Probleme, teste, intrebari de examen

TOPOLOGIE
I. Exemple
Baza numarabila ^n (R; T0 ).
Functie f : R ! R continua care nu este uniform continua.
Familie centrata de multimi ^nchise ^n R av^and intersectie vida.
Spatiu topologic compact care nu este Hausdor .
Multime nevida, ^nchisa, conexa din R 2 av^and interior vid.
Sir fundamental ^n Q, neconvergent ^n Q.
Functief : [0; 1) ! R continua care nu are prelungire continua la R.
Spatiu topologic local conex care nu este conex.
Metrica ^n R 2 diferita de metrica euclidiana si care induce topologia euclidiana.
Multime completa care nu este ^nchisa.
Multime ^nchisa care nu este completa.
Semimetrica pe R care nu este metrica.
Multime completa din R care nu este precompacta.
Multime precompacta ^n R care nu este compacta.
Multime compacta care nu este ^nchisa.
Multime din (R; T0 ) care este de categoria I dar nu este rara.
Submultime conexa A R 2 pentru care int(A) nu este conexa.
Sir ^ntr-un statiu topologic convergent catre doua puncte distincte.
Multime neconexa din R av^and aderenta conexa.
Multime nevida din R ce coincide cu frontiera sa.
Multime compacta numarabila ^n R.
Sir ^n R av^and limita inferioara -1 si limita superioara +1.
Sir ^n R av^and limita inferioara 1 si limita superioara +1.
II. Intrebari
Exista ^n (R; T0 ) multimi nevide fara nici un punct aderent? Dar fara nici un punct frontiera?
Pentru un spatiu topologic discret, care este numarul minim de multimi dintr-un sistem fundamental
de vecinatati ale punctului x?
Precizati functia de vecinatati a topologiei discrete.
Precizati functia de vecinatati a topologiei indiscrete.
Exista multimi din R 2 av^and un numar nit (nenul) de puncte interioare?
O topologie T1 pe o multime nita este oare T2?
Imaginea unei multimi deschise printr-o functie continua f : R ! R este deschisa?
Imaginea unei multimi ^nchise printr-o functie continua f : R ! R este ^nchisa?
^ Intr-un spatiu metric diametrul unei bile deschise B(x; r) este egal cu diametrul bilei ^nchise
B[x; r]?
Un spatiu metric discret este complet?
Exista multimi nite care nu sunt compacte?
Daca suma si produsul a doua functii f; g : R ! R sunt continue, rezulta ca f si g sunt continue?
Este posibil ca o bila ^nchisa a unui spatiu metric sa e multime deschisa?
Este multimea f0; 1g R conexa ^n R 2 ?
Exista spatii conexe av^and doua elemente?
Este posibil ca ^ntr-un spatiu metric, reuniunea a doua bile deschise disjuncte sa e o bila ^nchisa?
Exista multimi nevide, marginite A R 2 pentru care int(A) = A ?
Exista multimi compacte deschise?
X = [0; 1] cu topologia discreta este compact?
Este multimea Z rara ^n (R; T0 )?
X = R cu topologia discreta este precompact?
III. Probleme de examen
Sa se enumere toate topologiile pe multimea X = fa; bg si toate topologiile Hausdor pe multimea
Y = fa; b; cg ,unde a 6= b 6= c 6= a.
1

Fie A = f(x; y) 2 R 2 : jxj + jyj = 1g . Sa se arate ca multimea A este conexa si ^nchisa ^n R 2 .
Precizati int(A).
Fie X un spatiu topologic, Y un spatiu topologic Hausdor si A o submultime densa din X.
Aratati ca doua functii continuef; g : X ! R sunt egale daca si numai daca restrictiile functiilor f
si g la multimea A coincid.
Este esentiala conditia ca Y sa e Hausdor ?
Fie d : N N ! R; d(x; y) = j1=x 1=yj: Aratati ca d este metrica si ca topologia indusa de d
este cea discreta. Este (N; d) complet?
^ In spatiul metric R 2 cu metrica euclidiana, notam
D = f(x; y) 2 R 2 : x 2 + y 2 1g , S = [0; 1] f0g; A = DnS.
a) Sa se calculeze A ,int(A), fr(A). (Justi care).
b) Este multimea Snf1=2; 0g conexa?
Fie(X; T ) un spatiu topologic, A o submultime oarecare a lui X, G o submultime deschisa si F
o submultime ^nchisa.Sa se arate ca:
a) A \ G = A \ G
b)int(F [ int(A)) = int(F [ A)
c) Aratati ca daca relatia de la a) are loc 8A X atunci multimea G este deschisa.
Fie X; Y spatii topologice si Z := X Y dotat cu topologia produs. Sa se arate ca daca
A X; B Y atunci:
a) A B = A Bb)int(A B) = int(A) int(B)
c) fr(A B) = (fr(A) B) [ (A fr(B)).
Fie X = fa; bg si T = f;; X; fagg.
a) Aratati ca ^n spatiul topologic (X; T ) sirul a; b; a; b; a; :::
este convergent catre b dar nu converge catre a.
b) Spatiul topologic (X; T ) are aceleasi siruri convergente ca si spatiul topologic (X; T1) unde
T1 = f;; Xg .
Fie X si Y spatii topologice sif : X ! Y continua. Sa se arate ca daca X este secvential compact
atunci f(X) este secvential compact.
Fie (X; d) un spatiu semimetric si A; B X, nevide disjuncte. Sa se arate ca daca A este ^nchisa
si B compacta atunci inffd(a; b) : a 2 A; b 2 Bg > 0. Daca ambele multimi sunt compacte atunci
in mul precedent este atins. Sa se dea un exemplu de multimi ^nchise disjuncte ^n R pentru care acest
in m nu este atins.
Sa se arate ca ^ntr-un spatiu topologic o multime A este rara daca si numai daca exista o multime
deschisa G astfel ^nc^at A fr(G).
Fie (xn )n2N , (yn )n2N siruri de numere reale astfel ^nc^at (yn )n2N este strict crescator av^and
limita +1. Sa se arate ca:
xn+1 xn
lim infn!1 lim infn!1 yn+1 yn
xn
xn
xn+1 xn
lim sup yn
n!1 lim sup yn
n!1 yn+1 yn
TEORIA MASURII
I. Exemple
Algebra A P (N) care nu este -algebra.
Sir descendent de multimi An pentru care limita sirului (An ) nu este egal cu masura intersectiei
multimilor An .
2

Masura exterioara pe N care nu este masura.
Multime in nita din R av^and masura exterioara Lebesgue nula.
Functie integrabila Lebesgue care nu este integrabila Riemann.
Multime din R care nu este ^nchisa si are masura Lebesgue nula.
Functie f : (0; 1) ! R continua care nu este integrabila Lebesgue.
Functii f,g:R!R nemasurabile Lebesgue a caror suma este masurabila Lebesgue.
Functie masurabila Lebesgue f : R ! R care este limita unui sir de functii nemasurabile Lebesgue.
Sir de multimi An din R pentru care sirul functiilor caracteristice An converge punctual dar nu
converge ^n masura.
Masura : L(R) ! R pentru care (R) = 1.
Inegalitate stricta ^n lema lui Fatou.
Functie f : R ! R neintegrabila Lebesgue pentru care jfj este integrabila Lebesgue.
Functie f : R ! R nemarginita si integrabila Lebesgue.
II. Intrebari
Exista multimi din R nemasurabile Lebesgue av^and masura exterioara Lebesgue nula?
Exista multimi din R cu interior vid si de masura Lebesgue nenula?
Exista functii etajate si continue f : R ! R care nu sunt constante?
Este orice functie f : R ! R continua masurabila Lebesgue? Dar integrabila Lebesgue?
Este masura exterioara Lebesgue pe R o masura (de nita pe P(R))?
Este o multime nita din R masurabila Lebesgue?
Este aderenta unei multimi nemasurabile Lebesgue din R o multime masurabila Lebesgue?
Este interiorul unei multimi nemasurabile Lebesgue din R o multime masurabila Lebesgue?
Daca un sir de functii integrabile Lebesgue fn :R!R converge uniform catre 0, este sirul
( R fnd )n2N convergent?
Poate o multime de nivel a unei functii nemasurabile Lebesgue f:R!R o multime masurabila
Lebesgue?
Exista multimi boreliene din R care nu sunt nici deschise nici ^nchise?
Poate scrisa o multime nemasurabila Lebesgue din R ca reuniune nenumarabila de multimi
masurabile Lebesgue?
Exista algebre care nu sunt -algebre?
Exista ^n R 2 multimi nenumarabile av^and masura Lebesgue nula?
Este produsul a doua functii integrabile Lebesgue o functie integrabila Lebesgue?
Daca f este o functie A-etajata care nu se anuleaza, este functia 1=f A-etajata?
Exista ^n R m multimi deschise, nevide av^and masura Lebesgue nula?
Poate scrisa functia f : R ! R, f(x) = x ca limita punctuala a unui sir crescator de functii
etajate?
Poate reuniunea a doua multimi nemasurabile Lebesgue din R o multime masurabila Lebesgue?
Este masura de numarare o masura completa?
Este limita punctuala a unui sir descrescator de functii integrabile nenegative o functie integrabila?
Exista functii nenule f pentru care f + = f ?
III. Probleme de examen
Sa se arate ca functia f:[0,1)!R, f(x) := e [2x] este masurabila Lebesgue( [ ] ind functia "parte
^ntreaga" ).
Sa se calculeze R fd .
Sa se calculeze: R
x
e a) limn!1 n ln(1 + (0;1) 2n )d (x)
b) h0 (0), unde h(t) = R
Fie f : R ! R; f(x) = P 1
n=1
(1;1) (x100 + t) 1 d (x), (t > 1)
x
n(n+1) 2 [n;2n](x):
Sa se arate ca f este masurabila Lebesgue si sa se calculeze R fd
3

a) Sa se arate ca familia multimilor boreliene din R m coincide cu -algebra generata de familia
multimilor compacte.
b) Sa se arate ca :
B(R) = f(a; b) : a; b 2 R; a < bg = f[a; b) : a; b 2 R; a < bg .
Fie A R o multime masurabila Lebesgue av^and masura nita. Sa se arate ca aplicatia f : R !
R, f(x) = (A \ ( 1; x]) este continua. Calculati limitele acestei functii ^n -1 si +1.
a)Sa se arate ca functiile monotone si functiile derivate de nite pe R sunt masurabile Lebesgue.
b) O functie f : R ! R pentru care f(R) este nita este masurabila Lebesgue?
Fie (X; A) un spatiu masurabil si fn : X ! R un sir de functii A-masurabile. Sa se arate ca
multimea punctelor din X ^n care sirul fn are limita este masurabila (i.e. apartine lui A).
Fie E R un interval nedegenerat si f; g : E ! R doua functii continue. Sa se arate ca daca
f = g -a.p.t. atunci f = g.
Fie (X ; A; ) un spatiu cu masura nita si fn : X ! R un sir de functii integrabile uniform
convergent catre functia f : X ! R. Sa se arate ca f este integrabila si R fnd ! R fd . Ram^ane
valabil rezultatul daca (X) = 1 ?
Fie Y = L1 ([0; 1]; L; ) si d : Y Y ! R,
d(f; g) = R jf gj
1+jf gj d . Sa se arate ca:
a) d este semimetrica.
b) Daca fn ! f -a.p.t atunci fn ! f ^n sensul semimetricii d. Are loc si reciproca?
Fie f :! [0; =2] f(x) = sin(x2 )
x
daca cos x 2 Q
4 daca cos x 2 RnQ
si Lebesgue a functiei f.
: Sa se studieze integrabilitatea Riemann
Observatii:
1. Pentru exemple va trebui precizat (daca este cazul) si spatiul topologic sau spatiul cu masura.
2. Pentru intrebari se va da o justi care (scurta) in caz a rmativ sau un contraexemplu ^n cazul
c^and raspunsul este negativ.
4