1 Cursul 1 Calcul algebric. Ecuatii • Sume: pentru (a n)n≥1 ...

Cursul 1
Calcul algebric. Ecuatii
• Sume: pentru (an)n≥1 progresie aritmetica de ratie r, an+1 = an +r si (bn)n≥1 progresie
geometrica de ratie q, bn+1 = bn · q avem :
a1 + a2 + a3 + ... + an = n·(a1+an)
2
b1 + b2 + b3 + ... + bn+1 = b1 · qn+1 −1
q−1
= 2a1+(n−1)r
2
in particular avem urmatoarele doua identitati :
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)
2
1 + q + q 2 + q 3 + ... + q n = qn+1 −1
q−1
• Puteri : pentru a > 0, a = 1 si m, n ∈ Z au loc propietatile
a n · a m = a m+n 5 n+2 = 5 n · 5 2
a n : a m = an
a m = a n−m 5 n−1 = 5n
5 1 sau 5 n · 5 −1
(a n ) m = (a m ) n = a n·m x 2n−1 = x 2n · x −1 = (x n ) 2 · x −1
a 1
n = n√ a, a m
n = n√ a m 3
a −1 = 1
a , a−n = 1
a n
· n
√ x = ((x 1
(a · b) n = a n · b n (2x) 3 = 2 3 · x 3 = 8x 3
an bn = ( a
b )n ( x
2 )2 = x2
22 = x2
4
• Logaritmi: a, c ∈ R ∗ + \ {1} iar x, y > 0
2 ) 1
2 ) 1
3 = x 1 1 1
· · 2 2 3 = x 1
12 = 12√ x
( 1
x )′ = (x −1 ) ′ = −1 · x −1−1 = −1 · x −2 = − 1
x 2
eln x = x aloga x = x, xsin x = (eln x ) sin x ln x·sin x = e
ln ex = x loga ax ln n
= x lim
n→∞ n
ln n = lim
n→∞ ln en = 0
log a x · y = log a x + log a y ln 2x = ln 2 + ln x
log a x
y = log a x − log a y
k · log a x = log a x k , k ∈ R ln x 3 = 3 ln x
log a x = log c x
log c a
= ln x
ln a , c ∈ R∗ + \ {1}, (formula de schimbare a bazei)
Aplicatie: log 2 3 · log 3 5 · log 5 8 =
log a k x = 1
k log a x
log a b = 1
log b a
ln 3 ln 5 ln 8 · · ln 2 ln 3 ln 5
= ln 8
ln 2
= ln 23
ln 2
= 3 ln 2
ln 2
Propozitie : pentru a > 1 functia f(x) = log a x este strict crescatoare iar pentru
= 3
1

2
0 < a < 1 functia f(x) = log a x este strict descrescatoare.
• Radicali : retine ( √ a) 2 = a iar √ a 2 = |a| !
conjugata expresiei √ a ± √ b este √ a ∓ √ b
conjugata expresiei 3 √ a ± 3√ b este 3√ a 2 ∓ 3√ a · 3√ b + 3√ b 2
formula radicalilor compusi :
• Modulul unui numar real :
a ± √ b =
a+ √ a 2 −b
2
±
a− √ a 2 −b
2
|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a iar |x| > a ⇒ x ∈ (−∞, −a) ∪ (a, +∞)
|x + y| ≤ |x| + |y| x, y ∈ R
|x| = |y| ⇒ x = y sau x = −y
• Matrice. Determinanti : suma, produsul a doua matrice, inmultirea cu un scalar,
transpusa, formula determinantului de ordinul 2 si 3, rangul unei matrice, inversa unei
matrice, sisteme liniare : regula lui Cramer.
Propozitie : Orice matrice A ∈ M2(R) satisface ecuatia lui Cayley :
A 2 − tr(A) · A + detA · I2 = O2
• Ecuatii :ecuatii de gradul 2, 3 si superior, ecuatii logaritmice, exponentiale si matriceale.
• daca a ∈ R ∗ + \ {1} si b, > 0 , c ∈ R ( altfel ecuatia nu are solutie ) :
a x = b ⇒ x = log a b, 2 x2 −1 = 3 ⇒ x 2 − 1 = log2 3 ⇒ x = ± 1 + log 2 3
log a x = c ⇒ x = a c iar log x b = c ⇒ x = b 1
c
• daca A, B ∈ Mn(R) si A este inversabila , atunci :
A · X = B ⇒ X = A −1 · B iar X · A = B ⇒ X = B · A −1
Formulele lui Viete : radacinile ecuatiei ax 2 + bx + c = 0 satisfac relatiile :
x1 + x2 = − b
a
x1x2 = c
a
Generalizare : radacinile ecuatiei a0x n + a1x n−1 + a2x n−2 + ... + an = 0 satisfac relatiile
x1 + x2 + ..... + xn = − a1
x1x2 + .... + x1xn + x2x3 + ... + xn−1xn = a2
a0
.............................................................................................
k ak
x1x2...xk + x1x2...xk−1xk+1 + .... + xn−k+1xn−k+2...xn = (−1)
a0
.............................................................................................
n an
x1x2x3.....xn = (−1)
a0
a0