Probleme, teste, intrebari de examen

a) Sa se arate ca familia multimilor boreliene din R m coincide cu -algebra generata de familia
multimilor compacte.
b) Sa se arate ca :
B(R) = f(a; b) : a; b 2 R; a < bg = f[a; b) : a; b 2 R; a < bg .
Fie A R o multime masurabila Lebesgue av^and masura nita. Sa se arate ca aplicatia f : R !
R, f(x) = (A \ ( 1; x]) este continua. Calculati limitele acestei functii ^n -1 si +1.
a)Sa se arate ca functiile monotone si functiile derivate de nite pe R sunt masurabile Lebesgue.
b) O functie f : R ! R pentru care f(R) este nita este masurabila Lebesgue?
Fie (X; A) un spatiu masurabil si fn : X ! R un sir de functii A-masurabile. Sa se arate ca
multimea punctelor din X ^n care sirul fn are limita este masurabila (i.e. apartine lui A).
Fie E R un interval nedegenerat si f; g : E ! R doua functii continue. Sa se arate ca daca
f = g -a.p.t. atunci f = g.
Fie (X ; A; ) un spatiu cu masura nita si fn : X ! R un sir de functii integrabile uniform
convergent catre functia f : X ! R. Sa se arate ca f este integrabila si R fnd ! R fd . Ram^ane
valabil rezultatul daca (X) = 1 ?
Fie Y = L1 ([0; 1]; L; ) si d : Y Y ! R,
d(f; g) = R jf gj
1+jf gj d . Sa se arate ca:
a) d este semimetrica.
b) Daca fn ! f -a.p.t atunci fn ! f ^n sensul semimetricii d. Are loc si reciproca?
Fie f :! [0; =2] f(x) = sin(x2 )
x
daca cos x 2 Q
4 daca cos x 2 RnQ
si Lebesgue a functiei f.
: Sa se studieze integrabilitatea Riemann
Observatii:
1. Pentru exemple va trebui precizat (daca este cazul) si spatiul topologic sau spatiul cu masura.
2. Pentru intrebari se va da o justi care (scurta) in caz a rmativ sau un contraexemplu ^n cazul
c^and raspunsul este negativ.
4