un punct care împarte segmentul orientat (Pi, P ′ i ) în raportul λ ∈ K,
i = 1, 4. Să se demonstreze că:
a) P ′′
1 P ′′
2 = P ′′
4 P ′′
3 ;
b) Dacă O = 1
2 P1 + 1
2 P3 ¸si O ′ = 1
(O, O ′ ) tot în raportul λ.
2 P ′ 1 + 1
2 P ′ 3, atunci punctul O ′′ = 1
2
′′ P 1 + 1 ′′ P 3 împarte segmentul orientat
2
17. Teorema lui Thales: Fie A, B, C trei puncte afin independente din spat¸iul afin A ( dim A ≥ 2). Să se arate
că :
a) Dacă punctele P ¸si Q împart, respectiv, segmentele orientate (A, B) ¸si (A, C) în acela¸si raport, atunci
vectorii P Q ¸si BC sunt coliniari.
b) Dacă P este un punct coliniar cu A ¸si B, P = B, iar Q este un punct coliniar cu A ¸si C, Q = C, astfel
încât vectorii P Q ¸si BC să fie coliniari, atunci P ¸si Q împart, respectiv, segmentele orientate (A, B) ¸si (A, C)
în acela¸si raport.
18. Teorema lui Pappus: a) Dacă A, B, C sunt trei puncte distincte dintr-un spat¸iu afin real A, iar M, N,
P sunt puncte care împart, respectiv, segmentele orientate (B, C), (C, A), (A, B) în acela¸si raport, atunci
1 1 1 1 1 1
A + B + C = M + N + P .
3 3 3 3 3 3
b) Reciproc, dacă A, B, C sunt trei puncte afin independente dintr-un spat¸iu afin real A ( dim A ≥ 2), M
coliniar cu B ¸si C, N coliniar cu C ¸si A, P coliniar cu A ¸si B, iar 1 1 1 1 1 1
A + B + C = M + N + P , atunci
3 3 3 3 3 3
punctele M, N, P împart, respectiv, segmentele orientate (B, C), (C, A), (A, B) în acela¸si raport.
19. Dreapta Newton-Gauss: Fie A, B ¸si C puncte afin independente din planul afin A, peste un corp K de
caracteristică diferită de 2, E un punct coliniar cu A ¸si C, distinct de acestea, iar F un punct coliniar cu A ¸si
B, distinct de acestea, astfel încât dreptele afine (B, E) ¸si (C, F ) să aibă un punct comun D. Să se arate că
punctele 1 1 1 1 1 1
A + D, E + F ¸si B + C sunt afin dependente.
2 2 2 2 2 2
20. În R3 , cu structura canonică de spat¸iu afin, se consideră sistemele de puncte
S1 = {A0 = (2, 2, 2), A1 = (1, 0, 2), A2 = (2, 1, 0), A3 = (0, 2, 1)},
S2 = {B0 = (1, 1, 4), B1 = (3, −1, 1), B2 = (5, −3, −2), B3 = (−1, 3, 7)}.
a) Să se arate că S1 este afin independent ¸si că S2 este afin dependent.
b) Să se determine S1 ¸si S2.
c) Să se determine ponderile punctelor B2 ¸si B3 fat¸ă de sistemul {B0, B1}.
d) Să se determine ponderile punctelor B0, B1, B2, B3 fat¸ă de S1.
21. Fie spat¸iul vectorial real R 4 , dotat cu structura afină canonică.
a) Să se verifice că sistemul de puncte
S1 = {A1 = (1, 1, −1, −1), A2 = (2, 2, 0, −1), A3 = (3, 1, −1, 0), A4 = (2, 0, −2, 1), A5 = (−2, 3, 3, −2)}
este afin independent.
b) Să se arate că sistemul de puncte
S2 = {P1 = (1, −1, 2, 3), P2 = (2, 1, 1, 0), P3 = (−1, 0, 6, 8), P4 = (0, 7, 7, 4)}
este afin dependent ¸si să se determine ponderile lui P2 în raport cu sistemul de puncte {P1, P3, P4}.
c) Să se verifice că
{M1 = (1, −1, 2, 1), M2 = (2, 1, −1, −1), M3 = (0, −3, 5, 3), M4 = (3, 3, −4, −3)}
este un sistem de puncte coliniare ¸si să se calculeze raportul în care M3 împarte segmentul orientat
(M2, M4).
2