Calcul Variational. Extremale

Laborator 3: Calcul Variational. Extremale.
Ecuatia Euler-Lagrange
Consideram functionala de tip integral
b
J ( y( x) )
d
L x , y( x ) , y( x)
dx
dx
a
si conditiile
y( a )
,
y( b)
,
Extremalele functionalei J sunt solutiile ecuatiei Euler-Lagrange
Ly - d
dx ( Ly , )=0
Dorim sa gasim in continuare extremalele pentru urmatoarea functionala de tip integral:
2
J ( y( x) )
d
y( x )
y(
x ) d
dx
2 x
0
2
cu conditiile
y0 ( ) 1,
y2 ( ) 1
,
Lagrangianul este definit de
> L:=(x,u,v)->v^2-u^2;
L ( xuv , , )
v 2
u 2
L := ( xuv , , )
Pentru a construi ecuatia Euler-Lagrange trebuie sa calculam L ( , , )
u
xuv ,
v
( L xuv) , , si sa le evaluam in
d
punctul ( x , y( x ) , y( x ) ). Pentru a calcula derivatele partiale vom folosi operatorul de derivare
dx
D[i](x,u,v), care calculeaza derivatele partiale de ordinul I in raport cu variabila i .
> D[1](L)(x,u,v);
> D[2](L)(x,u,v);
> D[3](L)(x,u,v);
0
2 u
2 v
d
Pentru exemplul nostru vom calcula D[2](L)(x,u,v), D[3](L)(x,u,v), in punctul ( x , y( x ) , y( x ) )
dx
si trebuie sa derivam expresia a doua in raport cu x D[3](L)(x,y(x),diff(y(x),x))
v 2
u 2

EL_eq:=D[2](L)(x,y(x),diff(y(x),x))-diff(D[3](L)(x,y(x),diff(y(x),x)),x)=
0;
EL_eq := 2 y( x ) 2
d
d
2
x 2 y( x ) 0
Folosind comanda dsolve obtinem solutia generala
> dsolve(EL_eq,y(x));
y( x ) _C1
sin( x ) _C2
cos( x )
sau putem folosi si conditiile initiale si obtinem expresia extremalelor.
> dsolve({EL_eq,y(0)=1,y(2*Pi)=1},y(x));
y( x ) _C1
sin( x ) cos(
x )
Se poate observa ca in acest exemplu avem o infinitate de extremale.
MAPLE a implementat aceasta metoda in pachetul VariationalCalculus. Pentru detalii a se vedea Help.
Sistemul Euler-Lagrange
Sistemul Euler-Lagrange este folosit pentru a determina extremalele unei functionale de tip integral ce depinde
de mai multe functii. Vom considera in continuare cazul in care functionala depinde de doua functii.
b
J ( y( x ) , z( x) )
d
L x , y( x ) , z( x ) , ( ) ,
d
dx
a
y x d
z( x) x
dx
si conditiile initiale
( ) ( )
y a 1 ,
z( a ) 2
,
y b 1
z( b) 2
In acest caz sistemul Euler-Lagrange are urmatoarea forma
Ly - d
dx ( Ly , ) = 0
Lz - d
dx ( Lz , ) = 0
Lagrangianul va depinde de 5 variabie L=L(x,u1,u2,v1,v2).
Fie urmatoarea problema
2
2
J ( y( x ) , z( x) )
d
y( x )
d
z( x )
2
y( x ) z( x) dx
dx
dx
0
2
si conditiile initiale
y0 ( ) 2,
y
e
2
2
1

z0 ( ) 0,
z
2
e 1
2
Prima data vom construi lagrangianul
> L:=(x,u1,u2,v1,v2)->v1^2+v2^2-2*u1*u2;
L := ( xu1u2v1v2 , , , , ) v1
2
v2 2
2 u1 u2
Pentru a construi sistemul Euler-Lagrange trebuie sa calculam L ( xu1u2v1v2 , , , , ) ,
u1
v1
( L xu1u2v1v2) , , , , si sa le evaluam in punctul ( x , y( x ) , ( ) , ,
z x d
( )
dx
y x d
z( x ) ), pentru prima ecuatie
dx
si L ( , , , , )
u2
xu1u2v1v2 ,
v2
( L xu1u2v1v2) , , , , evaluate in punctul ( x , y( x ) , ( ) , ,
z x d
( )
dx
y x d
z( x ) ),
dx
pentru a doua ecuatie:
>
eq1:=D[2](L)(x,y(x),z(x),diff(y(x),x),diff(z(x),x))-diff(D[4](L)(x,y(x),z
(x),diff(y(x),x),diff(z(x),x)),x)=0;
eq1 := 2 z( x ) 2
d
d
2
x 2 y( x ) 0
>
eq2:=D[3](L)(x,y(x),z(x),diff(y(x),x),diff(z(x),x))-diff(D[5](L)(x,y(x),z
(x),diff(y(x),x),diff(z(x),x)),x)=0;
eq2 := 2 y( x ) 2
d
d
2
x 2 z( x ) 0
Obtinem solutia generala folosind dsolve
> dsolve({eq1,eq2},{y(x),z(x)});
( ) x
z( x ) _C1
e
x
{
_C2 e _C3 sin( x ) _C4 cos( x ) ,
( ) x
y( x ) _C1
e
x
_C2 e _C3 sin( x ) _C4 cos( x ) }
sau putem folosi direct conditiile initiale pentru a obtine expresia extremalei.
> in_cond:=y(0)=2,y(Pi/2)=exp(Pi/2)+1,z(0)=0,z(Pi/2)=-exp(Pi/2)+1;
in_cond := y0 ( ) 2,
y
, ,
2
e 1
z0 ( ) 0
z
2
2
e 1
2
> dsolve({eq1,eq2,in_cond},{y(x),z(x)});
{ y( x ) e
,
}
x
sin( x ) cos( x ) z( x ) e
x
sin( x ) cos( x
)

Ecuatia Euler-Poisson
Ecuatia Euler-Poisson este folosita pentru a determina extremalele functionalei de tip integral ce depinde de
derivatele de ordin superior ale functiei necunoscute. Vom considera cazul in care ordinul maxim de derivare
este 2.
b
d
J ( y( x) )
L
x , y( x ) , ( ) ,
d
dx
a
y x d
d
2
x 2 y( x) x
si conditiile initiale
y( a ) 1
, y( b) 1
y ' ( a ) = , y ' ( b
2 ) = 2 In acest caz ecuatia Euler-Poisson are urmatoarea forma
Ly - d
dx ( L d2
y , ) +
dx 2 ( Ly ,, ) = 0
Lagrangianul depinde de 4 variabile L=L(x,u,v,w).
Sa consideram urmatoarea problema
J ( y( x) )
4 d
d
d
2
x 2 2
2
y( x )
d
y( x ) x y( x) x
dx
0
si conditiile initiale
1
1
2
1
2 1
y0 ( ) 1
, y1 ( ) e
e
12
1
2
1
2
1 e
y ' (0) = 2, y ' (1) =
2
1 e
2
3
4
Prima data vom construi lagrangianul
> L:=(x,u,v,w)->4*w^2+v^2-x*u;
L := ( xuvw , , , ) 4
w
2
v 2
xu
Pentru a construi ecuatia Euler-Poisson trebuie sa calculam L ( , , , )
u
xuvw ,
L ( xuvw , , , ) ,
v
w
( L xuvw) , , , si sa le evaluam in punctul ( x , ( ) , ,
y x d
( )
dx
y x d
d
2
x 2 y( x ) ), pentru
u
( L xuvw) , , , evaluata in punctul ( x , ( ) , ,
y x d
( )
dx
y x d
d
2
x 2 y( x ) ),
expresia
v
( L xuvw) , , , evaluata in punctul ( x , ( ) , ,
y x d
( )
dx
y x d
d
2
x 2 y( x ) ) derivata in raport cu x
expresia
w
( L xuvw) , , , evaluata in punctul ( x , ( ) , ,
y x d
( )
dx
y x d
d
2
x 2 y( x ) ) derivata de doua ori in raport cu x
>

EP_eq:=D[2](L)(x,y(x),diff(y(x),x),diff(y(x),x$2))-diff(D[3](L)(x,y(x),di
ff(y(x),x),diff(y(x),x$2)),x)+diff(D[4](L)(x,y(x),diff(y(x),x),diff(y(x),
x$2)),x$2)=0;
EP_eq := x2
d
d
2
x 2 y( x ) 8 d
d
4
x 4 y( x ) 0
Obtinem solutia generala
> dsolve(EP_eq,y(x));
x
2
x
2
y( x ) 4
e _C24 e _C1
_C3 x_C4 12
x 3
sau, folosind conditiile initiale obtinem expresia extremalei
>
in_cond:=y(0)=-1,y(1)=exp(1/2)-exp(-1/2)-1/12,D(y)(0)=2,D(y)(1)=1/2*exp(1
/2)+1/2*exp(-1/2)+3/4;
in_cond :=
( )
y0 ( ) -1,
y1 ( ) e
, ,
/ 12 ( )
e / -1 2 1
1 ( )
D( y ) ( 0) 2
D( y ) ( 1) e
12
2 / 12 1 )
e(
2 / -1 2 3
4
> dsolve({EP_eq,in_cond},y(x));
x
2
x
2 x 3
y( x ) e
e x1 12