CAPITOLUL 1

CONSTANTIN IONESCU
STABILITATEA ŞI DINAMICA
CONSTRUCŢIILOR
EDITURA SOCIETĂŢII ACADEMICE "MATEI-TEIU BOTEZ"
IAŞI - 2007

3
CUPRINS C
Cap.1 Stabilitatea şi Dinamica Construcţiilor 6
1.1.Generalităţi
1.2. Dinamica construcţiilor
Cap.2 Sisteme cu un grad de libertate dinamică 21
2.1. Vibraţiile libere ale sistemelor cu 1GLD
2.2.1. Vibraţii libere cu amortizare vâscoasă
P.1 Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii libere
37
Cap.3 Sisteme vibrante cu 1GLD 49
3.1 Vibraţii forţate neamortizate
3.2. Vibraţii forţate amortizate
3.3. Etape de calcul pentru trasarea diagramelor de eforturi
maxime şi minime în cazul vibraţiilor forţate

4
Cuprins
3.4. Vibraţii forţate produse de forţe perturbatoare în alte situaţii
de încărcare
P.2 Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii forţate
59
E.1 Probleme propuse pentru rezolvare. Sisteme cu 1GLD –
vibraţii libere şi forţate 82
Cap.4 Sisteme vibrante cu n GLD 87
4.1 Vibraţii libere. Metoda forţelor de inerţie sau metoda matricei
de flexibilitate
4.2. Aplicaţie
4.3. Determinarea matricei de flexibilitate
Cap.5 Sisteme vibrante cu n GLD 102
5.1. Vibraţii libere ale sistemelor cu n GLD. Metoda matricei de
rigiditate
5.2. Aplicaţie – sistem vibrant cu 2GLD
5.3. Proprietatea de ortogonalitate a formelor proprii de vibraţie
5.4. Normalizarea formelor proprii de vibraţie
5.5. Proprietăţile pulsaţiilor proprii
5.6. Determinarea matricei de rigiditate a sistemului vibrant
P.3 Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – vibraţii libere
117
Cap.6 Sisteme vibrante cu n GLD. Vibraţii forţate
produse de acţiunea unor forţe perturbatoare armonice
145
6.1. Metoda matricei de rigiditate
6.2. Metoda matricei de flexibilitate
P.4 Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – vibraţii forţate
154
E.2 Probleme propuse pentru rezolvare. Sisteme cu n GLD
– vibraţii libere şi forţate 171
Cap.7 Sisteme vibrante cu n GLD 175
7.1. Analiza modală a răspunsului dinamic al sistemelor cu nGLD
7.2. Etape de calcul în analiza modală a răspunsului dinamic al
sistemelor cu nGLD
Cap.8 Calculul de stabilitate. Calculul de ordinul II 180
8.1. Consideraţii generale
8.2. Calculul de stabilitate. Tipuri de pierdere a stabilităţii
Cap.9 Calculul de ordinul II 189
9.1. Grinda încastrată

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 5
9.2. Calculul de ordinul II. Determinarea eforturilor şi deplasărilor
prin metoda parametrilor în origine
9.3. Aplicaţii
Cap.10 Calculul deplasărilor şi rigidităţilor de ordinul II
200
10.1 Metoda Mohr - Maxwell
10.2. Aplicaţii. Calculul deplasărilor
10.3. Calculul rigidităţilor de ordinul II la bara dreaptă
10.4. Momentele de încastrare perfectă de ordinul II ale grinzii
dublu încastrate
Cap.11 Calculul de stabilitate a cadrelor utilizând
matricea de flexibilitate 219
11.1. Ecuaţia de stabilitate
11.2. Etape în calculul de stabilitatea a cadrelor
11.3. Aplicaţii
Cap.12 Calculul de ordinul II al cadrelor prin metoda
forţelor 234
12.1. Metoda forţelor în calculul de ordinul I
12.2. Calculul de ordinul II
Cap.13 Studiul de stabilitate şi calculul de ordinul II al
cadrelor cu noduri fixe prin metoda deplasărilor 248
13.1. Studiul de stabilitate a cadrelor cu noduri fixe folosind
matrice de rigiditate
13.2. Calculul de ordinul II al cadrelor cu noduri fixe folosind metoda
deplasărilor
Cap.14 Calculul de ordinul II şi de stabilitate. Cadre cu
noduri deplasabile 263
14.1. Metoda deplasărilor
14.2. Relaţii diferenţiale între eforturi şi încărcări
14.3. Calculul de ordinul II al cadrelor cu noduri deplasabile
14.4. Calculul de stabilitate a cadrelor cu noduri deplasabile
folosind matricea de rigiditate. Etape de calcul
B. Bibliografie 287

1.1.Generalităţi
CAPITOLUL 1
STABILITATEA ŞI DINAMICA
CONSTRUCŢIILOR
Obiectul de studiu “Stabilitatea şi Dinamica Construcţiilor” se
predă studenţilor, care aprofundează profilul construcţii, în anul al IIIlea,
semestrul 6, pe durata a 14 săptămâni.
Disciplina se compune din trei părţi distincte:
a) Dinamica Construcţiilor;
b) Stabilitatea Construcţiilor şi
c) Calculul de Ordinul II.
Dinamica construcţiilor este o ştiinţă care face parte din
Mecanica construcţiilor, alături de: Mecanica Teoretică, Rezistenţa
Materialelor, Statica Construcţiilor, Teoria Elasticităţii etc. Are ca obiect

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 7
de studiu echilibrul dinamic al structurilor, exprimat prin metode
specifice pentru aflarea stării de efort şi deformaţie, produsă de acţiuni.
Scrierea ecuaţiilor de echilibru se face aplicând principiul lucrului
mecanic virtual, principiul lui D’Alembert, ecuaţiile lui Lagrange de speţa
a doua sau principiul lui Hamilton.
Stabilitatea Construcţiilor şi Calculul de Ordinul II.
Exprimarea echilibrului unei structuri în raport cu poziţia sa deformată,
face obiectul de studiu al stabilităţii şi calculului de ordinal II.
Calculul de stabilitate constă din identificarea naturii echilibrului
poziţiei deformate a unei structuri. Mărimile eforturilor axiale sunt
necunoscute.
Calculul de ordinul II al unei structuri de rezistenţă, constă din
determinarea stării de tensiune şi deformaţie prin exprimarea
echilibrului în raport cu poziţia sa deformată. În calculul de ordinul II,
sarcinile transversale şi eforturile axiale se presupun cunoscute.
1.2. Dinamica construcţiilor
1.2.1. Acţiuni. Sistem. Răspuns
Abordarea sistemică a problemelor din Dinamica Structurilor
presupune definirea sistemului vibrant, a acţiunilor şi a răspunsului.
Acţiunea reprezintă o cauză care produce, în elementele unei
structuri de rezistenţă a unei construcţii, eforturi şi tensiuni, deplasări şi
deformaţii, pulsaţii etc. Pentru calcul, acţiunea se reprezintă sub formă
de forţe şi deplasări, caracterizate cantitativ prin parametri
corespunzători.
Acţiunea dinamică reprezintă o cauză rapid variabilă în timp, ce
se manifestă asupra unui sistem dinamic, generând eforturi inerţiale.
Exemple de acţiuni dinamice:
a) acţiuni produse de utilaje şi echipamente: maşini unelte,
motoare cu mecanism bielă – manivelă, prese şi maşini de
forat, concasoare şi mori (din industria materialelor de
construcţii);
b) sarcini mobile: trafic, autovehicule, poduri rulante,
vagoane de cale ferată etc.;
c) acţiunea vântului;
d) acţiunea seismică;
e) explozii.
Sistem. Un sistem vibrant este constituit din structura propriuzisă
a unei construcţii la care se ataşează mase distribuite (după o
anumită lege) şi/sau mase concentrate.

8
Stabilitatea şi Dinamica Construcţiilor
Orice structură este capabilă, sub acţiunea unor cauze cu
caracter dinamic (variabile în timp), să efectueze mişcări relative în jurul
unei poziţii de echilibru. Acest fenomen se datorează faptului că
structura posedă proprietăţi inerţiale (mase concentrate şi distribuite) şi
elastice (definite prin flexibilitate sau rigiditate).
Deoarece mişcarea unui asemenea sistem se repetă, în timp,
după anumite legi de variaţie, tipul de comportament al sistemului se
numeşte mişcare vibratorie sau vibraţie.
Răspuns. Răspunsul dinamic liber caracterizează mişcarea unui
sistem vibrant în anumite condiţii iniţiale (deplasare sau viteză), după ce
a încetat cauza care a produs mişcarea.
Răspunsul dinamic forţat caracterizează mişcarea unui sistem
dinamic pe timpul istoric al aplicării acţiunii dinamice. Răspunsul dinamic
se exprimă în mărimi cinematice fundamentale: deplasări, viteze şi
acceleraţii sau derivate: energii, forţe generalizate, eforturi, tensiuni şi
deformaţii.
Obiectul de studiu al Dinamicii Structurilor îl constituie
identificarea relaţiilor existente între acţiunile dinamice, parametrii de
definire a sistemului vibrant şi răspunsul dinamic al acestuia.
1.2.2. Aspecte fundamentale în Dinamica Structurilor
Cele trei probleme fundamentale ale Dinamicii Structurilor sunt
următoarele:
a) Analiza;
b) Sinteza şi
c) Identificarea.
Analiza. Prin analiza unui sistem vibrant se înţelege determinarea
caracteristicilor de răspuns ale acestuia când se cunosc: acţiunea şi
caracteristicile sistemului.
Sinteza. Sinteza unui sistem dinamic reprezentă modul cel mai
complex de a trata problemele de dinamică. Se pune problema
determinării caracteristicilor fizice ale sistemului cunoscând: acţiunea şi
răspunsul.
Identificarea excitaţiei. În cazul în care se cunosc caracteristicile
sistemului dinamic şi răspunsul acestuia, se poate determina acţiunea
aplicată pe sistem. Sistemul joacă rolul unui instrument de măsură.
1.2.3. Clasificarea mişcărilor vibratorii
Mişcările vibratorii pot fi clasificate din mai multe puncte de
vedere, funcţie de cauza care produce vibraţia, forţele de rezistentă, de
excitaţie etc.

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 9
a) După reprezentarea analitică:
i. vibraţii armonice – mişcări reprezentate prin funcţii
trigonometrice;
ii. vibraţii periodice – mişcări care se repetă identic după
un interval de timp, T, numit perioadă de vibraţie;
iii. vibraţii descrescătoare – amplitudinile mişcării se
micşorează în timp;
iv. vibraţii crescătoare – amplitudinile mişcării cresc în timp.
b) După cauza care produce vibraţia:
i. vibraţii libere – produse de un şoc (condiţii iniţiale: viteză
şi deplasare). Cauza dispare şi sistemul vibrează liber, pe
toată durata mişcării sistemul înmagazinează energie;
ii. vibraţii forţate – sunt produse de o excitaţie perturbatoare
exterioară independentă de caracteristicile sistemului
vibrant. Sistemul înmagazinează energie pe toată durata
mişcării; forţele perturbatoare pot fi armonice, periodice
sau oarecare;
iii. vibraţii parametrice – sunt produse de vibraţia periodică a
unui parametru al mişcării: masa, constanta elastică sau
amortizarea, care sunt variabile în timp;
iv. vibraţii autoexcitate – produse de cauze interne ale
sistemului;
v. şocul – caracterizează un fenomen extrem de rapid şi de
mare intensitate; dacă şocul este de foarte scurtă durată
vibraţia se transformă în vibraţie liberă.
c) După forţa de rezistenţă:
i. vibraţii neamortizate – forţele de frecare sunt mici şi se
neglijează;
ii. vibraţii amortizate – forţele interioare nu se pot neglija şi
în interiorul sistemului se produc disipări importante de
energie.
d. După modul de exprimare a excitaţiei sau a răspunsului:
iii. vibraţii deterministe – orice mărime ce caracterizează
vibraţia poate fi determinată, la un moment dat,
cunoscând funcţia prin care este reprezentată vibraţia;
iv. vibraţii aleatoare (nedeterministe) – mărimile
caracteristice ale vibraţiei sunt determinate pe baze
probabilistice.

10
1.2.4. Modelarea sistemelor
Stabilitatea şi Dinamica Construcţiilor
Structurile de rezistenţă ale construcţiilor sunt sisteme cu masă
distribuită continuu după a anumită lege. Caracteristicile acestor sisteme
pot defini un model fizic şi un model matematic.
Modelul fizic este compus din schema statică a structurii, obţinută
prin reducerea elementelor de construcţie la axele sale, de exemplu:
grinzi simplu rezemate, grinzi cu console, grinzi cu zăbrele, arce, cadre
etc., la care se ataşează mase concentrate sau distribuite (după o
anumită lege). Modelul astfel obţinut, poartă denumirea de sistem
dinamic sau vibrant. În figurile 1.1, 1.2. şi 1.3. sunt prezentate exemple
de modelări dinamice.
b
l/4
l/2 l/4
Fig.1.1. Grinda simplu rezemată:
a. grinda propriu – zisă cu masă distribuită; b. schema statică a
grinzii, c. sistemul dinamic (vibrant) cu masă concentrată
m
a.
m
m
b. c.
Fig.1.2. Grinda încastrată :
a. grinda propriu – zisă cu masă distribuită; b., c. şi d. sisteme
dinamic e (vibrante ) cu mase concentrate
c
m
m 1
m 2
d.

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 11
Orice sistem vibrant este capabil, sub acţiunea unor cauze cu
caracter dinamic (variabil în timp), să efectueze mişcări relative în jurul
b.
m
a.
Fig. 1.3. Cadru static nedeterminat: a. cadru propriu-zis;
b., c. sisteme dinamice
unei poziţii de echilibru. Acest fenomen se datorează faptului că modelul
posedă caracteristici elastice şi inerţiale. Caracteristicile elastice sunt
definite prin rigidităţi şi/sau flexibilităţi. Cele inerţiale sunt statuate prin
mase concentrate sau/şi distribuite.
Mişcarea care se repetă, în timp, după o anumită lege se
numeşte vibraţie sau mişcare vibratorie. Mişcarea vibratorie după o
anumită perioadă de timp încetează datorită caracteristicilor de
amortizare ale sistemului dinamic.
Modelul matematic este constituit din ecuaţiile de echilibru
dinamic al modelului vibrant.
1.2.5. Coordonate dinamice
Poziţia instantanee a unui sistem vibrant, în orice moment al
mişcării, poate fi determinată printr-o infinitate de parametri
independenţi sau coordonate dinamice, numite şi grade de libertate
dinamică (notate, pe scurt, GLD).
Deplasările măsurate pe direcţia GLD reprezintă necunoscutele
fundamentale ale Dinamicii Structurilor.
m 1
c.
m 2

12
Stabilitatea şi Dinamica Construcţiilor
În vederea simplificării modelului dinamic, sistemul dinamic cu
masă distribuită poate fi transformat, presupunând un anumit grad de
aproximare, într-un sistem cu mase concentrate. Gradul de aproximare
este cu atât mai mare cu cât numărul de mase este mai mic.
Pentru un sistem static, numit şi model static, se pot evidenţia
caracteristicile statice, definite prin intermediul gradului de
nedeterminare statică, notat – GNS şi gradul de nedeterminare
cinematico-elastică, GNCE, figura 1.4.
y
x
θ
Fig. 1.4. Cele două poziţii: iniţială şi deplasată ale unui
cadru; x, y şi θ – coordonate statice
Prin grad de nedeterminare statică, al unei structuri static
nedeterminată, se înţelege numărul minim de legături care trebuie
suprimate pentru ca structura să devină static determinată. Se
determină cu relaţia:
sau
( l + r)
− c
GNS = 3
(1.1)
GNS = 3 k − ∑ s
(1.2)
unde: l reprezintă numărul de legături simple interioare,
r – numărul de legături simple din reazeme;
k – numărul de contururi distincte;
s – numărul de legături simple lipsă unui contur pentru ca acesta
să fie de trei ori static nedeterminat;
c – numărul de corpuri.
Prin grad de nedeterminare cinematico-elastică a unei structuri
se înţelege posibilităţile distincte de deplasare a nodurilor. Se stabileşte
cu relaţia:
GNCE = 3 ∗ N,
(1.3)

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 13
pentru structuri plane şi cu formula
pentru structuri spaţiale.
GNCE = 6 ∗ N , (1.4)
Gradul de nedeterminare cinematico-elastică a unei structuri se
poate determina şi cu relaţia:
GNCE = N + g , (1.5)
( l r)
g = 3 ∗ c − + , (1.6)
unde: N reprezintă numărul de noduri rigide,
g – numărul de grade de libertate, care se determină pe o
structură obţinută din structura dată (static nedeterminată) prin
introducerea de articulaţii în nodurile rigide şi în reazemele încastrate;
c, l, r – idem relaţia (1.1).
Gradul de libertate dinamică se determină cu relaţiile:
pentru sisteme dinamice plane şi
GLD = 3 ∗ N
(1.7)
GLD = 6 ∗ N,
(1.8)
pentru sistemele dinamice aflate într-o stare spaţială de comportare,
unde N reprezintă numărul de mase concentrate, sau cu formula:
GLD = ∞ , (1.9)
în cazul sistemelor dinamice cu mase distribuite după o anumită lege de
variaţie.
Asemănarea dintre relaţii (1.3) şi (1.6), respectiv (1.4) cu (1.7)
ne relevă faptul că gradul de nedeterminare cinematico-elastică,
determinat pentru un model static, este egal cu gradul de libertate
dinamică, dacă sistemul dinamic, pe care de determină GLD, este
obţinut prin concentrarea maselor în nodurile rigide ale modelului static,
figura 1.5.
Referitor la relaţiile (1.6) şi (1.7) este de menţionat faptul că la
acordarea numărului de grade de libertate dinamică se va lua în
considerare numai deplasările importante. Astfel, în cazul situaţiilor din
figura 1.6, numărul real al gradelor de libertate este mai mic decât cel
obţinut din calcul, aplicând relaţia (1.6), deoarece unele deplasări
dinamice sunt nesemnificative în comparaţie cu altele.

14
1.2.6. Sistem dinamic (vibrant)
Asocierea următoarelor caracteristici fundamentale:
Stabilitatea şi Dinamica Construcţiilor
a) inerţială (generată de mişcare);
b) disipativă (generată de capacitatea de amortizare);
c) elastică, datorată proprietăţilor de deformabilitate ale
sistemului, care nu se modifică pe toată durata mişcării,
se numeşte (reprezintă un) sistem dinamic (model dinamic, sistem
vibrant).
a.
b.
y2( t )
y2
x1
x1( t )
x4
θ3 6 θ
θ3( t )
x4( t )
Fig. 1.5. Model static şi model dinamic. Comparaţie între gradele
de nedeterminare cinematico-elastice şi gradele de libertate dinamică:
a. structura deformată a modelului static se caracterizează
prin GNCE = 6 (două noduri a câte trei deplasări);
b. modelul dinamic defineşte un GLD = 6 (două mase a câte 3GLD)
y5
θ6( t )
y5( t )

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 15
c.
1
1
m1
1
GLD=1, acordat
GLD=3, conform relatiei (1.6.)
m2
d. e.
2
2
b.
m1
1 2
m2
GLD=2, acordate
GLD=6, conform relatiei (1.6.)
GLD=3, acordate
GLD=3, conform relatiei (1.6.)
GLD=2 acordate GLD=2, acordate
Fig. 6. Modalităti de acordare a gradelor de libertate dinamică
pentru diverse modele dinamice
Cel mai simplu sistem dinamic poate fi obţinut prin asamblarea
unei mase cu un element elastic caracterizat prin flexibilitate, notată δ
sau rigiditate, notată k, în anumite condiţii de fixare în plan sau spaţiu,
figura 1.7.
1
2

16
a.
m
k
a.
m
k
x(t)
x(t)
c
1GLD
b.
Fig. 1.7. Sisteme dinamice cu 1GLD
b.
Stabilitatea şi Dinamica Construcţiilor
k m
x(t)
Fig. 1.8. Sisteme dinamice complete cu 1GLD
k
x(t)
c
k
c
m
m
x(t)
În Dinamica Structurilor pentru realizarea sistemelor dinamice se
utilizează o serie de modele reologice, printre care menţionăm: modelul
Hooke, modelul Newton, modelul Kelvin – Voigt, modelul Maxwell etc.,
figura 1.9.
Descrierea analitică a comportării unui sistem dinamic se
realizează pe baza unui model matematic.
Masa. Masa a fost definită de Newton ca o noţiune care reflectă
proprietăţile generale şi obiective de inerţie şi gravitaţie ale materiei.

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 17
a. b. c. d.
k
c
k
Fig. 1.9. Modele reologice: a. Hooke; b. Newton;
c.Kelvin-Voigt; d. Maxwell
Masa se determină cu relaţia:
m = ρ ∗ V ,[kg] (1.9)
unde: ρ reprezintă densitatea materialului, [kg m -3 ];
V – volumul materialului, [m 3 ].
Masa se poate calcula şi cu relaţia:
G
m = ρ , [kg] (1.10)
γ
în care: γ reprezintă greutatea specifică a materialului, unitatea de
măsură: [N m -3 ];
G – greutatea corpului, unitatea de măsură: [N].
sau
în final:
Egalând relaţiile (1.9) şi (1.10) rezultă:
ρ V = ρ
G
γ
G mg
V = ρ = ρ ,
γ γ
c
γ
m = V . (1.11)
g
Relaţia (1.11) se utilizează pentru determinarea masei prin
intermediul volumului materiei, V, greutatea specifică a acesteia, γ şi
acceleraţia gravitaţională, g.
Caracteristica disipativă. În cazul amortizării vâscoase,
caracteristică disipativă se evidenţiază prin intermediul coeficientului de
amortizare vâscoase, notat c. Considerând forţa de amortizare
k
c

18
Stabilitatea şi Dinamica Construcţiilor
proporţională cu viteza prin intermediul coeficientului de amortizare,
aceasta se determină cu relaţia:
unde: Fa reprezintă forţa de amortizare, [N];
v – viteza, [ms -1 ];
c – coeficientul de amortizare vâscoasă.
a 1
b 2
δ
b 3
1GLD
b 1
1,1
F a
= c ∗ v
(1.12)
a 3
δ
a 2
1,1
δ
m
1 GLD
Fig. 1.10. Sisteme vibrante. Situaţii de încărcare pentru determinarea
flexibilităţii, δ.
Din relaţia (1.12) se exprimă coeficientul de amortizare:
Fa
c = (1.13)
v

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 19
şi apare evident că unitatea de măsură este: [N m -1 s] sau [kg s -1 ].
Caracteristica elastică. Flexibilitatea, notată δ, se defineşte ca
fiind deplasarea măsurată pe direcţia gradului de libertate dinamică a
unui sistem vibrant, produsă de o forţă egală cu unitatea aplicată în
dreptul masei şi pe direcţia GLD. Se calculează cu relaţia Mohr -
Maxwell:
M(
x)
∗ M(
x)
δ ∑ ∫
dx
EI
= , [m N -1 ]
(1.14)
În figura 1.10 sunt prezentate diverse situaţii de încărcare pentru
calculul flexibilităţii.
Rigiditatea reprezintă, în cazul unui sistem vibrant cu 1 GLD,
forţa care acţionând în dreptul masei şi pe direcţia GLD, produce pe
această direcţie o deplasare egală cu unitatea, figura 1.11.
Rigiditatea este inversul flexibilităţii. Rezultă relaţia:
δ ∗ k = 1 . (1.15)
Apare evident că unitatea de măsură a rigidităţii este: [N m -1 ].
Obs. Pentru aflarea numărului de grade de nedeterminare statică
a unei structuri se foloseşte şi relaţia:
GNS = 3 • k − a − 2 • s
(1.16)
unde: k reprezintă numărul de conturi închise;
3 - numărul de nedeterminări simple introduse de un contur
închis;
a – numărul de articulaţii simple. Articulaţia simplă leagă două
bare între ele. Într-un nod cu n bare articulate între ele sunt n-1
articulaţii simple;
s – numărul reazemelor simple.
Obs. 1. Orice articulaţie simplă interioară sau într-un reazem
presupune o legătură mai puţin în comparaţie cu continuitatea. Existenţa
unei articulaţii simple reduce gradul de nedeterminare statică cu o
unitate.
2. Un reazem simplu presupune două legături simple mai puţin
fată de reazemul încastrat, deci reduce cu două unităţi gradul de
nedeterminare statică.
În cazul determinării numărului de grade de libertate a unui
cadru se poate utiliza şi relaţia:
g = 3 • b − 2 • a − s
(1.17)

20
Stabilitatea şi Dinamica Construcţiilor
în care: b reprezintă numărul de bare dintr-un mecanism (sistem
cinematic cu un singur grad de libertate cinematică);
3 – numărul de grade de libertate ale unui corp în plan, deci
pentru b bare care alcătuiesc o structură vor exista 3b grade de
libertate;
a – numărul de articulaţii simple;
2 – numărul de legături simple introduse de o articulaţie în
plan;
s – numărul de legături simple (reazeme simple – legături
simple cu terenul).

CAPITOLUL 2
SISTEME CU UN GRAD DE
LIBERTATE DINAMICĂ
2.1. Vibraţiile libere ale sistemelor cu 1GLD
2.1.1. Ecuaţii de echilibru
Ecuaţiile de echilibru care guvernează mişcările unui sistem cu 1
GLD, figura 2.1, se deduc prin exprimarea echilibrului dinamic
instantaneu. Echilibrul dinamic, conform principiului lui d’Alembert, se
reduce la un echilibru static prin includerea şi a forţei de inerţie.
Echilibrul dinamic se exprimă în raport cu poziţia de echilibru static al
sistemului vibrant.

22
a.
x(t)
F(t) m
b.
u(t)
Sisteme cu un grad de libertate dinamică.
Vibraţiile libere
u(t) x(t)
Fig.2.1. Modalităţi de acţionare a sistemelor cu 1GLD:
a. aplicarea directă a acţiunii, b. aplicarea indirectă a acţiunii
Forţele care intervin în ecuaţiile generale de condiţie sunt incluse
în două categorii:
a. forţe active, care întreţin mişcarea, clasificate în:
i. acţiuni exterioare;
ii. forţe de inerţie, generate de masele în mişcare;
b. forţe pasive, care se opun mişcării, numite şi forţe de
rezistenţă, generate de caracteristicile elastice şi disipative
(de amortizare), distingem:
i. forţa elastică;
ii. forţa de amortizare.
Acţiunile exterioare care se manifestă asupra sistemelor cu 1GLD
se pot clasifica în două categorii, în acest sens nominalizăm:
a. acţiuni aplicate direct pe sistem, figura 2.1.a, notate F(t);
b. acţiuni aplicate indirect prin intermediul unei deplasări
aplicate bazei de rezemare a sistemului, figura 2.1.b, notate
u(t).
Forţele care participă la echilibrul dinamic instantaneu, în cazul
acţiunilor aplicate direct pe sistem, figura 2.1, sunt următoarele:
a. forţa de inerţie:
i. notaţie - Fi(t);
ii. relaţie de calcul:
Fi( t)
= −mx&
& ( t)
; (2.1)
m

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 23
iii. unitate de măsură – [N],
unde : m reprezintă masa concentrată a sistemului vibrant;
x(t) – deplasarea dinamică instantanee;
x& & ( t)
- acceleraţia;
b. forţa de amortizare:
i. notaţie - Fa(t);
ii. relaţie de calcul:
Fa(
t)
= −cx&
( t)
; (2.2)
iii. unitate de măsură – [Kgs -1 ],
în care: c reprezintă coeficientul de amortizare vâscoasă;
x& ( t)
- viteza;
c. forţa perturbatoare:
i. notaţie - F(t);
ii. relaţie de calcul, în cazul acţiunilor armonice:
( t)
= F sin θ t ; (2.3)
F 0
iii. unitate de măsură – [N],
unde: F0 reprezintă amplitudinea forţei perturbatoare, măsurată în [N],
θ – pulsaţia proprie a forţei perturbatoare, măsurată în [rad s -1 ];
d. forţa elastică:
i. notaţie - Fe(t);
ii. relaţie de calcul:
Fe ( t)
= kx(
t)
; (2.4)
iii. unitate de măsură – [N],
în care: k reprezintă rigiditatea măsurată în [Nm -1 ].
Obs.: În cazul aplicării indirecte a acţiunilor pe sistemul vibrant,
prin intermediul deplasării bazei sistemului, de exemplu producerea unei
mişcări seismice, forţa de inerţie se determină cu relaţia:
&x
&(
t)
+ &u
&(
t)
Fi(
t)
= −m((
x&
& ( t)
+ u&
& ( t))
, (2.5)
unde: reprezintă acceleraţia absolută instantanee.
Ecuaţiile mişcării vor fi:
a. în cazul aplicării directe a acţiunilor:
( t)
+ F ( t)
= F(
t)
+ F ( t)
(2.6)
Fa e
i
sau introducând expresiile forţelor, relaţiile: (2.2), (2.4) şi (2.5), se
ajunge la forma:
x&
& ( t)
+ cx&
( t)
+ kx(
t)
= F sin θt
; (2.7)
m 0

24
b. pentru situaţia aplicării indirecte a acţiunilor:
Sisteme cu un grad de libertate dinamică.
Vibraţiile libere
( t)
+ F ( t)
= F ( t)
(2.8)
Fa e i
sau înlocuind relaţiile de definire a forţelor, relaţiile: (2.1), (2.2) şi (2.4),
obţinem
mx&
& ( t)
+ cx&
( t)
+ kx(
t)
= −mu&
& ( t)
. (2.9)
2.1.2. Vibraţii libere fără amortizare
Se consideră un sistem vibrant cu 1GLD, fără caracteristici
disipative, constituit dintr-o masă şi un element elastic, figura 2.2. Cum
forţele perturbatoare sunt nule, atunci ecuaţia (2.7) se reduce la forma:
k
x(t)
m
Fig. 2.2. Model dinamic simplu
mx& & ( t)
+ kx(
t)
= 0 . (2.10)
Prin împărţirea termenilor ecuaţiei prim masă, ecuaţia (2.10)
devine:
k
x& & ( t)
+ x(
t)
= 0 . (2.11)
m
Pentru a defini pulsaţia proprie a sistemului se introduce relaţia:
2
ω =
k
m
, (2.12)
în care: ω reprezintă pulsaţia proprie a sistemului vibrant.
Ecuaţia (2.10) are alura:
x& &
( t)
2
+ ω x(
t)
=
0 . (2.13)

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 25
Deoarece vibraţiile unui sistem dinamic, fără a fi acţionat de forţe
perturbatoare, au un caracter armonic, soluţia ecuaţiei (2.13) este:
( t)
= C sin ω t + C cos ω t . (2.14)
x 1
2
Prin derivări succesive se calculează expresiile vitezelor şi
acceleraţiilor:
x&
& ( t)
& ( t)
= C ω cos ω t − C sin ω t , (2.15)
x 1
2
= −C
ω
1
2
sin ω
t − C
2
ω
2
cos ω t . (2.16)
Constantele C 1 şi C se determină din condiţiile iniţiale ale
2
mişcării, pentru o deplasare şi o viteză. Deci, la momentul t = 0 ,
cunoaştem:
⎧x(
0)
= x
t = 0⎨
⎩x&
( 0)
= v
0
0
. (2.17)
Introducând condiţiile (2.17) în relaţiile (2.14) şi (2.15) se obţin
expresiile:
C
v
0
1 = , 2 x0
Cu expresiile (2.18), relaţia (2.14) devine:
ω
C = . (2.18)
v 0
( t)
= sin ω t + x cos ω t
(2.19)
ω
x 0
sau comparând cele două mişcări rezultă:
x ( t)
= A sin( ωt
+ φ)
. (2.20)
Amplitudinea mişcării, notată A, se determină cu relaţia:
iar faza iniţială a vibraţiei, φ :
2
⎛ v 0 ⎞ 2
A = ⎜ + x 0
ω
⎟ , (2.21)
⎝ ⎠
x0ω
φ = arctg . (2.22)
v0
Derivând succesiv relaţia (2.20) se deduc variaţiile vitezelor şi
acceleraţiilor sistemului vibrant:
x&
& ( t)
x & ( t)
= ωA
cos( ω t + φ)
, (2.23)
2
= −ω
A
sin( ω
t +
φ)
2
= −ω
x(
t)
. (2.24)

26
Sisteme cu un grad de libertate dinamică.
Vibraţiile libere
Conform relaţiilor de mai sus, viteza este defazată cu
înaintea deplasării, iar acceleraţia cu π / 2 înaintea deplasării.
π / 2
În figura 2.3 sunt prezentate reprezentările grafice ale
expresiilor: (2.20), (2.23), (2.24).
v =
0
x0
ωx
0
2
ω x0
φ
ω
φ
ω
φ
ω
x(
t )
x& ( t )
x& & ( t )
2
Aω
Aω
A
T
T
T
2π
=
ω
2π
=
ω
2π
=
ω
Fig.2.3. Sistem cu 1GLD. Reprezentarea grafică
a deplasărilor, vitezelor şi acceleraţiilor
Analizând reprezentările grafice constatăm:
a. reprezentările definesc vibraţii armonice;
b. mişcările (deplasări, viteze şi acceleraţii) au aceeaşi pulsaţie
ω şi, deci, aceeaşi pulsaţie T;
t
t
t

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 27
c. vibraţia liberă are un caracter permanent şi de durată infinită,
datorită absenţei forţei de amortizare.
Din studiul relaţiei (2.12) rezultă că pulsaţia proprie de vibraţie,
ω, este o caracteristică intrinsecă a sistemului vibrant, deoarece depinde
de doi parametri de definire ai sistemului: masa, m şi rigiditatea, k. Se
determină cu relaţia:
k
ω = , (2.25)
m
iar dacă înlocuim rigiditatea cu flexibilitatea, deoarece kδ=1, rezultă:
−0
ω = ( mδ)
. 5
. (2.26)
Pulsaţia proprie de vibraţie reprezintă numărul de vibraţii
complete care se produc într-un interval de timp egal cu 2π secunde.
Perioada proprie de vibraţie se identifică cu timpul minim necesar
pentru ca o mişcare simplă periodică sau oarecare să se repete identic.
Se calculează cu relaţia:
2π
T = , [s] . (2.27)
ω
Frecvenţa proprie semnifică numărul de vibraţii complete produse
într-un interval de timp egal cu o secundă, se determină cu expresia:
1 ω -1
f = = , [s ] sau [Hz] . (2.28)
T 2π
2.1.3. Etape pentru calculul caracteristicilor proprii ale
unei vibraţii
Pentru determinarea caracteristicilor proprii de vibraţie ale unui
sistem vibrant se folosesc relaţiile de calcul: (2.25) sau (2.26), (2.27) şi
(2.28), urmând următoarea eşalonare a calculelor:
a) Stabilirea sistemului vibrant. Se pleacă de la sistemul
constructiv real, pentru care se construieşte modelul static
(schema statică a structurii), iar prin concentrarea masei întro
secţiune şi acordarea gradului de libertate semnificativ se
obţine sistemul vibrant (modelul dinamic), cu un GLD.
b) Determinarea flexibilităţii sau a rigidităţii sistemului vibrant:
b.1.) Calculul flexibilităţii, figura 2.4:
i. notaţii: δ sau f;
ii. definiţie – flexibilitatea reprezintă deplasarea măsurată
pe direcţia gradului de libertate dinamică a unui sistem

28
Sisteme cu un grad de libertate dinamică.
Vibraţiile libere
vibrant, produsă de o forţă egală cu unitatea aplicată
în dreptul masei şi pe direcţia gradului de libertate;
−1
iii. unitate de măsură – [ ]
mN ;
iv. schema de calcul, figura 2.4;
m
1
1GLD
MS
MD
m
MD
MD MS
MD
δ
1
1
1
δ
MS
Fig. 2.4. Modele dinamice şi situaţii de încărcare
pentru calculul flexibilităţii
v. relaţie de calcul:
δ
δ
MS

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 29
δ
l
= ∫0
M(
t)
M(
t)
dx . (2.29)
EI
Aplicarea relaţiei (2.29) presupune existenţa a două situaţii
(stări) de încărcare: starea reală şi starea virtuală (fictivă). Starea reală
a fost definită în figura 2.4. Starea virtuală se constituie din structura
dată (schema statică, modelul static) acţionată în dreptul masei şi pe
direcţia pe care dorim să determinăm deplasarea, aici direcţia este tot
direcţie GLD, de o forţă egală cu unitatea. Rezultă că în cazul sistemelor
cu 1GLD cele două stări, reală şi virtuală, coincid;
vi. Metode pentru trasarea diagramelor de eforturi. În
cazul structurilor static nedeterminate, în vederea
trasării diagramelor de eforturi – momente
încovoietoare, se folosesc două metode: a eforturilor
(a forţelor) şi a deplasărilor (deformaţiilor).
b.2.) Calculul rigidităţii, figura 2.5:
i. notaţie: k;
ii. definiţie – rigiditatea reprezintă forţa care aplicată în
dreptul masei şi pe direcţia GLD, produce pe această
direcţie o deplasare egală cu unitatea;
iii. unitate de măsură – [ m N]
1 −
;
iv. scheme de calcul, figura 2.5.
Există două posibilităţi de a afla valoarea unei rigidităţi. Prima
metodă constă în aplicarea definiţiei. Forţa aplicată pe structură, figura
2.5.a sau b, notată k , necunoscută, determină pe direcţia GLD o
deplasare egală cu unitatea. Se aplică metoda Mohr-Maxwell şi se
calculează expresia deplasării produse de forţa k , care prin egalare cu
unitatea evidenţiază o ecuaţie, în care necunoscuta este forţa k . Prin
soluţionarea ecuaţiei se obţine valoarea rigidităţii.
A doua cale pentru găsirea valorii rigidităţii constă în blocarea
deplasării pe direcţia GLD, figura 2.5.c sau d, printr-un blocaj de tip
reazem simplu, pentru deplasarea liniară sau un blocaj de nod, pentru
deplasarea unghiulară. Reacţiunea din blocaj (blocaj de nod sau reazem
simplu), în cazul în care sistemul este acţionat cu o cedare de reazem
egală cu unitatea, în blocajul introdus fictiv, pe direcţia GLD, reprezintă
rigiditatea sistemului.
Prin introducerea blocajelor (pentru deplasări liniare sau
unghiulare) sistemul vibrant îşi măreşte nedeterminarea statică, în cazul
unei structuri static nedeterminată şi devine static nedeterminată, în
cazul unei structuri static determinată.

30
a.
b.
m
a.
k
∆ =1
b.
k
m
MS
∆ =1
1GLD
Sisteme cu un grad de libertate dinamică.
Vibraţiile libere
MD
MD MS MS
Fig. 2.5. Modele dinamice şi situaţii de încărcare
pentru aflarea rigidităţii: a. model dinamic. b. schemă de calcul cu
rigiditatea aplicată ca acţiune; c. schemă de calcul pentru
determinarea rigidităţii ca reacţiune
c) Determinarea pulsaţiei, frecvenţei şi perioadei proprii de
vibraţie:
c.1.) În cazul în care se lucrează cu flexibilitatea sistemului,
pentru aflarea caracteristicilor dinamice se utilizează
relaţiile: (2.26), (2.27) şi (2.28).
c.2.) Atunci când se foloseşte rigiditatea în soluţionarea
unui sistem dinamic cu un grad de libertate
dinamic, la calculul caracteristicilor dinamice se folosesc
expresiile: (2.25), (2.27) şi (2.28).
c.
c.
k
1
1
k
MS

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 31
2.2. Vibraţii libere cu amortizare vâscoasă
Se consideră un sistem vibrant, figura 2.6, definit prin trei
caracteristici:
a) masa (inerţială), m ;
b) disipativă, definită prin intermediul coeficientului de
amortizare vâscoasă, c ;
c) elastică, coeficientul de rigiditate, k .
c
k
x(t)
m
Fig. 2.6. Model dinamic complet
Un astfel de sistem, supus acţiunii unui şoc: deplasare şi viteză
iniţiale, întră în vibraţii libere. Dar, deoarece posedă capacitate de
amortizare, mişcarea sa încetează după un interval de timp, datorită
producerii unei disipări de energie.
forţe:
În ecuaţia de echilibru dinamic instantaneu intervin următoarele
a) forţa de inerţie:
b) forţa de amortizare:
c) forţa elastică:
Fi( t)
Fa( t)
= −mx&
& ( t)
; (2.30)
= cx&
( t)
; (2.31)
Fe ( t)
= kx(
t)
. (2.32)
Ecuaţia de mişcare va avea forma de mai jos:
Fa e i
( t)
+ F ( t)
= F ( t)
(2.33)

32
Sisteme cu un grad de libertate dinamică.
Vibraţiile libere
Se introduce în ecuaţia (2.33) expresiile forţelor, relaţiile (2.30),
(2.31) şi (2.32), şi se obţine ecuaţia:
mx&
& ( t)
+ cx&
( t)
+ kx(
t)
= 0 . (2.34)
Pentru a transforma ecuaţia (2.34) într-o ecuaţie integrabilă, toţi
termenii ecuaţiei se împart prin masa sistemului, , rezultă:
m
şi
Se introduc notaţiile:
iar ecuaţia (2.35) devine:
cu ecuaţia caracteristică:
ale cărei rădăcini sunt:
c k
x&
& ( t)
+ x&
( t)
+ x(
t)
= 0 . (2.35)
m m
x&
& ( t)
c
m
= 2β
(2.36)
k 2
= ω , (2.37)
m
2
+ 2βx&
( t)
+ ω x(
t)
=
r
2
r 1,
2
+ 2βr
+ ω
2
2
=
0 , (2.38)
0 , (2.39)
2
= −β
± β − ω . (2.40)
În funcţie de valoarea discriminantului, distingem următoarele
cazuri de amortizare în sistemul vibrant:
a) amortizare critică când este îndeplinită condiţia:
b) amortizare supracritică:
c) amortizare subcritică:
β
2
2
− ω
β − ω
2
β − ω
2
2
2
=
>
<
0 ; (2.41)
0 ; (2.42)
0 . (2.43)
În cazul amortizării critice valoarea coeficientului de amortizare,
pentru care se anulează discriminantul, poartă denumirea de coeficient
de amortizare critică, notat c . Se introduce expresia (2.36) în relaţia
(2.41):
cr
2
ccr 2
4m
− ω
2
= 0

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 33
de unde
c cr
= 2mω
. (2.44)
Se introduce noţiunea de fracţiune din amortizarea critică, notată
ν , care, prin definiţie, reprezintă raportul dintre coeficientul de
amortizare, c şi coeficientul de amortizare critică, c , astfel:
cr
cr
c
ν = (2.45)
c
sau dacă expresiile (2.36) şi (2.44) se introduc în relaţia (2.45), aceasta
devine:
2mβ
ν = . (2.46)
2mω
Din ultima expresie, se poate pune în evidenţă o relaţie de calcul
pentru coeficientul de amortizare β , funcţie de fracţiunea din
amortizarea critică şi pulsaţia proprie:
β = νω . (2.47)
Mişcarea vibratorie, în cazul amortizării critice, îşi pierde
caracterul vibratori şi poartă denumirea de mişcare aperiodică.
Amortizarea supracritică nu este proprie construcţiilor, mişcarea
sistemului este tot o mişcare aperiodică.
Se vor analiza, în continuare, sistemele vibratorii care posedă
amortizarea subcritică, propriii construcţiilor. Aceste sisteme sunt
caracterizate prin:
şi
c < ccr
ν < 1 ,
iar rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt imaginare:
unde j = − 1
şi
în care
r 1,
2
2
2
= −β
± j ω − β , (2.48)
r 1,2
∗
= −β
± jω
2
ω = ω − β
∗
2
, (2.49)
, (2.50)

34
∗
Sisteme cu un grad de libertate dinamică.
Vibraţiile libere
iar ω reprezintă pulsaţia proprie a sistemului vibrant, când se ia în
considerare amortizarea.
şi
sau
sau
unde
rezultă:
Soluţia ecuaţiei (2.38) este:
x(
t)
x(
t)
x(
t)
= Ae
= e
= Ae
r t
∗
( −β
+ jω
) t
−βt
( Ae
1 +
∗
jω
t
Be
+ Be
r t
2
+ Be
∗
( −β
− jω
) t
∗
−jω
t
(2.51)
(2.52)
) . (2.53)
De asemenea, se poate exprima deplasarea prin relaţia:
x(
t)
−βt
∗
∗
= e ( C1
2
x(
t)
sin ω t + C cos ω t
(2.54)
−νωt
∗ ∗
= Ae sin( ω t + φ ) , (2.55)
2
1
2
2
C C A = + , (2.56)
∗
tg ψ =
C
C
2
1
. (2.57)
Constantele de integrare se determină din condiţii iniţiale:
t = 0
⎧x(0)
= x
⎨
⎩x&
(0) = v
0
0
, (2.58)
v 0 + νωx
0
C1
=
, (2.59)
∗
ω
C = x . (2.60)
2
Mişcarea descrisă de funcţia (2.55) reprezintă o mişcare
*
βt
armonică de pulsaţie ω şi amplitudine Ae , care descreşte
exponenţial în timp şi care se numeşte mişcare pseudoarmonică.
Reprezentarea unei astfel de mişcări este prezentată în figura 2.7.
−
Caracteristicile dinamice proprii ale mişcării sunt:
a) pulsaţia proprie, calculată cu relaţia:
ω *
0
2 2
− β
= ω
(2.61)

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 35
x0
∗
A
∗
− A
∗
φ
∗
ω
x(
t )
βt
Ae −
−
xn
tn tn+
1
xn+
1
βt
Ae −
∗ 2π
T =
− ∗
ω
Fig. 2.7. Reprezentarea grafică a unei mişcări
pseudoarmonice
şi conform expresiei (2.47) rezultă:
b) frecvenţa proprie:
c) perioada proprie:
ω *
f *
T *
2
= ω 1 − ν ; 2.62)
2
= f 1 − ν ; (2.63)
=
T
2
1 − ν
. (2.64)
Experimental s-au obţinut valori ale fracţiunii din amortizarea
critică pentru diferite materiale şi construcţii, acestea sunt prezentate în
tabelul nr.1.
t

36
Sisteme cu un grad de libertate dinamică.
Vibraţiile libere
Tabelul nr.1. Fracţiunea din amortizarea critică
Construcţii şi terenuri ν , fracţiunea din
amortizarea critică
Construcţie cu structura din beton armat monolit 0.02 – 0.14
Construcţie cu structura din zidărie 0.06 – 0.18
Construcţie industrială cu structura monolită 0.02 – 0.06
Poduri din beton armat 0.03 – 0.016
Poduri metalice 0.02 – 0.08
Construcţii masive 0.05 – 0.1
Terenuri de fundare 0.06 – 0.3
Nisip compact 0.1
Analizând global valorile din tabel, se constată că pentru sectorul
de construcţii se poate accepta, referitor la fracţiunea din amortizarea
critică, valoarea:
şi, deci
ω
*
≈
ω,
ν ≈ 0. 2
(2.65)
f
*
≈
f,
T
*
= T . (2.66)
Gradul de amortizare al unei construcţii se defineşte prin
intermediul decrementului logaritmic, notat ∆ .
Decrementul logaritmic al amortizării reprezintă logaritmul
natural al raportului dintre două amplitudinii succesive decalate de o
perioadă, figura 2.7.
si
Dar, se cunoaşte că
x
xn
∆ = ln . (2.67)
x
x
n
= Ae
n+
1
−βt
n
−β
n+
1 = Ae n+
1
Introducând (2.68) şi (2.69) în (2.67) rezultă
(2.68)
. (2.69)
*
* 2π
*
∆ = βT
= νωT
= ν T
(2.70)
T
sau ∆ = 2πν
. (2.71)

Problema 1.1
PROBLEME REZOLVATE 1
SISTEME CU 1 GLD – VIBRAŢII LIBERE
Să se calculeze pulsaţia, perioada şi frecvenţa proprie de vibraţie pentru
următoarele sisteme dinamice.
1.1.1
.
m
1
0.5⋅l 0.5 ⋅l
Fig.1.1
EI = const

38
1.1.3
1.1.2
1
EI=const
1.1.5.
m
h
Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii libere
EI = const
2⋅l l
Fig.1.2
1.1.4.
l
2⋅l
Fig.1.3 Fig.1.4
EA=const.
l
m
1
l l
Fig. 1.5
m
1
h
m
1
0.5⋅h
h

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 39
Tabelul 1.1. Date numerice
Nr.
apl.
E
(Nm -2 )
I
(m 4 )
A
(m 2 )
l
(m)
h
(m)
m
(kg)
F Obs.
1.1.1. 2.1·10 11 5·10 -5 0.375
·10 -1
5.0 - 4·10 -3 10 G=0.4E
EI=c
1.1.2. 2.1·10 11 5·10 -5 - 5.0 - 4·10 -3 10 EI=c
1.1.3. 2.1·10 11 5·10 -5 0.25·
10 -1
- 3.5 4·10 -3 10 G=0.4E
EI=c
1.1.4. 2.1·10 11 5·10 -5 - 5.0 3.5 4·10 -3 10 EI=c
1.1.5. 2.1·10 11 5·10 -5 0.375
·10 -1
5.0 3.5 4·10 -3 10 EI=c
1.2.1. 2.1·10 11 5·10 -5 - 5.0 - 4·10 -3 10 EI=c
1.2.2. 2.1·10 11 5·10 -5 - 5.0 - 4·10 -3 10 EI=c
1.2.3. 2.1·10 11 5·10 -5 - 5.0 - 4·10 -3 10 EI=c
1.2.4. 2.1·10 11 5·10 -5 - 5.0 - 4·10 -3 10 EI=c
1.2.5. 2.1·10 11 5·10 -5 - 5.0 3.5 4·10 -3 0
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
10 EI=c
Breviar teoretic
1. Sistem vibrant, SV
Sistemul vibrant este constituit din următoarele mărimi:
o caracteristica inerţială, masa m[kg];
o caracteristica disipativă, coeficientul de amortizare vâscoasă c
[kgs -1 ];
caracteristica elastică, coeficientul de flexibilitate δ [mN sau
coeficientul de rigiditate k[Nm -1
-1
]
].
2. Flexibilitate, δ
Flexibilitatea reprezintă deplasarea măsurată pe direcţia GLD la
structura acţionată în dreptul masei şi pe direcţia GLD de o forţă egală
cu unitatea. Flexibilitatea se calculează cu relaţia Mohr - Maxwell:
M(
x)
⋅ M(
x)
T(
x)
⋅ T(
x)
N(
x)
⋅ N(
x)
δ=∑ ∫ dx + ∑K∫ dx + ∑∫
dx (1.1).
EI
GA
EA
Flexibilitatea se obţine prin integrarea diagramelor de eforturi M, N, T,
trasate în starea reală, SR, de acţionare a structurii (o forţă egală cu
unitatea aplicată în dreptul masei şi pe direcţia GLD) cu diagramele de
eforturi M, N, T, trasate în starea virtuală, SV, de acţionare a structurii
(o forţă egală cu unitatea aplicat în dreptul secţiunii şi pe direcţia de
determinare a deplasării).
3. Rigiditate, k
Rigiditatea reprezintă forţa care acţionând structura considerată în
dreptul masei şi pe direcţia GLD produce pe acea direcţie o deplasare

40
Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii libere
egală cu unitatea. Rigiditatea se poate determina şi prin inversarea
flexibilităţii:
1
K = (1.2)
δ
Rigiditatea se defineşte şi ca reacţiunea din blocajul introdus pe direcţia
GLD, în structura dată şi în care se produce o cedare egală cu unitatea.
Conform acestei definiţii, rigiditatea se poate calcula prin metodele
Staticii Construcţiilor.
4. Forţe
Forţele care participă la echilibrul dinamic instantaneu, în cazul
vibraţiilor libere neamortizate ale unui SV, sunt:
o forţa de inerţie,
o forţa elastică,
Fi(t) = - m x& & (t);
(1.3)
F e(t) = kx(t);
(1.4)
în care:
x(t) reprezintă deplasarea măsurată pe direcţia GLD;
x& & (t) reprezintă acceleraţia sistemului.
5. Ecuaţia de echilibru
Echilibrul dinamic instantaneu se exprimă prin aplicarea principiului lui
d′Alambert:
- Fi(t) + Fe(t) = 0 (1.5)
sau
- mx& & (t) + kx(t) = 0
Soluţia ecuaţiei de mişcare de mai sus are forma:
în care:
x(t) = A sin(ω t + ϕ) (1.6)
A =
reprezintă amplitudinea mişcării;
2
⎛ V0
⎞ 2
⎜ ⎟ + x0
⎝ ω ⎠
tg ϕ =
apreciază faza iniţială a oscilaţiei (ϕ).
x0ω
V0
Condiţiile iniţiale sunt: x0 şi V0 (deplasarea şi viteza la timpul t=0).

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 41
6. Pulsaţia proprie, ω
Pulsaţia proprie reprezintă numărul de vibraţii complete efectuate de un
SV în timp de 2π secunde. Pentru calculul pulsaţiei proprii se utilizează
relaţia:
ω =
7. Perioada proprie, T. Frecvenţa proprie, f.
k 1
-1
= [rad s ] (1.7)
m mδ
Pentru determinarea perioadei proprii şi frecvenţei proprii se utilizează
relaţiile:
şi
Aplicaţii
Aplicaţia 1.1 (fig.1.1.)
1. Trasarea diagramelor de eforturi
2π
T = [ s]
ω
1 −1
f = [ s ], [ Hz]
T
(1.8)
Se constituie cele două stări de acţionare: starea reală (SR) prin
încărcarea sistemului oscilant în dreptul masei şi pe direcţia GLD cu o
forţă egală cu unitatea şi starea virtuală (SV) prin încărcarea sistemului
cu o forţă egală cu unitatea în secţiunea şi pe direcţia pentru care se
determină deplasarea δ. Diagramele de eforturi se trasează utilizând
metodele din Statica Construcţiilor.
2. Calculul flexibilităţii, δ
Coeficientul de flexibilitate, δ, se determină prin integrarea diagramelor
de eforturi, fig.1.6:
δ (M) =
(T) =
δ
∑∫
M(
x)
⋅ M(
x)
dx =
EI
1
2
EI
⋅
l / 2
3
T(
x)
⋅ T(
x)
1 l 1 1
k dx = 2k
⋅ ⋅ ⋅ =
GA
GA 2 2 2
∑ ∫
δ = δ (M) + δ (T) =
3. Determinarea pulsaţiei proprii, ω
l
48EI
3
+
⋅
l
4
l
k
4GA
⋅
l
4
=
3
l
48EI
l
k
4GA

42
1/2
ω =
1
mδ
l/2
−
Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii libere
1
3
l l
m(
+ k )
48EI
4GA
1,1
δ
l/4
Fig.1.6
l/2
SR SV
T.T
M.M
Înlocuind datele numerice din tabelul 1.1 în relaţiile de mai sus rezultă:
4. Calculul perioadei şi frecvenţei:
δ (M) = 2,480159⋅10 -7 (mN -1 ),
δ (T) = 4,7619048⋅10 -10 (mN -1 ),
ω (M+T) = 31,71858 (rad.s -1 ),
ω (M) = 31,749016 (rad.s -1 ).
T =
2π
( M)
ω
= 0,1979 (s),
1 -1
f = = 5,053 (s ).
T
1/2

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 43
Aplicaţia 1.2, (fig.1.2)
1. Trasarea diagramelor de eforturi M şi M
Diagramele de eforturi în cele două stări de încărcare (SR şi SV) sunt
prezentate în figura 1.7
2. Calculul flexibilităţii, δ
SV
SR
2l l
Fig.1.7
l
M.M
Integrând diagramele de momente, figura 1.8 se obţine valoarea
coeficientului de flexibilitate:
δ =
∑ ∫
M(
x)
⋅ M(
x)
dx =
EI
2l
3EI
l ⋅ l +
l
3EI
3
l
l ⋅ l =
EI
3 şi 4. Determinarea caracteristicilor dinamice, ω, T şi f
Pulsaţia proprie se determină cu relaţia:
ω =
1
mδ
=
EI
3
ml
şi prin aplicarea datelor numerice din tabelul 1.1 rezultă:
δ = 1,1904761⋅10 -5 (mN -1 ), ω = 4,58257(rad.s -1 )
T =
2π 1
−1
1,
3711(
s),
f = = 0,
7293s
ω
T
= .
1,1

44
Aplicaţia 1.3 (fig.1.3)
1. Trasarea diagramelor de eforturi, M şi M
Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii libere
În figura 1.6 sunt trasate cele două diagrame de eforturi.
1,1
SR
SV
2. Calculul flexibilităţii, δ
h
h
Fig.1.8
M.M
Integrând diagramele de eforturi obţinem mărirea coeficientului de
flexibilitate:
δ =
h
3EI
3
+ k
h
GA
şi utilizând datele numerice din tabelul 1.1, rezultă:
δ = 1,36244⋅10 -6 (mN -1 ).
3 şi 4. Determinarea caracteristicilor dinamice, ω, T şi f
Aplicaţia 1.4 (fig.1.4)
ω =
1 =13,546 (rad s -1 )
mδ
2 π
1 -1
T = =0,4628 (s) f = =2,1559 (s ).
T
T
1. Trasarea diagramelor de eforturi, figura 1.9
+
1
T
T

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 45
l 1
=
H 1 =1/3
V1 = h/2l
⎛ h⎞
⎝
⎜
2⎠
⎟
2
2
+ l
l
2. Calculul flexibilităţii, δ
H2=2/3
2l
1,1
V2=4/2l
Fig. 1.9
h/2
h
h/3
M.M
Prin integrarea diagramelor de eforturi, M şi M , rezultă:
δ =
h
3EI
⋅
=
h
3
⋅
1
3EI
h l1
h h 2l
1,
5h
+ ⋅ ⋅ + ⋅ h ⋅ h + ⋅ h ⋅ h =
3 3EI
3 3 3EI
3EI
3
10h
(
9
2
h ⋅ l1
+
9
2
+ 2h
⋅ l)
şi utilizând datele numerice din tabelul 1.1 se obţine:
δ = 5,4339⋅10 -6 (mN -1 )
3 şi 4. Determinarea caracteristicilor dinamice, ω, T şi f
Aplicaţia 1.5 (fig.1.5)
ω = 6,782859 (rad s -1 ),
T = 0,92633 (s),
f = 1,07952 (s -1 ).
1. Determinarea eforturilor din barele structurii
Structura fiind o grindă cu zăbrele articulată în noduri, pentru calculul
eforturilor din bare se foloseşte metoda izolării nodurilor. Cele două stări
de încărcare sunt prezentate în figura 1.10
Eforturile din bare se determină prin echilibrul forţelor ce concură în
nodurile grinzii cu zăbrele, figura 1.11 obţinându-se următorul sistem de
ecuaţii:
h

46
nodul 1:
α
1
V1=1/3
nodul 2:
1
l
2
3
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
∑
∑
x = 0;
N
1
y = 0;
3
4
l
Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii libere
12
cos α
+ N
12
5
+ N
sin α
13
= 0
= 0
V1=1/3 V2=2/3
3
Fig. 1.10
2 4 6
α
α α
α
α
α
5
1
6
α
l
SV
SR
N12 N12 N12 N12 N12 N12 N23
N56
N67
N34 N45
N13
−N
N
12
12
N24
cos ∝ + N
sin ∝ + N
23
N35
Fig.11
⎧
⎪∑
x = 0;
⎨
⎪⎩ ∑ y = 0;
23
cos ∝ + N
sin ∝= 0
24
N46
= 0
N57
7
α
h
7
V2=2/3

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 47
nodul 3:
nodul 4:
nodul 5:
nodul 6:
−N
N
N
−N
N
23
34
−N
45
13
24
35
− N
23
⎧
⎪∑
x = 0;
⎨
⎪⎩ ∑ y = 0;
cos ∝ + N
cos( 90−
∝)
+ N
− N
34
sin ∝ + N
− N
45
sin ∝ + N
−N
N
56
46
− N
34
35
⎧
⎪∑
x = 0;
⎨
⎪⎩ ∑ y = 0;
cos ∝ −N
45
46
N
sin ∝= 0
⎧
⎪∑
x = 0;
⎨
⎪⎩ ∑ y = 0;
cos ∝ + N
56
57
34
cos ∝= 0
cos( 90−
∝)
= 0
− N
+ N
45
56
sin ∝ −1
= 0
⎧
⎪∑
x = 0;
⎨
⎪⎩ ∑ y = 0;
56
sin ∝ + N
cos ∝ + N
57
57
sin ∝= 0
cos ∝= 0
cos ∝= 0
cos ∝= 0
Tabelul 1.2.
Bare i,j li,j (m) EA (N) Ni,j, Ni,j (N) Ni,j·Ni,j·li,j
1.2 4,3 7.875⋅10 8 -0.4095 0.721
1,3 5,0 0.238 0.283
2,3 4,3 0.4095 0.721
2,4 5,0 -0.476 1.133
3,4 4,3 -0.4095 0.721
3,5 5,0 0.714 2.549
4,5 4,3 0.4095 0.721
4,6 5,0 -0.952 4.532
5,6 4,3 0.819 2.884
5,7 5,0 0.476 1.133
6,7 4,3 -0.819 2.894
EAi,jδ=ΣNi,jNi,j
10.282

48
nodul 7:
⎧
⎪∑
x = 0;
⎨
⎪⎩ ∑ y = 0;
−N57
− N67
cos ∝= 0
2
+ N67
sin ∝= 0
3
Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii libere
Rezolvând sistemele de ecuaţii de mai sus şi utilizând datele numerice
din tabelul 1.1, se obţin eforturile axiale din tabelul 1.2.
2. Calculul flexibilităţii, δ
În cazul structurilor cu zăbrele cu barele articulate în noduri, coeficientul
de flexibilitate se determină cu relaţia:
Ni,
jNi,
j
δ = ∑ li,
j
EA
i,
j
şi folosind datele din tabelul 1.2 rezultă:
18,
282
δ = 2,
3215
8
7,
875 10
= (mN
⋅
-1 ).

3.1 Vibraţii forţate neamortizate
CAPITOLUL 3
SISTEME VIBRANTE CU 1GLD
Se consideră un sistem vibrant cu 1GLD acţionat de o forţă
perturbatoare de tip armonic, figura 3.1.
Forţele care îşi fac echilibru sunt:
a) forţa de inerţie
Fi( t)
= −mx&
& ( t)
; (3.1)

50
b) forţa elastică
c) forţa perturbatoare
Sisteme vibrante cu 1GLD.
Vibraţii forţate neamortizate
Fe ( t)
= kx(
t)
; (3.2)
F 0
( t)
= F sin θt
. (3.3)
F(t)
k
x(t)
m
Fig. 3.1. Sistem vibrant acţionat
de o forţă armonică
Conform principiului lui d’Alembert ecuaţia de echilibru dinamic
instantaneu va avea forma:
Fe i
( t)
= F ( t)
+ F(
t)
(3.4)
sau înlocuind expresiile forţelor, relaţiile (3.1), (3.2) şi (3.3), în ecuaţia
(3.4), aceasta devine:
x&
& ( t)
+ kx(
t)
= F sin θt
. (3.5)
m 0
Se împarte fiecare termen al ecuaţiei prin masa sistemului
vibrant şi se obţine o nouă formă a ecuaţiei
F
x&
& 2
0
( t)
+ ω x(
t)
= sinθt
. (3.6)
m
Soluţia generală a ecuaţiei (3.6) este:
x L F
( t)
= x ( t)
+ x ( t)
, (3.7)
unde: ( t)
reprezintă soluţia ecuaţiei omogene corespunzătoare
x L
vibraţiilor libere şi are forma:
xL 1
2
( t)
= C sin ωt
+ C cos ωt
; (3.8)

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 51
xF( t)
- soluţia particulară, corespunde perturbaţiei armonice şi
reprezintă răspunsul forţat al sistemului, se prezintă sub forma:
xF ( t)
= M sin θt
+ N cos θt
. (3.9)
Această soluţie, relaţia (3.9), trebuie să satisfacă ecuaţia
mişcării (3.6). Pentru aceasta, soluţia (3.9) se derivează succesiv de
două ori:
şi
x
&&&
F
x& F ( t)
= Mθ
cos θt
- Nθ
sin θt
( t)
=
- Mθ
2
sin θt
- Nθ
2
(3.10)
cos θt
. (3.11)
Introducând expresiile (3.9), (3.10) şi (3.11) în ecuaţia (3.6) se
obţine:
sau
2
2
F0
− θ ( M sin θt
+ N cos θt)
+ ω ( M sin θt
+ N cos θt)
= sin θt
(3.12)
m
M(
ω
2
2
2 2 F0
− θ ) sinθt
+ N((
ω − θ ) cos θt
= sin θt
. (3.13)
m
Prin identificarea coeficienţilor funcţiilor trigonometrice se
determină constantele M şi N :
şi
sau
şi
M(
ω
N((
ω
Soluţia particulară devine:
iar cea generală:
şi
X ( t)
2
2
2 F0
− θ ) =
(3.14)
m
2
− θ ) cos θt
= 0
(3.15)
F0
M = (3.16)
2 2
m(
ω − θ )
N = 0
(3.17)
F0
( t)
= sin θt
, (3.18)
2
m(
ω − θ )
x F 2
F0
= C1
sin ωt
+ C2
cos ωt
+
sin θt
(3.19)
2 2
m(
ω − θ )

52
m(
ω
F
0
2
Sisteme vibrante cu 1GLD.
Vibraţii forţate neamortizate
F θ
X&
0
( t)
= C1ω
cos ωt
− C 2ω
sin ωt
+
cos θt
. (3.20)
2 2
m(
ω − θ )
Constantele C 1 şi C 1 se determină din condiţii iniţiale:
⎧x(
0)
= x0
t = 0⎨
. (3.21)
⎩x&
( 0)
= v 0
Conform relaţiilor (3.19), (3.20) şi (3.21) rezultă:
Soluţia generală ia forma:
C
1
v0
θ F0
= −
, (3.22)
ω ω 2 2
m(
ω − θ )
C = x . (3.23)
v0
F0
X ( t)
= sin ωt
+ x0
cos ωt
+
(sin θt
−
ω
2 2
m(
ω − θ )
În regim staţionar soluţia este:
F0
X ( t)
=
(sin θt
−
2 2
m(
ω − θ )
2
0
θ
sin ωt)
ω
θ
sin ωt)
ω
. (3.24)
. (3.25)
Factorul adimensional al relaţiei (3.25) se rearanjează sub forma:
− θ
2
)
=
mω
2
F
0
2
θ
( 1 −
ω
2
)
=
k
ω
2
F
0
2
2 θ
ω ( 1 −
ω
2
)
=
F
0
k
1
2
θ
( 1 −
ω
2
= µδF
,(3.26)
unde µ poartă numele de coeficient dinamic sau factor de amplificare
dinamică, se determină cu relaţia:
1
µ = . (3.27)
2
θ
1 −
2
ω
Cu notaţiile de mai sus, expresia deplasării dinamice, x(
t)
se
determină cu relaţia:
θ
X ( t)
µ F δ(sin
θt
− sin ωt)
ω
= 0 . (3.28)
Luând în considerare faptul că vibraţiile proprii se amortizează
(sunt caracterizate, după cum rezultă în relaţia (3.28), prin funcţia
sin ωt
) relaţia de mai sus se simplifică devenind:
X 0
( t)
= µ F δ sin θt
. (3.29)
0

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 53
3.2. Vibraţii forţate amortizate
Se consideră un sistem vibrant, alcătuit prin asocierea a trei
caracteristici: inerţială, disipativă şi elastică, acţionat de o forţă
perturbatoare, figura 3.2.
sau
şi
sau
Ecuaţia mişcării este:
F(t)
k,c
x(t)
m
Fig. 3.2. Sistem vibrant complet
acţionat de o forţă armonică
F 0
( t)
= F sin θt
. (3.30)
x&
& ( t)
+ cx&
( x)
+ kx(
t)
= F sin θt
(3.31)
m 0
c k F
x&
&
0
( t)
+ x&
( t)
+ x(
t)
= sinθt
(3.32)
m m m
F
x&
&
2
0
( t)
+ 2 βx&
( t)
+ ω x(
t)
= sin θt
. (3.33)
m
Soluţia generală a ecuaţiei (3.33) are forma:
x L F
Soluţia vibraţiilor libere este:
( t)
= x ( t)
+ x ( t)
. (3.34)
βt
*
*
X ( t)
= e ( C sin ω t + C cos ω t)
−
L 1
2
x
L
( t)
= Ae
−βt
Soluţia particulară se adoptă de forma:
*
*
(3.35)
sin( ω t + φ ) . (3.36)

54
xF ( t)
Sisteme vibrante cu 1GLD.
Vibraţii forţate neamortizate
= M sin θt
+ cos θt
, (3.37)
Soluţie (3.37) trebuie să verifice ecuaţia (3.33) şi astfel se
determina constantele de integrare (M şi N):
sau
( M(
ω
2
− Mθ
- θ
2
)
2
sin θt
+ Mω
− Nθ
2
2
sin θt
cos θt
+
+ Nβω
- 2Nβθ)
sin θt
+ ( N(
ω
2
2
2β(
Mθ
cos θt
cos θt
- θ
2
=
F
0
m
−
Nθ
sin θt)
sin θt
) + 2Mβθ)
cos θt
+
F0
=
m
sin θt
(3.38)
.(3.39)
Constantele M şi N se determină prin identificarea coeficienţilor
funcţiilor trigonometrice din relaţia (3.39):
M(
ω
2
N(
ω
2
- θ
2
- θ
2
F0
) - 2Nβθ
=
m . (3.40)
) + 2Mβθ
= 0
Constantele de integrare se obţin prin rezolvarea sistemul de
ecuaţii (3.40), astfel:
N =
M =
F0
2βθ
- , (3.41)
m 2 2 2 2 2
( ω - θ ) + 4β
θ
F
0
m
( ω
2
( ω
- θ
2
2
- θ
)
2
2
)
+ β
2
θ
2
. (3.42)
Se introduc constantele (3.41) şi (3.42) în expresia soluţiei
particulare (3.37) şi se obţine soluţia vibraţiilor forţate:
unde
( t)
= A sin( θt
− ψ ) , (3.43)
xF 1
1
sau introducând relaţiile (3.41) şi (3.42), rezultă:
în care
şi
µ *
1
2
2
A = N + M
(3.44)
A1 = δF0
µ
*
(3.45)
=
1
(3.46)
2
θ 2 2
( 1 − ) + 4ν
2
ω
2
θ
2
ω

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 55
*
θ
2ν
N
tgψ
ω
1 = − = . (3.47)
M θ
1 −
ω
Parametrul µ poartă numele de factor de amplificare dinamică şi
se calculează în funcţie de amortizarea sistemului.
Soluţia generală are forma:
νωt
*
*
X( t)
= e ( C1
sin ω t + C2
cos ω t)
+ δF0µ
* sin( θt
ψ1)
. (3.48)
Constantele C1 şi C 2 se determină din condiţii iniţiale:
Se deduc constantele:
⎧x(
0)
= x0
t = 0⎨
. (3.49)
⎩x&
( 0)
= v 0
θ β
C1 = −M
− N , (3.50)
* *
ω ω
C 2 = −N
. (3.51)
3.3. Etape de calcul pentru trasarea diagramelor de
eforturi maxime şi minime în cazul vibraţiilor forţate
În vederea trasării diagramelor de eforturi minime şi maxime,
pentru modelele dinamice ale unor structuri, se parcurg următoarele
etape de calculul:
−1
a) Se determină rigiditatea sistemului, [ Nm ]
k ;
b) Se calculează pulsaţia proprie de vibraţie, ω , cu relaţia:
k
m
−1
ω = , [ ]
rads ;
c) Se determină factorul de amplificare dinamică, µ , aplicând
relaţia (3.26) sau (3.46), după cum luăm sau nu în considerare
amortizarea în procedura de calcul;
d) Se încarcă structura dată, sistemul dinamic, cu amplitudinea
forţei de inerţie şi amplitudinea forţei perturbatoare.
Dacă forţa perturbatoare este aplicată în dreptul masei şi pe
direcţia GLD, atunci cele două forţe se însumează formând aşa zisa forţă
dinamică, notată F ( t)
, deci:
d

56
sau
Fd i
( t)
= F ( t)
+
F(
t)
Sisteme vibrante cu 1GLD.
Vibraţii forţate neamortizate
( t)
= −mx&
& ( t)
+ F sin θt
, (3.52)
F d 0
iar utilizând relaţia (3.29), expresia (3.52) devine:
ori
Fd( t)
= mµδF0θ
sinθt
+ F0
2
F d 0
sinθt
(3.53)
( t)
= µ F sin θt
. (3.54)
Amplitudinea forţei dinamice se calculează cu relaţia:
în cazul vibraţiilor forţate neamortizate şi cu relaţia:
Fd = µ F0
, (3.55)
F
d =
în cazul vibraţiilor forţate amortizate.
µ
*
F0
, (3.56)
Pentru trasarea diagramelor de eforturi minime şi maxime, forţa
dinamică are dublu sens.
3.4. Vibraţii forţate produse de forţe perturbatoare în
alte situaţii de încărcare
Se vor analiza mai multe situaţii de încărcare:
a) Acţiunea unei forţe perturbatoare aplicată pe sistem în altă
secţiune decât în cea în care este concentrată masa, figura 3.3.
Pentru aflarea răspunsului în deplasări al sistemului vibrant
acţionat de o forţă perturbatoare armonică în secţiunea k se utilizează
relaţiile (3.29), în cazul vibraţiilor forţate neamortizate şi (3.43)
coroborat cu (3.45), în cazul vibraţiilor amortizate. Rezultă expresiile:
şi
x j jk 0,
k
( t)
= µδ F ( t)
sinθt
(3.57)
*
x j( t)
= µ δ jkF0,
k(
t)
sin( θt
− φ1)
. (3.58)
b) Acţiunea mai multor forţe de aceeaşi pulsaţie, de forma
Fk 0,
k
( t)
= F sinθt
(3.59)

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 57
j
m
1
δii
δik
x j (t)
Fig. 3.3. Sistem vibrant încărcat cu o forţă perturbatoare
k
Fk ( t ) = F0,
k
1
sin θt
Răspunsul în deplasări se calculează cu expresia (3.29), în cazul
vibraţiilor forţate neamortizate, şi (3.43) coroborat cu (3.45), în cazul
vibraţiilor amortizate. Se deduc relaţiile:
şi
x
j
x
( t)
( t)
j
= µ
= µ
n
*
∑
k = 1
m
∑
k = 1
δ
δ
F
F
jk 0,
k
jk 0,
k
( t)
sinθt
( t)
sin( θt
(3.60)
− φ ) . (3.61)
c) Acţiunea mai multor forţe perturbatoare de pulsaţii diferite:
Fl 0,
l i
1
( t)
= F sinθ
t
(3.62)
Fk 0,
k k
( t)
= F sinθ
t . (3.63)
Pentru aflarea răspunsului în deplasări se folosesc relaţiile (3.29),
(3.43) şi (3.45). Se găsesc relaţiile:
sau
şi
x
j
x j l jl 0 , l
l k jk 0,
k
k
( t)
( t)
= µ δ F ( t)
sinθ
t + µ δ F ( t)
sinθ
t (3.64)
=
n
∑
k = 1
µ
k
δ
F
jk 0,
k
( t)
sin
θ
k
t
k = 1,2,....., n
, (3.65)

58
unde
şi
x
( t)
j
=
∑ n
*
µ k
k=
1
referitor la relaţia (3.65) şi
în ceea ce priveşte expresia (3.66),
µ
*
k
µ
δ
k
jk
F
0
, k
sin( θ
k
t - φ
1
)
Sisteme vibrante cu 1GLD.
Vibraţii forţate neamortizate
(3.66)
1
= (3.67)
2
θk
1 −
2
ω
1
µ l = , (3.68)
2
θl
1-
2
ω
=
1
, (3.69)
2
θk
2 2
( 1 − ) + 4ν
2
ω
2
θk
2
ω
-0.
5
jj )
iar . (3.70)
δ m ( = ω

Problema 2.1
PROBLEME REZOLVATE 2
SISTEME CU 1 GLD – VIBRAŢII FORŢATE
Pentru următoarele structuri acţionate de încărcarea gravitaţională, Q şi
forţa perturbatoare, F(t), să se traseze diagramele de eforturi maxime şi
minime, în regim staţionar, figurile 2.1 – 2.4.
2.1
F(t)=F0sinθt
m
0.5l 0.5l
Fig.2.1
EI=const

60
2.2.
2.3.
2.4
Problema 2.2
EI=const
Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii forţate
F(t)=F0sinθt
2l l
Fig.2.2
EI=const
l 2l
l
EI=const
.
Fig.2.3
2l
m
Fig.2.4
F(t)=F0sinθt
F(t)=F0sinθt
l
0.5l
Să se reprezinte grafic vibraţiile masei m exprimate în deplasări, viteze
şi acceleraţii pentru:
2.1. Vibraţiile libere neamortizate ale sistemului vibrant2.1, x0=0.02m şi
v0=1ms -1 ;
2.2. Vibraţiile libere amortizate ale sistemului 2.1, x0=0.02m, v0=0.5ms -
1 şi ν=0.1;
2.3. Vibraţiile forţate în regim staţionar de acţionare a forţei
perturbatoare ale sistemelor din figurile 2.2- 2.5
2l
m
m

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 61
Problema 2.3
2.5.
2EI
l
EI
F(t)=F0sinθt
EI
EI
m
Fig.2.5 Cadru static nedeterminat
0.5h
Să se determine presiunile pe talpa unei fundaţii paralelipipedice din
beton care susţine o maşină cu greutatea Q1 şi care produce o încărcare
dinamică pe verticală F(t)=F0sinθt, figura 2.6.
Q1
Q2
2.00m
F(t)
1.50m
2.00m
Fig.2.6 Fundaţie de maşini
h

62
Breviar teoretic
1. Forţe
Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii forţate
Forţele care intervin în echilibrul dinamic instantaneu în cazul vibraţiilor
forţate cu amortizare vâscoasă, sunt următoarele:
o forţa de inerţie
o forţa de amortizare
o forţa elastică
o forţa perturbatoare
2. Ecuaţii de condiţie
Ecuaţia de mişcare va avea forma finală:
unde s-au introdus notaţiile:
β reprezintă un factor de amortizare
F i(t) = - m·
x & ( t)
(2.1)
F a(t) = c·
x &(
t)
(2.2)
F e(t) = k·x(t)
(2.3)
F(t) = F0·sinθt (2.4)
F
x&
&
2 0
( t)
+ 2βx&
( t)
+ ω x(
t)
= sinθt
(2.5)
m
c
2β
= ,
m
k
ω
m
2 = ,
pulsaţia proprie a sistemului oscilant neamortizat.
3. Răspunsul exprimat în deplasări
Răspunsul forţat staţionar, fără a considera amortizarea se determină cu
expresia:
θ
x(t) = µ F0δ(sinθt − sinθt)
(2.6)
ω
sau
considerând numai influenţa răspunsului forţat.
x(t) = µ·F0·δ·sinθt, (2.7)

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 63
În expresiile de mai sus cu µ s-a notat coeficientul dinamic sau
factorul de amplificare dinamică care se determină cu relaţia:
în care p = θ/ω.
1 1
µ = =
(2.8)
θ 2
2
1 − ( ) 1 − p
ω
Răspunsul forţat, în cazul vibraţiilor forţate cu amortizare, se
calculează cu relaţia:
x(t) = µ ∗ F0·δ·sin(θt - ϕ) = X0·sin(θt - ϕ ∗ ) (2.9)
unde factorul dinamic cu considerarea amortizării este:
µ ∗ =
( 1
1
2 2 2 2
− p ) + 4ν
p
şi x0=µ ∗ F0δ reprezintă amplitudinea deplasării forţate, iar:
ϕ ∗ = arc tg
2νp
1 − p
în care factorul sau procentul din amortizarea critică ν are expresia:
ν =
c
c
cr
=
ν%
4. Răspunsul exprimat în eforturi
2βm
2ωm
=
c
c
cr
=
β
ω
100
2
=
Λ
2π
(2.10)
(2.11)
Pentru trasarea diagramelor de eforturi maxime şi minime, în cazul unui
sistem oscilant acţionat de forţe perturbatoare, structura se încarcă cu
următoarele forţe:
- amplitudinea forţei de inerţie, I0:
F & θ 2 i(t) = - m x& (t) = m µF0·δ·sinθt (2.12)
- amplitudinea forţei perturbatoare,
- forţa gravitaţională,
I ·θ 2 µ·F0·δ = m·θ 2 0 = m
·X0 (2.13)
F ·sinθt);
0 (F(t) = F0
G = m·g.

64
Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii forţate
Obs. 1. In cazul vibraţiilor forţate cu amortizare în relaţiile de mai sus se
înlocuieşte µ cu µ ∗ .
Obs. 2. In cazul în care forţa perturbatoare este aplicată în dreptul
masei pe direcţia GLD, primele două forţe de mai sus se înlocuiesc cu
amplitudinile forţei dinamice, Fd:
cu amplitudinea:
sau
Aplicaţii
Aplicaţia 2.1
1-3. Calculul pulsaţiei proprii, ω
Conform aplicaţiei 1.1.1
F d(t) = F(t)+Fi(t)
(2.14)
F d = ±µF0;
F ±µ ∗ d = F0 (2.15)
δ=2,480159⋅10 -7 mN -1
ω=31,749016 rad s -1
4. Determinarea factorului de amplificare dinamică, µ
1
1
µ= =
= 1,
657895
θ 2
20 2
1 − ( ) 1 − (
)
ω 31,
744016
5. Calculul forţei dinamice, Fd
Amplitudinea forţei dinamice se calculează cu relaţia:
F µFo=1,657895⋅10 4
d = N;
iar forţa gravitaţională:
Q = mg = 4⋅10 3 ⋅9,81=3,924⋅10 4 N
6. Trasarea diagramelor de eforturi maxime şi minime
Diagramele de eforturi se trasează prin suprapunerea efectelor şi sunt
prezentate în figura 2.7.
Aplicaţia 2.2
1-3. Calculul pulsaţiei proprii, ω
Conform aplicaţiei 1.2:
δ=1,1905⋅10 -5 mN -1
ω=4,5826 rad S -1

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 65
4. Determinarea factorului de amplificare dinamică, µ
1
µ =
θ
1 −
ω
5. Calculul forţei dinamice, Fd
2
2
1
=
9
1 − ( )
4,
5826
Amplitudinea forţei dinamice, Fd, rezultă:
iar a forţei gravitaţionale
Fig.2.7
±Fd
Q
2
=
−0,
35
Mmax
(Fd+Q)l/4=6.97737⋅10 4 N⋅m
F µFo = -3,5⋅10 3
d = N
Tmax
l/2(Fd+Q)=2.79095⋅10 4 N
Mmin
(Q-Fd)l/4=2.8326⋅10 4 N⋅m
Q=mg=4⋅10 3 ⋅9,81=3,924⋅10 4 N
l/2(Q-Fd)=1.133⋅10 4 N
6. Diagramele de eforturi maxime şi minime: Mmax şi Mmin
Tmin

66
Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii forţate
Diagramele de momente încovoietoare sunt prezentate în figura 2.8.
Aplicaţia 2.3
Q
(Fd+Q)l=1.787⋅10 5 N⋅m
(Q-Fd)l=2.137⋅10 5 N⋅m
Fig.2.8
1. Calculul factorului de amplificare dinamică, µ.
Mmax
Mmin
±Fd
Diagrama de momente pentru calculul flexibilităţii este trasată în
figura 2.9.
Coeficientul de flexibilitate rezultă:
iar pulsaţia proprie
şi factorul de amplificare:
3
11l
−6
−1
δ = = 2,
72817 ⋅10
mN ,
48EI
1
µ =
θ
1 −
ω
2
ω = 9,57269 rad s -1
2
1
=
7
1 − ( )
9,
57269
2. Determinarea răspunsului exprimat în deplasări
2
=
2,
14925
y(t)=µF0 δ sinθt=0,0586352 sin7t

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 67
l/4
Fig.2.9
y d = µF0 δ=0,0586352m
Deplasarea produsă de forţa gravitaţională
l/2
Y δ = 4⋅10 3 ⋅9,81⋅2,72817⋅10 -6
Q = Q
YQ = 0,1070534 m
Deplasările finale (maxime şi minime) rezultă:
Ymax = Yd+YQ=0,1656886m
Ymin = YQ-Yd=0,0484182m
3. Determinarea răspunsului exprimat în eforturi
Calculăm valorile forţelor maxime şi minime:
F µF0 = 2,14925⋅10 4
d = N
Q = mg = 3,924⋅10 4 N
F ⋅10 4 max = Q + Fd = 6,07325 N
F ⋅10 4 min = Q - Fd = 1,77475 N
şi trasăm diagramele de eforturi, figura 2.10.
Aplicaţia 2.4
1. Calculul flexibilităţii, δ
M,M
Constituim cele două stări de acţionare: reale şi virtuale, figura 2.11.
1,1

68
7.59156⋅10 4
4.436875⋅10 4 N⋅m
2.2184375⋅10 4 N⋅m
Q
Fig.2.10
Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii forţate
1.1
15.183⋅10 4
l 2l l 2l
Fmax
Mmax
Fmin
SR, SV
1 SV
1.1
1 2 3 4
Fig.2.11
Mmin

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 69
Diagramele de momente M, M vor fi trasate prin procedeul distribuirii şi
transmiterii momentelor, figurile 2.12, 2.13 şi 2.14.
Determinăm rigidităţile la rotire, rigidităţile nodurilor, factorii de
distribuţie şi momentele de încastrare perfectă:
-1111.0672
-1.0196
-33.1366
-1076.911
K
K
21 =
32 =
3EI
l
1111.0672
-1.0196
1.4728
-14.7279
47.8645
-478.6444
-444.444
1111.111
0.6923 0.3077
K2 = K21+K23 =
K
21
d21 = = 0,
6923
K2
K23 =
4 EI
3l
4 EI
K3 = K32+K34 =
3l
K
32
d32 = = 0,
4
K3
K
-1481.4808
0.0906
-0.2266
2.9456
-7.3639
95.7289
-239.3222
888.888
-2222.222
Fig.2.12
34 =
4 EI
2l
0.4 0.6
13EI
3l
10EI
3l
1481.4808
0.136
4.4183
143.5933
1333.3332
740.7404

70
2
K34
d34 = = 0,
6
K
Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii forţate
Pab 1 ⋅ 2l
⋅ l 2
M23 = = = l = 1,
11111Nm
2
2
l ( 3l)
9
2
2
Pa b 1 ⋅ ( 2l)
⋅ l 4
M32 = =
= l = 2,
22222Nm
2
2
l ( 3l)
9
Verificarea diagramei M:
∑ ∫
3
2
M1M l
2l
dx = − ⋅ 1,
111067 ⋅ 1 + ( −2
⋅ 1,
111067 ⋅ 1 +
EI 3EI
6EI
l
+ 2 ⋅ 1,
975324 ⋅ + 1 ⋅ 1,
975324 −
3
1
l
1
− ⋅ 1,
111067)
+ ( 2 ⋅ 1,
975324 ⋅ −
3
6EI
3
l
= ( 7,
901296 − 7,
90094)
6EI
ε
T
1.11067
1.975324
M,M
1
⋅ 1,
481481)
=
3
1.111067 1.481481
1
2l l
Fig.2.13
1.481481
0.7074
7,
901296 − 7,
90094
−3
% = ⋅ 100 = 4,
5 ⋅ 10 < 0,1
7,
901296
Calculăm coeficientul de flexibilitate:

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 71
δ =
1
1/3
1
l 2l l 2l
∑ ∫
Fig.2.14
M
l
2l
dx = ⋅ 1,
111067 ⋅ 1,
111067 +
EI 3EI
6EI
2
+ 2 ⋅ ( 1,
975324)
−
l
− 2 ⋅ 1,
111067 ⋅ 1,
975324)
+
6EI
− 2 ⋅ 1,
975324 ⋅ 1,
481481 +
+
=
l
6EI
⋅ 2 ⋅ ( 1,
481481)
27,
16049927
l
6EI
+ 2 ⋅ ( 0,
74074)
2 ⋅ ( 1,
975324)
2 2
2
ω =
δ=2,155595⋅10 -6 mN -1
1
mδ
= 10,
7693radS
2
2
⋅ ( 2 ⋅ ( 1,
111067)
+ 2 ⋅ ( 1,
481481)
− 2 ⋅ 1,
481481 ⋅
2. Determinarea factorului de amplificare dinamică, µ.
−1
µ ∗ 1
= = 1,
72072
2
2
7 2
2 7
( 1 −
) + 4(
0,
05)
2
2
10,
4693
10,
7693
F µ ∗ Fo=1,72072⋅10 4
d = N
3. Determinarea răspunsului în eforturi
2
0,
74074
Cunoscând mărimea forţei dinamice se determină forţele maxime şi
minime:

72
6.27166⋅10 4
2.448⋅10 4
Fig.2.15
Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii forţate
8.36254⋅10 4
4.18127⋅10 4
11.15015⋅10 4
4.35219⋅10 4
Fmax=Q+Fd=4⋅10 3 ⋅9,81+1,72072⋅10 4 =5,64472⋅10 4 N
3.26412⋅10 4
1.63206⋅10 4
min=Q-Fd=3,924⋅10 4 -1,72072⋅10 4 =2,20328⋅10 4 N
iar diagramele de eforturi sunt trasate în figura 2.15.
Aplicaţia 2.5
1. Calculul flexibilităţii,δ
Pentru calculul coeficientului de flexibilitate utilizăm metoda
forţelor, figura 2.16.
1,1
SR,
SV
SV
1
Fig.2.16.a.
SR
1

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 73
h/2
h
EI
1,1
2E EI
x1
l x2
Calculul coeficienţilor:
(h+l)
l
δ
δ
M3,M3
δ
11
12
h
1,1
22
Verificarea coeficienţilor:
h h
M1,M1
Fig. 2.16.b.
1,1
M1M1
h h l
= ∑∫ dx = +
EI 2EI
EI
M1M2
l h
= ∑∫ dx = +
EI 2EI
1,1
Fig. 2.16.c.
2
3
h/2
3h/2
M2M2
l
= ∑∫ dx = +
EI 3EI
3
2
2
l
h l
4EI
2
l h
2EI
Mp
1,1
M2,M2
h/2
1,1

74
δ
ss
δ
ss
= δ
11
+ 2δ
Calculul termenilor liberi:
12
+ δ
22
=
Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii forţate
3
h
3EI
3
+
3
l
3EI
+
2
3hl
2EI
+
2
3h
l
2EI
MsMs
h l 3hl
3h
l
= ∑∫ dx = + + +
EI 3EI
3EI
2EI
2EI
∆ 1p
∆ 2p
Verificarea termenilor liberi:
∆
∆ sp
sp
M1Mp
h l
= ∑∫ dx = − −
EI 2EI
M2Mp
hl
= ∑∫ dx = − −
EI 4EI
= ∆ + ∆
1p
Sistemul de ecuaţii de condiţie:
2p
3
3
2
5h
= − −
24EI
2
2
hl
4EI
2
3
5h
24EI
2
h l
2EI
2
h l
+
EI
MsMp
5h
hl h l
= ∑∫ dx = − − +
EI 24EI
4EI
EI
⎪⎧
δ
⎨
⎪⎩
δ
11
21
X
X
1
1
+ δ
+ δ
12
22
X
X
2
2
+ ∆
3
+ ∆
1p
2p
= 0
= 0
Pentru datele din tabelul nr. 1 şi expresiile coeficienţilor şi
termenilor liberi determinate mai sus, rezultă soluţia:
X1=0,0777927
X2=0,5608432
Diagrama de momente finale se determină prin suprapunerea
efectelor, figura 2.17.
Mf(x)=M1(x) ⋅X1+M2(x)⋅X2+Mp(x).
Verificarea diagramei finale de momente:
- deplasarea după direcţia necunoscutei X1:
∆ X1
=
∑∫
M2Mf 15,
42682342 − 15,
42684033
dx =
EI
EI
ε
T
A − B
% = 100 = 1,
096 ⋅10
A
−4
2
2
< 0,
1%
2
A − B
=
EI

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 75
1.3264
1.75
2.4457
Mf
Mf
1.477726
0.27227
Fig. 2.17
- deplasarea după direcţia necunoscutei X2:
∆ X2
=
∑∫
h/2
3h/2
M2Mf 16,
85747708 − 16,
85749667
dx =
EI
EI
ε
T
% =
1,
162
⋅ 10
−4
< 0,
1%
Prin integrarea diagramelor de momente M f şi M f , rezultă:
MfMf
7,
8013729
−7
δ = ∑∫ dx =
= 7,
429879 ⋅10
( m)
EI
EI
sau prin integrarea diagramelor M f şi M , rezultă:
M
f 7,
80126
−7
δ = ∑∫ dx = = 7,
429879 ⋅ 10 ( m)
EI EI
2. Determinarea factorului de amplificare dinamică,
∗
µ =
( 1
1
ω =
2
2
θ 2 2 θ
− ) + 4ν
2
2
ω
ω
1
mδ
=
=
( 1
−1
18,
34337(
rad.
s )
1
2
2
12 2
2 12
−
) + 4 ⋅ 0,
05
2
2
18,
34337
18,
34337
µ ∗ =1,556393
M
1

76
3. Determinarea răspunsului în eforturi
Calculăm forţa dinamică:
F µ Fo=1,556393⋅10 4
d = (N)
iar diagramele de eforturi sunt trasate în figura 2.18.
2.06524⋅10 4
0.423765⋅10 4
3.8066⋅10 4
Problema nr. 2.2
Aplicaţia 2.6
Mmax
Fd
Q
2.72⋅10 4
2.299922⋅10 4
3.8⋅10 4
Fig.2.18
Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii forţate
2.06524⋅10 4
2.723687⋅10 4
Mmin
Q Fd
2.29⋅10 4
0.42⋅10 4
Variaţiile deplasărilor, vitezelor şi acceleraţiilor masei m a unui sistem cu
1 GLD se determină cu expresia:
unde:
x(t) = A sin(ωt + ϕ)
x(t) = A ωcos(ωt + ϕ)
x(t) = -Aω 2 sin(ωt + ϕ)
v0
2
A = ( ) + x
ω
x0ω
arctg
v0
2
0
= .
Sistemul oscilant are o pulsaţie proprie de oscilaţie calculată în cadrul
aplicaţiei 1.1

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 77
ω=31,7490 rad s -1 ,
luând în considerare şi condiţiile iniţiale, aflăm:
A=0,0373 (m), Aω=0,1846 ms -1 , Aω 2 =37,6088 ms -2
ϕ=0,5657 (s), ϕ/ω=0,01782
Expresiile x ( t),
x&
( t),
x&
& ( t)
sunt reprezentate în figura 2.19.
X(t)
x(t)
ϕ/ω=0.017
0.5=x0
ϕ/ω=0.01782 s
0.02=x0
0.0373A
Aω=0.1846 m⋅s -1
T = 0.197 s
T = 0.197 s
Fig. 2.19
Fig.2.19.a
t
t

78
X(t)
ϕ/ω=0.01782 s
x0ω 2
Aplicaţia 2.7
T = 0.197 s
Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii forţate
Aω=37.6088 m⋅s -2
Fig.2.19.b
Pentru a reprezenta grafic variaţia deplasărilor masei m utilizăm
expresia:
−νωt
∗ ∗
x(
t)
= Ae sin( ω t + φ )
unde:
v0
+ νωx0
2
A = (
) + x
∗
ω
φ
∗
= arctg
v
0
x
0
ω
∗
+ νωx
Introducând în expresiile de mai sus următoarele date numerice:
rezultă:
ω = 4,5826 rad s -1 , T=1,3711 s (vezi 1.2)
0
2
0
∗
2
−1
ω = ω 1 − ν = 4,
5596radS
∗
T =
T
2
1 − ν
= 1,
378S
x ms -1 o = 0,02 m, vo = 0,5 şi ν = 0,1
A = 0,1134, ϕ ∗ = 0,1772 şi = 0,
0389
∗
ω
∗
t

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 79
Reprezentarea grafică a variaţiei deplasărilor masei m este dată în figura
2.20.
x(t
A=0.1134
(m)
ϕ/ω=0.038
0.5=x0
Aplicaţia 2.8
Aω=0.1846
1
T * = 1.378
Fig. 2.20
În cadrul aplicaţiei 2.5, pentru sistemul oscilant analizat s-au obţinut:
δ = 7,42977⋅10 -7 (m), T = 0,3425 (s) şi µ ∗ = 1,556393
Variaţia deplasărilor masei m a sistemului oscilant, în regim permanent
de acţionare a forţei perturbatoare se determină cu relaţia:
unde:
x(t) = µ ∗ Fo δ sin(θt - ϕ1)
µ ∗ Fo δ = 1,556393⋅10 4 ⋅7,42977⋅10 -7 = 0,01156 (m)
2νωθ
1
φ1
= arctg = 0,
1193rad
=
2 2
ω − θ
ω
6,
209
−3
⋅ 10
În figura 2.21 este prezentată variaţia deplasărilor masei sistemului
oscilant.
Aplicaţia 2.8
În figura 1.25 este prezentată fundaţia pentru care se cere să se
efectueze o analiză dinamică. Datele numerice ale ansamblului utilizat,
fundaţie şi teren sunt următoarele:
γb = 24 KN/m 3 , Q1 = 400 KN, F0 = 40 KN, θ = 60 rad/s
t

80
X(t)
ϕ/ω
Rezolvare
µ * F0δ⋅sin(-ϕ1)
Probleme rezolvate. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii forţate
T = 0.3425 s
Fig. 2.21
Aω=0.1846 m⋅s 1
ν = 18%, Rt = 2 daN/cm 2 , Cz = 4 daN/cm 3 (pt.Rt=2daN/cm 2 ),
CORECTAT 10
2
C = = 6,
3daN
/ cm
Z
A f
Pulsaţia proprie a ansamblului fundaţie + teren se determină cu relaţia:
unde:
rezultă:
ω =
ω =
k
m
CORECTAT
k = C ⋅ A
Z
f
Q1
+ Q2
m = ,
g
Q2 = V ⋅ γb
= ( 2 ⋅ 2 ⋅ 1,
5)
⋅ 24 = 144Km
,
g ⋅ CZ
⋅ Af
Q1
+ Q2
Factorul de amplificare dinamică:
=
981 ⋅ 6,
3 ⋅ 200
=
2
544 ⋅10
,
67,
3rad
/ s
t

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 81
∗
µ =
∗
µ =
( 1
1
2 2 2 2
− p ) + 4ν
p
( 1
1
; p
=
θ
ω
=
60
67,
3
2 2
2 2
− 0,
89 ) + 4 ⋅ 0,
18 ⋅ 0,
89
=
=
0,
89
Presiunile maxime şi minime pe talpa fundaţiei se calculează cu
expresia:
în care:
şi
Obţinem în final:
σ max min = σ θ ± µ σ Fo
2,
6
2
Q Q Q1
+ Q2
544 ⋅ 10
2
σ = = =
= 1,
36daN
/ cm
Af
Af
200 ⋅ 200
2
Fo Fo
40 ⋅10
2
σ = =
= 0,
1daN
/ cm
Af
200 ⋅ 200
2
2
σ max = 1,
62daN
/ cm < 2daN
/ cm = R t
2
σ min = 1,
10daN
/ cm
Deplasările maxime şi minime, pe verticală, ale fundaţiei sunt date de
relaţia:
unde:
max min
Q
st
y = y ± µ y
Fo
st
2
Q Q Q1
+ Q2
544 ⋅ 10
yst
= = =
= 0,
216cm
CZA
f CZA
f 6,
3 ⋅ 200 ⋅ 200
2
Fo Fo
40 ⋅10
yst
= =
= 0,
016cm
CZA
f 6,
3 ⋅ 200 ⋅ 200
şi efectuând calculele obţinem:
y min = 0,174 cm.
max = 0,258 cm, y
.

PROBLEME PROPUSE 1
SISTEME CU 1GLD – VIBRAŢII LIBERE
ŞI FORŢATE
Probleme propuse spre rezolvare:
1.1 Să se determine caracteristicile dinamice T, ω, f pentru următoarele
sisteme vibrante:
Fig. 1.1
y(t)
m
EI=const.
l/3 2l/3 2l/3
h/3

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 83
Fig.1.2
Fig. 1.3
Fig. 1.4
m
y(t)
l
y(t)
y(t)
m
l
EI=const.
2
l/2 l/2 l/2 l
m
l
l/2 l/2 l/2 l l
l
l
h

84
m
Probleme propuse. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii libere şi forţate
y(t)
l/2 l/2 l/2 l/2
Fig. 1.5
1.2 Să se traseze diagramele de eforturi M, T, N maxime şi minime
pentru sistemele următoare:
Fig.1.6
y(t)
m
F( t)
= F0
sinθt
EI=const.
l/3 2l/3 2l/3
h
h/3

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 85
Fig.1.7
Fig. 1.8
Fig.1.9
F( t)
= F0
y(t)
F( t)
= F0
m
l
2
sin θt
l/2 l/2 l/2 l
sinθt
1.5⋅l
m
1.5 ⋅l l
m
F( t)
= F0
sinθt
l 1.5⋅l
l
h
h

86
Fig. 1.10
F( t)
= F0
sin θt
Probleme propuse. Sisteme cu 1 GLD – vibraţii libere şi forţate
m
l l
h
h

CAPITOLUL 4
SISTEME VIBRANTE CU nGLD
4.1 Vibraţii libere. Metoda forţelor de inerţie sau
metoda matricei de flexibilitate
Se consideră un sistem vibrant cu nGLD. Sistemul este alcătuit
dintr-o grindă simplu rezemată (modelul static) cu n mase concentrate
cărora li se acordă nGLD. Deplasările necunoscute fiind deplasările
măsurate pe direcţia gradelor de libertate dinamică, notate ( t)
, figura
4.1.a.
y j

88
a.
b.
c.
d.
y1( t )
I1 ( t )
y1( t )
δ11
1
m1 m2 j m
I2 ( t )
δ1 j
y2 ( t )
y2( t )
δ21
δ2 j
y j ( t )
I j ( t )
y j ( t )
δ j1
1
δ jj
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii libere.
Metoda matricei de flexibilitate
1 2 j
n
Fig. 4.4. Sistem vibrant cu n GLD
yn ( t )
In ( t )
y n(
t )
Sub acţiunea unui impuls iniţial (deplasare şi viteză) sistemul
vibrant va vibra în jurul unei poziţii de echilibru static, figura 4.1.b. La
momentul t al mişcării se pot măsura deplasările dinamice instantanee
pe direcţia gradelor de libertate, de exemplu ( t)
, pentru gradul de
libertate j.
Pentru toate cele n deplasări se constituie vectorul
deplasărilor dinamice instantanee, vectorul (matricea coloană) { ( t)
}
y j
δn1
mn
δnj
y :
SV

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 89
{ y(
t)
}
⎧y1(
t)
⎫
⎪ ⎪
⎪y
2(
t)
⎪
⎪ . ⎪
= ⎨ ⎬
⎪y
j(
t)
⎪
⎪ . ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
yn(
t)
⎪⎭
(4.1)
Pe direcţia gradelor de libertate iau naştere forţe de inerţie,
pentru GLDj, se notează forţa de inerţie ( t)
, iar pentru toate gradele
de libertate ale sistemului vibrant se constituie vectorul forţelor de
inerţie notat I ( t)
:
{ }
⎧I1(
t)
⎫
⎪ ⎪
⎪I
2(
t)
⎪
⎪ . ⎪
⎨ ⎬
⎪I
j(
t)
⎪
⎪ . ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
In(
t)
⎪⎭
{ I(
t)
} = = −
= −[
m]{
y&
& ( t)
}
I j
⎧m
y&
&
1 1(
t)
⎫
⎪
m y&
&
⎪
⎪ 2 2(
t)
⎪
⎪ . ⎪
⎨
m jy&
& ⎬
⎪ j(
t)
⎪
⎪ . ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
mny&
&
n(
t)
⎪⎭
(4.2)
unde: [ m ] reprezintă matricea diagonală a maselor sau matricea de
inerţie;
{ y& & ( t)
} - vectorul acceleraţiilor.
Prin aplicarea pe sistemul virant a forţelor de inerţie, pe direcţia
gradelor de libertate dinamică, figura 4.c, se obţine deformata dinamică
a sistemului dinamic, iar pe direcţia GLD se măsoară deplasările ( t)
.
Acest lucru se datorează principiului lui d’Alembert.
Dacă în locul forţelor de inerţie, se aplică pe sistem câte o
singură forţă, egală cu unitatea, pe direcţia GLD, în „n” situaţii de
încărcare, corespunzătoare celor nGLD, figura 4.1.d, e..., atunci pe
direcţiile gradelor de libertate dinamică se măsoară „n” seturi de câte
„n” deplasări unitare, notate: , δ ....., δ ......, δ , ...., δ . Cu
δ11 21,
j1,
aceste deplasări unitare se constituie o matrice cu „n” linii şi „n”
coloane, notată ∆ , relaţia (4.3).
[ ]
Un element al matricei [ ]
∆ , notat δ
reprezintă deplasarea
măsurată pe direcţia GLDj, când sistemul vibrant este acţionat pe
direcţia GLDn cu o forţă egală cu unitatea.
jn
jj
nn
y i

90
⎡ δ11
δ12
. δ1j
. δ1n
⎤
⎢
⎥
⎢
δ 21 δ 22 . δ 2j
. δ 2n
⎥
⎢ . . . . . . ⎥
∆ = ⎢
.. ⎥
⎢δ
j1
δ j2
. δ jj . δ jn ⎥
⎢ . . . . . . ⎥
⎢
⎥
⎢⎣
δn1
δn2
. δnj
. δnn
⎥⎦
[ ]
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii libere.
Metoda matricei de flexibilitate
(4.3)
Prin suprapunerea efectelor, deplasările pe direcţiile gradelor de
libertate „1”, „2”,..., „j” şi , respectiv, „n”, se determină cu relaţiile:
⎧ y1(
t)
= δ
⎪
⎪
y 2(
t)
= δ
⎪ . . . .
⎨
⎪
y j(
t)
= δ j
⎪ . . . .
⎪
⎪⎩
yn(
t)
= δn
I
11 1
I
21 1
.
I
1 1
.
I
1 1
( t)
( t)
.
( t)
.
( t)
+ δ
+ δ
.
+ δ
.
.
.
+ δ
12
22
I
I
I
I
.
j2
2
.
2
2
n2
2
( t)
+ ... + δ I ( t)
+ ... + δ
( t)
.
.
( t)
+ ... + δ
.
.
.
.
.
.
+ ... + δ
1j
2j
.
.
I
( t)
.
.
( t)
+ ... + δ
( t)
+ ... + δ I ( t)
+ ... + δ
jj
nj
I
j
j
j
j
.
.
.
.
.
.
.
.
+ ... + δ
I
1n
n
.
I
I
2n
n
jn n
.
I
nn n
( t)
( t)
.
( t)
.
( t)
. (4.4)
Ecuaţiile (4.4) formează un sistem de ecuaţii care, sub formă
matriceală, poate fi scrisă:
{ y( t)
} [ ∆]
{ I(
t)
}
= (4.5)
Prin introducerea în sistemul (4.5) a vectorului forţelor de inerţie,
relaţia (4.2), se obţine:
[ ∆ ] [ m]
{ y&
( t)
} + { y(
t)
} = { 0}
& , (4.6)
care reprezintă ecuaţia matriceală a vibraţiilor libere ale sistemelor
vibrante cu nGLD.
Sistemul de ecuaţii (4.6) este verificat de soluţii particulare
armonice de forma:
( t)
= A sin( ωt
+ φ)
(4.7)
y j j
în care A j reprezintă amplitudinea deplasării dinamice, iar pentru toate
gradele de libertate dinamice se constituie vectorul deplasărilor:
şi vectorul vitezelor:
{ y ( t)
} { A}
sin( ωt
+ φ)
= (4.8)
{ y &
2
( t)
} = −{
A}
ω sin( ωt
+ φ)
& (4.9)
unde { A } este vectorul amplitudinilor deplasărilor dinamice.

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 91
Soluţiile particulare (4.8) şi (4.9) caracterizează vibraţiile proprii
ale sistemului dinamic. Se introduc aceste soluţii în sistemul de ecuaţii
(4.6) şi se obţine:
sau
2
{ } sin( ωt
+ φ)
+ ω [ ∆][
m]{
A}
sin( ωt
+ φ = { 0}
− A )
(4.10)
2
[ ∆] [ m]
− [ I]
) { A}
= { 0}
( ω
, (4.11)
care reprezintă ecuaţia generală a vibraţiilor proprii, unde [ I ] este
matricea diagonală unitate (toate elementele de pe diagonala principală
sunt egale cu unitatea, iar celelalte elemente sunt nule).
Ecuaţia matriceală (4.11) este algebrică, liniară şi omogenă.
Sistemul vibrează atunci când A ≠ 0 , deoarece soluţia banală
verifică ecuaţia (4.11), dar nu este interensantă deoarece corespunde
unei poziţii de repaus a sistemului.
Pentru ca sistemul de ecuaţii (4.11) să admită soluţii diferite de
zero, determinantul prrincipal trebuie să fie nul:
sau
⎡ω
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢ ω
⎢
⎢
⎢
⎣
ω
2
δ11m1
2
ω δ 21m1
2
2
δ
δ
.
j1
.
m
n1
− 1
1
m
1
ω
ω
2
ω
ω
Dacă se notează
⎡δ11m1
− λ
⎢
⎢
δ 21m1
⎢ .
⎢
⎢ δ j1m1
⎢ .
⎢
⎢⎣
δn1m1
sau prin dezvoltare:
2
δ
δ
2
2
δ
22
δ
δ
12
m
.
j2
.
n2
m
2
m
m
2
[ ∆] [ m]
− [ I]
= 0
j
ω (4.12)
2
− 1
2
2
.
.
.
.
.
.
ω
ω
ω
2
ω
2
2
δ
2
δ
δ
jj
δ
1j
2j
.
m
.
nj
m
m
j
m
j
j
− 1
1
λ = ecuaţia (4.13) devine:
2
ω
δ
22
δ
δ
12
m
j2
.
n2
m
.
2
m
m
2
− λ
2
2
.
.
.
.
.
.
δ
δ
δ
jj
δ
1j
2j
m
nj
m
m
.
.
j
m
j
j
j
− λ
j
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
ω δ ⎤
1nmn
2 ⎥
ω δ 2nmn
⎥
. ⎥
⎥ =
2
ω δ jnmn
⎥
⎥
.
⎥
2
ω δ − 1⎥
nnmn
⎦
ωδ1nmn
⎤
⎥
ωδ2nmn
⎥
. ⎥
⎥ = 0
δ jnmn
⎥
. ⎥
⎥
δnnmn
− λ⎥⎦
0 (4.13)
(4.14)

92
λ
n
+ a
n−1
1 λ
+ ....... + a
n−
k
kλ
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii libere.
Metoda matricei de flexibilitate
+ ....... + a
n
= 0
(4.15)
De asemenea, dezvoltând determinantul (4.13) se obţine o
2
ecuaţie de gradul „n” în ω numită ecuaţie caracteristică sau ecuaţia
frecvenţelor (pulsaţiilor) sistemului vibrant.
Rezolvănd ecuaţia caracteristicilor (4.15) se obţin „n” rădăcini
reale şi pozitive notate:
ω1, ω 2,
.......... ..., ω
, .......... ....,
reprezentând pulsaţiilor proprii (naturale) ale sistemului dinamic.
i
Pulsaţia proprie cu valoarea cea mai mică, notată prin ω , se
numeşte pulsaţie proprie fundamentală, iar celelalte valori, în general
notate, ω , reprezintă pulsaţiile proprii de ordin superior:
i
ω i
> ω , i = 2,
3,
....n.
1
Cunoscând cele n pulsaţii proprii ale sistemului dinamic se
determină direct frecvenţa proprie fundamentală, f , perioada proprie
fundamentală, T şi celelate valori proprii de ordin superior, notate
generic, şi T .
fi i
1
Prin urmare, valorile proprii sunt caracteristici intrinseci ale
sistemelor dinamice deoarece depind exclusiv de proprietăţile inerţiale şi
elastice ale modelelor dinamice.
Fiecărei valori proprii îi corespunde o deformată a sistemului
numită formă proprie de vibraţie (principală, naturală).
Forma proprie coincide cu deformata sistemului acţionată de
amplitudinile forţelor de inerţie:
sau
I
j,
i
2
i
= ω m y
j
j,
i
2 { I}
i ωi
[ m]{
y}
i
ω
n
1
1
(4.16)
= (4.17)
unde: I reprezintă amplitudinea forţei de inerţie corespunzătoare
j,
i
gradului de libertate j,
în modul i de vibraţie;
i
yj,
i
de vibraţie;
- amplitudinea deplasării măsurată pe direcţia GLD în modul
{} i
y - vectorul (matricea coloană) amplitudinilor, vectorul formei
proprii i.

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 93
Ansamblulul format dintr-o formă proprie { y } i şi perioada proprie
corespunzătoare T , formează un mod propriu de vibraţie, în acest caz,
modul propriu i de vibraţie.
i
Configuraţia geometrică a formelor proprii (vectori proprii) se
determină prin introducerea succesivă a valorilor proprii ω în sistemul
de ecuaţii (4.11). Se obţine ecuaţia următoare:
[ ] [ m]
− [ I]
) { A}
= { 0}
2
i ∆ i
( ω
, (4.18)
numită ecuaţia generală a vectorilor proprii (dimensionali).
2
i
Ecuaţia j din sistemul
de ecuaţii (4.18) are forma:
2
2
2
1,
i + i j2
2 2,
i
i jj j 1,
i
i jn n n,
i
ω δ m A ω δ m A + ... + ( ω δ m − 1)
A + ... + ω δ m A = 0 .
A1, i
j1
1
Se împarte ecuaţia (4.19) prin . Se notează:
A
A
1,
i
1,
i
1,
i
A1, i
1,
i
2
i
(4.19)
A j,
i An,
i
= 1 = y1,
i,
... = y j,
i,
... = yn,
i
(4.20)
A
A
Cu aceste notaţii ecuaţia (4.19.) devine:
2
2
2
2
ωi δ j2m2y
2,
i + ... + ( ωi
δ jjmj
− ) y1,
i + ... + ωi
δ jnmnyn,
i = −ωi
δ j1
1 m
1
.(4.21)
Dacă se împart toate ecuaţiile sistemului de ecuaţii (4.18) prin
, atunci aceast sistem, în formă matriceală, devine:
[ ] [ m]
− [ I]
) { y}
= { 0}
2
i ∆ i
( ω
, (4.22)
care reprezintă ecuaţia generală a vectorilor proprii adimensionali.
y
1 , i =
1
Ecuaţia matriceală (4.22) are numai „n-1” necunoscute deoarece
(v. relaţiile (4.20)) şi pentru aflarea soluţiei se vor utiliza numai
primele „n-1” ecuaţii, ultima ecuaţie fiind folosită pentru verificarea
rezultatelor.
Se defineşte matricea spectrală, notată [ ]
Ω , ca o matrice
diagonală care cuprinde pe diagonala principală pătratele pulsaţiile
proprii de vibraţie ale unui sistem dinamic cu n GLD, iar celelalte
elemente fiind nule:

94
[ Ω]
⎡ω
⎢
⎢
⎢
= ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
2
1
ω
2
2
.
ω
2
i
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii libere.
Metoda matricei de flexibilitate
.
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ . (4.23)
⎥
⎥
⎥
2
ωn
⎥⎦
De asemenea, definim matricea modală a unui sistem dinamic cu
nGLD, ca o matrice alcătuită prin scrierea pe coloane a formelor proprii
de vibraţie. Este notată [ Y ] :
sau
[ Y]
4.2. Aplicaţie
⎡y1,
⎢
⎢
y 2,
⎢ .
= ⎢
⎢y
j,
⎢ .
⎢
⎢⎣
yn,
1
1
1
1
y
y
y
y
1,
2
2,
2
.
j,
2
.
n,
2
.
.
.
.
.
.
y
y
y
y
1,
i
2,
i
.
j,
i
.
n,
i
.
.
.
.
.
.
y
y
y
y
1,
n
2,
n
.
j,
n
.
n,
n
[ ] [ { y}
{ y}
. { y}
. { y}
]
y 2 1
i
n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
(4.24)
= . (4.25)
Se cere să se determine modurile proprii de vibraţie pentru un
sistem cu două grade de libertate dinamică pentru care se cunosc
matricea maselor:
şi matricea de flexibilitate:
⎡m
0
1 [ m]
= ⎢ ⎥
⎣ 0 m2
⎦
⎡δ
δ
⎤
⎤
.
11 12
[ ∆]
= ⎢ ⎥
⎣δ
21 δ 22 ⎦
Ecuaţia generală a vibraţiilor proprii dimensionale, ecuaţia (4.18)
devine:
( ω
2
⎡δ
⎢
⎣δ
11
21
δ
δ
12
22
⎤ ⎡m1
⎥ ⎢
⎦ ⎣ 0
Ecuaţia pulaţiilor proprii este:
0 ⎤ ⎡1
⎥ − ⎢
m2
⎦ ⎣0
0⎤
⎧A1
⎫ ⎧0⎫
⎥)
⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ .
1⎦
⎩A
2 ⎭ ⎩0⎭

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 95
sau:
şi
unde
2 ⎡δ
ω ⎢
⎣δ
ω
11
21
δ
δ
12
22
2
δ11m1
2
ω δ 21m1
δ
11
δ
m
21
1
m
⎤ ⎡m1
⎥ ⎢
⎦ ⎣ 0
− 1
− λ
1
0 ⎤ ⎡1
⎥ − ⎢
m2
⎦ ⎣0
2
0⎤
⎥ = 0
1⎦
ω δ12m2
= 0
2
ω δ m − 1
22
22
δ12m2
= 0 ,
δ m − λ
2
1
λ = .
2
ω
Se dezvoltă determinantul de mai sus şi se obţine:
λ
2
11
1
22
2
1
2
2
11
22
2
12
− λ(
δ m + δ m ) + m m ( δ δ − δ ) =
Se rezolvă ecuaţia anterioară şi se determină valorile proprii:
şi λ , respectiv (pulsaţiile proprii) ω şi ω .
2
2
1
După aflarea valorilor proprii se calculează vectorii proprii
(formele proprii de vibraţie). Aceştia se obţin prin rezolvarea
următoarelor două sisteme de ecuaţii:
o primul sistem
⎪⎧
2
2
( ω1
δ11m1
− 1)
y1,
1 + ω1
δ
⎨ 2
2
⎪⎩ ω1
δ 21m1y1,
1 + ( ω1
δ12m
2
2
12
2
m
2
y
− 1)
y
pentru y 1 rezultă din prima ecuaţie de mai sus:
1 1 = ,
y 2,
1
o cel de al dolea sistem:
2
1 δ11m1
−
2
ω1
δ12m2
ω 1
= −
;
2,
1
2,
1
⎪⎧
2
2
( ω2δ11m1
− 1)
y1,
2 + ω2δ12m2y
⎨ 2
2
⎪⎩ ω2δ21m1y
1,
2 + ( ω21δ12m2
− 1)
y
= 0
,
= 0
2,
2
2,
2
= 0
,
= 0
pentru y = 1 rezultă din prima ecuaţie a sistemului anterior:
1 , 2
y 2,
2
2
2δ11m1
−
2
2δ12m2
ω 1
= −
.
ω
Cele două forme proprii de vibraţii sunt:
0 .
λ1

96
⎧ 1 ⎫
y 1 = ⎨ ⎬ şi {} y
⎩y
2,
1⎭
{}
2
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii libere.
Metoda matricei de flexibilitate
⎧ 1 ⎫
= ⎨ ⎬
⎩y
2,
2 ⎭
4.3. Determinarea matricei de flexibilitate
Matricea de flexibilitate a unei structuri, în coordonatele dinamice
ale modelului vibrant, a fost definită în paragraful 4.1, relaţia (4.3).
Un element al matricei de flexibilitate δ , conform celor expuse,
reprezintă deplasarea produsă de direcţia GLDj când după direcţia GLDk,
a. b.
1
c.
d.
3
m2
m1
m1
m1 m2 j
2
2
1 2 j
n
m
Fig. 4.2. Sisteme dinamice
structura considerată (sistemul vibrant) este acţionată de o forţă egală
cu unitatea.
1
3
d.
jk
1
m4
m3
m2
m1
m1
mn
1
2
3
3
2

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 97
În figura 4.2 sunt prezentate cinci sisteme dinamice având
nominalizate gradele de libertate dinamică acordate, iar în figurile 4.3 şi
4.4. situaţiile de încărcare, corespunzătoare gradelor de libertate
dinamică, în vederea determinării elementelor matricei de flexibilitate.
a 1 .
1, 1
1, 1
1, 1
1, 1
a 3 . b 1 .
b 2 . b 3 .
1, 1
a 2 .
1, 1
Fig. 4.3. Situaţii de încărcare pentru calculul matricelor
de flexibilitate ale sistemelor din fig.4.2.a. şi b.
Pentru calculul elementelor matricei de flexibilitate se utilizează
metoda Mohr-Maxwell, materializată prin relaţia:
δ
Mj(
x)
Mk
( x)
= dx , (4.27)
EI
jk ∑

98
c.
d.
1, 1
d.
1, 1
δ1 j
δ41
δ31
δ21
δ11
δ1k δ21
δ11
1, 1
δ42
δ32
δ22
δ12
1, 1
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii libere.
Metoda matricei de flexibilitate
δ43
δ33
δ23
δ13
Fig. 4.4. Situaţii de încărcare pentru calculul matricelor
de flexibilitate ale sistemelor din fig.4.2.c.,d.şi e
1, 1
1, 1
δ22
δ12
1 2 k j n
1
δ2 j
δ2k δkk
δ jj
δ jk
δnj
δ44
δ34
δ24
δ14
δnk
2 k j n
δkj
1,
1
1, 1

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 99
unde: M ( x)
reprezintă momentul încovoietor din secţiunea " x"
măsurat
j
în diagrama de moment încovoietor corespunzătoare situaţiei virtuale de
încărcare " j"
a sistemului vibrant;
Mk( x)
- momentul încovoietor din secţiunea " x"
măsurat în
diagrama de moment încovoietor corespunzătoare situaţiei reale de
încărcare " k"
a sistemului vibrant.
Obs. În cazul determinării elementului δ al matricei de
flexibilitate, se disting următoarele situaţii de încărcare:
a) situaţia reală de încărcare, constituită din structura dată (static
nedeterminată sau determinată) acţionată în dreptul masei m ,
a sistemului dinamic, şi pe direcţia GLDk, cu o forţă egală cu
unitatea (notată 1 );
b) situaţia virtuală de încărcare, constituită din structura considerată
înărcată, în dreptul masei m şi pe direcţia GLDj, cu o forţă
egală cu unitatea (notată 1).
De asemenea, situaţia virtuală de încărcare poate fi constituită
din orice structură static determinată, obţinută din structura dată
încărată, în dreptul m j şi pe direcţie GLDj, de o forţă egală cu unitatea.
În figura 4.5. sunt reprezentate situaţile de încărcare, virtuale şi
reale ale sistemului dinamic desenat în figura 4.2.c., sistem cu două
grade de libertate dinamică acordate, corespunzător GLD1 (a se vedea
figura 4.4.a.
j
Diagramele finale de moment încovoietor, în cele două situaţii de
1
încărcare, reală şi virtuală: Mf
şi
1
M f , care în cazul desfăsurării calculelor
pe sistemul considerat sunt identice, sunt trasate în figura 4.5.c3,
folosind metoda forţelor.
Sistemul de bază este desenat în figura 4.5.b, diagrama de
moment încovoietor, produsă de încărcarea exterioară (forţa egală cu
unitatea), este arătată în figura 4.5.c1 ( 1
M p ), iar diagrama unitară de
moment încovoietor este schiţată în figura 4.5. c2 ( M 1 ).
Sistemul analizat este o dată static nedeterminat. Ecuaţia de
echilibru elastic, corespunzătoare metodei forţelor, este:
δ X Χ = 0 ,
11
1 + 1P
unde coeficientul δ se determină cu relaţia:
11
jk
k

100
1,1 1,1
a. b.
c 1
l 1
1,1
l 1
l 2
1
Mp , M
c 3
M
1
1
f , M f
c 2
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii libere.
Metoda matricei de flexibilitate
Fig. 4.5. Situaţii de încărcare şi diagrame de moment încovoietor
pentru calculul elementelor matricei de flexibilitate
iar termenul liber cu expresia:
l 2
M ( x)
M ( x)
δ ∑
dx
EI
=
1 1
11
,
∆
M P
P ∑ =
1
1
1
( x)
M ( x)
dx .
EI
SB
1 M , M
1
1
x 1
1,1

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 101
Cele două integrale se rezolvă prin înmulţirea a câte două
diagrame, în cazul coeficientului - δ , diagramele de moment
încovoietor:
M 1 şi M 1 , figura 4.5.c2 şi diagramele: M 1 şi
4.5.c1 şi c2, în cazul termenului liber.
11
1
M P , figurile
După rezolvarea ecuaţiei de echilibru şi aflarea soluţiei X se
trasează diagrama finală de moment încovoietor M identică, în acest
caz, cu cea virtuală
1
M f , calculată pentru sistemul considerat.
Elemenul principal al matricei de flexibilitate, notat δ se
determină cu relaţia:
sau
δ
δ
11
11
=
=
∑
∑
1
1
Mf
( x)
Mf
( x)
dx
EI
1
1
Mf
( x)
M ( x)
dx ,
EI
1
dacă se utilizează diagrama de moment încovoietor M obţinută prin
soluţionarea unei situaţii virtuale de încărcare constituite din sistemul
de bază (structură static determinată) acţionată în dreptul masei şi pe
direcţia GLD1 a unei forţe virtuale egală cu unitatea (notată 1).
1 f
11
1

CAPITOLUL 5
SISTEME VIBRANTE CU nGLD
5.1. Vibraţii libere ale sistemelor cu nGLD. Metoda
matricei de rigiditate
Se consideră un sistem cu nGLD. Sub acţiunea unui impuls iniţial
(viteză şi deplasare) sistemul va vibra în raport cu poziţia de echilibru
static, figura 5.1.
La momentul t al vibraţiei pe direcţia gradelor de libertate
dinamică se măsoară deplasările
alcătuiesc vectorul (matricea coloană) { ( t)
}
y j ( t),
t = 1, n,
figura 5.1.b, care
y .

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 103
{ y(
t)
}
⎧y1(
t)
⎫
⎪ ⎪
⎪
y 2(
t)
⎪
⎪ . ⎪
= ⎨ ⎬ . (5.1)
⎪y
j(
t)
⎪
⎪ . ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
yn(
t)
⎪⎭
Pentru a folosi, în analiza dinamică a sistemelor, metoda matricei
de rigiditate se vor bloca toate deplasările pe direcţiile GLD, obţinând
sistemul de bază dinamic. Împiedicarea deplasărilor se realizează cu
ajutorul blocajelor simple: reazeme simplu rezemate, pentru deplasări
liniare şi blocaje de nod, pentru deplasările unghiulare.
In vederea aplicării principiului lui d’Alembert se va acţiona,
succesiv, sistemul de bază dinamic, cu deplasările:
( t),..,
y ( t),..,
y ( t)
, aplicate pe direcţiile GLD sub formă de cedări de
y1 j
n
reazem. În figura 5.1.d este desenată deformata sistemului vibrant
corespunzătoare cedării de reazem, ( t)
. În fiecare blocaj iau naştere
reacţiunile: R1 ( t),..,
R j(
t),..,
Rn(
t)
, iar în blocajul corespunzător GLDj ia
naştere şi forţa de inerţie, notată I ( t)
, datorită deplasării masei . m
y j
j j
Se constituie vectorul forţelor de inerţie { ( t)
}
⎧I1(
t)
⎫
⎪ ⎪
⎪
I2(
t)
⎪
⎪ . ⎪
⎨ ⎬
⎪I
j(
t)
⎪
⎪ . ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
In(
t)
⎪⎭
{ I(
t)
} = = −[
m]{
}
I j
:
y&
& ( t)
. (5.2)
Cum însă blocajele, care au fost introduse pentru a împiedica
deplasările pe direcţiile GLD, nu există în realitate pe sistemul vibrant,
rezultă că suma forţelor de inerţie şi a reacţiunilor din blocajele GLD,
corespunzătoare celor „n” deformate ce se pot realiza, de tipul celei din
figura 5.1.d, trebuie să fie nulă. Se obţin, astfel, „n” ecuaţii de echilibru,
câte una pentru fiecare grad de libertate.
De exemplu, pentru gradul de linertate „j” se obţine ecuaţia:
− Ij ( t)
+ R j,
1 ( t)
+ R j,
2(
t)
+ .... + R j,
j(
t)
+ ... + R j,
n(
t)
= 0 . (5.3)
Cele „n” ecuaţii, de tipul celei de mai sus, constituie ecuaţiile de
echilibru dinamic ale sistemului vibrant şi alcătuiesc un sistem de ecuaţii
cu „n” ecuaţii şi „n” necunoscute.

104
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii libere.
Metoda matricei de rigiditate
Comparând deformata din figura 1.d cu cea din figura 5.1.f
rezultă:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
y1( t )
1
R1 , j
j , j(
t)
= K jjy
( t)
. (5.4)
R j
m1 m2 j
( t )
1 2 j
n
y2 ( t )
R2, j
( t )
y j ( t )
m
I j ( t )
( t )
Rj , j
( t )
y j
Rk , j
Fig. 5.1. Sistem vibrant cu nGLD
( t )
yn ( t )
K11 K 21
K j1
K k1
K n1
K1 j K 2 j
K K
jj
kj Knj
De asemenea, se pot scrie, şi pentru celelalte deformate,
expresiile:
R j j 1
1
Rn, j
mn
( t )
, 1 ( t)
= K 1y
( t)
, R j, 2 ( t)
= K j2y
2(
t)
, ..., R , n(
t)
K jnyn(
t)
SV
j = . (5.5)

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 105
Introducem relaţiile (5.4) şi (5.5) în ecuaţia (5.3) şi se ajunge la
următoarea ecuaţie:
− Ij ( t)
+ K j1
y1(
t)
+ K j2y
2(
t)
+ .... + K jjy
j(
t)
+ ... + K jnyn(
t)
= 0 , (5.6)
iar pentru celelate „n” deformate de tipul celei din fig.5.1.d., deci prin
producerea de cedări de reazeme pe direcţia fiecărui GLD, în blocajele
simple de GLD, va rezulta un sistem de ecuaţii care, scris sub formă
matriceală, arată astfel:
− I ( t)
+ K y(
t)
= 0 , (5.7)
{ } [ ] { } { }
unde [ K ] reprezintă matricea de rigiditate a sistemului vibrant
determinată în coordonatele dinamice ale sistemului,
[ K]
⎡K
⎢
⎢
K
⎢ .
= ⎢
⎢K
j
⎢ .
⎢
⎢⎣
Kn
11
21
1
1
K
K
K
K
12
22
.
j2
.
n2
.
.
.
.
.
.
K
K
K
K
1j
2j
Un element al matricei de rigiditate [ ]
.
.
jj
jn
.
.
.
.
.
.
K
K
K
K
1n
2n
.
jn
.
nn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ . (5.8)
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
K , K are semnificaţia unei
forţe, care aplicată pe sistemul vibrant în dreptul masei m , produce pe
direcţia GLDj
o deplasare egală cu unitatea, în timp ce toate celelate
deplasări, de pe direcţia GLD, sunt blocate de forţele Krj , r = 1,
n .
Elementele matrice de rigiditate pot fi definite şi ca reacţiuni.
Astfel, K jj reprezintă reacţiunea din blocajul GLDj
când în acest blocaj se
produce o cedare de reazem egală cu unitatea, iar în celelalte blocaje
ale sistemului de bază dinamic, figura 5.1.c, iau naştere reacţiunile Krj
,
r = 1,
n .
Substituind expresia matriceală a forţelor de inerţie, relaţia (5.2),
în ecuaţia (5.7), obţinem:
[ m]{ y&
( t)
} + [ K]
{ y(
t)
} = { 0}
jj
& . (5.9)
Ecuaţia (5.9) reprezintă ecuaţia generală a vibraţiilor libere ale
sistemelor vibrante cu nGLD. Sistemul este verificat de soluţiile
particulare:
{ y ( t)
} { A}
sin( ωt
+ φ)
= . (5.10)
Introducem soluţia (5.10) în ecuaţia matriceală (5.9), care
devine:
j

106
2 [ K]
− ω [ m]
) { A}
= { 0}
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii libere.
Metoda matricei de rigiditate
( , (5.11)
după ce am împărţit ecuaţia (matriceală) prin sin( ωt
+ φ)
. Ecuaţia
(5.11) este numită ecuaţia generală a vibraţiilor proprii.
Pentru ca sistemul de ecuaţii (5.11) să admită soluţii diferite de
zero, determinantul principal trebuie să se anuleze:
2 [ ] − ω [ m]
= 0
K . (5.12)
Prin dezvoltarea determinantului (5.12) rezultă o ecuaţie
caracteristică, numită şi ecuaţia pulsaţiilor proprii. Rezolvând această
ecuaţie se obţin cele „n” pulsaţii proprii: , ω , ... , ω , ..., ω , iar cu
ω1 2
patratele acestor valori se constituie matricea spectrală a sistemului
vibrant:
[ Ω]
⎡ω
⎢
⎢
⎢
= ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
2
1
ω
2
2
.
ω
2
i
.
i
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ . (5.13)
⎥
⎥
⎥
2
ωn
⎥⎦
Pentru aflarea vectorilor proprii de vibraţie ai sistemului vibrant
se rezolvă ecuaţia vectorilor proprii, care are următoarea alura:
2 [ K]
− ω [ m]
) { y}
= { 0}
, i = 1, n
( i i
. (5.14)
Rezolvând cele „n” sisteme de ecuaţii, obţinute prin variaţia
indicelui „i”, se deduc cei „n” vectori proprii adimensionali {} y i , cu
ajutorul cărora se constituie matricea modală a sistemului vibrant:
[ ] [ { y}
{ y}
. { y}
. { y}
]
Y 1 2
= . (5.15)
5.2. Aplicaţie – sistem vibrant cu 2GLD
Vom considera un sistem vibrant cu două mase:m1 şi m2, cărora
li se acordă câte un grad de libertate dinamică. Se propune
determinarea modurilor proprii de vibraţie: pulsaţiile proprii şi ω şi
formele proprii de vibraţie
următoarele etape de calcul:
{ y } 1 şi { } 2
a. Se constituie matricea maselor:
i
n
n
ω1 2
y . Pentru aceasta, sunt parcurse

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 107
sau
şi
dacă
sau
unde:
2
ω 1,
2
⎡m
⎤
.
1 [ m]
= ⎢ ⎥
⎣ m2
⎦
b. Se determină matricea de rigiditate a sistemului vibrant în
coordonatele dinamice ale acestuia:
⎡K
K
⎤
.
11 12
[ K]
= ⎢ ⎥
⎣K
21 K 22 ⎦
c. Se scrie şi se rezolvă ecuaţia pulsaţiilor proprii:
m m
4
În final:
1
1
2
ω m m
m1K
=
22
⎡K
⎢
⎣K
⎡K
⎢
⎢⎣
11
21
K
K
12
22
⎤
⎥ − ω
⎦
⎡m
⎢
⎣
2
1
⎤
⎥ = 0
m2
⎦
2
11 − ω m1
K12
=
2 ⎥
K 21 K 22 − ω m2
⎥
− λ(
m K + m K ) + λ ( K K − K ) = 0
2
+ m K
2
2
11
2
11
1
λ =
22
1
1
ω
2
22
2
11
11
⎤
⎦
22
22
0
2
12
2
12
− ω ( m K + m K ) + ( K K − K ) =
2
11
±
( m K
1
22
+ m K
1
2
2m
m
11
2
2
) − 4m
m ( K
1
2
11
K
0 .
22
− K
d. Formele proprii de vibraţii se calculează prin rezolvarea
următoarelor două sisteme de ecuaţii:
2 [ K]
− ω [ m]
) { y}
= { 0}
(
1
2 [ K]
− ω [ m]
) { y}
= { 0}
(
2
⎪⎧
1 ⎪⎫
⎪⎧
1 ⎪⎫
y 1 − ⎨ ⎬ şi {} y
2 − ⎨ ⎬ .
⎪⎩
y 2,
1⎪⎭
⎪⎩
y 2,
2 ⎪⎭
{}
1
2
2
12
)
.

108
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii libere.
Metoda matricei de rigiditate
Fiecare dintre sistemele de mai sus cuprind câte două ecuaţii, dar
cum y 1 şi y = 1,
atunci, din prima ecuaţie a fiecărui sistem de
1 1 = ,
1 , 2
ecuaţii se obţine ordonata , respectiv y , iar cea de a doua ecuaţie,
y2, 1
2, 2
a fiecărui sistem, este utilizată pentru verificarea ordonatelor calculate.
5.3. Proprietatea de ortogonalitate a formelor proprii
de vibraţie
Pentru a demonstra proprietatea de ortogonalitate a formelor
proprii de vibraţie se pleacă de la ecuaţia formelor proprii (5.14), scrisă
sub forma:
2
[ K]
{ y}
i ωi
[ m]
) { y}
i
(
= . (5.16)
Se multiplică la stânga, ecuaţia (5.16), cu o altă formă proprie de
vibraţie transpusă, de exemplu { } T
y r , rezultă:
T
2 T
{ y}
r ( [ K]
{ y}
i ωi
{ y}
r [ m]
) { y}
i
= . (5.17)
Se transpune ecuaţia (5.16) şi se rescrie pentru modul „r” de
vibraţie, se obţine:
T
2 T
{ y}
( [ K]
= ω { y}
[ m])
, (5.18)
deoarece: [ K] [ K]
T = şi [ ] [ m]
r
m T = .
Expresia (5.18) se postmultiplică cu forma proprie de vibraţie
corespunzătoare modului „i” de vibraţie:
T
2 T
{ y}
r ( [ K]
{ y}
i ωr
{ y}
r [ m]
) { y}
i
Se scade relaţia (5.18) din (5.16), rezultă:
2
i
2
i
r
r
= . (5.19)
2
r
T { y}
r [ m]
{ y}
i
0 = ( ω − ω )
. (5.20)
2
r
Dar, cum ω ≠ ω , sunt două pulsaţii proprii diferite ale
sistemului vibrant, se ajunge la concluzia că produsul celor doi vectori
proprii satisface relaţia:
T { } [ m]
{ y}
= 0
y , (5.21)
r
care va reprezenta proprietatea de ortogonalitate a două forme proprii
y .
de vibraţie: {} i
y şi { } r
De asemenea, se pot demonstra şi expresiile:
T { } [ C]
{ y}
= 0
r
i
y , (5.22)
T { } [ ] { y}
= 0
r
i
y (5.23)
∆ i

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 109
şi
T { } [ K]
{ y}
= 0
y . (5.24)
r
unde: [ C ] reprezintă matricea de amortizare a sistemului vibrant
şi [ ∆ ] - matricea de flexibilitate a sistemului vibrant.
5.4. Normalizarea formelor proprii de vibraţie
Ordonatele formelor (vectorilor) proprii de vibraţie nu sunt
diferite în sens absolut. Când unei ordonate a unui vector propriu i se
atribuie o anumită valoare, atunci se pot preciza şi celelalte elemente
(ordonate), deoarece numai raportul dintre oricare două ordonate sunt
constante şi cunoscute. Numai în cazul în care unul dintre elementele
vectorului propriu este cunoscut, vectorul propriu devine unic în sens
absolut. Acest proces de ajustare a elementelor unui mod natural,
pentru a obţine o amplitudine unică, se numeşte normalizare.
Se observă că dacă i=r, în expresia (5.21) produsul matriceal
este egal cu un scalar constant, diferit de zero, pe care îl vom numi
termen inerţial sau masă inerţială:
T { } [ m]
{ y}
M , r = 1, n
y r r r
i
= . (5.25)
Aplicând acelaşi rationament asupra relaţiei (5.24) se obţine:
T
2
{ y } [ K]
{ y}
= ωr
Mr
= Kr
r
r
, (5.26)
unde K reprezintă rigiditatea generalizată a sistemului vibrant.
r
Se cunosc următoarele modalităţi de normalizare a unui vector
propriu:
a. atribuirea unei valori egale cu unitatea masei generalizate în
relaţia (5.25):
T { } [ m]{
y}
1,
y r r
= (5.27)
unde { y } r reprezintă vectorul propriu normalizat, se calculează cu
relaţia:
1 { y}
r {} y r
= ; (5.28)
M
r
b. normalizarea unui vector propriu prin acordarea valorii proprii
unitate celui mai mare termen al unui vector;
c. normalizarea prin atribuirea valorii unitate lungimii vectorului
modal.

110
Dacă folosim matricea modală, [ Y ] :
atunci se pot scrie relaţiile:
şi
[ ] [ { y}
{ y}
. { y}
. { y}
]
1 2 i n1
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii libere.
Metoda matricei de rigiditate
Y = , (5.29)
[ Y] [ m][
Y]
= [] 1
T
[ Y] [ K][
Y]
= [ Ω]
T
[ Y] [ C][
Y]
[ νω]
T
2
5.5. Proprietăţile pulsaţiilor proprii
, (5.30)
(5.31)
= . (5.32)
Se defineşte matricea dinamică, notată [ D ] , prin intermediul
produsului matriceal dintre matricea de flexibilitatea a sistemului vibrant
şi matricea de inerţie:
[ D] [ ∆]
[ m]
= . (5.33)
Determinantul şi urma matricei dinamice sunt egale cu
determinantul şi urma inversei matricei spectrale [ Ω ] :
deoarece
[ ] [ ] 1 −
D ) = det( Ω
det( , (5.35)
[ ] [ ] 1 −
D ) = u(
Ω
u (
. (5.36)
Inversa matricei dinamice se calculează cu relaţia
−1
−1
−1
−1
[ D]
[ m]
[ ∆]
= [ m]
[ K]
= , (5.37)
[ ][ K ] = [ I]
∆ . (5.38)
Determinantul şi urma inversei matricei dinamice sunt egale cu
determinantul şi urma matricei spectrale:
−1 −1
[ D]
) = det( [ m]
[ K]
) = det( [ ])
det( Ω
−1 −1
[ D]
) = u(
[ m]
[ K]
) = u(
[ ])
u( Ω
, (5.39)
. (5.40)
5.6. Determinarea matricei de rigiditate a sistemului
vibrant
În vederea determinării elementele matricei de rigiditate, inclusă
în relaţia (5.7), vom considera o structură static nedeterminată, figura
5.2.a şi vom utiliza mai multe procedee de calcul. Pentru început, se vor

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 111
bloca deplasările pe direcţiile gradelor de libertate dinamică, figura
5.2.b, iar situaţiile de încărcare sunt prezentate în figura 5.2.c şi d.
În cazul structurii considerate, matricea de rigiditate are forma:
1
m1
SV
2
⎡K
K
11 12
[ K]
= ⎢ ⎥
⎣K
21 K 22 ⎦
a .
b.
c.
K11
Z1 Z2
1 1
Z3
SB
K 21
d.
e .
f .
⎤
. (5.41)
K12
SBD
Fig. 5.2. Calculul elementelor matricei de rigiditate:a. sistem vibrant;
b. sistem de bază dinamic; c. şi d. situaţii de încărcare; e. sistem de bază
în metoda deplasărilor; f. sistem de bază în metoda forţelor
X1
X5
SB
X3
X 4
K 22
X2

112
5.6.1. Folosirea metodei forţelor
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii libere.
Metoda matricei de rigiditate
Primul procedeu pentru determinarea elementelor matricei de
rigiditate constă în aplicarea metodei forţelor în cazul celor două situaţii
de încărcare, figura 5.2.c şi d.
Datorită introducerii celor două blocaje pe direcţiile GLD,
structura care era de trei ori static nedeterminată, a devenit de cinci ori
static nedeterminată.
Se alege un sistem de bază static determinat prin suprimarea a
cinci legături (interioare si/sau exterioare). Este indicat ca primele
necunoscute nominalizate să fie cele corespunzătoare suprimării
legăturilor suplimentare, introduse după direcţiile GLD, după care se
suprimă şi celelate legături, până când sistemul vibrant devine static
determinat, figura 5.2.f.
Ecuaţia de echilibru matriceală are forma:
[ δ ] { x } { ∆ } ; r = 1,2
ij
r j
r ic
= , (5.42)
unde: [ δij ] reprezintă matricea coeficienţilor, un coeficient se determină
cu relaţia:
δ
Mi(
x)
Mj(
x)
= dx ; (5.43)
EI
ij ∑
r
x j reprezintă necunoscuta introdusă pe direcţia legăturii
suprimate „j”, pentru a transforma sistemul vibrant, din forma
sistemului de bază dinamic, într-un sistem de bază, corespunzător
metodei forţelor;
r - o situaţie de încărcare corespunzătoare GLD;
r { ∆ic } - vectorul termenilor liberi, un element al acestui vector se
calculează cu expresia:
∆i
i
R k
∑ ∆ ± ∆ • ± =
i
1 i R k ; (5.44)
∆ r
ic
k
- cedarea de reazem produsă pe direcţia reazemului ”i”;
- reacţiunea din blocajul „k” al sistemului de bază, când
acesta este încărcat de o forţă egală cu unitatea, aplicată pe direcţia
legăturii suprimate „i”;
∆k
- cedarea de reazem produsă pe direcţia reazemului „k”.
Prin rezolvarea celor două sisteme sisteme de ecuaţii (5.42) se
obţin cele patru elemente ale matricei de rigiditate:

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 113
respectiv:
1
1 2
x 1 = K11
şi x = K 21 , 5.45)
2
2
x 1 = K12
şi x 2 = K 22 . (5.46)
5.6.2. Folosirea metodei deplasărilor
Un al doilea procedeu, pentru determinarea elementelor matricei
de rigiditate, constă în aplicarea metodei deplasărilor, în cazul celor
două situaţii de încărcare desenate în figura 2.c şi d. Sistemul de bază
este arătat în figura 2.e.
Analizând sistemul de bază dinamic, figura 2.b, obţinut din
sistemul vibrant la care s-au blocat deplasările pe direcţiile GLD,
constatăm că acesta este un cadru cu noduri fixe. Sistemul de bază
corespunzător metodei deplasărilor, prezentat în figura 2.e, are nodurile
blocate.
Ecuaţia de echilibru, în formă matriceală, este:
r
[ r ] { z } { R } = { 0 } ; r = 1,
2
ij
r j
+ , (5.47)
ip
în care: [ rij ] reprezintă matricea coeficienţilor, matricea de rigiditate
dedusă în coordonatele statice ale sistemului;
nodurilor;
{ } r
z - vectorul necunoscutelor, deplasările unghiulare ale
j
r { }
R - vectorul termenilor liberi; termenii liberi sunt produşi de
ip
cedările de reazem, în cele două situaţii de încărcare,
r - situaţii de încărcare.
Pentru calculul termenilor liberi se produc, pe sistemul de bază,
în cazul structurii propuse în studiu, figura 5.3, cedări de reazem. Cele
două situaţii de încărcare sunt prezentate în figura 5.b şi c, iar pentru
calculul coeficienţilor, de exemplu în cazul primei necunoscute, z ,
deformata sistemului de bază, figura 3.a, este desenată în figura 3.d.
După ce se calculează coeficienţii şi termenii liberi, se rezolvă
cele două sisteme de ecuaţii de echilibru static. Cu necunoscutele
determinate se trasează diagramele de eforturi, momente încovoietoare.
Aplicând, apoi, principiul lucrului mecanic virtual se calculează, pentru
momentele încovoietoare determinate anterior, reacţiunile din reazemele
simple introduse pe direcţiile GLD. Aceste reacţiuni sunt identice cu
elementele matricei de rigiditate, pe care ne-am propus să o
determinăm.
1

114
a.
c.
2
R1p
K
Z1 Z2
K
2
R2p
Z3
SB
1
K
K
2
R3p
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii libere.
Metoda matricei de rigiditate
Fig. 5.3. Calculul elementelor matricei de rigiditate: a. sistem de bază;
b. deformata sistemului de bază pentru prima situaţie de încărcare, cedare de
reazem pe direcţia GLD1; c. deformata sistemului de bază pentru a doua situaţie de
încărcare, cedare de reazem pe direcţia GLD2; d. deformata sistemului de bază
pentru acţiunea Z1=1, în vederea calcululul coeficienţilor
b.
K
d.
K
Z1
1
R1p
K K
K K
1
R2p
K
1
R3p
SB
r11 31
21
5.6.3. Condensarea matricei de rigiditate
Un al trielea procedeu, pentru a găsi matricea de rigiditate în
coordonatele dinamice ale sistemului vibrant, constă în condensarea
matricei de rigiditate determinată corespunzător coordonatelor statice
ale sistemului vibrant, deci a matricei coeficienţilor din metoda
deplasărilor.
Sistemul vibrant este arătat în figura 4.a, iar sistemul de bază
corespunzător metodei deplasărilor în figura 4.b.
Pentru demonstraţie, se pleacă de la ecuaţia generală de
echilibru static, din metoda deplasărilor:
r
r
SB

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 115
sau
[ ]
[ ] { z } { P}
rij j = (5.48)
{ X}
⎫ ⎧{
p }
⎧
x ⎫
⎪
Y
⎪ ⎪
P
⎪
⎨⎧
⎫⎬
= ⎨⎧
⎫⎬
, (5.49)
⎪⎨
⎬
θ ⎪ ⎪⎨
⎬
M ⎪
⎩⎩
⎭⎭
⎩⎩
⎭⎭
rij y
unde: { X } reprezintă vectorul necunoscutelor deplasări liniare ale
nodurilor structurii pe direcţia axei OX;
a.
1
2
Fig. 5.4. Calculul elementelor matricei de rigiditate: a. sistem vibrant
(dinamic); b. sistem de bază în metoda deplasărilor
b.
Z3 Z4 Z5
m1 2
⎧Y
⎫
⎨ ⎬ - vectorul necunoscutelor: deplasări liniare pe direcţia axei
⎩θ⎭
OY şi deplasări unghiulare în raport cu axa OZ, ale nodurilor structurii;
P - vectorul termenilor liberi, în cazul forţelor exterioare
⎣ ⎦
aplicate în noduri. Elementele fiind acţiuni, vectorul termenilor liberi este
scris, în ecuaţiile de condiţie, în dreapta semnului de egalitate.
Dacă partiţionăm corespunzător şi matricea coeficienţilor, în
relaţia (5.49), aceasta devine:
[ r11]
[ r12
]
[ r ] [ ]
⎡
⎢
⎣
21
22
P y
{ X}
⎫ ⎧{
p }
⎧
x ⎫
⎤ ⎪
Y
⎪ ⎪
P
⎪
⎥ ⎨⎧
⎫⎬
= ⎨⎧
y ⎫⎬
⎦ ⎪⎨
⎬
θ ⎪ ⎪⎨
⎬
M ⎪
⎩⎩
⎭⎭
⎩⎩
⎭⎭
Z1
Z
. (5.50)
Cum { P x } ≠ { 0}
, iar
relaţia (5.50), rezultă:
⎧ ⎫
⎨ ⎬ = {} 0 , se va elimina vectorul
⎩M
⎭
⎧y⎫
⎨ ⎬ din
⎩θ⎭
⎧y⎫
⎨ ⎬
⎩θ⎭
[ ]{ X}
[ r ] = { P }
r11 + 12
x
, (5.51)

116
⎧y⎫
⎨ ⎬
⎩θ⎭
[ r ]{ X}
[ r ] = {} 0
21
+ 22
⎧y⎫
Din relaţia (5.52) se determină vectorul ⎨ ⎬ :
⎩θ⎭
−1
[ r ] [ r ]
Se substituie (5.53) în (5.51):
22
21
⎧y⎫
= −⎨
⎬
⎩θ⎭
−1
[ r ] − [ r ] [ r ] [ r ] ) { X}
= −{
P }
( 12 22 21
x
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii libere.
Metoda matricei de rigiditate
. (5.52)
. (5.53)
11 . (5.54)
În concluzie: matricea de rigiditate în coordonatele dinamice ale
sistemului vibrant, notată - [ K ] , se determină cu relaţia:
−1
[ K]
[ r ] − [ r ] [ r ] [ r ]
= . (5.55)
11
12
22
21

PROBLEME REZOLVATE 3
SISTEME CU n GLD – VIBRAŢII LIBERE
Problema 3.1
Să se determine pulsaţiile şi formele proprii de vibraţie ale
următoarelor sisteme dinamice şi să se verifice modurile proprii de
vibraţie.
3.1
3.2
1.5l
1
m1 m1
0.5l
1 2
l 2l
2l
Fig. 3.1
l
2
3

118
3.4
1
3.3
2EI
0.5l
m2
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii libere
m1
EI
EI
0.5l
Fig. 3.2
1
2
0.5h
2
l l l
Fig. 3.3
h
h

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 119
3.5
a
a
Breviar teoretic
EI
EI
2EI
2EI
1.5a
Fig. 3.4
m2=m
EI
m1=1.5m
DETERMINAREA MODURILOR PROPRII DE VIBRAŢIE
UTILIZÎND MATRICEA DE FLEXIBILITATE
Prin mod propriu de vibraţie se înţelege ansamblul format dintr-o
pulsaţie (valoare) proprie şi o formă (vector) proprie de vibraţie.
2EI
1. Constituirea matricei de inerţie, [m]
Matricea de inerţie a unui sistem dinamic se constituie prin
scrierea pe diagonala principală a maselor sistemului oscilant.
[ m]
⎡m1
⎢
⎢
⎢
= ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
0
m2
mj
0 ⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
mn
⎥⎦
2-3. Determinarea matricei de flexibilitate, [∆]
Matricea de flexibilitate a unui sistem vibrant are forma:
O
O
2
1
(3.1)

120
[ ∆]
⎡δ11
⎢
⎢
δ21
⎢ −
= ⎢
⎢δ
j1
⎢ −
⎢
⎢⎣
δn1
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii libere
δ12
δ22
−
δj2
−
δn2
L
L
−
L
−
L
δ1j
δ2j
−
δjj
−
δnj
L
L
−
L
−
L
δ1n
⎤
⎥
δ2n
⎥
− ⎥
⎥
δjn
⎥
− ⎥
⎥
δnn⎥⎦
(3.2)
unde δjk reprezintă deplasarea produsă pe direcţia GLD când structura
considerată este acţionată în dreptul masei mk şi pe direcţia GLD k de o
forţă egală cu unitatea.
Coeficientul de flexibilitate se determină cu relaţia Mohr -
Maxwell
Mj(
x)
Mk(
x)
δ jk = ∑∫ dx + K
(3.3)
EI
prin integrarea diagramelor de eforturi trasate în cele două stări de
acţionare: reală (SR) şi virtuală (SV).
4. Calculul valorilor (pulsaţiilor) proprii, ωj.
Ecuaţia generală a vibraţiilor libere ale sistemului vibrant cu un
GLD scrisă prin intermediul matricei de flexibilitate este:
[ ][ m ]{ y&
& ( t)
} + { y(
t)
} = { 0}
∆ (3.4)
Adoptând o soluţie particulară de formă armonică
ecuaţia (2.4) se transformă în:
{ y ( t)
} { A}
sin( ωt
+ )
= (3.5)
( ω )[ ][ m]
[ I]{
A}
{ 0}
2
− =
∆ , (3.6)
care reprezintă ecuaţia generală a vibraţiilor proprii a unui sistem
vibrant cu un GLD.
Ecuaţia (3.6) admite soluţii diferite de zero când determinantul
principal este nul:
sau
unde
[ ][ m]
− [ I]
= 0
ω 2
∆ (3.7)
[ ][ m ] − λ[
I]
= 0
∆ (3.8)
1
λ = ,
2
ω

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 121
iar matricea rezultată din înmulţirea matricei de flexibilitate cu matricea
de inerţie poartă denumirea de matrice dinamică a sistemului dinamic.
Prin dezvoltarea determinantului (ecuaţia 2.8) se obţine o ecuaţie
de gradul n în λ numită ecuaţia caracteristică sau ecuaţia valorilor
(pulsaţiilor) proprii.
5. Constituirea matricei spectrale, [ω 2 ]
Matricea spectrală se constituie prin scrierea pe diagonala
principală a pulsaţiilor sau a pătratului pulsaţiilor proprii în ordine
crescătoare:
2 [ ω ]
⎡ 2
ω
⎢ 1
⎢
⎢
= ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣ 0
2
ω
2
6. Verificarea pulsaţiilor proprii
O
2
ωj
O
0 ⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
2
ω ⎥
n ⎦
(3.9)
Pentru a verifica valorile proprii determinate se compară urma
(suma elementelor de pe diagonala principală) şi determinantul matricei
∆ ⋅ m cu urma şi determinantul inversei matricei spectrale
dinamice [ ] [ ]
[ ] 1
2
ω − şi dacă acestea sunt egale atunci avem certitudinea că sunt
corect calculate:
2
1
[ ][ m]
) u(
[ ω ] )
−
=
u(
∆ (3.10)
2
1
[ ][ m]
) det( [ ω ] )
−
=
det( ∆ . (3.11)
Practic verificarea constă în a determina eroarea absolută (εa) şi
eroarea relativ (εr%) cu relaţiile:
şi
şi
ε
a
2
−1
[ ][ m]
) − u(
[ ω ] )
= u(
∆ 3.12)
εa
εr
% =
u(
[ ∆][
m]
⋅ 100 <
)
0,
1
2
−1
[ ][ m]
) − det( [ ω ] )
εa
= det( ∆ (3.13)
,

122
εr
% =
det(
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii libere
εa
2 [ ω ]
⋅100
<
−1
)
unde 0,1 reprezintă eroarea relativă admisibilă acceptată pentru un
calculator electronic numeric.
0,
1
7. Determinarea vectorilor (formelor) proprii de vibraţie, {yi}.
Forma (vectorul) proprie de vibraţie reprezintă deformata
sistemului oscilant sub acţiunea amplitudinilor forţelor de inerţie.
sau
Ecuaţia vectorilor proprii adimensionali este:
[ ][ m]
− [ I]
){ yi}
= { 0}
( ω
2
j ∆ (3.14)
[ ][ m]
− λ[
I]
){ yi}
{ 0}
( ∆ =
(3.15)
Introducând succesiv valorile proprii în sistemul de ecuaţii al
formelor proprii de vibraţie se obţin n sisteme de ecuaţii, iar soluţiile
acestor sisteme, determinate admiţând yj,i=1, j fiind, în general, orice
GLD, dar acelaşi pentru cele n forme proprii de vibraţie, reprezintă
ordonatele proprii de vibraţie.
8. Constituirea matricei modale, [Y].
Matricea modală se constituie prin scrierea pe coloane a
vectorilor (formelor) proprii de vibraţie.
[ y] [ { y }{ y } K{
y } K{
y } ]
= (3.16)
9. Verificarea formelor proprii de vibraţie
1
2
Formele proprii de vibraţie determinate trebuie să verifice
condiţiile de ortogonalitate. Condiţia de ortogonalitate se aplică pentru
câte două forme proprii de vibraţie:
sau
T { } [ m]{
y } 0
i
n
,
yi r = (3.17)
n
∑ mj
y j,
iy
j,
r =
j=
1
0 . (3.18)
Verificarea corectitudinii formelor proprii de vibraţie se efectuează
prin calcularea erorii absolute şi a erorii relative:
n
εa
= ∑ mjy
j,
1y
j,
2 = A − B , (3.19)
j=
1

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 123
unde: A reprezintă o variabilă în care s-au cumulat valorile numerice
pozitive din sumă şi
B reprezintă o variabil în care s-au cumulat valorile numerice
negative din sumă,
εa
εr
% = ⋅ 100 < 0,
1 . (3.20)
A
DETERMINAREA MODURILOR PROPRII DE VIBRAŢIE
UTILIZÎND MATRICEA DE RIGIDITATE
1. Constituirea matricei de inerţie, [m]
[ m]
⎡m1
⎢
= ⎢
⎢
⎢
⎣
m2
O
mn
⎤
⎥
⎥ .
⎥
⎥
⎦
2-3. Determinarea matricei de rigiditate, [k]
Matricea de rigiditate a unui sistem dinamic are forma:
[ k]
⎡k11
⎢
⎢
k21
⎢ −
= ⎢
⎢k
j1
⎢ −
⎢
⎢⎣
kn1
k12
k22
−
k j2
−
kn2
L
L
−
L
−
L
k1j
k2j
−
k jj
−
knj
L
L
−
L
−
L
k1n
⎤
⎥
k2n
⎥
− ⎥
⎥ , (3.21)
k jn ⎥
− ⎥
⎥
knn
⎥⎦
unde kjj reprezintă forţa care aplicată în dreptul masei şi pe direcţia
GLD, în sistemul vibrant, produce o deplasare egală cu unitatea, în timp
ce deplasările pe direcţiile celorlalte GLD sunt blocate de forţele kij.
De asemenea, kij se defineşte şi ca reacţiunea ce ia naştere în
blocajul GLD j în care se produce o deplasare egală cu unitatea.
Pentru determinarea coeficienţilor de rigiditate kjk se aplică
metodele Staticii Construcţiilor, pe sistemului de bază dinamic (SBD),
constituit din sistemul vibrant, prin introducerea de blocaje GLD şi
încărcat succesiv cu deplasări egale cu unitatea produse pe direcţia
blocajelor GLD.
4. Calculul valorilor (pulsaţiilor) proprii, ωi
Ecuaţia generală a vibraţiilor libere a sistemului oscilant cu n GLD
scrisă prin intermediul matricei de rigiditate este:
[ m ]{ y(
t)
} [ k]{
y(
t)
} = { 0}
+ . (3.22)

124
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii libere
Aplicând soluţia particulară de tip armonic (3.5), ecuaţia (3.22)
devine:
2 [ k]
ω [ m]
) { A}
= { 0}
(
− (3.23)
şi reprezintă ecuaţia generală a vibraţiilor proprii a unui sistem vibrant
scrisă prin intermediul matricei de rigiditate.
Ecuaţia (3.23) admite soluţii diferite de zero când determinantul
principal este zero:
2 [ k]
ω [ m]
= 0
− . (3.24)
Prin dezvoltarea determinantului ecuaţiei (3.24) se obţine o
ecuaţie de gradul n în ω 2 numită ecuaţia caracteristică sau ecuaţia
valorilor (pulsaţiilor) proprii.
şi
5. Constituirea matricei spectrale, [ω 2 ]
2 [ ω ]
⎡ω
⎢
⎢
=
⎢
⎢
⎢
⎣
2
1
6. Verificarea pulsaţiilor proprii
u(
εr
% =
εr
% =
det(
ω
2
2
O
−1
2
[ m]
[ k]
) − u(
[ ω ]
u(
−1
[ m]
[ k]
−1
2
[ m ][ k]
) − det( [ ω ]
det(
)
−1
[ m]
[ k]
)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
2
ω ⎥
n ⎦
)
⋅ 100 <
0,
1
)
⋅ 100 <
0,
1
(3.25)
. (2.26)
7. Determinarea vectorilor (formelor) proprii de vibraţie, {yi}
Introducând succesiv valorile proprii în sistemul de ecuaţii al
formelor proprii de vibraţii adimensionale se obţin n sisteme de ecuaţii
ale căror soluţii, determinate pentru yj,I=1, reprezintă ordonatele
formelor proprii de vibraţie:

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 125
2 [ k]
− ω [ m]
) { y1}
= { 0}
1
2 [ k]
− ω [ m]
){ y } =
(
(
2 [ k]
− ω [ m]
(
2 [ k]
− ω [ m]
){ y } = { 0}
(
2
i
n
2
){ y ) =
i
n
{ 0}
− − − − − − − − − − − −
{ 0}
− − − − − − − − − − − −
8. Constituirea matricei modale, [y]:
[ y] = [ { y } { y } K{
y } K{
y } ]
9. Verificarea formelor proprii de vibraţie
1
2
i
n
. (3.27)
Aplicând condiţiile de ortogonalitate ale formelor proprii se
verifică corectitudinea formelor proprii de vibraţie determinate, prin
compararea erorii relative calculate cu eroarea relativă admisibilă a
instrumentului de calcul utilizat.
Aplicaţii
Aplicaţia 3.1
1. Constituirea matricei de inerţie, [m]
Pentru sistemul vibrant considerat, figura 3.1 şi ţinând seama de
datele numerice din tabelul 2.1, matricea de inerţie va fi:
⎡m
⎤
⎡2
0⎤
⎡2
0⎤
1
4
[ m]
= ⎢ ⎥ = m⎢
⎥ = 10 ⎢ ⎥
0 m2
0 1 ⎣0
1⎦
⎣
0
2. Determinarea matricei de flexibilitate,[∆]
⎦
⎣
⎦
(kg)
Prin integrarea diagramelor de momente din figura 3.5 se
determină elementele matricei de flexibilitate.

126
δ
11
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii libere
1.5l 0.5l l
3
2l
3l
= ; δ
32EI
0.38l
12
1,
1
l
Fig. 3.5
= δ
iar matricea de inerţie are forma:
3
21
3
7l
= − ; δ
32EI
l
M
1 1 M ,
1, 1 M , 2
22
=
3
32l
32EI
2 M
∆
⎡δ
δ ⎤ l ⎡ 3 − 7⎤
8 ⎡ 3 − 7⎤
(mN
⎣ ⎦
-1 )
11 12
−
[ ] = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = 9,
5238095 ⋅ 10 ⎢ ⎥
δ21
δ22
32EI
⎣−
7 32⎦
⎣−
7 32⎦
3. Calculul valorilor (pulsaţiilor) proprii, ωi
Introducând matricele de inerţie şi flexibilitate determinate mai
sus în ecuaţia caracteristică, aceasta devine:
ml
32EI
3
⎡ 3
⎢
⎣−
7
− 7⎤⎡2
⎥⎢
32⎦⎣0
şi prin dezvoltarea determinantului;
unde:
şi deci:
α
3
− 38α
2
0⎤
⎡1
⎥ − λ⎢
1⎦
⎣0
+ 94 = 0
32EI
32EI
1
α = λ = ⋅
3
3
ml ml ω
2
0⎤
⎥ = 0
1⎦
În urma rezolvării acestei ecuaţii se obţin următoarele rădăcini:
α1=35,34013464, α2=2,659865362

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 127
λ
1
=
35,
34013464
ml
3
;
32EI
Matricea spectrală va avea forma:
λ
2
=
2,
659865362
ml
3
32EI
⎡ 2 ⎤
2 ω 0 32EI
⎡0,
02829640 0 ⎤
[ ω ] = ⎢ 1 ⎥ =
2 ⎢
⎥
⎢ 0 ω ⎥ 3
ml ⎣ 0 0,
375958879⎦
⎣
şi utilizând date numerice, rezultă:
2
⎦
ω1=30,83438081 (rad s -1 );
T1=0,20377206 (s);
ω2=112,3931419 (rad s -1 );
T2=0,055903633
4. Verificarea pulsaţiilor proprii
Valorile pulsaţiilor proprii determinate mai sus sunt corecte dacă
verifică expresiile:
[ ][ m]
2
( ) = u⎜
[ ω ] ⎟
⎠
u ∆
det ∆
[ ][ m]
⎛
⎝
−1
2
( ) = det⎜[
ω ] ⎟
⎠
Utilizând matricele [∆], [m] şi [ω 2 ], determinate anterior, cele
două relaţii pentru verificare, exprimate prin intermediul erorilor
absolute şi relative, devin:
3
3
⎛ 2
−1
⎞ ml ml
εa
= u(
[ ∆ ][ m]
) − ⎜[
ω ] ⎟ = 38 − 38 = 0
⎝ ⎠ 32EI
32EI
ε = det ∆
a
[ ][ m]
⎛
⎞
%
ε r
⎛
⎝
= 0
⎛ 3
ml ⎞
⎜ ⎟
⎝
32EI
⎠
2
( ) − det⎜[
ω ] ⎟ = 94⎜
⎟ − 94,
00000002⎜
⎟ =
⎝
−1
⎠
2
⎞
−1
⎛ 3
ml ⎞
=
0,
00000002⎜
⎟
⎜ 32EI
⎟
⎝ ⎠
2
⎞
⎛ 3
ml ⎞
⎜ ⎟
⎝
32EI
⎠
2

128
εa
εr
% =
⎛ 3
ml ⎞
94⎜
⎟
⎜ EI ⎟
⎝ ⎠
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii libere
2
⋅ 100 =
1,
81 ⋅ 10
−8
<
0,
1
5. Calculul vectorilor (formelor) proprii de vibraţie, { y i}
Prima formă proprie de vibraţie se determină rezolvând sistemul
de ecuaţii:
⎪⎧
⎨
⎪⎩
( δ11m1
− λ1
) ⋅ y1,
1 + δ12m
δ m y + ( δ m − λ )
21
1
1,
1
22
2
2
2
y
⋅ y
2,
1
2,
1
= 0
= 0
Admiţând y2,1=1 din prima ecuaţie se obţine y1,1 şi ordonatele
formei proprii fundamentale de vibraţie vor fi:
{ y }
1
⎪⎧
y
= ⎨
⎪⎩
y
1,
1
2,
1
⎪⎫
⎧− 0,
238581045⎫
⎬ = ⎨
⎬
⎪⎭ ⎩1,
0
⎭
Cea de a doua formă proprie de vibraţie se determină prin
rezolvarea sistemului de ecuaţii al formelor proprii adimensionale:
⎪⎧
⎨
⎪⎩
( δ11m1
− λ2
) ⋅ y1,
2 + δ12m
δ m y + ( δ m − λ )
21
1
1,
2
22
2
2
2
y
⋅ y
2,
2
2,
2
= 0
= 0
Considerând y2,2=1, forma proprie de vibraţie va rezulta:
{ y }
2
⎪⎧
y
= ⎨
⎪⎩
y
1,
2
2,
2
⎪⎫
⎧2,
095723903⎫
⎬ = ⎨
⎬ .
⎪⎭ ⎩1,
0
⎭
Cele două forme proprii de vibraţie sunt trasate în figura 3.6.

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 129
y1 , 1 = 0.
238
y2 , 1 =
1 = 2.
0957
y1 , 1 = 1
y , 2
2l l
2l l
Fig. 3.6
6. Verificarea formelor proprii de vibraţie
Formele proprii de vibraţie vor fi verificate prin aplicarea
condiţiilor de ortogonalitate:
m
y
y
1 1,
1
1,
2
+ m
Aplicaţia 3.2
2
y
2,
1
y
2,
2
2
∑
j=
1
m y
j
= 2m
j,
1
y
j,
2
+ m ⋅ 1 ⋅ 1 = 2 ⋅ 4 ⋅ 10
−9
= 0
( − 0,
238581045)
⋅ ( 2,
095723903)
−9
= 0
2 ⋅ 4 ⋅ 10 m
−
εr
% =
⋅ 100 = 2,
4 ⋅ 10
1 ⋅ 1 ⋅ m
1. Constituirea matricei de inerţie, [m]
Conform datelor numerice ale sistemului oscilant considerat, figura 3.1,
matricea de inerţie se constituie sub forma:
⎡m1
⎡1,
5
7
<
0,
1
⎡1,
5
⎢
⎥ ⎢ ⎥
4 ⎢ ⎥
[ m]
=
0 m 0 = m 0 2 0 = 1,
53 ⋅ 10 0 2 0 , ( kg)
⎢
⎢
⎣ 0
0
2
0
0
⎤
⎥
m3
⎥
⎦
⎢
⎢
⎣ 0
0
0
0⎤
⎥
1⎥
⎦
⎢
⎢
⎣ 0
.
0
0
0⎤
⎥
1⎥
⎦
1
+

130
2. Determinarea matricei de flexibilitate, [∆]
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii libere
Elementele matricei de flexibilitate se determină prin integrarea
diagramelor de momente trasate în cele două stări de încărcare, reală şi
virtuală, şi prezentate în figura 3.7. Matricea de flexibilitate este:
1 4 7
1 4 7
3 ⎡
⎤
⎡
⎤
l 1
3EI
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎣7
54 125⎥
⎦
⎢
⎣7
54 125⎥
⎦
⎢
⎥
−7
⎢
⎥ −
[ ∆ ] = 4 27 54 = 2,
7210884 ⋅ 10 ⋅ 4 27 54 , ( mN )
l
3l
2l
1,
1
5l 4l
2l
1,
1
l 2l
2l
Fig. 3.7
3. Calculul valorilor (pulsaţiilor) proprii, ωi
1,
1
M
M
M
1 1 M ,
2 2 M ,
3 3 M ,
Ecuaţia caracteristică în care s-au introdus matricele de inerţie şi
de flexibilitate este în acest caz:
sau:
unde:
ml
3EI
3
α
⎡
⎢
1,
5
⎢
6
⎢
⎣10,
5
3
8
54
108
− 180,
5α
2
7 ⎤ ⎡1
⎥ ⎢
54
⎥
− λ
⎢
0
125⎥
⎦
⎢
⎣0
0
1
0
+ 1065α
− 480 = 0
3EI
3EI
1
α = λ = ⋅
3 3
ml ml ω
Rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt:
2
0⎤
⎥
0
⎥
= 0
1⎥
⎦

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 131
α1=174,409459, α2=5,59899808, α3=0,491542283
şi rezultă pentru pulsaţiile proprii valorile:
ω1=2,0326311 (rad s -1 ), ω2=11,34458006 (rad s -1 ),
Matricea spectrală este:
ω3=38,28804067 (rad s -1 ).
⎡ω
2
⎢ 1
⎥
2
2
[ ω ] = ⎢ 0 ω 0 ⎥ =
⎢
⎢ 0
⎣
⎡ −3
5,
7336339 ⋅ 10
3EI
⎢
= ⎢ 0
3
ml ⎢
⎢
0
⎣
4. Verificarea pulsaţiilor proprii
0
0
2
0
0
0
ω
2
3
⎤
⎥
⎥⎦
0,
178603383
0 ⎤
⎥
0 ⎥
2,
034412979
⎥
⎥⎦
Prin efectuarea produsului matriceal [∆][m], matricea rezultantă
este numită matricea dinamică, rezultă:
[ ∆ ][ m]
=
3
ml
3EI
⎡ 1,
5
⎢
⎢
6
⎢
⎣10,
5
8
54
108
7 ⎤
⎥
54
⎥
125⎥
⎦
Dacă urma şi determinantul matricei dinamice sunt egale cu
urma şi determinantul inversei matricei spectrale, exprimată în ω 2 ,
atunci rezultă că s-a calculat corect valorile proprii. Efectuând aceste
verificări obţinem:
şi
ε
a
⎛ 2
−1
⎞ −7
3EI
εa = u(
[ ∆ ][ m]
) − u⎜
[ ω ] ⎟ = 6 ⋅ 10 ⋅
3
⎝ ⎠
ml
ε
εr
% =
u
= det ∆
[ ][ m]
a
( [ A][
m]
)
⋅100
=
⎛
3,
546
−1
⎞
⋅ 10
−7
<
0,
1
3EI
2
−6
3
( ) − det⎜[
ω ] ⎟ = 1 ⋅ 8 ⋅10
( )
ε
εr
% =
det
a
⎝
( [ ∆][
m]
)
⎠
−7
⋅ 100 = 3,
75 ⋅ 10
<
ml
0,
1
5. Calculul vectorilor (formelor) proprii de vibraţie
3
.

132
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii libere
Introducând succesiv valorile pulsaţiilor proprii în sistemul de
ecuaţii al formelor proprii:
( δ11m1
− λi
) ⋅ y1,
i + δ12m2y2,
i + δ13m
δ21m1y1,
i + ( δ22m2
− λi
) ⋅ y2,
i + δ23m
δ m y + δ m y + ( δ m − λ )
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩ 31
1
1,
i
32
2
2,
i
33
3
3y3,
i = 0
3y3,
i = 0
i ⋅ y3,
i = 0
şi admiţând y3,I=1 se obţin formele proprii care constituie matricea
modală:
⎡0,
061374457 − 0,
378225022 9,
636072984⎤
⎢
⎥
[ Y]
=
⎢
0,
45128037 − 1,
068792955 − 2,
08969652
⎥
.
⎢
⎣ 1,
0
1,
0
1,
0 ⎥
⎦
Formele proprii sunt trasate în figura 3.8.
y1 , 1 = 0.
06
y1 , 2
=
0.
378
y1 , 3 = 2.
089
y2 , 1 = 0.
45
y2 , 2
y2 , 3
=
=
Fig. 3.8
1.
068
9.
63
6. Verificarea formelor proprii de vibraţie
y3 , 1 =
y3 , 2 =
y3 , 3 =
Formele proprii de vibraţie vor fi verificate prin aplicarea
următoarelor condiţii:
1
1
1

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 133
o ortogonalitatea formei 1 cu forma 2:
şi utilizând datele anterioare rezultă:
3
∑ mj
y j,
1 ⋅ y j,
2 = 0
j=
1
−9
−7
εa
= −3
⋅ 10 m,
εr
% = 3 ⋅ 10 <
o ortogonalitatea formei 1 cu forma 3:
εa
=
−1,
4
0,
1
−8
−7
⋅ 10 m,
εr
% = 7,
42 ⋅10
<
o ortogonalitatea formei 2 cu forma 3:
Aplicaţia 3.3
−8
−7
εa
= −3,
8 ⋅ 10 m,
εr
% = 6,
95 ⋅ 10 <
1. Constituirea matricei de inerţie, [m]
Ţinând seama de datele numerice cuprinse în tabelul 2.1
matricea de inerţie a sistemului vibrant considerat, figura 3.2, va fi:
[ m]
⎡1
⎢
= m
⎢
0
⎢
⎣0
0
1
0
0⎤
⎥
0
⎥
1⎥
⎦
2. Determinarea matricei de flexibilitate
Pentru determinarea coeficienţilor de flexibilitate utilizăm formula
Mohr - Maxwell şi diagramele de momente M şi M din stările reală şi
virtuală de încărcare care sunt trasate în figura 3.9.a, b. şi c, prin
utilizarea metodelor Staticii Construcţiilor.
sunt:
Integrând aceste diagrame, elementele matricei de flexibilitate
δ
11
M1M1
= ∑∫ dx = 7,
8014
EI
M1M2
δ12
= ∑∫ dx =
EI
1
δ23 = 0,
4726 , δ13
=
EI
1
δ22 =
1,
1574 , δ33
=
EI
−0,
2366
3,
6393
3,
2248
1
EI
1
EI
1
EI
1
EI
0,
1
0,
1

134
şi matricea de flexibilitate devine:
[ ∆ ]
=
⎡ 7,
8014
1 ⎢
⎢
− 0,
2366
EI
⎢
⎣ 3,
6393
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii libere
−
0,
2366
1,
1574
0,
4726
3. Calculul valorilor (pulsaţiilor) proprii, ωi
3,
6393⎤
⎥
0,
4726
⎥
3,
2248⎥
⎦
Ţinând seama de matricele de flexibilitate şi inerţie, determinate
anterior, ecuaţia caracteristică va avea forma:
m
EI
⎡
⎢
⎢
−
⎢
⎣
7,
8014
0,
2366
3,
6393
−
0,
2366
1,
1574
0,
4726
Introducând notaţia:
3,
6393 ⎤ ⎡1
⎥ ⎢
0,
43,
2248726
⎥
− λ
⎢
0
⎥
⎦
⎢
⎣0
EI
α =
m
λ
0
1
0
0⎤
⎥
0
⎥
= 0
1⎥
⎦
şi efectuând diferenţa celor două matrice ecuaţia caracteristică devine:
7,
8014
−
0,
2366
3,
6393
− α
−
0,
2366
1,
1574
0,
4726
− α
3,
6393
0,
4726
3,
2248
− α
= 0
Prin dezvoltarea determinantului se obţine ecuaţia caracteristică:
ale cărei rădăcini sunt:
α 3 -12,1836α 2 +24,3958α-11,05178=0
α1=9,81208592,
α2=1,71460089,
Matricea spectrală are forma:
[ ω ] 2
=
iar perioadele proprii:
şi
⎡0,
101915128
EI ⎢
⎢
0
m
⎢
⎣ 0
α3=0,656913185.
0
0,
851353007
0
T1=0,064521966 (s),
T2=0,022324 (s)
T3=0,016692373 (s).
0 ⎤
⎥
0
⎥
1,
52271166⎥
⎦

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 135
şi
4. Verificarea pulsaţiilor proprii
m ⎛ −1
⎞
m
U [ ∆ ][ m]
r
EI ⎝ ⎠
EI
2
( ) = 12,
1836 , U⎜[
ω ] ⎟ = 12,
1836 , ε % = 0
m 3
det ( [ ∆ ][ m]
) = 05978341(
) ,
EI
2 [ ω ]
⎛ −1
⎞
⎛ m ⎞
det⎜ ⎟ = 11,
05178343⎜
⎟
⎝ ⎠
⎝ EI ⎠
ε % = 2,
08 ⋅ 10
r
−7
<
0,
1
5. Calculul vectorilor (formelor) proprii de vibraţie
Prin introducerea în sistemul de ecuaţii al formelor proprii
adimensionale a matricelor de inerţie şi de flexibilitate şi a pulsaţiilor
proprii se obţin, în cazul analizat, trei sisteme de ecuaţii. Soluţiile
acestor sisteme pentru y3,i = 1 reprezintă formele proprii:
{ y }
1
{ }
y 2
{ }
y 3
⎧ 1,
809374292
⎪
= ⎨5,
1419592 ⋅ 10
⎪
⎩ 1,
0
−3
⎫
⎪
⎬ ,
⎪
⎭
⎧− 0,
555758284⎫
⎪
⎪
= ⎨ 1,
084155486 ⎬ ,
⎪
⎪
⎩ 1,
0 ⎭
⎧ − 0,
54925585 ⎫
⎪
⎪
= ⎨−
1,
203935681⎬
.
⎪
⎪
⎩ 1,
0 ⎭
Formele proprii de vibraţie sunt trasate în figura 3.9.d, e şi f.
6. Verificarea formelor proprii de vibraţie
Aplicăm condiţiile de ortogonalitate ale formelor proprii:
3

136
a.
c.
1.
3265
2.
4458
e.
y , 2
0.
8892
3 =
3
∑
j=
1
=
1.
75
0.
2723
M1,
M1
M3,
M3
0.
5867
y1 , 2 = 0.
5557
1.
0
m y
j
y , 2
2 =
j,
1
y
1.
084
1.
4777
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii libere
y , 3
f.
2 =
b.
d.
Fig. 3.9
( 1,
089374292)(
− 0,
555758284)
5,
1419592
j,
2
=
⋅ 10
0;
−3
m
y
y
1 1,
1
1,
2
0.
463
y3 , 1 = 1
y2,
1 =
y , 1
y3 , 1 = 0.
549
1.
204
+ m
m +
y3 , 3 = 1
⋅ 1,
084155486m
+ m ⋅ 1 ⋅ 1
2
y
2,
1
y
2,
2
M
2, M2
1 =
1.
809
−3
5.
14 ⋅10
+ m
3
y
3,
1
y
3,
2
0.
463
=
,

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 137
ε
a
= 4,
005574683m
− 1,
005574687m
=
ε % = 3,
18 ⋅ 10
r
3
∑ mjy
j,
1y
j,
3 =
j=
1
3
∑ mjy
j,
2y
j,
3 =
j=
1
0;
ε
0;
ε
−7
a
<
0,
1
−4,
4
−9
⋅ 10 ; εr
% =
−3,
2
3,
37
⋅ 10
−9
−7
a = −3
⋅ 10 ; εr
% = 3 ⋅ 10 <
=
−9
0,
1
,
−7
⋅ 10 <
şi din calculele efectuate a rezultat corectitudinea formelor proprii.
Aplicaţia 3.4
1. Constituirea matricei de inerţie, [m]
Conform datelor numerice ale sistemului dinamic considerat,
figura 3.3, matricea de inerţie se constituie sub forma:
⎡m
⎢
⎣ 0
0 ⎤
⎥
m2
⎦
⎡2
⎢
⎣0
0⎤
⎥
1⎦
⎡2
⎢
⎣0
0⎤
⎥
1⎦
1
4
[ m]
=
= m = 1,
53 ⋅ 10 , ( kg)
2. Determinarea matricei de flexibilitate,[∆]
Eforturile din barele grinzii cu zăbrele şi valorile coeficienţilor de
flexibilitate sunt cuprinse în tabelul 3.1 şi au fost determinate aplicând
metoda izolării nodurilor şi corespunzător formulei Mohr - Maxwell.
Bara lkr 1
kr
N
2 1 2
N ( N ) l
kr kr kr
0,
1
Tabelul 3.1
1 2 2
( N ) ⋅ ( N ) l
kr kr kr
1,2 4.3 -1.024 -0.4095 4.5089 0.7211 1.8031
1,3 5.0 0.5952 0.328 1.7713 0.2832 0.7083
2,3 4.3 -0.2048 0.4095 0.1804 0.7211 -0.3606
2,4 5.0 0.4761 -0.476 1.1334 1.1329 1.1331
3,4 4.3 0.2048 -0.4095 0.1804 0.7211 -0.3606
3,5 5.0 0.3571 0.714 0.6376 2.549 1.2748
4,5 4.3 -0.2048 0.4095 0.1804 0.7211 -0.3606
4,6 5.0 -0.2380 -0.952 0.2833 4.5315 1.1331
5,6 4.3 0.2048 0.819 0.1804 2.8843 0.7212
5,7 5.0 0.1190 0.476 0.0709 1.1329 0.2833
6,7 4.3 -0.2048 -0.819 0.1804 2.8843 0.7212
∑ ⋅
1 2
N N
δ = kr kr
ij
EA
∑ 9.3074 18.2825 6.6963
kr

138
Matricea de flexibilitate se constituie sub forma:
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii libere
1 ⎡9,
3074 6,
6963 ⎤
∆ .
[ ] = ⎢
⎥
EA ⎣6,
6963 18,
2825⎦
3. Calculul pulsaţiilor proprii, ωi
Ţinând seama de matricele de flexibilitate şi de inerţie, ecuaţia
caracteristică este:
λ
ale cărei rădăcini sunt:
2
−
m
36,
8973
EA
m
= 27,
9201 ; λ
EA
λ1 2
Matricea spectrală va avea forma:
⎛ m ⎞
+ 250,
6442⎜
⎟ = 0
⎝ EA ⎠
=
8,
9772
EA ⎡0,
0358 0 ⎤
[ ω ] = ⎢
⎥
m ⎣ 0 0,
1114⎦
2
4. Verificarea pulsaţiilor proprii
2
m
EA
⎛ −1
⎞
εa = u [ ∆ ][ m]
11 1 22 2 1 2 )
⎝ ⎠
ε = det ∆
a
2
( ) − u⎜[
ω ] ⎟ = ( δ m + δ m ) − ( λ + λ =
[ ][ m]
m
m
= 36 , 8973 − 36,
8973 = 0
EA
EA
⎛
%
ε r
= 0
2
2
( ) − det⎜[
ω ] ⎟ = m m ( δ δ − δ ) − ( λ ⋅ λ ) =
2
⎝
−1
⎞
⎠
⎛ m ⎞
⎛ m ⎞
− 4 ⎛ m ⎞
= 250, 6442⎜
⎟ − 250,
6443217⎜
⎟ = −1,
217 ⋅ 10 ⋅ ⎜ ⎟
⎝ EA ⎠
⎝ EA ⎠
⎝ EA ⎠
εa
εr
% =
⎛ m ⎞
250,
0644⎜
⎟
⎝ EA ⎠
1
2
=
2
11
2
4,
86
22
−
⋅10
5. Calculul valorilor (formelor) proprii de vibraţie
Prima formă proprie de vibraţie se determină rezolvând
următorul sistem de ecuaţii:
5
12
<
0,
1
1
2
2

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 139
⎪⎧
− 9,
3053y
⎨
⎪⎩
13,
3926y
1,
1
1,
1
+ 6,
6963y
− 9,
6376y
2,
1
2,
1
= 0
= 0
obţinut prin introducerea matricei de flexibilitate şi de inerţie şi a valorii
proprii
m
λ1 = 27,
9507
EA
în sistemul de ecuaţii ale formelor proprii.
Admiţând y2,1=1, rezultă y1,1=0,7196.
Cea de a doua formă proprie de vibraţie se determină identic,
folosind cea de a doua valoare proprie
m
= 8,
9772 rezulta : y2,
2 = 1;
y1,
= −0,
9648 .
AE
λ2 2
Matricea modală devine:
⎡0, 7196 − 0,
6948⎤
y .
[ ] = ⎢
⎥
⎣ 1 1 ⎦
6. Verificarea formelor proprii de vibraţie
Prin aplicarea condiţiei de ortogonalitate a celor două forme
proprii de vibraţie se obţine o eroare absolută:
ε
=
a
= m
2m
⋅
1
şi o eroare relativă:
y
1,
1
y
0,
7196
1,
2
+ m
2
y
2,
1
y
2,
2
⋅ ( −0,
6948)
+ m ⋅ 1 ⋅ 1 =
εa
εr
% = =
m
4,
384
=
−
⋅10
3
<
4,
384
0,
1
,
−
⋅ 10
atestând corectitudinea valorilor ordonatelor formelor proprii de vibraţie.
Aplicaţia 3.5
1. Constituirea matricei de inerţie [m]
⎡m
⎡1,
5
0⎤
1 [ m]
= ⎢ ⎥ = m⎢
⎥
0 m2
⎣ 0 1⎦
⎣
2-3. Determinarea matricei de rigiditate, [k]
0
Matricea de rigiditate, în coordonatele dinamice ale sistemului
vibrant, se va determina din matricea de rigiditate a structurii în
coordonatele statice, patru rotiri: Z3….Z6 şi două translaţii, pe direcţia
gradelor de libertate: Z1 şi Z2, figura 3.4, prin procedeul de condensare.
⎤
⎦
5
m

140
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii libere
Dacă se notează matricea de rigiditate a structurii cu [R], aceasta
are forma:
[ R]
⎡r11
⎢
⎢
r21
⎢ −
⎢
= ⎢r31
⎢ L
⎢
⎢ L
⎢
⎣r61
r
r
r
r
12
22
−
32
L
L
62
|
|
−
|
|
|
|
r
r
r
r
13
23
−
33
L
L
63
r
r
r
r
14
24
−
34
L
L
64
r
r
r
r
15
25
−
35
L
L
65
r16
⎤
⎥
r26
⎥
− ⎥
⎥ ⎡
r36
⎥ = ⎢
L ⎥ ⎣
⎥
L ⎥
r
⎥
66 ⎦
[ ] [ ]
[ ] [ ] ⎥ R11
R12
⎤
R21
R22
⎦
în care: rij reprezintă reacţiunea din blocajul i, când în blocajul j se
produce, pe sistemul de bază din metoda deplasărilor, o deplasare egală
cu unitatea, atunci matricea de rigiditate a sistemului oscilant se
calculează cu relaţia:
−1
[ K]
= [ R ] − [ R ][ R ] [ R ]
11
12
Coeficienţii de rigiditate rij se determină prin scrierea ecuaţiilor de
echilibru static pe noduri (∑ = M 0),
în deformate şi ecuaţii de lucru
j
mecanic virtual, LMV=0, în deplasate, figura 3.10. Constituim matricea
de rigiditate [R], care are forma:
[ R]
⎡ 54EI
⎢ 3
⎢ a
⎢
⎢ 24EI
⎢−
3
⎢ a
⎢ _
⎢ 6EI
⎢
−
= 2
⎢
a
⎢ 0
⎢
⎢
⎢
⎢
6EI
⎢ 2
a
⎢ 6EI
⎢
2
⎣ a
24EI
−
3
a
22
21
[ R ] |
[ R ]
11
_
24EI
a
_
6EI
−
2
a
6EI
−
2
a
[ R ] |
[ R ]
21
3
6EI
−
2
a
6EI
−
2
a
|
|
_
|
|
|
|
6EI
−
2
a
6EI
−
2
a
_
12EI
a
0
2EI
a
0
0
6EI
−
2
a
_
0
14EI
a
0
2EI
a
12
_
22
6EI
a
2
6EI
−
2
a
_
2EI
a
0
10EI
1,
5a
2EI
1,
5a
6EI
⎤
2 ⎥
a ⎥
⎥
6EI
⎥
−
2 ⎥
a ⎥
_ ⎥
0
⎥
⎥
⎥
2EI
⎥
a ⎥
⎥
⎥
2EI
⎥
1,
5a
⎥
10EI
⎥
⎥
1,
5a
⎥⎦
care prin condensare ne conduce la matricea de rigiditate a sistemului
oscilant:
EI ⎡ 39,
90468365 − 18,
43878389⎤
[ K]
= ⎢
⎥ .
3
a ⎣−
18,
43878389 11,
738701173 ⎦

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 141
EI
EI
2EI
EI
2EI 2EI
5 6
3
4
2
1
2
1
Z5
a .
b.
c.
6EI
2
a
e.
ψ
a
∆
=
6 EI
2
a
6EI
2
a
ψ
a
∆
=
r11
3 ⋅ 2EI
2
a
r 51
6EI
2
a
6 ⋅ 2EI
2
a
d.
6EI
2
a
f.
Fig.3.10.a
Z3
Z6
Z4
r31
Z1 = 1
r61
r41
Z2
Z1
r21
6EI
2
a
3 ⋅ 2EI
2
a
r21
6EI
2
a
r11

142
6EI
2
a
a.
6EI
2
a
c.
4EI
a
f.
r32
r52 r62
6EI
2
a
r42
ψ
a
∆
=
ψ
a
∆
=
r12
r22
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii libere
r22
6EI
2
a
r25
6EI
2
a
d.
b.
r55
4EI
a
2EI
a
e.
Fig.3.10.b
ψ
a
6EI
2
a
∆
=
r65
r35 r45
ψ
a
∆
=
r12
r25
r15
r15

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 143
r54
r64
4EI
a
r24
r34
3 ⋅ 2EI
1.
5a
r44
3EI
r14
a .
a
b.
c.
ψ
a
∆
=
Fig. 3.10.c
4. Calculul valorilor proprii, ωi
ψ
a
∆
=
r24
4EI
a
2EI
a
4EI
a
2EI
a
Introducând matricele de inerţie şi de flexibilitate, deduse la
punctele 1, 2 şi 3 în ecuaţia caracteristică (3.24) se obţine:
a
⎡ 39,
90468365
⎢
⎣−
18,
43878389
− 18,
43878389⎤
⎡1,
5
⎥ − ω m⎢
11,
73870177 ⎦ ⎣ 0
EI 2
3
şi prin dezvoltarea determinantului:
1,
5m
2
ω
4
mEI
− 57,
51273625 ω
3
a
Rădăcinile ecuaţiei de mai sus sunt:
2
EI
ω = 2,
381125963 ,
1
3
ma
2
⎛ EI ⎞
+ 128,
4404277 ⎜
3 ⎟
⎝ a ⎠
0⎤
⎥ = 0
1⎦
2
= 0
r14

144
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii libere
2
EI
ω = 35,
96069821 .
2
3
ma
5. Constituirea matricei spectrale, [ω 2 ]
2 EI ⎡2,
381125953 0 ⎤
[ ω ] =
3 ⎢
⎥
ma 0 35,
96069821⎦
6. Verificarea pulsaţiilor proprii
Efectuând produsul matriceal:
EI
⎣
⎡ 26,
60312243
− 12,
29052259⎤
−1
[ m]
[ K]
=
3 ⎢
⎥
ma − 18,
43878389 11,
73870173 ⎦
⎣
verificarea pulsaţiilor proprii se efectuează prin intermediul erorilor
relative, rezultă:
sau
u
ε % =
r
det
ε % =
r
−1
2
( [ m]
[ K]
) − u(
[ ω ] )
−1
u(
[ m]
[ K]
)
−1
2
( [ m]
[ k]
) − det(
[ ω ] )
−1
det(
[ m]
[ K]
)
7-8. Determinarea vectorilor proprii, { X i}
⋅ 100 = 0
⋅ 100 = 0
2 2
1 2
ω
Prin introducerea succesiv a valorilor proprii în sistemul
, ω
de ecuaţii al formelor proprii de vibraţie se obţin două sisteme de
ecuaţii:
sau
⎧⎛
⎪ ⎜
⎪⎝
⎪
⎪
⎪
⎪−
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
2 ( K11
− ω ) 1m1
⋅ X1,
1 + K
2
K21X1,
1 + ( K22
− ω m2
)
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
1
12X2,
1 = 0
⋅ X2,
1 = 0
EI
39,
90468365
3
a
EI
− 2,
381125953
3
ma
⎞
⋅ 1,
5m
⎟ ⋅ X1,
1 −
⎠
⎨
EI
18,
43878389
3
a
⋅ X1,
1 +
EI
− 18,
43878384
3
a
⋅ X2,
1 = 0
⎛
EI
+
⎜
⎜11,
73870173
3
⎝
a
EI
− 2,
381125953
3
ma
⎞
m
⎟ ⋅ X2,
1
⎠
= 0

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 145
şi
⎧⎛
⎪ ⎜
⎪⎝
⎪
⎪
⎪
EI
39,
90468365
3
a
EI
− 35,
96069821
3
ma
⎞
⋅ 1,
5m
⎟ ⋅ X1,
2 −
⎠
⎨
EI
18,
43878389
3
a
⋅ X1,
2 +
EI
− 18,
43878389
3
a
⋅ X2,
2 = 0
⎛
EI
+
⎜
⎜11,
73870173
3
⎝
a
EI
− 35,
96069821
3
ma
⎞
m
⎟ ⋅ X2,
2
⎠
= 0
⎪−
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Rezolvând sistemele de ecuaţii ale formelor proprii pentru X2,1=1,
respectiv X2,2=1, stabilim următoarea soluţii:
şi
Matricea modală are forma:
X1,1=0,507494194
X1,2=-1,313643927.
⎡0, 507494194 − 1,
313643927⎤
[ X]
= ⎢
⎥
⎣ 1
1 ⎦
9. Verificarea formelor proprii de vibraţie
Aplicăm condiţia de ortogonalitate:
T { } [ m]{
X } 0
X1 2 =
şi determinăm eroarea absolută şi cea relativă:
ε
a
= X
1,
1
X
1,
2
m
1
= 0,
507494194
+ X
2,
1
X
2,
2
m
2
=
−9
( − 1,
313643927)
⋅ 1,
5m
+ 1 ⋅ 1 ⋅ m = 1,
09 ⋅ 10 m
−9
1,
09 ⋅ 10 ⋅ m
εr
% =
=
1 ⋅ 1 ⋅ m
1,
09
−
⋅ 10
7
< 0,
1.

CAPITOLUL 6
SISTEME VIBRANTE CU nGLD
6.Vibraţii forţate produse de acţiunea unor forţe
perturbatoare armonice
6.1. Metoda matricei de rigiditate
6.1.1. Aspecte teoretice
Se consideră un sistem vibrant cu n GLD acţionat de un sistem
de forţe perturbatoare armonice, figura 6.1.a.
Se constituie vectorul forţelor perturbatoare, { ( t)
}
F , de forma:

146
a.
b.
e.
y1( t )
R0,
1
m1 m2 j m
F ( t ) F2( t )
1
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii forţate.
Metoda matricei de rigiditate. Metoda matricei de flexibilitate
Fk ( t )
1 2 j
n
y2( t )
y j ( t )
c. ( t )
d.
R1, F
R1 , j
( t )
( t )
R2 , F
R2, j
F1 ( t )
( t )
( t )
F2( t )
I j y j ( t )
Rj , j
R j , F
( t )
( t )
Rk , F
Rk , j
( t )
Fk ( t )
( t )
Rn, F
y n(
t )
Rn, j
F0, 1 F0, 2
F0 , k
F0, m
R R 0, 2
0, j R0, k R0, n
Fig. 6.1. Sistem vibrant cu nGLD acţionat de forţe perturbatoare:
a.sistem vibrant acţionat de un sistem de forţe perturbatoare;
b.deformata sistemului sub acţiunea forţelor perturbatoare; c. sistem
de bază dinamic - deplasările blocate pe direcţia GLD; d. deformata
sistemului de bază produsă de o cedare de reazem; e. sistem de bază
acţionat de forţele perturbatoare considerate; f. sistem de bază
acţionat de amplitudinile forţelor perturbatoare
( t )
mn
( t )
Fm( t )
SV
Fm( t )

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 147
{ F(
t)
}
⎧F1
( t)
⎫
⎪ ⎪
⎪
F2(
t)
⎪
⎪ . ⎪
= ⎨ ⎬
⎪Fk
( t)
⎪
⎪ . ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
Fm(
t)
⎪⎭
. (6.1)
Sub acţiunea forţelor perturbatoare la un moment dat t al
vibraţiilor, pe direcţiile GLD se pot măsura deplasări dinamice, notate
( t)
, ordonate în vectorul y ( t)
:
y j { }
{ y(
t)
}
⎧y1(
t)
⎫
⎪ ⎪
⎪
y 2(
t)
⎪
⎪ . ⎪
= ⎨ ⎬ . (6.2)
⎪y
j(
t)
⎪
⎪ . ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
yn(
t)
⎪⎭
Pentru a analiza vibraţiile forţate ale sistemelor cu n GLD se va
utiliza un sistem de bază dinamic, figura 1.c, obţinut prin blocarea
tuturor deplasărilor pe direcţiile GLD.
Sistemul de ecuaţii de echilibru dinamic instantaneu se deduce
prin producerea, succesivă, de deplasări pe direcţiile GLD egale cu
deplasările reale ( t)
, aplicate ca cedări de reazeme, în „n” situaţii de
y j
încărcare, pe sistemul de bază dinamic.
Urmând raţionamentele de la vibraţiile libere ale sistemelor cu n
F ( t)
, de forma:
GLD se constituie vectorul forţelor de inerţie, { }
⎧I1(
t)
⎫
⎪ ⎪
⎪
I2
( t)
⎪
⎪ . ⎪
⎨ ⎬
⎪I
j(
t)
⎪
⎪ . ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
In(
t)
⎪⎭
{ I(
t)
} = = −[
m]{
}
y&
& ( t)
. (6.3)
unde: [ m ] reprezintă matricea diagonală a maselor sau matricea de
inerţie;
{ y& ( t)
& }
- vectorul acceleraţiilor

148
şi vectorul forţelor elastice, { ( t)
}
F e
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii forţate.
Metoda matricei de rigiditate. Metoda matricei de flexibilitate
, calculat cu relaţia:
[ K]
{ y(t) }
Fe ( t)
= , (6.4)
în care [ K ] reprezintă matricea de rigiditate a sistemului vibrant,
determinată în coordonatele dinamice ale sistemului.
Ecuaţiile de echilibru dinamic instantaneu, stabilite prin aplicarea
principiului lui d’Alambret, au alura:
unde vectorul { ( t)
}
{ ( t)
} + [ K]
{ y(t) } + { R ( t } = { 0}
− I F ) , (6.5)
R F are forma următoare:
{ R ( t)
}
F
⎧R1,
F(
t)
⎫
⎪ ⎪
⎪
R 2,
F(
t)
⎪
⎪ . ⎪
= ⎨ ⎬ , (6.6)
⎪
R j,
F ( t)
⎪
⎪ . ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
R n,
F ( t)
⎪⎭
în care, ( t)
reprezină reacţiunea din blocajul „j” când sistemul de
R j,
F
bază dinamic este acţionat simultan de forţe perturbatoare exterioare.
Deoarece forţele perturbatoare considerate, în studiu, sunt
armonice, de tipul:
( t)
= F sin θt
, (6.7)
rezultă:
şi
Fk 0,
k
{ ( t)
} { R } sin θt
R F 0
{ R }
0
= (6.8)
⎧R
0,
1 ⎫
⎪ ⎪
⎪
R 0,
2 ⎪
⎪ . ⎪
= ⎨ ⎬ , (6.9)
⎪
R 0,
j ⎪
⎪ . ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
R 0,
n ⎪⎭
unde R 0 , j reprezintă reacţiunea din blocajul „j” când sistemul de bază
dinamic este acţionat simultan de amplitudinile forţelor perturbatoare
F 0
, k
.

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 149
Răspunsul permanent al sistemului, la acţiuni de tip armonic, are
totdeauna o variaţie armonică de forma:
{ ( t)
} { y}
sin θt
y = , (6.10)
în care s-a notat cu { y } vectorul deplasărilor dinamice maxime (în regim
forţat).
De asemenea, în aceste condiţii, forţele de inerţie sunt
determinate cu relaţia:
2 { I(
t)
} θ [ m]
{ y}
sin θt
= , (6.11)
unde amplitudinile forţelor de inerţie formează vectorul:
2 { I}
θ [ m]
{ y}
= . (6.12)
Introducând expresiile (6.8), (6.10), (6.11) în (6.5) se obţine
sistemul de ecuaţii:
2 [ K]
− θ [ m)
] { y}
+ { R } ) = { 0}
care reprezintă un sistem de ecuaţii algebrice.
( , (6.13)
Pentru ca sistemul, de mai sus, să admită soluţii finite este
necesar ca determinantul principal al sistemului să fie diferit de zero.
Deci:
2 [ ] − θ [ m)
] ≠ 0
0
K . (6.14)
Dacă determinantul este nul, atunci deplasările tind către infinit,
situaţie în care ω
θ = , deoarece
2 [ ] − θ [ m)
] = 0
K . (6.15)
Rezultă că întâlnim mai multe situaţii de rezonanţă, şi anume:
6.1.2. Ordinea de calcul
θ = ωi
, i = 1, n . (6.16)
În vederea aflării răspunsului dinamic în deplasări şi în eforturi se
parcurg următoarele etape de calcul:
a. Se determină matricea de rigiditate în coordonatele dinamice
ale sistemului vibrant, [ K ] ;
b. Se constituie matricea maselor, [ m ] ;
c. Se calculează vectorul termenilor liberi, { R 0 } .

150
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii forţate.
Metoda matricei de rigiditate. Metoda matricei de flexibilitate
În cazul în care forţele perturbatoare sunt aplicate în dreptul
maselor şi pe direcţiile GLD se poate scrie egalitatea:
{ R } −{
F }
0
= ; (6.17)
0
d. Se rezolvă sistemul de ecuaţii (6.13) şi se determină vectorul
deplasărilor { y } , reprezentămd răspunsul dinamic în deplasări
ale sistemului;
e. Se trasează diagramele de eforturi maxime şi minime prin
acţionarea sistemului vibrant cu amplitudinile forţelor de
inerţie, cu dublu sens, realaţia (6.12), vectorul forţelor
perturbatoare, cu dublu sens şi vectorul forţelor
gravitaţionale.
6.2. Metoda matricei de flexibilitate
6.2.1. Aspecte teoretice
În vederea rezolvării problemei se consideră un sistem vibrant cu
n GLD, desenat în figura 6.2, acţionat de un sistem de forţe
perturbatoare. La momentul „t” al vibraţiei, pe direcţiile GLD se măsoară
deplasările dinamice instantanee, ( t)
. Vectorul deplasărilor are forma:
{ y(
t)
}
y j
⎧y1(
t)
⎫
⎪ ⎪
⎪
y 2(
t)
⎪
⎪ . ⎪
= ⎨ ⎬
⎪y
j(
t)
⎪
⎪ . ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
yn(
t)
⎪⎭
(6.18)
Deplasările pe direcţiile GLD se obţin, prin suprapunerea
efectelor, acţionând sistemul vibrant cu forţele de inerţie şi forţele
perturbatoare, v. figura 6.2.b:
sau
{ ( t)
} [ ∆]
{ I(t) } + { ∆ ( t)
}
y F
= (6.19)
{ ( t)
} − [ ∆]
{ I(t) } + { ∆ ( t)
} = { 0}
y F , (6.20)
unde: [ ∆ ] reprezintă matricea de flexibilitate a sistemului vibrant;
{ I(
t)
} - vectorul forţelor de inerţie, determinat cu relaţia:
{ I(
t)
} −[
m]
{ y&
& (t) }
= ; (6.21)

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 151
a.
b.
c.
d.
e.
y1( t )
I1 ( t )
y1( t )
δ11
∆0,
1
1
m1 m2 j m
F1 ( t ) F2( t )
1 2 j
n
y2 ( t )
δ21
F 1
y2 ( t )
( t )
( t )
I 2
F2( t )
y j ( t )
I j ( t )
y j ( t )
δ j1
F0, 1 F0, 2
F0, k
∆0,
2
∆0,
j
Fk ( t )
Fk ( t )
y n(
t )
In ( t )
y n(
t )
0,
n
δn1
mn
F0, m
Fig. 6.2. Sistem vibrant cu n GLD:
a. sistemul acţionat de forţe perturbatoare; b. deformata sistemului sub
acţiunea forţelor perturbatoare; c. şi d. deformatele sistemului vibrant
produse de acţiuni egale cu unitatea aplicate succesiv în dreptul maselor şi
pe direcţiile GLD; e. deformata sistemului produsă de amplitudinile forţelor
perturbatoare.
∆
Fm( t )
SV
Fm( t )

152
Sisteme vibrante cu nGLD. Vibraţii forţate.
Metoda matricei de rigiditate. Metoda matricei de flexibilitate
{ ∆F
( t)
} - vectorul deplasărilor produse de forţele perturbatoare,
care reprezintă termenul liber al ecuaţiei matriceale de echilibru dinamic
instantaneu.
Ecuaţia matriceală (6.20), după introducerea relaţiei (6.21),
devine:
[ ∆ ] [ m]
{ y&
( t)
} + { y(
t)
} − { ∆ ( t)
} = { 0}
& . (6.22)
Soluţia admisă de ecuaţia (6.22) este de tip armonic:
{ ( t)
} { y}
sin θt
F
y = , (6.23)
în care: {} y reprezintă vectorul amplitudinilor deplasărilor dinamice;
deoarece:
θ - pulsaţia proprie a forţei perturbatoare
Forţele perturbatoare se calulează cu relaţia:
Fm 0,
m
( t)
= F sin θt
. (6.24)
Introducând relaţia (6.23) în ecuaţia (6.22) se obţine:
6.2.2. Etape de calcul
2
[ ∆] [ m]
- [ I]
) { y}
+ { ∆ } = { 0}
( θ
, (6.25)
{ ( t)
} = { ∆ } sin θt
F 0
0
∆ . (6.26)
Pentru determinarea răspunsului dinamic în deplasări şi în
eforturi se parcurg următoarele etape de calcul:
a. Se constituie matricea maselor:
[ m]
⎡m
⎢
⎢
⎢
= ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
1
m
2
.
m
j
.
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ ; (6.27)
⎥
⎥
⎥
mn
⎥⎦
b. Se determină matricea de flexibilitate a sistemului vibrant:

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 153
[ ∆]
⎡δ
⎢
⎢
δ
⎢ .
= ⎢
⎢δ
j
⎢ .
⎢
⎢⎣
δn
11
21
1
1
δ
δ
δ
δ
12
22
.
j2
.
n1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
δ
δ
δ
δ
1n
2n
.
jn
.
nn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ ; (6.28)
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
c. Se calculează vectorul termenilor liberi, { ∆ 0 } . Pentru
aceasta se încarcă sistemul vibrant cu amplitudinile forţelor
perturbatoare şi se determină deplasările pe direcţiile GLD.
În cazul în care forţele perturbatoare sunt aplicate în dreptul
maselor şi pe direcţiile GLD, atunci:
{ } = [ ∆]
{ F }
∆ 0 0 , (6.29)
unde
perturbatoare:
{ F 0}
reprezintă vectorul amplitudinilor forţelor
{ F }
0
⎧F0,
1 ⎫
⎪ ⎪
⎪
F0,
2 ⎪
⎪ . ⎪
= ⎨ ⎬ ; (6.30)
⎪
F0,
j ⎪
⎪ . ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
F0,
n ⎪⎭
d. Răspunsul în deplasări se obţine prin rezolvarea sistemului
de ecuaţii de echilibru (6.25);
e. Răspunsul în eforturi de calculează prin acţionarea
sistemului vibrant cu amplitudinile forţelor de inerţie, {} I :
2 { I}
θ [ m]{
y}
= (6.31)
şi amplitudinile forţelor perturbatoare, { F 0}
.

PROBLEME REZOLVATE 4
SISTEME CU n GLD – VIBRAŢII FORŢATE
Problema 4.1
Să se traseze diagramele de eforturi maxime şi minime, pentru
următoarele structuri, acţionate de încărcările gravitaţionale şi forţe
perturbatoare F(t) de tip armonic.
4.2.1
1
l
EI
2
m1
2EI 2EI
Fig. 4.1
F2(t)=F02sinθt
h/2
F1(t)=F01sinθt
h

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 155
4.2.2
F1(t)
4.2.2
F2(t)
h/2
h
m1
EI
l
F1(t)
2EI 2EI
F2(t)
Fig. 4.2
m2
1
2
l l l 2l l
Fig. 4.3
Obs.1. Sistemul dinamic 4.2.1 se va rezolva prin metoda forţelor de
inerţie.
Obs.2. Sistemul dinamic 4.2.2 se va rezolva prin metoda matricei de
rigiditate.
Obs.3. Sistemul vibrant 4.2.3 se va rezolva prin efectuarea unei analize
modale.
EI
1
l
EI
2

156
Breviar teoretic
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii forţate
RĂSPUNSUL FORŢAT AL SISTEMELOR CU N GLD UTILIZÎND
METODA MATRICEI DE FLEXIBILITATE
1. Constituirea matricei de inerţie, [m]
[ m]
⎡m1
⎢
= ⎢
⎢
⎢
⎣ 0
m2
O
0 ⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
mn
⎥⎦
2-3. Determinarea matricei de flexibilitate, [∆]
Elementele matricei de flexibilitate se calculează în conformitate
cu următoarele etape :
o constituirea celor două stări de încărcare: reală şi virtuală;
M ;
o trasarea diagramelor de eforturi: ( )
j, k M
o calculul coeficienţilor de flexibilitate şi constituirea matricei de
flexibilitate.
4. Calculul pulsaţiilor proprii, ωi
Rădăcinile următoarei ecuaţiei caracteristice:
ω 2
[ ∆ ][ m]
− [ I]
= 0
reprezintă pulsaţiile proprii, ωi, cu ajutorul cărora se constituie matricea
spectrală.
5. Verificarea situaţiei de rezonanţă θ = ωi
În cazul fenomenului de rezonanţă, θ = ω1, răspunsul sistemului
este puternic amplificat. Această situaţie se poate evita prin respectarea
următoarei condiţii:
{Fo}.
1,
3
θ
≤ ≤ 0,
7
(4.1)
ωi
6. Constituirea vectorului amplitudinilor forţelor perturbatoare,
În cazul excitaţiei de tip armonic:
Fk = Fo,k sin θt
se constituie vectorul amplitudinilor forţelor perturbatoare:

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 157
{ F }
o
⎧Fo,
1 ⎫
⎪ ⎪
⎪
M
⎪
⎪ ⎪
= ⎨Fo,
k ⎬
⎪ M ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
Fo,
n⎪⎭
7. Determinarea vectorului {∆o}
(4.2)
Un element al vectorului { ∆o},
∆o,j, reprezintă deplasarea
măsurată, în sistemul dinamic, pe direcţia GLD când acesta este acţionat
de amplitudinile forţelor perturbatoare.
Acest vector se determină cu relaţia:
{ ∆o} = [∆]{Fo}
(4.3)
8. Determinarea amplitudinilor forţelor de inerţie, Ij.
Amplitudinile forţelor de inerţie se determină prin rezolvarea
sistemului de ecuaţii:
⎛ 1 −1
⎞
⎜
⎜[
∆ ] − [ m]
{} I + { o}
= { 0}
2 ⎟ ∆
(4.4)
⎝ θ ⎠
9. Calculul forţelor dinamice, Fd
Valorile forţelor dinamice maxime se determină cu relaţia:
{F d} = {I}+{Fo}
(4.5)
10. Determinarea răspunsului dinamic în eforturi
Sistemul vibrant se încarcă cu ansamblul de forţe dinamice
aplicate în dreptul maselor şi pe direcţia GLD şi cu forţele gravitaţionale
aplicate în dreptul maselor şi pe direcţie verticală. Diagramele de
eforturi trasate prin metodele staticii construcţiilor, pentru încărcările de
mai sus, reprezintă răspunsul dinamic în eforturi.
RĂSPUNSUL FORŢAT AL SISTEMELOR CU nGLD UTILIZÂND
METODA MATRICEI DE RIGIDITATE
1. Constituirea matricei de inerţie, [m]
[ m]
=
⎡m1
⎢
⎢
⎢ 0
⎢
⎢
⎢
⎣ 0
O
0
m2
0
O
0 ⎤
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
m ⎥
n⎦
2-3. Determinarea matricei de rigiditate, [K]

158
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii forţate
Aflarea elementelor matricei de rigiditate presupune parcurgerea
următoarelor etape:
o constituirea sistemului de bază dinamic (sistemul oscilant cu
deplasările pe direcţiile GLD blocate);
o calculul coeficienţilor de rigiditate (reacţiunile din blocajele GLD
produse de deplasări succesive egale cu unitatea) şi constituirea
matricei de rigiditate.
4. Calculul pulsaţiilor proprii, ωi
Rădăcinile ecuaţiei caracteristice:
2 [ K]
− ω [ m]
= 0
reprezintă pulsaţiile proprii, cu ajutorul cărora se constituie matricea
spectrală.
5. Verificarea situaţiei de rezonanţă, θ=ωi
Fenomenul de rezonanţă (θ=ωi) produce o puternică amplificare a
răspunsului sistemului şi pentru evitarea acestei situaţii este necesar să
se respectă condiţia:
{Fo}
1,
3
≤
θ
ωi
≤
0,
7
6. Constituirea vectorului amplitudinilor forţelor perturbatoare,
În cazul excitaţiei de tip armonic:
Fk = Fo,k sinθt
se constituie vectorul amplitudinilor forţelor perturbatoare:
{ F }
o
⎧Fo,
1 ⎫
⎪ ⎪
⎪
M
⎪
⎪ ⎪
= ⎨Fo,
k ⎬
⎪ M ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
Fo,
n⎪⎭
7. Determinarea vectorului {Ro}
Un element al vectorului {Ro}, Ro,j reprezintă reacţiunea din
blocajul GLD ce se produce când sistemul de bază dinamic este acţionat
de amplitudinile forţelor perturbatoare.
În cazul în care forţele perturbatoare acţionează în dreptul
maselor şi pe direcţia GLD, atunci:

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 159
8. Calculul deplasărilor maxime, yj
{Ro} = -{Fo}. (4.6)
Amplitudinile deplasărilor maxime, care se produc pe direcţiile
GLD, reprezintă soluţiile sistemului de ecuaţii:
2
. ( [ K] − θ [ m]
){ y}
{ Ro}
= { 0}
9. Determinarea forţelor dinamice maxime, Fd
+ (4.7)
Amplitudinile forţelor dinamice maxime se determină cu relaţia:
⎧Fd1
⎫
⎪ ⎪
⎪
Fd2
⎪
⎪ M ⎪
⎨ ⎬
⎪Fdj
⎪
⎪ M ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
Fdn⎪⎭
{ F } = = [ K]{}
y
d
10. Determinarea răspunsului dinamic în eforturi
. (4.8)
Diagramele de eforturi maxime şi minime se trasează aplicând
metodele Staticii Construcţiilor în cazul acţionării sistemului vibrant cu
forţele dinamice maxime, Fd, aplicate în dreptul maselor şi pe direcţiile
GLD şi cu forţele gravitaţionale aplicate pe direcţii verticale.
RĂSPUNSUL FORŢAT AL SISTEMELOR CU nGLD UTILIZÂND
METODA ANALIZEI MODALE
1. Constituirea matricei maselor, [m]
[ m]
=
⎡m1
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣ 0
O
m2
O
0 ⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
m ⎥
n⎦
2-3. Determinarea modurilor proprii de vibraţii, [ω 2 ], [y]
Se realizează următoarele:
o stabilirea situaţiilor de încărcare;
o calculul coeficienţilor de rigiditate;
o determinarea pulsaţiilor proprii şi constituirea matricei spectrale;
o calculul formelor proprii de vibraţie;
o verificarea pulsaţiilor şi formelor proprii de vibraţie.

160
4. Verificarea eventualei rezonanţe, θ=ωi
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii forţate
Pentru evitarea amplificării răspunsului dinamic, în cazul situaţiei
de rezonanţă, θ=ωi, se impune respectarea condiţiei:
1,
3
≤
θ
ωi
Dacă acest fenomen este greu de evitat atunci în determinarea
răspunsului trebuie inclusă influenţa amortizării sistemului, care se
poate face prin aplicarea metodei analizei modale.
≤
0,
7
5. Determinarea factorilor de amplificare dinamică, µi
Factorii de amplificare dinamică se determină cu relaţia:
1
µ i = (4.9)
2
⎛ 2
2
θ
⎞
⎜
2⎛
θ ⎞
1 −
⎟
+ 4ν
2 i ⎜
ω
ω ⎟
⎜ ⎟
⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠
prin introducerea succesivă a pulsaţiilor proprii în sistemul de ecuaţii de
echilibru.
6. Calculul deplasărilor maxime, yj
Deplasările maxime măsurate pe direcţia GLD se determină prin
aplicarea principiului superpoziţiei cu relaţia:
n
0,
j j,
i
n ∑F
⋅ y
j=
1
y j = ∑ y j,
i
µ
n
i
i=
1 2
2
ω m
i ∑ j ⋅ y
j,
i
j=
1
7. Determinarea forţelor dinamice maxime, Fd
Forţele dinamice maxime se determină cu relaţia:
⎧Fd,
1 ⎫
⎪ ⎪
⎪
Fd,
2 ⎪
⎪ M ⎪
⎨ ⎬
⎪
Fd,
j ⎪
⎪ M ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
Fd,
n⎪⎭
{ F } = = [ k]
d
⎧y1
⎫
⎪ ⎪
⎪
y2
⎪
⎪ M ⎪
⎨ ⎬
⎪y
j ⎪
⎪ M ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩
yn
⎪⎭
8. Calculul răspunsului dinamic în eforturi
. (4.10)

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 161
Diagramele de eforturi (maxime şi minime) se trasează prin
acţionarea sistemului vibrant în dreptul maselor şi pe direcţia gradelor
de libertate cu amplitudinile forţelor dinamice (Fd) şi pe direcţia verticală
cu forţele gravitaţionale, utilizând metodele staticii construcţiilor.
Aplicaţii
Aplicaţia 4.1
1. Constituirea matricei de inerţie, [m]
⎡m
⎤
⎡1
0⎤
⎡1
0⎤
1
4
[ m]
= ⎢ ⎥ = m⎢
⎥ = 1,
78 ⋅ 10 ⎢ ⎥
0 m2
⎣0
1⎦
⎣0
1⎦
⎣
0
⎦
2-3. Determinarea matricei de flexibilitate, [∆]
(kg)
Integrând diagramele de momente încovoietoare trasate în figura
4.4, rezultă următoarea matrice de flexibilitate:
1 ⎡ 3,
224819 3,
6393475⎤
8 ⎡2,
9653508 3,
3465264⎤
∆ (mN -1 )
−
[ ] = ⎢
⎥ = 10 ⎢
⎥
EI ⎣3,
6393475 7,
8013729⎦
⎣3,
3465264 7,
1736762⎦
4. Calculul pulsaţiilor proprii, ωi
Matricea spectrală are forma:
EI ⎡0,
101915383 0 ⎤ ⎡622,
657009 0 ⎤
[ ω ] = ⎢
⎥ = ⎢
⎥
m ⎣ 0 0,
823634488⎦
⎣ 0 5032,
03655⎦
2
ω
ω
2
1
=
=
24,
95309618(
rads
70,
93684903(
rads
−1
−1
5. Verificarea condiţiei de rezonanţă, θ=ωi
)
)
(rad s -1 ),
Pentru a evita fenomenul de rezonanţă, în situaţia când răspunsul
sistemului este puternic amplificat, este necesar să fie satisfăcută
condiţia:
0,
7
≥
θ
ω
i
≥
1,
3
În cazul sistemului oscilant de faţă
θ
ω
1
=
15
24,
95309618
= 0,
6011,
este satisfăcută condiţia de mai sus.
{Fo}
θ
ω
2
=
15
70,
93684903
=
0,
2114
6. Constituirea vectorului amplitudinilor forţelor perturbatoare,

162
{ F }
0
⎧F
= ⎨
⎩
F
0,
1
0,
2
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii forţate
⎫
⎬ = 10
⎭
7. Determinarea vectorului {∆0}
⎧∆
⎨
⎩
∆
⎫
⎬
⎭
0,
1
{ ∆ } = = [ ∆]{
F }
0
0,
2
0
3
10
=
EI
⎧5⎫
⎨ ⎬
⎩3⎭
3
(N)
⎧27,
8711945⎫
⎨
⎬
⎩ 49,
924907 ⎭
8. Determinarea amplitudinilor forţelor de inerţie, Ij.
Introducând în ecuaţia amplitudinilor forţelor de inerţie matricele
de inerţie şi de flexibilitate, determinate anterior şi a pulsaţiilor forţelor
perturbatoare
aceasta devine:
⎛
⎜
1 ⎡ 3,
224819
⎜ ⎢
⎝
EI ⎣3,
6393475
3
10
+
EI
sau
θ = 15rads
⎧27,
8711945⎫
⎧0⎫
⎨
⎬ = ⎨ ⎬
⎩ 49,
924907 ⎭ ⎩0⎭
−1
2
−2
, θ
3,
6393475⎤
⎥ −
7,
8013729⎦
= 3,
6827586 ⋅ 10
1
3,
6827586
⋅ 10
−2
⋅
EI
m
⎪
⎧
4
− 23,
9287392I1
+ 3,
6393475I2
+ 2,
78711945 ⋅ 10 = 0
⎨
.
4
⎪⎩ 3,
6393475I1
− 19,
35218532I2
+ 4,
9924907 ⋅ 10 = 0
m
EI
⋅
1
m
⎡1
⎢
⎣0
0⎤⎞
⎟
⎧I1
⎫
⎥ ⎨ ⎬ +
1⎦
⎟
⎠⎩I2
⎭
Soluţiile sistemului de mai sus reprezintă amplitudinile forţelor de
inerţie:
I1=1602,972097 (N),
I2=2881,260106 (N).
9. Calculul forţelor dinamice maxime, Fd
F 9721⋅10 3 d1 = I1+F0,1 = 4,602 (N)
F 2601⋅10 3 d2 = I2+F0,2 = 7,881 (N),
10. Determinarea răspunsului dinamic în eforturi
În vederea trasării diagramelor de eforturi dinamice se va încărca
sistemul oscilant cu forţele dinamice şi forţele gravitaţionale. Pentru
sistemul oscilant luat în studiu diagramele de eforturi sunt prezentate în
figura 4.4

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 163
a.
e.
0.
88892
2.
0241
M
0.
5867
2 2 M ,
1,
1
b.
1.
3265
2.
4458
1.
75
0.
2723
1 1 M , M
1,
1
1.
4777
Q
F 1
Q1
F
d1
d1
Q2
Fd2
c .
d.
1457.
4543
14346.
7018
13792.
205
28542.
861
Aplicaţia 4.2
554.
4966
14547.
4543
13792.
205
28542.
861
Q2
554.
4966
f.
M1, M1
M2,
M2
Fig.4.4
1. Constituirea matricei de inerţie, [m]
⎡m
⎤
⎡1
0 ⎤
⎡1
0 ⎤
1
4
[ m]
= ⎢ ⎥ = m⎢
⎥ = 2,
29 ⋅ 10 ⎢ ⎥
0 m2
0 1,
5
0 1,
5⎦
⎣
0
⎦
⎣
⎦
⎣
Fd2
14346.
7018
(kg)

164
2-3. Determinarea matricei de rigiditate, [K]
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii forţate
Conform situaţiilor de încărcare prezentate în figura 4.5, prin
aplicarea metodei deplasărilor rezultă următoarea matrice de rigiditate:
EI ⎡34,
0503
− 8,
7935⎤
.
[ k]
=
3 ⎢
⎥
h ⎣−
8,
7935 6,
14 ⎦
4. Calculul pulsaţiilor proprii, ωi
Prin rezolvarea ecuaţiei caracteristice, se obţin pulsaţiile proprii
ale sistemului vibrant cuprinse în matricea spectrală:
a.
b.
2 EI ⎡2,
4614 0 ⎤
[ ω ] =
3 ⎢
⎥
mh 0 35,
6822⎦
⎣
K
21
1
Fig.4.5
K
22
5. Verificarea condiţiei de rezonanţă, θ=ωi
K
11
1
K
12
Pentru valoarea pulsaţiei forţelor perturbatoare θ = 30 rad s -1
rezultă:

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 165
θ
ω
1
= 1,
547;
θ
ω
2
=
0,
4063
fiind verificată condiţia pentru evitarea fenomenului de rezonanţă
0,
7
≥
θ
ω
i
≥
1,
3
6a. Constituirea matricei amplitudinilor forţelor
{ F }
0
⎧F
= ⎨
⎩
F
0,
1
0,
2
⎫
⎬ = 10
⎭
4
⎧1⎫
⎨ ⎬
⎩1⎭
(N)
6b. Constituirea vectorului amplitudinilor forţlor perturbatoare
{ F }
0
⎧F
= ⎨
⎩
F
0,
1
0,
2
⎫
⎬ = 10
⎭
7. Determinarea vectorului, {R0}
4
⎧1⎫
⎨ ⎬
⎩1⎭
(N).
Forţele perturbatoare acţionând în dreptul maselor şi pe direcţia
GLD au forma:
⎧R
⎨
⎩
R
⎫
⎬
⎭
0,
1
{ R } = = −{
F }
0
0,
2
8. Calculul deplasărilor maxime, yj
0
= −10
4
⎧1⎫
⎨ ⎬
⎩1⎭
(N).
Introducând datele calculate anterior în sistemul de ecuaţii al
amplitudinilor deplasărilor ce se produc pe direcţia GLD:
se obţine sistemul:
2 [ ] − θ [ m]
) { y}
+ { R } = { 0}
k 0
⎧⎛
EI
EI ⎞
EI
⎪ ⎜
⎜34,
0503 − 5,
891025 ⋅ m ⎟ ⋅ y − 8,
7935 ⋅ y
3
3 1
3 2
⎪⎝
h
mh ⎠
h
⎨
⎪ EI ⎛ EI
EI ⎞
⎪
− 8,
7935 ⋅ y + ⎜
⎜6,
14 − 5,
891025 ⋅1,
5m
⎟ ⋅ y
3 1
3
3
⎩ h ⎝ h
mh ⎠
ale cărui soluţii sunt:
{} y
⎧y
= ⎨
⎩y
1
2
⎫ h ⎧−
1286,
000894⎫
⎬ = ⎨
⎬ .
⎭ EI ⎩−
5255,
342334⎭
9. Determinarea forţelor dinamice maxime, Fd
Forţele dinamice maxime se determină cu relaţia:
3
2
− 10
4
− 10
4
= 0
= 0

166
sau:
şi
{ F }
d
⎧F
= ⎨
⎩F
d1
d2
⎫ EI ⎡34,
0503
⎬ =
3 ⎢
⎭ h ⎣−
8,
7935
{ }
F d
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii forţate
{Fd}=[k] {y}
3
− 8,
7935⎤
h ⎧−
1286,
000894⎫
⎥ ⎨
⎬
6,
14 ⎦ EI ⎩−
5255,
342334⎭
⎧ 2424,
136573 ⎫
= ⎨
⎬ , (N).
⎩−
20959,
35307⎭
10. Determinarea răspunsului dinamic în eforturi
Acţionând sistemul vibrant cu forţele dinamice obţinute mai sus,
fig.4.6, diagramele maxime şi minime se vor trasa prin metodele Staticii
Construcţiilor, figura 4.7.
c.
d.
Q1
Q2
Fd2
Q1
Q2
Fd2
Fig.4.6
Fd1
Fd1

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 167
6
2. 8817 ⋅ 10
e.
6
2. 8817 ⋅ 10
f.
Aplicaţia 4.3
1. 11736 ⋅ 10
4. 7594 ⋅ 10
Mmax
1. 11736 ⋅ 10
4. 7594 ⋅ 10
6
6
4. 2993 ⋅ 10
6
6
3. 5858 ⋅ 10
6
3. 271 ⋅ 10
6
3. 271 ⋅ 10
6
6
4. 7594 ⋅ 10
6
Fig.4.7
Mmin
1. Constituirea matricei de inerţie, [m]
⎡m
⎤
⎡1,
3
0⎤
6
2. 5048 ⋅ 10
6
3. 181 ⋅ 10
3. 181 ⋅ 10
2. 5048 ⋅ 10
⎡1,
3
1
4
[ m]
= ⎢ ⎥ = m⎢
⎥ = 2,
29 ⋅ 10 ⎢ ⎥
0 m2
⎣ 0 1⎦
⎣ 0 ⎦
⎣
0
⎦
6
6
0⎤
, (kg).
1
2-3. Determinarea modurilor proprii de vibraţie
Utilizând diagramele de eforturi trasate în figura 4.8, matricea de
flexibilitate va avea forma:

168
iar matricea de rigiditate:
[ ]
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii forţate
⎡ 41 2 ⎤
1 ⎢ − ⎥
= 112 9
⎢ ⎥
6EI
⎢
2 88
− ⎥
⎢⎣
9 81 ⎥⎦
3
∆ ,
6EI
⎡9856
2016⎤
−1
[ k]
= [ ∆ ] = ⋅
3 ⎢
⎥
1 3160 ⎣2016
3321⎦
Prin rezolvarea ecuaţiei caracteristice se determină matricea
spectrală:
2 EI ⎡5,
0939323 0 ⎤
[ ω ] =
3 ⎢
⎥
m1
0 15,
60709⎦
⎣
iar soluţiile ecuaţiilor formelor proprii adimensionale constituie matricea
modală:
⎡y1,
1 y1,
2 ⎤ ⎡− 0,
3165653 2,
4299277⎤
[ y]
= ⎢ ⎥ = ⎢
⎥ .
⎣
y2,
1 y2,
2 ⎦ ⎣ 1
1 ⎦
4. Verificarea condiţiei de rezonanţă
1
Pentru valoarea pulsaţiei forţei perturbatoare θ=30 rads -1 rezultă:
θ
ω1
= 2,
24921,
θ
ω2
=
1,
049
Cel de-al doilea raport nu respectă condiţia:
0,
7
θ
≥ ≥ 1,
3 ,
ωi
rezultă că amortizarea sistemului oscilant trebuie luată în considerare la
determinarea forţelor dinamice şi în consecinţă vom utiliza analiza
modală.
5. Determinarea factorilor de amplificare dinamică, µi
Factorul de amplificare dinamică, pentru:
−1
2
θ = 30rads
, θ = 17,
175
EI
3
m1
corespunzător primului mod de vibraţie, se determină cu relaţia:
,

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 169
µ 1 =
1
2
⎛ 2
θ
⎞
2
⎜
2 θ
1 −
⎟
+ 4ν
⎜ 2
2
ω
⎟
⎝
ω
1 ⎠
1
a.
55
⋅ l
168
b.
12
⋅ l
81
c.
Q 1 + Fd1
246295.
4626
Mmax
d.
164147.
6591
1,
1
=
48.
5
⋅ l
168
Q1 − Fd1
24
⋅ l
81
497341.
7961
285139.
8515
41777259.
9605
206331.
7093
1
2
⎛
EI ⎞
EI
⎜ 17,
175 ⎟
17,
175
⎜
m
2
1 −
⎟ + 4 ⋅ 0,
05
m
⎜
EI ⎟
EI
⎜ 5,
0939323 ⎟
5,
0939323
⎝
m ⎠
m
16
⋅ l
168
Fig. 4.8
1,
1
6
⋅ l
168
32
⋅ l
81
Q 2 + Fd2
407731.
7469
206432.
2163
Q2 − Fd2
378824.
6906
18
⋅ l
81
220670.
9583
Mmin

170
şi prin efectuarea calculelor, rezultă:
Probleme rezolvate. Sisteme cu n GLD – Vibraţii forţate
µ1=0,420387784.
Pentru cel de-al doilea mod propriu de vibraţie, rezultă:
1
µ 2 = = 6,
884756168 .
2
⎛ 2
θ
⎞
2
⎜
2 θ
1
⎟
⎜
− + 4ν
2 ⎟
2
⎝
ω
ω
2 ⎠
2
6. Calculul deplasărilor maxime, yj.
Deplasarea ce se produce pe direcţia primului grad de libertate
dinamică se determină cu relaţia:
y1,
1F0,
1 + y2,
1F0,
2
y1,
2F0,
1 + y2,
2F0,
2
y1 = y1,
1
⋅
2
ω
1,
1 2,
1
2 1,
2 2,
2
⋅ µ 1 + y1,
2
µ
2 2
2 2 2 2
( m1y
+ m2y
) ω ( m1y
+ m2y
)
şi prin introducerea datelor numerice se obţine:
y
y ⋅10 -3 1=1,1873259 m.
Deplasarea măsurată pe direcţia GLD rezultă:
2
= y
2,
1
ω
y
1,
1
2
2
F
0,
1
+ y
F
⋅ µ 1 + y
2
2
2,
2
2 2
2
( m1y
+ m2y
) ω ( m1y
+ m2y
)
1,
1
2,
1
=
0,
2
2,
1
7,
671761
⋅ 10
−4
m
y
2
1,
2
7. Determinarea forţelor dinamice maxime, Fd
⎧F
⎨
⎩
F
⎫
⎬
⎭
d,
1
{ F } = = [ k]
d
d,
2
⎧y
⎨
⎩y
1
2
F
0,
1
⎫ ⎧30187,
39235⎫
⎬ = ⎨
⎬
⎭ ⎩11258,
97914⎭
8. Calculul răspunsului dinamic în eforturi
1,
2
Diagramele finale sunt trasate în figura 4.7.c şi d.
+ y
(N)
2,
2
F
0,
2
2,
2

PROBLEME PROPUSE 2
SISTEME CU n GLD - VIBRAŢII LIBERE
ŞI FORŢATE
Probleme propuse spre rezolvare:
2.1 Să se determine modurile proprii de vibraţie pentru sistemele
desenate în continuare.
m1 2 m
1 2
0. 5 ⋅ l 0. 5 ⋅ l 0. 25 ⋅ l l
Fig.2.1
0. 25 ⋅ l 0. 5 ⋅ l

172
3
2
1
m
Probleme propuse. Sisteme cu n GLD – vibraţii libere şi forţate
m
1. 5 ⋅ l 1. 5 ⋅ l
l
Fig.2.2
Fig.2.3
m
0. 25 ⋅ l
1
2
h
h
h

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 173
0. 5 ⋅ l
0
60
l
m1 m2
l l
l l l
1 2
Fig.2.4
l l
0. 5 ⋅ l
2.2 Să se traseze diagramele M, T, N, maxime şi minime pentru
sistemele dinamice prezentate mai jos.
F( f)
= F02
sin θt
m2
F( f)
= F01
sin θt
m1
1. 5 ⋅ l
Fig.2.5
l
2
1
h
h

174
F( t)
= F01
sin θt
F( t)
= F02
sin θt
Probleme propuse. Sisteme cu n GLD – vibraţii libere şi forţate
F( t)
= F03
1 2 3
sin θt
0. 5 ⋅ l 0. 5 ⋅ l 0. 5 ⋅ l 0. 5 ⋅ l 0. 5 ⋅ l 0. 5 ⋅ l
F( t)
= F01
F( t)
= F02
sin θt
sinθt
m1
Fig.2.6
F( t)
= F02
m2
1 2
l l 0. 5 ⋅ l
F( t)
= F01
sinθt
Fig.2.7
m1
m2
l l
Fig.2.8
sinθt
2
1
h
h

CAPITOLUL 7
SISTEME VIBRANTE CU NGLD
7.1. Analiza modală a răspunsului dinamic al
sistemelor cu nGLD
Se consideră un sistem cu nGLD. Analiza modală a răspunsului
dinamic constă în exprimarea ecuaţiilor de mişcare, prin intermediul
unui număr de „n” ecuaţii independente, obţinute prin decuplarea
sistemului de ecuaţii de echilibru.

176
Fm( t )
F2( t )
mn
m j
m2
m1
F1( t )
x2( t )
x1( t )
xn( t )
x j ( t )
x2,
1
x1,
1
xn,
1
x j , 1
Sisteme vibrante cu nGLD.
Analiza modală a răspunsului dinamic
x j , 1
x2,
1
x1,
1
Fig. 7.1. Sistem vibrant cu nGLD acţionat de forţe perturbatoare
ω1
ωi
xn,
1
Ecuaţia matriceală de echilibru dinamic, prin analogie cu sistemul
cu 1GLD, are forma:
unde :
[ m ]{ x&
( t)
} + [ c][
x&
( t)
] + [ K]{
x(
t)
} = { F(
t)
}
& , (7.1)
[ m ] reprezintă matricea maselor sau de inerţie;
[ c ] - matricea de amortizare;
[ K ] - matricea de rigiditate a sistemului vibrant;
{ x ( t)
} - vectorul deplasărilor dinamice instantanee;
{ F ( t)
} - vectorul forţelor perturbatoare.
Obs. Alura ecuaţiei (7.1), referitor la termenul liber, este corectă
numai dacă forţele perturbatoare sunt aplicate în dreptul maselor şi pe
direcţia gradelor de libertate.

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 177
Pentru decuplarea sistemului de ecuaţii (7.1) se efectuează
următoarea schimbare de variabilă:
sau
în care:
{ x( t)
} [ X]{
Φ(
t)
}
= (7.2)
n
x j(
t)
X j,
iΦi(
t)
, (7.3)
= ∑ 1
[ X ] reprezintă matricea modală normalizată;
Φ (
i
t)
- coordonata generalizată care precizează amplitudinea
modului „i” de vibraţie pe direcţia gradului de libertate „j”.
Obs. O formă proprie de vibraţie normalizată se calculează cu
relaţia:
1 { X}
i = { X}
i , (7.4)
M
unde Mi reprezintă masa generalizată corespunzătoare modului „i” de
vibraţie şi se determină cu relaţia:
i
i
T { X}
i [ m]{
X}
i
M = . (7.5)
Prin introducerea expresiei (7.2) în ecuaţia (7.1) se obţine:
[ m ] [ X]{
Φ&
( t)
} + [ c]
[ X]{
Φ&
( t)
} + [ K]
[ X]{
Φ(
t)
} = { F(
t)
}
& . (7.6)
Ecuaţia (7.6) se premultiplică cu matricea modală transpusă,
care devine:
şi
T
T
T
T
[ X]
[ m][
X]{
Φ&
( t)
} + [ X]
[][ c X]{
Φ&
( t)
} + [ X]
[ K][
X]{
Φ(
t)
} = [ X]
{ F(
t)
}
& . (7.7)
Se cunosc următoarele produse matriceale:
[ X] [ m][
X]
[] I
T
[ X] [][ c X]
[ νω]
T
2
2
[ X] [ K][
X]
[ ω ]
T
unde ν reprezintă fracţiunea din amortizarea critică.
= , (7.8)
= (7.9)
= , (7.10)
Luând în considerare relaţiile (7.8) – (7.10), ecuaţia (7.7) ia
forma:

178
T
{ Φ&
2
( t)
} + [ 2νω]{
Φ&
( t)
} + [ ω ]{ Φ(
t)
} = [ X]
{ F(
t)
}
Sisteme vibrante cu nGLD.
Analiza modală a răspunsului dinamic
& . (7.11)
Analizând ecuaţia matriceală (7.11) rezultă că sistemul este
decuplat, s-a transformat în „n” ecuaţii independente de tipul:
Φ&
&
2
( t)
+ 2νiω
iΦ&
i(
t)
+ ωi
Φi(
t)
= Fj(
t)
. (7.12)
i ∑
j=
1
Soluţia ecuaţiei (7.12) este:
−υ
ω t
1
i i
−υiωit
Φi(
t)
= Aie
sin( ωit
+ φ)
+ X j,
iFj(
τ)
e sin ωi(
t − τ)
dτ
ω ∫ ∑
.(7.13)
0
i
În cazul în care forţele perturbatoare sunt de tip armonic şi
acţionează simultan, amplitudinea deplasării dinamice, corespunzătoare
modului „j” de vibraţie, devine:
unde :
F0, j
µ i
x
j
=
n
∑
i=
1
X
j,
i
ω
t n
n
∑
j=
1
X
F
j,
i 0,
j
j=
1
n
2 2
i ∑ X j,
imj
j=
1
reprezintă amplitudinea forţei perturbatoare;
n
µ , (7.14)
- factorul de amplificare dinamică, calculat cu relaţia:
µ
i
2
i
2
i
2
i
i
=
1
. (7.15)
2
θ
( 1 −
ω
2 2 θ
) + 4υi
ω
7.2. Etape de calcul în analiza modală a răspunsului
dinamic al sistemelor cu nGLD
a) Se constituie matricea maselor, [ m ] ;
b) Se calculează matricea de rigiditate, [ K ] ;
c) Se determină modurile principale de vibraţie:
a. pulsaţii proprii:
2 [ ] − ω [ m]
= 0
K ,
prin rezolvare rezultă matricea spectrală: [ Ω ] ;

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 179
b. forme proprii de vibraţie:
rezultă formele proprii de vibraţie:
2 [ K]
ω [ m]
) { X}
= { 0}
( ,
− i i
{ } , i 1, n
X i = .
d) De calculează răspunsul dinamic în deplasări, prin
aplicarea relaţiei (7.14);
e) Se determină amplitudinile forţelor de vibraţie:
2 { I}
θ [ m]{
X}
= ; (7.16)
f) Se trasează diagramele de eforturi, reprezentând
răspunsul în eforturi, prin încărcarea sistemului vibrant cu
amplitudinile forţelor de inerţie şi amplitudinile forţelor
perturbatoare, cu dublu sens şi forţele gravitaţionale.

8.1. Consideraţii generale
CAPITOLUL 8
CALCULUL DE STABILITATE.
CALCULUL DE ORDINUL II
Construcţiile pot fi solicitate de acţiuni statice şi/sau dinamice.
Prin aplicarea statică a unei acţiuni pe o structură se acceptă o
creştere a mărimii ei, de la valoarea zero la valoarea finală. În acest
timp, structura trece lent din poziţia iniţială nedeformată (PIN), în
poziţia finală deformată (PD).
Se admite, în această situaţie, că viteza de deplasare a maselor
este nulă (v=0) şi, în consecinţă, energia cinetică este nulă.

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 181
În cazul în care se acceptă o anumită comportare a materialului,
din care este realizată construcţia, iar această comportare se poate
schematiza prin intermediul relaţiei σ – ε (tensiune – deformaţie
specifică) sau P – ∆ (forţă – deplasare) de tip liniar, atunci analiza
structurii corespunde unui calcul de ordinul I, liniar elastic.
Conform acestei ipoteze apar următoarele consecinţe:
a. ecuaţiile de echilibru static se exprimă în raport cu poziţia
iniţială a structurii, deoarece deplasările sunt mici în raport cu
dimensiunile elementelor şi structurii;
b. se aplică principiul suprapunerii efectelor;
c. structura reprezintă un sistem conservativ;
d. proprietăţile de rigiditate (flexibilitate) ale structurii nu depind
de nivelul forţelor exterioare, ci numai de caracteristicile
structurii şi de natura materialului.
Prin urmare, pentru determinarea stării de tensiune şi deformaţie
se exprimă echilibrul, prin intermediul unor ecuaţii algebrice, în raport
cu poziţia iniţială nedeformată.
În cazul în care se admite că relaţia σ – ε este liniară, iar relaţia P
– ∆ este neliniară, deplasările pot fi mici sau mari dar rotirea unei bare,
de corp rigid, să fie mică, analiza structurii se realizează printr-un calcul
de ordinul II, elastic liniar şi geometric neliniar.
Consecinţele acestei ipoteze sunt:
a. independent de mărimea deplasărilor, ecuaţiile de echilibru
static se exprimă în raport cu forma deformată a structurii
(PD);
b. principiul suprapunerii efectelor se aplică numai pentru
forţelor transversale, cu condiţia ca forţa axială să fie
constantă;
c. eforturile şi deplasările sunt funcţii neliniare de forţele axiale,
iar energia de deformaţie este o funcţie de gradul 3 sau 4 de
deplasările nodurilor structurii;
d. rigiditatea elementelor structurii, în ansamblu, este funcţie de
nivelul forţelor exterioare;
e. soluţia problemei se determină prin cicluri de calcul, deoarece
forma deformată reală nu este cunoscută de la început.
Scrierea echilibrului, în raport cu poziţia deformată a structurii,
face obiectul de studiu al stabilităţii şi/sau al calculului de ordinul II.
Calculul de stabilitate constă din identificarea naturii echilibrului
poziţiei deformate a unei structuri. Mărimile forţelor axiale sunt
necunoscute.

182
Calculul de stabilitate. Calculul de ordinul II.
Calculul de ordinul II constă din determinarea stării de tensiune
şi deformaţie, dintr-o structură acţionată de un ansamblu de forţe, prin
exprimarea echilibrului în raport cu poziţia deformată a acesteia. În
calculul de ordinul II sarcinile transversale şi eforturile axiale se
presupun cunoscute.
8.2. Calculul de stabilitate. Tipuri de pierdere a
stabilităţii
Se consideră două structuri: grinda simplu rezemată şi grinda
încastrată, figura 8.1. În cazul în care structurile nu sunt solicitate de
forţe exterioare ele se găsesc în poziţii iniţiale nedeformate (PIN, figura
1.a1.şi a2).
Dacă asupra structurilor se acţionează cu forţe exterioare, care
produc forţe axiale (sau se aplică încărcări pe direcţiile axelor
structurilor, de intensitate P), atunci structurile trec din poziţiile iniţiale
(PIN) în poziţiile deformate (PD).
Prin acţiunea unei cauze perturbatoare extrem de mici, o
structură (fie grinda simplu rezemată sau grinda încastrată) trece din
poziţia deformată (PD) într-o poziţie deformată auxiliară (PDa).
La îndepărtarea cauzei exterioare se constată următoarele:
a. structura revine din PDa în PD – se conchide că poziţia
deformată (PD) se găseşte într-un echilibru stabil;
b. structura din PDa tinde să se îndepărteze de PD – se consideră
că poziţia deformată se află într-un echilibru instabil;
c. structura rămâne în PDa – situaţia este considerată proprie
poziţiei de echilibru indiferent, referitor la PD.
a 1
b 1
P
D
PD a
PIN
a 2
PIN
PIN
Fig.8.1. Stările iniţiale şi stările deformate
ale unor structuri
Q
P P
În concluzie, luând în considerare cele de mai sus, se poate
stabili obiectul de studiu al calculului de stabilitate. Acesta este:
stabilitatea structurilor se ocupă cu identificarea echilibrului indiferent al
poziţiei deformate a unei structuri acţionate de un sistem de forţe.
PD
PD a
b 2

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 183
Apare evident că, poziţia deformată a unei structuri depinde de
următoarele:
a. natura şi numărul legăturilor structurii;
b. caracteristicile geometrice şi fizico-mecanice ale structurii;
c. modul de încărcare a structurii.
La identificarea echilibrului indiferent al poziţiei deformate a unei
structuri, se consideră primii doi parametri, precizaţi mai sus, constanţi,
iar ultimul variabil (încărcările cresc proporţional).
În funcţie de modul de acţionare a încărcărilor, pierderea
stabilităţii unei structuri se produce prin două mecanisme distincte, şi
anume:
a. deformare discontinuă;
b. deformare continuă.
8.2.1. Pierderea stabilităţii prin deformare discontinuă
În această categorie sunt cuprinse toate structurile la care poziţia
de echilibru este poziţia nedeformată. Poziţia nedeformată se păstrează
pe toată perioada în care intensitatea sarcinilor creşte până atinge
valoarea critică, notată Pcr. Imediat după ce se ajunge la valoarea critică
a încărcării, structura trece brusc din poziţia iniţială nedeformată într-o
poziţie deformată.
Curba de variaţie a unei deformate, notată „d”, în raport cu forţa
„P” este prezentată în figura 8.2.a. Se observă că trecerea de la poziţia
nedeformată, PD, este marcată printr-o discontinuitate. Deformaţiile ce
se produc după atingerea pragului critic (Pcr) se pot dezvolta într-un
sens sau în altul (funcţie de sensul pozitiv sau negativ al axei
deplasărilor).
Modul de pierdere a stabilităţii arătat în figura 8.2. se numeşte
pierderea stabilităţii prin bifurcare.
d
P cr
P
Fig. 8.2. Pierderea stabilitatii prin bifurcare
d
P cr
P

184
forţe
Calculul de stabilitate. Calculul de ordinul II.
În figura 8.3 sunt prezentate exemple de structuri solicitate de
c 1 . Deformare simtrica
b 1 Deformata in planul
incarcarii
P cr
P
P P cr
q q
a 1 Pozitia de echilibru pentru P P cr
a 2 Pozitia deformata pentru P P cr
P cr
b 2 Pierderea stabilitatii
prin deformare laterala
P P P cr P cr P cr P cr
d 2 . Deformarea
structurii (scurtarea
lungimii stalpilor)
c 2 . Pierderea stabiliatii
prin deformare spatiala
d 2 . Pierderea stabilitatii
prin deformare
simetrica
Fig. 8.3. Pierderea stabilităţii prin deformare
discontinuă
c 3 . Pierderea stabiliatii
prin deformare laterala
d 2 . Pierderea stabilitatii
prin deformare
laterala
q

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 185
exterioare care îşi pierd stabilitatea prin bifurcarea echilibrului.
În cazul cadrelor din figura 8.3.c. şi d. pot apărea deplasări mici
care se dezvoltă odată cu creşterea încărcărilor, dar pierderea stabilităţii
se produce prin deformări în alt plan decât în cel în care s-au produs
primele deformaţii. De exemplu: în plan lateral sau perpendicular pe
planul structurii ( flambaj lateral).
De asemenea, în această categorie se poate include şi structura
inelară acţionată radial de încărcări. Aceasta îşi micşorează diametrul
prin deformare, dar pierderea stabilităţii, la atingerea valorii critice a
intensităţii acţiunii, se identifică cu o deformată de altă formă (forma
ovală). Caracteristic pentru această structură este curba forţă -
deplasare desenată în figura 8.2.b.
8.2.2. Pierderea stabilităţii prin deformare continuă
Se consideră o grindă simplu rezemată acţionată de o forţă axială
şi de un sistem de forţe aplicat transversal axei grinzii, figura 8.4. Cu cât
creşte intensitatea forţei P cu atât se măreşte deformata grinzii. În
apropierea unei valori a încărcării axiale, notate Pcr, deformaţiile cresc
foarte repede, ca şi cum rigiditatea structurii s-ar micşora brusc, figura
8.4.b.
P
d
Q
Fig. 8.4. Pierderea stabilităţii prin deformare discontinuă
Pierderea stabilităţii prin deformare discontinuă se datoreşte
imperfecţiunii axei, excentricităţii aplicării sarcinii şi imposibilităţii
înlăturării forţelor transversale.
8.3. Ecuaţia de echilibru critic (ecuaţia de stabilitate)
Pierderea stabilităţii prin deformare discontinuă are loc atunci
când forţele exterioare, care acţionează numai în lungul axelor barelor,
ating valoarea critică; structura trece, atunci, brusc într-o nouă poziţie
(structura din PIN ajunge în PD); pentru orice creştere a sarcinii,
structura capătă deformaţii mari (teoretic infinit de mari).
P
d
d
P cr
P

186
8.3.1. Bara dreaptă
Calculul de stabilitate. Calculul de ordinul II.
Se consideră o bară încastrată acţionată de o forţă concentrată,
de intensitate P, în lungul axei barei, figura 8.5.a.
l
P P
a. b.
y
Fig. 8.5. Grinda în consolă acţionată de o forţa axială, P:
a. grinda în situaţia iniţială (PIN); b. grinda în situaţia deformată, PD
Pentru a obţine ecuaţia de echilibru critic se pleacă, în
demonstraţie, de la ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate:
y
x
X
Mz(
x)
y"
= − . (8.1)
EI
Conform figurii 5.b, în care grinda încastrată şi-a pierdut
stabilitatea, se exprimă momentul încovoietor din secţiunea x:
sau
Mz( x)
= P ∗ y . (8.2)
Se introduce expresia (8.2) în (8.1) şi se obţine:
unde, s-a notat:
P
y " + y = 0
(8.3)
EI
2
y"
+ n y
2
n =
P
EI
(8.4)
. (8.5)
Se propune pentru ecuaţia (8.4) o soluţie de forma:
y 1
2
= C sinnx
+ C cos nx . (8.6)

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 187
Constantele de integrare se obţin punând următoarele condiţii la
limită:
şi
x 0 → y = 0 ⇒ C = 0
(8.7)
= 2
'
x = l → y = 0 ⇒ C1
= nconl =
0 . (8.8)
Dacă se anulează oricare din cei trei termeni ai ecuaţiei (8.8): C1,
n sau cosnx, atunci ecuaţia (8.8) este verificată. Se vor analiza, pe rând,
aceste condiţii:
a. dacă C1=0, atunci relaţia (6) se anulează, y=0, ceea ce
înseamnă că grinda nu este solicitată;
b. dacă n=0, atunci conform expresiei (5) rezultă că P=0,
înseamnă că grinda nu este solicitată;
c. cosnl=0 şi această soluţie conduce la anularea expresie (8.8),
se conchide că:
cos nl = 0
(8.9)
reprezintă ecuaţia de echilibru critic (de stabilitate) a grinzii încastrate.
Ecuaţia (8.9) este verificată pentru
( 2k + 1)
π
nl = . (8.10)
2
Analizând expresia (8.10) rezultă că pentru k=0 se deduce cea
mai mică valoare a încărcării P, deci:
şi
n
2
π
nl =
2
2
π
=
4l
=
P
cr
EI
(8.11)
de unde, se ajunge la expresia forţei critice care produce pierderea
stabilităţii grinzii încastrate:
8.3.2. Cadre
P cr
2
π EI
= . (8.12)
EI
În metoda deplasărilor ecuaţia generală de echilibru static are
forma:
[ ]{ z } { R } = { 0}
r . (8.13)
ij
j
+ ip

188
Calculul de stabilitate. Calculul de ordinul II.
În cazul pierderii stabilităţii prin deformare discontinuă, vectorul
termenilor liberi este nul, iar pentru ca ecuaţia (8.13) să aibă soluţie
diferită de zero este necesar ca determinantul matricei coeficienţilor să
se anuleze. Prin urmare:
ceea ce reprezintă ecuaţia de stabilitate a cadrelor.
D = 0 , (8.14)
i
În cazul pierderii stabilităţii prin deformare continuă, termenul
R ≠ 0 . Cum însă deformata trebuie să
liber este diferit de zero, { } { }
ip
crească continuu, tinzând către infinit, rezultă că determinantul trebuie
să se anuleze. Se obţine o ecuaţia de stabilitate, exprimată tot prin
expresia (8.14).

9.1. Grinda încastrată
CAPITOLUL 9
CALCULUL DE ORDINUL II
Se consideră o grindă încastrată, încărcată ca în figura 9.1.a.
Se cere să se traseze diagrama de moment încovoietor şi să se
determine expresia săgeţii extremităţii libere a grinzii, echilibrul static
fiind exprimat în raport cu poziţia deformată a grinzii. Prin urmare, se
doreşte să se efectueze un calcul de ordinul II.
Din Statica de ordinul I, se cunosc expresiile momentului
încovoietor din încastrare şi a săgeţii capătului liber a grinzii încastrate.
Acestea sunt:

190
Calculul de ordinul II. Determinarea eforturilor
şi deplasărilor prin metoda parametrilor în origine
M 2 ( x = l)
= Hl,
(9.1)
Hl
y1
( x = 0)
= . (9.2)
3EI
Diagrama de moment încovoietor este trasată în figura 9.1.c.
H 1 y
H
l
P P
a. 2
b.
y
X
x
M I =
21
Hl
tgν
M Hl
ν
II 21 =
Fig. 9.1. Grinda încastrată: a. situaţie de încărcare; b. poziţia deformată,
c. diagrama de moment încovoietor de ordinul I; d. diagrama de moment
încovoietor de ordinul II
Se pleacă în demonstraţie de la ecuaţia fibrei medii deformate,
relaţia (9.3):
Mz(
x)
y"
= − . (9.3)
EI
Conform figurii 9.1.b, momentul încovoietor, M ( x)
, din secţiunea
x se calculează cu relaţia:
sau
unde:
Mz ( x)
Se introduce (9.4) în (9.3) şi se obţine:
= Py + Hx.
(9.4)
P H
y" = − y − x
(9.5)
EI EI
y" n y = −
+ 2
2
n =
P
EI
H
EI
z
x , (9.6)
. (9.7)

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 191
Soluţia ecuaţiei (9.6) este:
cu prima derivată:
şi
y 1
2
= C sin nx + C cos nx , (9.8)
H
y = C1
n cos nx − C 2n
sinnx
− . (9.9)
P
Considerând condiţiile la limită ale deformatei grinzii încastrate:
x = 0 → y = 0
(9.10)
x = l → y' = 0 , (9.11)
se găsesc expresiile celor două constante de integrare:
sau
C
1
C 0 , (9.12)
2 =
H
n cosnl
−
P
= 0
H
C =
Pn cos nl
1 (9.13)
Introducând (9.12) şi (9.13) în (9.8) se ajunge la expresia săgeţii
într-o secţiune x a grinzii:
sau
unde
H ⎛ sinnx
⎞
y ( x)
= ⎜ − x⎟
. (9.14)
P ⎝ n cos nl ⎠
Expresia (9.14) pentru x = l , devine:
H ⎛ sinnl
⎞
ymax = ⎜ − l⎟
(9.15)
P ⎝ n cos nl ⎠
y max
3 3
reprezentând factorul de compresiune.
Hl ( tgν
− ν)
= (9.16)
3EI 3
ν
P
ν = nl = l , (9.17)
EI

192
Calculul de ordinul II. Determinarea eforturilor
şi deplasărilor prin metoda parametrilor în origine
Momentul încovoietor se calculează cu relaţia (9.4). Dacă în
această relaţie se introducere expresia (9.15) şi prin efectuarea de
operaţii algebrice specifice, se ajunge la formula:
sinnx
Mz ( x)
= Hl . (9.18)
νc
cos ν
Pentru x = l se obţine valoarea maximă a momentului încovoietor
din secţiunea de încastrare a grinzii:
M II
max
tgν
= Hl . (9.19)
ν
Diagrama de moment încovoietor de ordinul II este trasată în
figura 9.1.d.
Comparând expresiile (9.19) cu (9.1) şi (9.16) cu (9.2), se
evidenţiază diferenţele între rezultatele care se obţin, în cazul în care se
exprimă echilibrului în raport cu poziţia iniţială, faţă de cazul când
echilibrul se exprimă în raport cu poziţia deformată.
9.2. Calculul de ordinul II. Determinarea eforturilor
şi deplasărilor prin metoda parametrilor în origine
În vederea efectuării unui calcul de ordinul II al barei drepte se
propune ca metodă de analiză metoda parametrilor în origine. Se
presupune o bară în următoarele situaţii de încărcare: parametrii în
origine; sarcini concentrate: forţă şi cuplu, sarcini distribuite etc.
Ca ipoteze de lucru se admit următoarele:
a. bara are axa dreaptă, secţiunea transversală constantă şi
este realizată din acelaşi material; rigiditatea la solicitarea de
încovoiere este constantă, EI = cons.
, se presupune că efortul
axial, pe lungimea de bară, luată în studiu, este constant şi
este determinat printr-un calcul de ordinul I;
b. parametrii în origine: Mo, No,To, φo, yo sunt constanţi; o parte
din ei pot fi nuli, cu excepţia efortului axial (No).
9.2.1. Bara dreaptă acţionată în origine de parametrii în
origine Mo, No,To, φo, Yo
Se consideră o bară dreaptă, figura 9.2, încărcată în origine cu
următorii pamametrii iniţiali: Mo, No,To, φo şi Yo.
Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate este:
Mz(
x)
y"
( x)
= − . (9.20)
EI

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 193
În conformitate cu figura 9.2, expresia momentului încovoietor în
secţiunea „x” a barei, acţionată în origine de parametrii: Mo, No,To, φo şi
Yo, are forma:
Y o
N o
T o
M o
Y
φo
x
y(x)
Fig. 9.2. Bara dreaptă acţionată de parametrii în origine
Mz o o o
o
( x)
= M + T x + N ( y(
x)
− Y ) . (9.21)
Introducând (9.21) în (9.20) se obţine ecuaţia diferenţială de
ordinul al II-lea:
unde:
"
Mo
To
No
y ( x)
+ n y(
x)
= − − x +
EI EI EI
2
Soluţia ecuaţiei (9.22) este:
n
2
Y
o
X
, (9.22)
No
= . (9.23)
Ei
Mo
To
y ( x)
= C1
sinnx
+ C 2 cos nx − − x + Yo
. (9.24)
N N
Se derivează expresia (9.24) şi se deduce relaţia de calcul a
rotirii în secţiunea „x”:
o
To
y' ( x)
= C1
n cos nx − C 2n
sinnx
− . (9.25)
N
Constantele de integrare, C1 şi C2, din expresia (9.24), se
determină din condiţii la limită (în origine), funcţie de parametrii în
origine (consideraţi cunoscuţi):
⎧y
= Y
x = 0⎨
⎩y'
= φ
o
o
o
o
. (9.26)
Introducând (9.26) în (9.24) şi (9.25) rezultă expresiile de calcul
a celor două constante de integrare:

194
sau
şi
M
C =
Calculul de ordinul II. Determinarea eforturilor
şi deplasărilor prin metoda parametrilor în origine
o
2 (9.27)
No
T
o
o = C1n
(9.28)
No
φ −
φo
To
C 1 = + . (9.29)
n nN
Luând în considerare relaţia (9.23) şi expresiile (9.27) şi (9.29),
constantele de integrare pot fi scrise sub formele:
C
1
o
φo
To
= +
(9.30)
n 3
n EI
C
2
Mo
= . (9.31)
2
n EI
Introducând (9.30) şi (9.31) în (9.24) expresia săgeţii măsurate
în secţiunea „x” devine:
sau
⎛ o To
⎞ Mo
Mo
To
y ( x)
= ⎜
⎟
⎜
+ sinnx
+ cos nx − − x + Yo
n nN ⎟
(9.32)
⎝
o ⎠ No
No
No
y(
x)
= Y
o
+
o
n
sin nx
Mo
To
− ( 1 − cos nx)
− ( nx − sin nx)
. (9.33)
2
3
n EI
n EI
Se derivează succesiv, de două ori, relaţia (9.33) şi se obţine
relaţia de calcul a deplasării unghiulare (a rotirii) a secţiunii „x”,
respectiv, prin înmulţirea derivatei a doua a săgeţii cu EI (modulul de
rigiditate la solicitarea de încovoiere), expresia de calcul a momentului
încovoietor din secţiunea „x” este:
şi
y'
( x)
Mo
To
= ( x)
= φo
cos nx − sin nx − ( 1 −
nEI
2
n EI
cos nx)
(9.34)
To
Mz
( x)
= −EIy"
( x)
= EIn φo
sin nx + Mo
cos nx + sin nx . (9.35)
n
Forţa tăietoare corespunzătoare secţiunii „x” se determină direct
prin exprimarea echilibrului în raport cu axa OY, ∑ y = 0 .

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 195
9.2.2. Bara dreaptă acţionată în secţiunea x = a de o forţă
concentrată
Se consideră o bară dreaptă, figura 9.3, încărcată în secţiunea
„x” cu o forţă concentrată de intensitate Q.
N o
a
Q
y(x)
x
Y
Fig. 9.3. Bara dreaptă solicitată de o forţă concentrată
Pentru determinarea eforturilor şi deplasărilor de ordinul II din
secţiunea „x” se folosesc relaţiile de calcul (9.33), (9.34) şi (9.35). Prin
considerarea originii la distanţa „a” de capătul din dreapta al barei, acolo
unde bara este solicitata de forţa concentrată de intensitate Q, noii
parametri în origine devin:
φ = Q,
M = 0,
N , φ = Y = 0 . (9.36)
To o
o o o
Se notează cu ∆y,
∆φ
si ∆M
săgeata, rotirea şi, respectiv,
momentul încovoietor din secţiunea „x”. Relaţiile de calcul ale
deplasărilor şi eforturilor de ordinul II se determină prin particularizarea
relaţiilor (9.33), (9.34) şi (9.35):
Q
∆y
= [ n(
x − a)
− sinn(
x − a)
], (9.37)
3
n EI
Q
∆φ = [ 1 cos n(
x a)
]
2 , (9.38)
n EI
Q
∆ M = − sinn(
x − a).
(9.39)
n
9.2.3. Bara dreaptă acţionată în secţiunea x = a de un
cuplu concentrat
În figura 9.4. se prezintă o bară dreaptă încărcată în secţiunea
x=a cu un cuplu concentrat de intensitate M c .
Noua situaţie de încărcare se analizează identic ca în cazul
precedent:
X

196
N o
a
M c
y(x)
Calculul de ordinul II. Determinarea eforturilor
şi deplasărilor prin metoda parametrilor în origine
x
Y
Fig. 9.4. Bara dreaptă solicitată de un cuplu concentrat
a) parametrii în noua origine sunt T 0 , M , N , φ = Y = 0 ;
o = o o o o
b) expresiile de calcul a deplasărilor şi eforturilor de ordinul II de
determină cu relaţiile:
c
M
∆y = 1
2
n EI
∆φ
=
∆M
= −M
[ − cos n(
x − a)
]
c
M
sin n(
x
n EI
c
cos n(
x
−
a)
a).
X
, (9.40)
, (9.41)
(9.42)
9.2.4. Bara dreaptă acţionată în secţiunea x = a de o
sarcină uniform distribuită
Se consideră o bară dreaptă, figura 9.5, încărcată cu o sarcină
uniform distribuită de intensitate q.
N o
a z
y(x)
x
Y
Fig. 9.5. Bara dreaptă acţionată de o sarcină distribuită
Pentru a calcula eforturile şi deplasările, din secţiunea „x” a barei
drepte, se aplică metodologia folosită in cazurile anterioare, rezultă:
şi
∆y
=
∫
x
0
qz
nN
o
q
[ n(
x − a)
− sin( x − z)
] dz
(9.43)
⎡ 2
q x 1 cos nx ⎤
∆y
= ⎢ − + ⎥ , (9.44)
2
2 2
n EI ⎢⎣
2 n n ⎥⎦
X

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 197
q sin nx
∆ φ = x
, (9.45)
N n
q
∆M = − ( 1 −
2
n
cos nx)
. (9.46)
Obs. În cazul în care o bară este încărcată concomitent cu un
sistem de forţe alcătuit din parametrii în origine, o forţă de intensitate Q
(sau mai multe forţe concentrate), aplicată în secţiunea x=a (în
secţiunile xi=ai); săgeata, rotirea şi momentul încovoietor într-o secţiune
oarecare „x” se determină prin suprapunerea efectelor. Astfel, se
însumează relaţiile: (9.33), (9.34) şi respectiv (9.35), cu expresiile
(9.37), (9.38) şi, respectiv, (9.39). La fel se procedează în cazul în care
pe lângă parametrii în origine bara este solicitată şi de alte încărcări
aplicate pe bară.
9.3. Aplicaţii
9.3.1. Grinda simplu rezemată solicitată de un cuplu
concentrat
Se consideră o grindă simplu rezemată acţionată în extremitatea
stângă de un cuplu concentrat, figura 9.6. Se cere să se determine
rotirile secţiunilor din extremităţile grinzii, de pe reazemele „i” şi „j”.
Prima etapă de calcul constă în determinarea reacţiunilor grinzii
simplu rezemate. Aplicând condiţiile de echilibru static se determină
reacţiunile:
1 1
Vi = , Vj
= , Hi
= P .
l l
H i =M o
Y
i j
M o
φi
V =1/l V =1/l
i j
l
Fig.9.6. Grinda simplu rezemată actionată de un cuplu
În etapa a doua, se identifică parametrii în origine:
1
N o = P,
To
= − , Mo
= 1,
φo
= φi
= ?, Yo
= 0 .
l
Condiţia de aflare a rotirii din secţiunea ”i” este:
φj
X

198
x l,
Mj
= 0 ⇒ φo
=
= .
Calculul de ordinul II. Determinarea eforturilor
şi deplasărilor prin metoda parametrilor în origine
Pentru a aplica condiţia de mai sus se utilizează relaţia (9.35),
care exprimată în funcţie de x = l, rezultă:
φi
1
M ( x = l)
= 0 , EInφo
sin nl + cos nl − sin nl = 0
nl
j . (9.47)
Prin împărţirea ultimei ecuaţii (9.47) cu produsul n EI sinnl
se
ajunge la expresia de calcul a rotirii din origine:
1 1
φo = − .
2
n lEI nEItgnl
Relaţia de mai sus se înmulţeşte şi se împarte cu produsul 3 l ;
efectuând calculele şi introducând factorul de compresiune determinat
cu relaţia ν = n l , se obţine expresia rotirii φi
:
φi = φo
=
l
3EI
3 ⎛ 1
⎜ −
ν ⎝ ν
unde parametrul α se calculează cu relaţia:
1
tgν
⎟ ⎞
, (9.48)
⎠
l
φi = α , (9.49)
3EI
3 ⎛ 1
α = ⎜ −
ν ⎝ ν
1
tgν
⎟ ⎞
. (9.50)
⎠
Rotirea din secţiunea „j” se află aplicând relaţia (9.37), care
devine în condiţiile date:
sau
unde
Mo
To
φ j = φi
cos nl − n sin nl − ( 1 − cos nl)
(9.51)
No
No
l
φi = β , (9.52)
6Ei
6 ⎛ 1 1 ⎞
β = ⎜ − ⎟ . (9.53)
ν ⎝ sin ν ν ⎠
9.3.2. Grinda încastrată solicitată de o forţă concentrată
Se consideră o grindă în consolă acţionată în capătul liber de o
forţă concentrată, Q = 1 , figura 9.7.

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 199
Se cere să se determine expresii pentru calculul săgeţii şi rotirii
din extremitatea liberă a barei.
P
y i
i
Q=1
φi
l
Y
Fig. 9.7. Grinda încastrată acţionată de o forţă concentrată
În prima etapă de calcul se identifică parametrii în origine,
aceştia sunt:
Y ?, φ = ?, M = 0 , T = 1.
o = o
o o
Pentru aflarea rotirii din extremitatea liberă a grinzii se foloseşte
condiţia de rotire nulă în reazemul încastrat, ( x = l)
= 0 , se aplică
relaţia (9.34), care în condiţiile date devine:
De unde:
φi
cos nl
φ j
1
+ ( 1 − cos nl)
= 0 .
N
în care s-a introdus factorul de compresiune,
o
2
l 2 1 − cos ν
φi = −
, (9.54)
2EI
2
ν cos ν
ν = n l . (9.55)
Săgeata y i se deduce punând condiţia ( x = l)
= 0 , se foloseşte
relaţia (9.38) care, în condiţiile impuse, îmbracă forma:
în care
y i
1 1 ⎛ 1 ⎞ 1
+ ⎜1
− ⎟ sinnl
+ ( nl − sinnl)
= 0 .
n 2
3
n EI ⎝ cos nl ⎠ n EI
De unde rezultă:
y i
3
y j
l
= θ'
, (9.56)
3EI
3(
tgν
− ν)
θ'
= . (9.57)
3
ν
j
X

CAPITOLUL 10
CALCULUL DEPLASĂRILOR ŞI
RIGIDITĂŢILOR DE ORDINUL II
10.1 Metoda Mohr-Maxwell
Metoda Mohr-Maxwell pentru calculul deplasărilor presupune
existenţa a două stări distincte:
a. starea reală constituită din structura reală acţionată de un
sistem de forţe pentru care se cere să se afle deplasările
diferitelor secţiuni ale structurii;
b. starea virtuală, care se constituie prin acţionarea structurii,
luate în studiu, în secţiunea şi pe direcţia în care se doreşte
să se determine o deplasare, cu o forţă egală cu unitatea.
Acţiunea egală cu unitatea poate fi o forţă concentrată

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 201
(pentru a determina deplasare liniară a secţiunii), un cuplu
concentrat (pentru a calcula rotirea secţiunii), o sarcină
distribuită de intensitate egală cu unitatea sau un cuplu
distribuit de intensitate egală cu unitatea.
Relaţia de calcul este următoarea:
∆ =
l
∑ ∫
0
M(
x)
M(
x)
dx , (10.1)
EI
unde: ∆ reprezintă deplasarea care se doreşte să se calculeze; poate fi
o deplasare liniară sau o deplasare unghiulară;
M( x)
- momentul încovoietor din secţiunea „x” produs de acţiunea
egală cu unitatea aplicată în secţiunea în care se calculează deplasarea;
M(
x)
- momentul încovoietor din secţiunea „x” produs de sistemul
de forţe aplicat pe structură, în starea reală de solicitare;
EI - modulul de rigiditate la solicitarea de încovoiere a secţiunii
transversale.
În calculul de ordinul I, cele două diagrame de moment
corespunzător stărilor reale şi virtuale se trasează printr-un calcul de
ordinul I, deci echilibrul forţelor este exprimat în raport cu poziţia
iniţială, nedeformată a structurii
În calculul de ordinul II, cele două diagrame de moment
încovoietor sunt diferite. Astfel, diagrama corespunzătoare stării virtuale
este determinată printr-un calcul de ordinul I, iar diagrama de moment
din starea reală, printr-un calcul de ordinul II, în acest din ultim caz,
echilibrul forţelor este exprimat în raport cu poziţia deformată a
structurii.
Rezultă că relaţia de calcul are alura:
I
∆ =
l
∑∫
0
I
II
M ( x)
M ( x)
dx , (10.2)
EI
în care: M ( x)
reprezintă momentul încovoietor virtual de ordinul I;
II
M ( x)
- momentul din secţiunea „x” de ordinul II;
EI - modulul de rigiditate la solicitarea de încovoiere;
l - lungimea
tronsonului pe care modulul de rigiditate la
solicitarea de încovoiere este constant, iar cele două diagrame de
moment încovoietor au aceeaşi lege de variaţie.

202
10.2. Aplicaţii. Calculul deplasărilor
Calculul deplasărilor şi rigidităţilor de ordinul II
10.2.1. Grinda simplu rezemată. Calculul deplasărilor de
ordinul I
Se consideră o grindă simplu rezemată acţionată de un cuplu
concentrat aplicat pe sistem în extremitatea sa stângă. Se cere să se
determine rotirile: φ si φ , v. figura 10.1.
i
j
Deplasările unghiulare φ si φ , corespunzătoare secţiunilor
i
extreme ale grinzii, se determină prin aplicarea relaţiei (10.1), după
metodologia dezvoltată de Statica construcţiilor.
Y
M
1
i j
M
EI
φi
V i =M/l V j =M/l
l
1
M(x)
M(x)
M(x)
φj
1
j
1
M
X
Starea reală – grinda simplu
rezemată acţionată de un
cuplu concentrat
Diagrama de moment în
starea reală
Situaţia de încărcare
în starea virtuală pentru
calculul rotirii i
M,
φi
M,φj
ϕ
Diagrama de moment în
starea virtuală
Situaţia de încărcare
în starea virtuală pentru
ϕ
calculul rotirii j
Diagrama de moment în
starea virtuală
Fig.10.1. Grinda simplu rezemată acţionată de un cuplu
Luând în considerare diagramele trasate în figura 10.1.b şi d se
determină rotirea φ , iar prin integrarea diagramelor din figura 10.1.b şi
i
f se calculează deplasarea unghiulară φ . Se obţin relaţiile:
j

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 203
şi
φ i
φ j
l
= M
(10.3)
3EI
l
= M . (10.4)
6EI
Obs. Regula de rezolvare a integralei presupune înmulţirea
suprafeţei diagramei neliniare (din starea reală) cu ordonata din dreptul
centrului de greutate al diagramei neliniare, măsurată în diagrama
liniară (stare virtuală), tabelul 10.1.
a
a
b
C.G.
y C.G.
C.G.
y C.G.
l
l
Tab.10.1. Integrarea diagramelor de eforturi
b
Ω =
a l
2
y C.
G.
=
Ω =
y C.
G.
a l
2
=
2
3
1
3
b
b
lM(
x)
M(
x)
∫ dx =
0 EI
1
ΩyC.
G.
=
EI
l
a b
3EI
l
0
M(
x)
M(
x)
dx =
EI
1
Ω yC.
G.
=
EI
10.2.2. Grinda simplu rezemată. Calculul deplasărilor de
ordinul II
Se consideră o grindă simplu rezemată acţionată în extremitatea
stângă cu un cuplu concentrat, figura 10.2. Se cere să se determine
rotirile secţiunilor din dreptul celor două reazeme.
Luând în considerare metoda Mohr-Maxwell, relaţia (10.2) şi
metoda parametrilor în origine (v. aplicaţia 9.3.1, relaţiile (9.49) şi
(9.50), respectiv (9.52) şi (9.53), rezultă pentru deplasărilor unghiulare
de ordinul II următoarele expresii de calcul:
∫
6
l
EI
a b

204
şi
φ i
φ j
Calculul deplasărilor şi rigidităţilor de ordinul II
l
= Mα
(10.5)
3EI
l
= Mβ
. (10.6)
6EI
Relaţiile (10.5) şi (10.6) au fost determinate prin multiplicarea
expresiilor (9.49) respectiv (9.52) cu intensitatea cuplului concentrat, M
(în aplicaţia 8.3.1, M=1).
Obs. 1. Analizând rezultatele de mai sus se constată că metoda
Mohr-Maxwell este o pseudo-metodă de calcul a deplasărilor de ordinul
II. La fel ca în calculul de ordinul I, se consideră diagramele de moment
încovoietor din cele două stări reală şi virtuală, însă, în calculul de
ordinul II, rezultatul integrării diagramelor este egal cu cel determinat în
calculul de ordinul I, dar multiplicat cu parametru α (relaţia (10.5),
respectiv, cu parametru β (relaţia (10.6)
i j
M
P EI
P
a.
b.
c.
d.
f.
Y
M
1
φi
V i =M/l V j =M/l
l
1
M(x)
M(x)
φj
M(x)
1
1
M
M,
φi
M,φj
X
Starea reală – grinda simplu
rezemată acţionată de un
cuplu concentrat
Diagrama de moment în
starea reală
Situaţia de încărcare
în starea virtuală pentru
ϕ
calculul rotirii i
Diagrama de moment în
starea virtuală
Situaţia de încărcare
în starea virtuală pentru
ϕ
calculul rotirii j
Diagrama de moment în
starea virtuală
Fig.10.2. Grinda simplu rezemată acţionată de un cuplu

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 205
Parametru α se introduce când cele două diagrame de moment
încovoietor, care se înmulţesc, sunt de forme triunghiulare având
ordonatele alăturate, iar diagrama de moment din starea reală,
diagramă de ordinul II, cuprinde şi o diagramă suplimentară de
moment, produsă de forţa axială corespunzătoare, având ordonatele
nule în extremităţi.
În ceea ce priveşte parametru β , acesta se include în relaţia de
calcul a deplasării când cele două diagrame de moment încovoietor de
forme triunghiulare sunt cu ordonatele în extremităţi opuse, iar
diagrama suplimentară din efort axial are ordonate nule în extremităţi.
2. S-a întocmit un tabel pentru calculul integralelor în cazul
determinării deplasărilor de ordinul II, tabelul 10.2 (asemănător cu
tabelul 10.1, corespunzător calculului deplasărilor de ordinul I).
a
a
b
C.G.
y C.G.
C.G.
y C.G.
l
l
Tabelul 10.2. Integrarea diagramelor de eforturi
b
Ω =
a l
2
y C.
G.
=
Ω =
y C.
G.
a l
2
=
2
3
1
3
b
b
lM(
x)
M(
x)
∫ dx =
0 EI
1
ΩyC.
G.
=
EI
l
a bα
3EI
lM(
x)
M(
x)
dx =
0 EI
1
Ω yC.
G.
=
EI
∫
6
l
EI
a bβ
10.2.3. Grinda încastrată. Calculul deplasărilor de ordinul I
Se consideră o grindă în consolă acţionată de o forţă concentrată,
figura 10.3. Se cere să se determine săgeata produsă în capătul liber de
către forţa concentrată. Aplicând relaţia (10.1) şi regula de integrare din
tabelul 10.1 rezultă:

206
a.
b.
c.
d.
Y
Ql
1l
i
i
l
Calculul deplasărilor şi rigidităţilor de ordinul II
Fig.10.3. Grinda încastrata. Calculul săgeţii de ordinul I
y j
3
Q
1
j
j
y j
M
M
X
Starea reală – grinda
încastrată acţionată de o
forţă concentrată
Situaţia de încărcare
în starea virtuală pentru
calculul deplasării yj
Diagrama de moment în
starea reală
Diagrama de moment în
starea virtuală
l
= Q . (10.7)
3Ei
10.2.4. Grinda încastrată. Calculul deplasărilor de ordinul II
În figura 10.4 se prezintă o grindă încastrată acţionată de o forţă
concentrată, de intensitate Q şi o altă forţă concentrată P aplicată pe
a.
b.
c.
d.
Y
Ql
1l
i
i
l
Fig.10.4. Grinda încastrată. Calculul săgeţii de ordinul II
Q
1
j
j
P
y j
M
M
X
Starea reală – grinda
încastrată acţionată de o
forţă concentrată
Situaţia de încărcare
în starea virtuală pentru
calculul deplasării yj
Diagrama de moment în
starea reală
Diagrama de moment în
starea virtuală

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 207
direcţia axei OX. Se cere să se determine săgeata din extremitatea
liberă a grinzii, printr-un calcul de ordinul II.
Săgeata se calculează aplicând metoda Mohr-Maxwell specifică
calculului de ordinul I, iar rezultatul se multiplică cu parametru θ'
, în
conformitate cu modul de aplicare a metodei parametrilor în origine (v.
aplicaţia 9.3.2 şi relaţiile (9.55) şi (9.56). Rezultă următoarea relaţie:
în care
θ'
y j
3
l
= Qθ'
(10.8)
3EI
3(
tgν
− ν)
= . (10.9)
3
ν
Prin urmare, regula de înmulţire a două triunghiuri, ca cele din
figura 10.5 ne conduce la relaţia următoare:
a M II
b
Fig.10.5. Diagrame de moment încovoietor
M
Diagrama reala de ordinul II
cu un supliment de moment la
ordonata din extremitatea
dreapta
Diagrama din starea virtuala
l
∆ = abθ'
. (10.10)
3EI
10.2.5. Integrarea a două diagrame de forme trapezoidale
În cazul unor structuri complexe rezultă pe unele bare diagrame
de moment încovoietor de forme trapezoidale, de tipul celor din figura
10.6: M – diagramă de ordinul II având supliment de moment
încovoietor (în extremitatea dreaptă, aici) produsă de influenţa forţei
axiale şi
II
M - diagramă de ordinul I.
II
Regula de integrare a celor două diagrame, M şi M , ca cele din
figura 10.6, constă din descompunerea în diagrame triunghiulare, notate
pe figură prin A şi B , respectiv C
şi D şi aplicând regulile expuse în
tabelele 10.1 şi 10.2 şi consecinţele metodei parametrilor în origine.
Toate acest operaţii se efectuează pentru a se putea aplica pseudometoda
Mohr-Maxwell, cu multiple avantaje în cazul cadrelor alcătuite
din bare drepte.

208
a
c
M II
M
l
b
d
Calculul deplasărilor şi rigidităţilor de ordinul II
Fig.10.6. Diagrame de moment incovoietor
În consecinţă, rezultatul integrării celor două diagrame:
aplicând regula lui Mohr-Maxwell se află în modul următor:
şi
sau
∆ =
∆ =
∫
∫
l
0
l
0
II
M(
x)
M ( x)
dx =
EI
AC
dx
EI
+
∫
l
0
∫
a
c
l
0
AD
dx +
EI
B
D
( C + D)(
A + B)
dx
EI
∫
l
0
BC
dx
EI
+
∫
l
0
l
l
l
l
BD
dx
EI
A
C
b
d
II
M şi M ,
l l l l
∆ = acθ'+
adθ
+ bcθ
+ bdθ"
, (10.10)
3EI
6Ei
3EI
6EI
unde parametrii θ şi θ"
se determină cu relaţiile:
şi
θ"
=
6 ⎛ 1 tgν
⎞
θ = ⎜ − ⎟
2
ν ⎝ cos ν ν ⎠
ν
3
2
⎛
⎜1
+
⎝
tgν
ν
+
νtgν
−
2
cos ν
(10.11)
⎞
⎟ . (10.12)
⎠

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 209
10.2.6. Grinda simplu rezemată acţionată de o sarcină
distribuită. Calculul deplasărilor de ordinul II
În figura 10.7 este prezentată grinda simplu rezemată încărcată
cu o sarcină uniform distribuită. Se cere să se determine rotirile de
ordinul II ale secţiunilor extreme ale grinzii.
a.
b.
c.
d.
e.
Y
i
1
1
φi
l
EI
b=ql 2 /8
q
φj
1
j
1
P
M II
X
Starea reala
Starea virtuala
pentru φi
M,
φi
Starea virtuala
pentru φj
M,φj
Fig.10.7. Grinda simplu rezemată acţionată de o sarcină
uniform distribuită
Datorită simetriei cele două deplasări unghiulare ale
extremităţilor grinzii sunt egale. Se aplică pseudo-relaţia lui Mohr-
Maxwell, integrând două diagrame (una de ordinul II, figura 10.7.b şi
alta de ordinul I, figura 10.7.d), după regula de înmulţire a două
diagrame în formă de triunghi cu ordonatele alăturate: lungimea
triunghiului împărţită la produsul 3EI
, fracţia multiplicată cu ordonatele
celor două diagrame şi cu parametru α . Acest rezultat este identic cu
cel care se obţine prin aplicarea metodei parametrilor în origine (v.
capitolul 9).
Rezultatul integrării este următorul:
p

210
unde:
φ
i
Calculul deplasărilor şi rigidităţilor de ordinul II
l
= φ j = abαp
(10.12)
3EI
24 ⎛ ν ν ⎞
αp = ⎜tg
− ⎟ . (10.13)
2
ν ⎝ 2 2 ⎠
10.3. Calculul rigidităţilor de ordinul II la bara dreaptă
Statica Construcţiilor a definit şi calculat rigidităţile de ordinul II
pentru o bară dreaptă, pe două tipuri de grinzi: grinda dublu încastrată
şi grinda încastrată - simplu rezemată (articulată).
Rigiditatea la rotire se defineşte prin momentul încovoietor care
ia naştere în extremitatea unei grinzi, static nedeterminată, când în
încastrarea din aceeaşi extremitate se produce o cedare de reazem –
deplasare unghiulară egală cu unitatea.
Rigiditatea la deplasare reprezintă momentul încovoietor din
extremitatea unei grinzi static nedeterminată care ia naştere atunci când
axa barei se roteşte cu o unitate (prin cedarea unui reazem - deplasare
liniară perpendiculară pe axa iniţială a barei) sau când cedarea unui
reazem este o deplasare liniară egală cu unitatea.
10.3.1. Rigiditatea la rotire a grinzii dublu încastrate.
Se consideră o grindă dublu încastrată acţionată în reazemul din
extremitatea stângă a barei, figura 10.8, cu o rotire egală cu unitatea.
Se cere să se determine rigiditatea la rotire, Kij
.
Grinda fiind, în cazul acesta, de două ori static nedeterminată,
sistemul de ecuaţii de echilibru, în metoda forţelor, este următorul:
unde:
δ
δ
δ
11
12
22
δ
δ
11
21
x
x
1
1
+ δ
+ δ
12
22
x
x
II
2
2
= ∆
= ∆
1c
2c
, (10.14)
l M1(
x)
M1
l
= ∫ dx = α . (10.15)
0 EI 3EI
II
l M1(
x)
M2
l
= ∫ dx = β , (10.16)
0 EI 6EI
II
l M2(
x)
M2
l
= ∫ dx = α,
(10.17)
0 EI 3EI
∆ic = ± ∆i
± ∑
i
k
1 R ∆
(10.18)
şi rezultă, aplicând relaţia (10.18), pentru grinda luată în studiu:
k

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 211
P
P
P
1
1
i
M ij = K ij
i
Y
x 1
φi
l
EI
∆ c 1 . (10.19)
1 =
M ji
j
P
x 2 P
1 P
1
M 1 II
1 P
1
1
M 1
II M2 1 M 2
X
Situatie de incarcare -
stare reala
Sistem de baza
in metoda fortelor
Situatie de incarcare pentru
calculul coeficientilor,
stare reala
Diagrama de moment
incovoietor pentru
starea reala
Situatie de incarcare pentru
calculul coeficientilor,
stare virtuala
Diagrama de moment
incovoietor pentru
starea virtuala
Situatie de incarcare pentru
calculul coeficientilor,
stare reala
Diagrama de moment
incovoietor pentru
starea reala
Situatie de incarcare pentru
calculul coeficientilor,
stare virtuala
Diagrama de moment
incovoietor pentru
starea virtuala
Fig.10.8. Grinda dublu încastrată - calculul rigidităţii la rotire

212
Calculul deplasărilor şi rigidităţilor de ordinul II
şi ∆ 2 c = 0 . (10.20)
Introducând expresiile coeficienţilor şi termenilor liberi (relaţiile:
(10.15), (10.16), (10.17), (10.19) şi (10.20) în sistemul de ecuaţii de
condiţie (10.14) şi rezolvând sistemul de ecuaţii se obţin soluţiile:
şi
sau:
unde:
şi
în care:
x
x
1
2
K ij
4EI
3α
= (10.21)
l 2 2
4α
− 3β
2EI
3β
= (10.22)
l 2 2
4α
− 3β
4EI
x1
K'
l
= = , (10.23)
3α
K'
= (10.24)
2 2
4α
− 3β
M tr
2EI
x 2 K"
L
= = , (10.25)
3β
K"
= . (10.26)
2 2
4α
− 3β
În relaţiile (10.23) şi (10.25), K reprezintă rigiditatea la rotire a
barei dublu încastrate , iar M reprezintă momentul transmis din
ij tr
extremitatea i,
unde se produce cedarea de reazem egală cu unitatea,
în extremitatea j,
a barei ij .
sau
Factorul de transmitere, notat tij
, se calculează cu relaţia:
ij
ij
Mtr
t ij = (10.27)
K
t ij
β
= 0.
5 . (10.28)
α
10.3.2. Rigiditatea la deplasare a grinzii dublu încastrate.
Se consideră o grindă dublu încastrată acţionată în reazemul din
extremitatea dreaptă a barei, figura 10.9, cu o cedare de reazem,

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 213
P
P
P
1
1
i
i
Y
Mij= Kij ∆
x 1
x 2 P
1 P
V i =1/l
1
V i =1/l
V i =1/l
V i =1/l
j
EI ψ = 1/l
P
l
Mji= Kji ∆
1
M II
1
M 1
1 P
1
V j =1/l
V j =1/l
V j =1/l
M 2 II
V j =1/l
1 M 2
X
Situatie de incarcare -
stare reala
∆ = 1
Sistem de baza
in metoda fortelor
Situatie de incarcare pentru
calculul coeficientilor,
stare reala
Diagrama de moment
incovoietor pentru
starea reala
Situatie de incarcare pentru
calculul coeficientilor,
stare virtuala
Diagrama de moment
incovoietor pentru
starea virtuala
Situatie de incarcare pentru
calculul coeficientilor,
stare reala
Diagrama de moment
incovoietor pentru
starea reala
Situatie de incarcare pentru
calculul coeficientilor,
stare virtuala
Diagrama de moment
incovoietor pentru
starea virtuala
Fig. 10.9. Grinda dublu încastrată - calculul rigidităţii la deplasare

214
Calculul deplasărilor şi rigidităţilor de ordinul II
deplasare liniară, perpendiculară pe axa iniţială a bare, egală cu
unitatea. Se cere să se determine rigiditatea la deplasare, K ij .
Problema se rezolvă prin metoda forţelor. Sistemul de ecuaţii de
condiţie este identic cu cel prezentat anterior, relaţiile (10.14).
Coeficienţii, după cum rezultă din analiza diagramelor de moment
încovoietor desenate în figura 10.9, sunt identici cu cei calculaţi la
problema precedentă, relaţiile: (10.15), (10.16) şi (10.17). Termenii
liberi se calculează cu relaţia (10.18), reacţiunile R sunt calculate pe
figura menţionată, rezultă:
şi
1
∆ 1c
= −
(10.29)
l
1
2 c
l
= ∆ . (10.30)
Rezolvând sistemul de ecuaţii (10.14) luând în considerare
expresiile coeficienţilor, relaţiile: (10.15), (10.16) şi (10.17) şi termenii
liberi, expresiile: (10.29) şi (10.30), se deduc soluţiile problemei:
x
1
6EI
= x 2 − K . (10.31)
2
l
Rezultă, pentru grinda dublu încastrată, rigidităţile la deplasare
determinate cu relaţia:
∆
Kij ∆
= K ji =
6EI
K
2
l
(10.32)
unde:
1
K = .
2α
− β
(10.33)
Obs. Rigidităţile la rotire şi deplasare ale grinzii dublu încastrate
sunt prezentate în tabelul 10.4., iar pentru grinda încastrată – simplu
rezemată în tabelul 10.5.
10.4. Momentele de încastrare perfectă de ordinul II ale
grinzii dublu încastrate
Se consideră o grindă dublu încastrată acţionată de o sarcină
uniform distribuită de intensitate q,
figura 10.10. Se cere să se
determine momentele de încastrare perfectă, şiM
, momentele
încovoietoare din secţiunile extremităţilor grinzii.
i
k
M ij ji
Grinda fiind, în cazul acesta, de două ori static nedeterminată,
sistemul de ecuaţii de echilibru, în metoda forţelor, este următorul:

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 215
P
P
P
1
1
i
i Y
x 1
1
M ij
φi
l
EI
x 2 P
1 P
q
EI P
b=ql 2 /8
φj
M ji
1 P
1
j
1
P
II Mp M 1 II
M 1
M 2 II
1 M 2
X
Situatie de incarcare -
stare reala
Sistem de baza
in metoda fortelor
Situatie de incarcare pentru
calculul terminilor liberi,
stare reala
Diagrama de moment
incovoietor pentru
incarcari exterioare
Situatie de incarcare pentru
calculul coeficientilor,
stare reala
Diagrama de moment
incovoietor pentru
starea reala
Situatie de incarcare pentru
calculul coeficientilor,
stare virtuala
Diagrama de moment
incovoietor pentru
starea virtuala
Situatie de incarcare pentru
calculul coeficientilor,
stare reala
Diagrama de moment
incovoietor pentru
starea reala
Situatie de incarcare pentru
calculul coeficientilor,
stare virtuala
Diagrama de moment
incovoietor pentru
starea virtuala
Fig.10.10. Grinda dublu încastrată – calculul momentelor
de încastrare perfectă

216
δ
δ
11
21
x
x
1
1
+ δ
+ δ
12
22
x
x
2
2
+ ∆
+ ∆
Calculul deplasărilor şi rigidităţilor de ordinul II
1p
2p
= 0
. (10.34)
= 0
Coeficienţii, după cum rezultă din analiza diagramelor de moment
încovoietor desenate în figura 10.10, sunt identici cu cei calculaţi la
problema de la paragraful 10.3.1, relaţiile: (10.15), (10.16) şi (10.17).
Termenii liberi se determină folosind relaţia de calcul:
∆
l
ip = ∑∫ 0
I
II
Mi
( x)
Mp
( x)
dx , (10.35)
EI
care aplicată în cazul problemei considerate în studiu şi luând în
considerare diagramele trasate în figura 10.1 conduce la următoarele
relaţii de calcul pentru termenii liberi ai sistemului de ecuaţii:
3
ql
1 p αp
24EI
= ∆ . (10.36)
Cunoscând relaţiile de calcul ale coeficienţilor şi termenilor liberi
sa poate rezolva sistemul de ecuaţii (10.34). Soluţia sistemului este:
unde:
x
1
2
ql
= −x
2 = − µ , (10.37)
12
48 ⎛ ν ν ⎞⎛
1 ⎞
µ = ⎜tg
− ⎟⎜K'−
K"
⎟ . (10.38)
3
ν ⎝ 2 2 ⎠⎝
2 ⎠
iar parametrii K’ şi K” se calculează cu formulele (10.24) şi (10.26).
Cum momentele de încastrare perfectă se identifică cu
necunoscutele sistemului de ecuaţii rezultă că acestea se determină cu
relaţiile:
ql
= M = µ . (10.39)
8
Mij ji
Obs. Relaţiile de calcul ale momentelor de încastrare perfectă ale
grinzii dublu încastrate sunt prezentate în tabelul 10.4, iar pentru grinda
încastrată – simplu rezemată, în tabelul 10.5.
2

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 217
i
M ij = K ij
Ta. 10.4. Rigidităţi şi momente de ordinul II ale grinzii dublu încastrate
φi =1
i
Mij= Kij ∆
i
i
i
φ
Mij= Kij
i
i Y
M ij
M ij
l
EI
M ji = M tr
j
EI ψ = 1/l
P
l
Mji= Kji ∆
j
P
∆=1
j
EI ψ = 1
P
l
l
l
Q
EI
EI
q
φ
Mji= Kji
M ji
M ji
j
j
∆ =l
P
P
K ij
K'
M tr
K"
4EI
= K'
l
3α
=
2
4α
− 3β
2EI
= K"
L
3β
=
2
4α
− 3β
2
2
t ij
6EI
Kij = K ji = K
2
l
∆ ∆
1
K =
2α
− β
6EI
Kij = K ji = K
l
1
K =
2α
− β
2
ql
Mij = Mji
= µ
12
= 0.
5
β
α
48 ⎛ ν ν ⎞⎛
1 ⎞
µ = ⎜tg
− ⎟⎜K'−
K"
⎟
3
ν ⎝ 2 2 ⎠⎝
2 ⎠
Ql
Mij = Mji
= µ
8
⎛ ⎞
16
⎜ ⎟
⎜
1
⎟
⎛ 1 ⎞
µ = ⎜K'−
K"
⎟
2
ν ⎜ ν ⎟⎝
2 ⎠
⎜ cos ⎟
⎝ 2 ⎠

218
i Mij = K ij
Calculul deplasărilor şi rigidităţilor de ordinul II
Ta. 10.5. Rigidităţi şi momente de ordinul II ale grinzii încastrată-simplu
rezemată
φ
i
Mij= Kij ∆
i
Y
i
Mij= Kij Ψ
i
Y
i
i
i Y
i Y
M ij
M ij
i =1
l
j
EI P
j
EI ψ = 1/l P
l
j
EI ψ = 1
P
l
l
l
Q
EI
EI
q
j
j
X
X
∆ = 1
∆ = l
P
P
X
3EI
o
Kij
= K
l
K o
1
=
α
3 ⎛ 1
α = ⎜ −
ν ⎝ ν
∆ 3EI
o
Kij
= k
l
K o
1
=
α
ψ 3EI
o
K = k
ij l
K o
1
=
α
1
tgν
⎞
⎟
⎠
2
ql
Mij = Mji
= µ
8
24 o ⎛ ν ν ⎞
µ = k ⎜tg
− ⎟
3
ν ⎝ 2 2 ⎠
3Ql
Mij = Mji
= µ
16
8
µ =
ν
⎛
⎜
⎜ 1
⎜
⎜ cos
⎝ 2
o
k
2 ν
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

CAPITOLUL 11
CALCULUL DE STABILITATE A CADRELOR
UTILIZÂND MATRICEA DE FLEXIBILITATE
11.1. Ecuaţia de stabilitate
Ecuaţia de stabilitate în metoda forţelor se obţine prin anularea
determinantului matricei coeficienţilor. Matricea coeficienţilor, identică
cu matricea de flexibilitatea a structurii, are forma următoare:
[ δij]
⎡δ11
⎢
⎢
δ21
= ⎢ −
⎢
⎢ −
⎢
⎣δn1
δ12
δ22
−
−
δn2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
δ1n
⎤
⎥
δ2n
⎥
− ⎥
⎥
− ⎥
δ ⎥
nn⎦
(11.1)

220
Calculul de stabilitate a cadrelor utilizând matricea de flexibilitate
Un coeficient al acestei matrice se determină cu relaţia:
II
l Mi(
x)
M
j
δij
= ∫ dx . (11.2)
0 EI
În conformitate cu relaţia (11.2) şi cu cele precizate în capitolul
numărul 10, privitor la calculul deplasărilor, rezultă că δ este o funcţie
de factorul de compresiune ν , care se determină cu formula:
N
ν = l , (11.3)
EI
unde N reprezintă forţa axială dintr-o bară a structurii, produsul EI -
rigiditatea la solicitarea de încovoiere, iar factorul de compresiune
intervine prin intermediul parametrilor α,
β,
θ,
θ"
, θ'
etc.
Ecuaţia de stabilitate are forma:
( [ δ ] ) = 0
det . (11.4)
ij
11.2. Etape în calculul de stabilitatea a cadrelor
În vederea efectuării unui calcul de stabilitate, a unui cadru, se
parcurg următoarele etape de calcul:
a) Se realizează un calcul de ordinul I pentru a afla eforturile axiale
din barele structurii. Nu se iau în considerare decât eforturile de
compresiune;
b) Se calculează factorii de compresiune pentru barele structurii,
aplicând relaţia (11.3), care ia forma:
Nij
ν ij = lij
; (11.5)
EIij
c) Se depistează factorul de compresiune maxim şi funcţie de acest
factor se exprimă ceilalţi factori de compresiune. Dacă notăm
factorul de compresiune maxim cu " ν"
sau ν " , atunci ceilalţi
" max
factori de compresiune se determină funcţie de acesta astfel:
unde ν se calculează cu relaţia (11.3).
lij
Nij
EI
ν ij = ν
, (11.6)
l N EIij
Se alege un sistem de bază, corespunzător metodei forţelor,
format din bare dublu articulate (simplu rezemate) şi/sau console
(grinda încastrată).
ij

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 221
Obs. Această restricţie este impusă de faptul că am evidenţiat
modalităţi şi relaţii de calcul pentru deplasări (să aplicăm relaţia Mohr-
Maxwell), numai în cazurile specifice grinzii dublu articulate şi grinda
încastrată;
d) Se trasează diagramele de moment încovoietor pe sistemul de
bază ales, în cele două stări: starea reală (diagrame de ordinul
II) şi starea virtuală (diagrame de moment de ordinul I);
e) Se calculează coeficienţii δ aplicând relaţia (11.2) după regulile
ij
precizate în capitolul numărul 10;
f) Se determină ecuaţia de stabilitate prin anularea determinantului
coeficienţilor, relaţia (10.4);
g) Se caută, prin încercări, soluţia ecuaţiei de stabilitate.
unde:
Obs.:
1. Pentru găsirea soluţiei ecuaţiei de stabilitate, ν , factorul de
compresiune critică, se vor impune, succesiv, valori factorului
de compresiune, ν , care introdus în ecuaţia de stabilitate
trebuie să verifice aceasta ecuaţie. Prima valoare impusă
pentru factorul de compresiune se calculează cu relaţia:
π
ν = νcr
= , (11.8)
γ
lf
γ = , (11.9)
l
în care: lf
reprezintă lungimea de flambaj a barei etalon, bara cu
factorul de compresiune maxim,
l - lungimea barei etalon.
2. Parametrul γ se determină în funcţie de tipul de legături
existente în extremităţile barei etalon, astfel determinăm cu
ajutorul relaţiei (11.9) următoarele valori:
a. γ = 0. 5 pentru grinda dublu încastrată;
b. γ = 0. 707 în cazul grinzii încastrate – simplu rezemată;
c. γ = 1 pentru grinda dublu articulată sau articulată –
simplu rezemată;
d. γ = 2 pentru grinda încastrată (în consolă).
2. În ecuaţia de stabilitate se regăseşte factorul de compresiune
maxim, al barei etalon. Această bară, prin modul de
deformare sub acţiunea încărcărilor, se compară cu cele patru
tipuri de bară, pentru care avem calculate valorile
parametrului γ
. De regulă, bara etalon se situează între două
tipuri de bară şi atunci pentru a se determina valoarea
cr

222
Calculul de stabilitate a cadrelor utilizând matricea de flexibilitate
parametrului γ se efectuează o interpolare sau se ia media
valorilor corespunzătoare celor două tipuri de bară. Cu
această valoare, astfel aflată, se începe iteraţia pentru
detrminarea soluţiei ecuaţiei de stabilitate.
3. În mod firesc, determinantul, pentru valoarea parametrului γ
propusă, nu se va anula. Va rezulta, pentru determinant, o
valoare pozitivă (sau negativă). Se consideră, pentru cea de a
doua etapă a iteraţiei, o altă valoare pentru parametrul γ ,
care să ne conducă la o valoare a determinantului negativă
(sau pozitivă). Următoarea valoare a parametrului γ pe care
o verificăm în ecuaţia de stabilitate este valoarea media a
celor două valori ale parametrului γ , utilizate în primele două
etape ale iteraţiei (cele care au condus la valorile pozitive sau
negative ale determinantului).
4. Cum pentru a determina rezultatul ecuaţiei de stabilitate vor
rezulta două valori: una pozitivă, notată, A şi una negativă,
notată B , iteraţia se opreşte atunci cănd eroarea relativă
satisface relaţia:
A − B
εr
% = 100 < 0.
1.
(11.10)
A
5. Valoarea factorului de compresiune ν , care a condus la
i)
rezultatul relaţiei (11.10), se consideră valoarea factorului de
compresiune critic.
Cunoscând valoarea factorului de compresiune critic se determină
direct valoarea forţei axiale critice, N şi, firesc, încărcarea
critică
şi
P . Conform relaţiei (11.3) rezultă:
cr
N
cr
2
cr
2
cr
ν EI
= (11.11)
l
P cr
cr = f(
N ) , (11.12)
deoarece prin intermediul calculului de ordinul I a rezultat că
forţa axială este funcţie de încărcarea exterioară, P :
N = f(
P)
, (11.13)
unde P reprezintă intensitatea încărcării aplicate pe structură.

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 223
11.3. Aplicaţii
11.3.1. Calculul de stabilitate al unui cadru static
nedeterminat cu noduri fixe
Se consideră cadrul din figura 11.1 pentru care se cere să se
determine încărcarea critică de pierdere a stabilităţii, prin metoda
forţelor.
In vederea soluţionării problemei, se vor aplica etapele de calcul
expuse în paragraful 11.2, după cum urmează:
1
1.5P
3EI
2 3
EI EI
4
P
EI
10.0 m 8.0 m
2.0 m
5
8.0 m
Fig. 11. 1. Cadru static nedeterminat. Calcul de stabilitate.
a) Determinarea eforturilor axiale de ordinul I din barele structurii.
Analizând structura propusă pentru studiu se constată că este de
două ori static nedeterminată, GNS = 2 , iar datorită faptului că forţele
exterioare sunt aplicate în nodurile structurii, cu direcţiile coincizând cu
axele stâlpilor, nu mai este necesar să efectuăm un calcul de ordinul I
pentru a afla eforturile axiale din barele cadrului. Eforturile axiale sunt
evidente:
N 1.
5P
12 = (11.14)
N =
34
P ,
iar în restul barelor eforturile sunt nule.
b) Calculul factorilor de compresiune, νij
.
Se foloseşte relaţia (11.5). Luând în considerare caracteristicile
geometrice şi fizice ale barelor structurii şi eforturile axiale determinate
în etapa precedentă rezultă:

224
Calculul de stabilitate a cadrelor utilizând matricea de flexibilitate
N12
1.
5P
P
ν12 = l12
= 8 = 9.
8
(11.15)
EI EI EI
12
N34
P
ν34 = l34
= 8 .
EI EI
34
c) Exprimarea factorilor de compresiune funcţie de factorul de
compresiune maxim.
Comparând cei doi factori de compresiune rezultă că cel al barei
12 este cel maxim, iar bara devine bara etalon pentru structură. Prin
urmare:
ν = ν
şi
deoarece
d) Alegerea sistemului de bază.
12 max
(11.16)
ν34 = 0.
8165νmax
, (11.17)
8
0.
8165
9.
8
= .
În conformitate cu cele precizate în paragraful 11.2 sistemul de
bază, în acest caz, este un sistem static determinat, prin suprimarea a
celor două legături suplimentare, care au fixat şi gradul de
nedeterminare statică a structurii. Sistemul de bază este prezentat în
figura 11.2 fiind alcătuit din bare dublu articulate.
e) Trasarea diagramelor unitare de moment încovoietor.
Diagramele unitare sunt trasate şi prezentate în figura 11.3, în
două stări de încărcare corespunzătoare stării virtuale, diagrame de
eforturi de ordinul I şi stării reale, diagrame de eforturi de ordinul II.
f) Calculul coeficienţilor, δij
.
Coeficienţii se determină aplicând pseudo-metoda Mohr-Maxwell,
relaţia (10.2). Se obţin următoarele relaţii de calcul:
şi
δ
δ
11
22
II
M1(
x)
M1
8
10
= ∑ dx = 1 ⋅ 1 ⋅ α12
+ 1 ⋅ 1 ,
EI 3EI
3 ⋅ 3EI
δ
12
M ( x)
M
= 1
∑ EI
II
2
M2(
x)
M
= ∑ EI
II
2
10 5
dx = 1 ⋅ 1 =
6 ⋅ 3EI
9EI
10 8
dx = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ α34
.
3 ⋅ 3EI
3EI

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 225
1
1.5 P
1.5 P
1
1.5P
X 1
X 2
P
SB
Fig. 11. 2. Cadru static nedeterminat. Sistem de bază
1
1
P
II
M1 a. b.
c.
P
II
M2 Fig. 11. 3. Cadru static nedeterminat. Calcul de stabilitate.
a. şi c. Diagrame unitară de moment încovoietor în starea reală
de încărcare a sistemului de bază. b. şi d. Diagrame unitare de moment
încovoietor în starea virtuală de încărcare a sistemului de bază
Matricea de flexibilitate este:
[ ]
δ ij
1
d.
⎡ 8 10
⎢ α12
+
= 3 9
⎢
⎢
5
⎢⎣
9
10
9
1
5 ⎤
9
⎥
⎥ .
8
+ α ⎥
34
3 ⎥⎦
1
M 1
M 2

226
Calculul de stabilitate a cadrelor utilizând matricea de flexibilitate
g) Stabilirea ecuaţiei de stabilitate.
Ecuaţia de stabilitate se obţine prin anularea determinantului
matricei coeficienţilor, relaţia (11.4):
( [ δ ] ) = 0
det ij .
Luând în considerare matricea de flexibilitate determinată la
punctul anterior şi relaţia (11.4), ecuaţia de stabilitate are forma:
sau
⎛ 8
⎜ α
⎝ 3
12
10 ⎞⎛
10 8
+ ⎟⎜
+ α
9 ⎠⎝
9 3
34
⎞
⎟ −
⎠
5 12 34 12 34
5
9
5
9
= 0
, 78α
α + 2.
41α
+ 2.
41α
− 1 = 0 . (11.18)
h) Aflarea soluţiei ecuaţiei de stabilitate.
Pentru găsirea soluţiei ecuaţiei de stabilitate se procedează prin
încercări. Se propune a valoare pentru factorul de compresiune al barei
etalon, ν 12 . Bara etalon ”12” are o comportare, dacă interpretăm
posibilităţile de deformare a structurii, intermediară între cea a unei
bare dublu articulate, pentru care:
ν =
π
2
γ
=
3.
14
1
= 3.
14
şi comportarea barei încastrate la extremitatea superioară, aici în nodul
structurii şi articulată la capătul inferior, avem:
π 3.
14
ν = = = 4.
44 ,
γ 0.
707
dar mai apropiată de cea a ultimului tip de bară. De aceea, se consideră,
pentru factorul de cmpresiune, valoarea:
ν = 4. 0 .
Se acceptă în prima iteraţie valoare ν = 4.
0 şi folosind relaţia
(11.17), se obţine:
12
ν = . 8165 ⋅ ν = 3.
266 . (11.19)
34
0 12
Pentru cei doi factori de compresiune, şi ν se determină
parametrul α aplicând relaţia (9.50):
3 ⎛ 1
α = ⎜ −
ν ⎝ ν
iar parametrii α corespunzători:
1
tgν
⎞
⎟ ,
⎠
ν12 34
α = −0.
460268
(11.20)
12

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 227
şi
α = −7.
064066 . (11.21)
34
Introducând valorile (11.20) şi (11.21) în ecuaţia de stabilitate,
relaţia (11.18), eroarea absolută este:
ε a
= , 78α
α + 2.
41α
+ 2.
41α
− 1 = −0.
34 . (11.22)
5 12 34 12 34
Se alege, în etapa următoare a iteraţiei, o altă valoare pentru
factorul de compresiune, dorind să se obţină o eroare absolută pozitivă.
Se încearcă ν = 3.
95 . Rezultă:
şi
12
ν = 3.
22517 , α = −0.
533 , α = −10.
8146
34
12
34
εa = 4. 97 . (11.23)
Deoarece s-au găsit pentru două valori ale factorului de
compresiune erori relative de semne diferite, în următoarea etapă a
iteraţiei se va considera media factorilor de compresiune:
4.
0 + 3.
95
ν 12 = = 3.
975 .
2
Urmând calea parcursă mai sus rezultă: εa = 1. 7 .
Se continuă iteraţia cu ν 12 =
4.
0 + 3.
975
2
= 3.
9875 ş.a.m.d.
ν
După mai multe etape în iteraţie s-a ajuns la valoarea
= 3.
995 , pentru care rezultă:
12
α = −0.
4671935 şi α = −7.
32463748 ,
12
care introduse în ecuaţia de stabilitate conduce la:
şi eroarea relativă:
ε a
= 19 . 7792911 − 19.
7783109 = 0.
00098
%
ε r
34
0.
00098
= 100 = 0.
005 < 0.
1.
19.
7792911
Prin urmare, νcr = 3. 995 şi aplicând relaţia (11.15) ajungem la
valoarea critică a încărcării:
Pcr = 0.
166EI.
(11.24)

228
Calculul de stabilitate a cadrelor utilizând matricea de flexibilitate
11.3.2. Calculul de stabilitate al unui cadru static
nedeterminat cu noduri deplasabile
Se consideră cadrul din figura 11.4.a pentru care se cere să se
determine încărcarea critică de pierdere a stabilităţii, prin metoda
forţelor.
În vederea soluţionării problemei se vor aplica etapele de calcul
expuse în paragraful 11.2, după cum urmează:
a) Determinarea eforturilor axiale de ordinul I din barele structurii.
Analizând structura, propusă pentru studiu, se constată că este
de două ori static nedeterminată, GNS = 2 , iar datorită faptului că forţa
exterioară este aplicată într-un nod al structurii, cu direcţia coincizând
cu axa stâlpiului „12”, nu mai este necesar să efectuăm un calcul de
ordinul I pentru a afla eforturile axiale din barele cadrului. Efortul axiale
este evident:
N = P
iar în restul barelor eforturile sunt nule: 34 = 0
b) Calculul factorilor de compresiune, νij
.
a.
P
2
EI
1
l
EI
3
4
EI
l
12 (11.14)
b.
N şi N 0 .
P
SB
23 =
Fig. 11. 4. Cadru static nedeterminat. Calcul de stabilitate.
a. Structura considerată. b. Sistem de bază
Se foloseşte relaţia (11.5). Luând în considerare caracterisrticile
geometrice şi fizice ale barelor structurii şi eforturile axiale determinate
în etapa precedentă rezultă:
N12
P
ν 12 = l12
= l . (11.15)
EI EI
12
ν 34 = ν 23 = 0 .
X 1
X 2
X 1

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 229
c) Exprimarea factorilor de compresiune funcţie de factorul de
compresiune maxim.
-
d) Alegerea sistemului de bază.
În conformitate cu cele precizate în paragraful 11.2, sistemul de
bază, în acest caz, este un sistem static determinat prin suprimarea
celor două legături suplimentare, care au fixat şi gradul de
nedeterminare statică a structurii. Sistemul de bază este prezentat în
figura 11.4.b fiind format din grinzi (bare) încastrate.
e) Trasarea diagramelor unitare de moment încovoietor.
Diagramele unitare sunt trasate şi prezentate în figura 11.3, în
două stări de încărcare corespunzătoare stării virtuale, diagrame de
eforturi de ordinul I şi stării reale, diagrame de eforturi de ordinul II.
f) Calculul coeficienţilor, δij
.
Coeficienţii se determină aplicând pseudo-metoda Mohr-Maxwell,
relaţia (10.2). Se obţin următoarele relaţii de calcul:
şi
δ
11
II
M1(
x)
M1
l l l
l
= ∑ dx = l ⋅ l + l ⋅ l ⋅ θ'+
l ⋅ l ⋅ θ"
+ 2 l ⋅ l ⋅ θ
EI 3EI
3EI
3EI
6EI
δ
12
δ
II
M1(
x)
M2
l l
= ∑ dx = − l ⋅ l ⋅ θ'−
l ⋅ l ⋅ θ
EI 3EI
6EI
22
II
M2(
x)
M2
l l
= ∑ dx = l ⋅ l ⋅ θ'+
l ⋅ l .
EI 3EI
3EI
Matricea de flexibilitate este:
⎡δ11
δ12
⎤
[ δij ] = ⎢ ⎥
⎣δ21
δ22
⎦
g) Stabilirea ecuaţiei de stabilitate.
Ecuaţia de stabilitate se obţine prin anularea determinantului
matricei coeficienţilor, relaţia (11.4):
( [ δ ] ) = 0
det ij .
Luând în considerare matricea de flexibilitate determinată la
punctul anterior şi relaţia (11.4), ecuaţia de stabilitate are forma:
sau
δ
11
δ
22
− δ
2
12 = 0
2θ'+
θ"
+ θ − 0.
25θ
+ θ'
θ"
+ 1 =
2
.
0 . (11.18)

230
P
a. P
1
c.
P
l
l
l
l
II
M1 M 1
Calculul de stabilitate a cadrelor utilizând matricea de flexibilitate
1
Fig. 11. 5. Cadru static nedeterminat. Calcul de stabilitate.
a. şi b. Diagrame unitare de moment încovoietor în starea reală de
încărcare a sistemului de bază. c. şi d. Diagramă unitară de moment
încovoietor în starea virtuală de încărcare a sistemului de bază
h) Aflarea soluţiei ecuaţiei de stabilitate.
Pentru găsirea soluţiei ecuaţiei de stabilitate se procedează prin
încercări, identic cum s-a procedat în aplicaţia precedentă. Ecuaţia se
verifică pentru:
cu
şi
b.
d.
νcr = 2. 9375 ,
%
ε r
εa = 0. 00132
i) Determinarea încărcării critice
P
= 0 . 073 < 0.
1
Cunoscând expresia factorului de compresiune critică:
l
l
II
M2 M 2
l
l
1
1

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 231
ν
cr
Pcr
= 2 . 9375 = l ,
EI
rezultă pentru încărcare critică expresia:
EI
8.
63
2
l
P cr = .
11.3.3. Calculul de stabilitate al unui cadru static
nedeterminat
Se consideră cadrul din figura 11.5.a pentru care se cere să se
determine încărcarea critică de pierdere a stabilităţii, prin metoda
forţelor.
P
Q 1
a. 6.00m
b.
EI
3
4EI
5.00m
2
Fig. 11. 5. Cadru static nedeterminat. Calcul de stabilitate.
a. Structura considerată. b. Sistem de bază
In vederea soluţionării problemei se vor aplica etapele de caclul
expuse în paragraful 11.2, după cum urmează.
a) Determinarea eforturilor axiale de ordinul I din barele strucrturii.
Analizând structura propusă pentru studiu se constată că este o
dată static nedeterminată, GNS = 1,
iar datorită faptului că forţele
exterioare sunt aplicate în nodul structurii, cu direcţiile coincizând cu
axele barelor, nu mai este necesar să efectuăm un calcul de ordinul I
pentru a afla eforturile axiale din barele cadrului. Eforturile axiale sunt
evidente:
N 13 = P , (11.14)
N 0 .
13 =
b) Calculul factorilor de compresiune, ν .
ij
P
X 1
SB

232
Calculul de stabilitate a cadrelor utilizând matricea de flexibilitate
Se foloseşte relaţia (11.5). Luând în considerare caracterisrticile
geometrice şi fizice ale barelor structurii şi eforturile axiale determinate
în etapa precedentă rezultă:
N13
P
ν13 = l13
= 6.
0 , (11.15)
EI EI
13
ν 12 = 0 .
c) Exprimarea factorilor de compresiune funcţie de factorul de
compresiune maxim.
-
d) Alegerea sistemului de bază.
În conformitate cu cele precizate în paragraful 11.5.b sistemul de
bază, în acest caz, este un sistem static determinat prin suprimarea unei
legături suplimentare, care a fixat şi gradul de nedeterminare statică a
structurii. Sistemul de bază este prezentat în figura 11.2 fiind format
dintr-o grindă (bară) încastrate şi o grindă simplu rezemată.
e) Trasarea diagramelor unitare de moment încovoietor.
Diagramele unitare sunt trasate şi prezentate în figura 11.6.a şi
b, în două stări de încărcare corespunzătoare stării virtuale, diagrame de
eforturi de ordinul I şi stării reale, diagrame de eforturi de ordinul II.
a.
1
1
M 1
Fig. 11. 6. Cadru static nedeterminat. Calcul de stabilitate.
a. Diagramă unitară de moment încovoietor în starea virtuală
de încărcare a sistemului de bază. b. Diagramă unitară de moment
încovoietor în starea reală de încărcare a sistemului de bază
f) Calculul coeficienţilor, δij
.
Coeficientul se determină aplicând pseudo-metoda Mohr-Maxwell,
relaţia (10.2). Se obţine următoarea relaţie de calcul:
1
b.
P
1
II
M1

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 233
δ
11
II
M1(
x)
M1
5.
0 6.
0 6.
0
l
= ∑ dx = 1 ⋅ 1 ⋅ + l ⋅ l ⋅ θ'+
1 ⋅ 1 ⋅ θ"
+ 2 l ⋅ l ⋅ θ
EI 3 ⋅ 4EI
3EI
3EI
6EI
g) Stabilirea ecuaţiei de stabilitate.
Deoarece cadrul este o dată static determinat apare evident că
ecuaţia de stabilitate are forma:
δ 11 =
sau 0 . 208 + θ'+
θ"
+ θ = 0
h) Aflarea soluţiei ecuaţiei de stabilitate.
Pentru găsirea soluţiei ecuaţiei de stabilitate se acţionează prin
încercări, identic cum s-a procedat în aplicaţia anterioară. Ecuaţia se
verifică pentru:
0
νcr = 2. 94 ,
i) Determinarea încărcării critice
Cunoscând expresia factorului de compresiune critică:
ν
cr
Pcr
= 2 . 94 = 6.
0 ,
EI
rezultă pentru încărcare critică expresia:
P cr
2 EI
= 2,
94 = 0.
24EI
.
2
6.
0

CAPITOLUL 12
CALCULUL DE ORDINUL II AL CADRELOR
PRIN METODA FORŢELOR
12.1. Metoda forţelor în calculul de ordinul I
Structurile static nedeterminate au un număr mai mare de
legături decât cele minim necesare realizării indeformabilităţii
geometrice, ceea ce face imposibilă soluţionarea lor folosind numai
ecuaţiile de echilibru static.

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 235
De aceea, este necesar să se scrie ecuaţii suplimentare stabilite
prin exprimarea condiţiilor de deformare a structurii. Prin urmare,
pentru a determina starea de efort şi deformaţie dintr-o structură
nedeterminată static, trebuie să se aplice concomitent cele două condiţii
care caracterizează echilibrul unei structuri, şi anume: condiţia de
echilibru static şi condiţia de continuitate a deformatei.
În metoda forţelor se utilizează ca necunoscute forţele de
legătură suplimentare egale cu gradul de nedeterminare statică a
structurii, iar ecuaţiile suplimentare reprezintă exprimarea condiţiei de
continuitate a deformatei pe direcţia fiecărei necunoscute.
Prin grad de nedeterminare statică a unei structuri se înţelege
diferenţa între numărul total al necunoscutelor problemei şi numărul
ecuaţiilor de echilibru static. Gradul de nedeterminare statică se
determină prin aplicarea următoarelor relaţii:
a.
GNS = l + r − 3c
, (12.1)
unde: GNS reprezintă gradul de nedeterminare statică;
l – numărul de legături simple interioare structurii între corpuri;
r – numărul de legături simple în reazemele structurii;
c – numărul de corpuri distincte;
3 – numărul de ecuaţii de echilibru static care se pot scrie pentru
un corp
b.
∑
− = s c GNS 3 , (12.2)
în care: c reprezintă numărul de contururi închise distincte;
închis.
3 – numărul de nedeterminări statice ale unui contur închis;
s – numărul de legături care lipsesc unui contur pentru a fi
Pentru rezolvarea structurilor static nedeterminate, prin metoda
forţelor, este necesar ca un număr de legături, egal cu gradul de
nedeterminare statică a structurii, să fie suprimate şi în locul lor să se
introducă echivalentul mecanic (forţe sau cupluri). Sistemul obţinut prin
suprimarea de legături, în modul expus anterior, care este un sistem
static determinat, se numeşte sistem de bază.
Forţele şi eforturile din legăturile suprimate din reazeme sau
continuităţi interioare, odată puse în evidenţă (necunoscutele problemei)
împreună cu forţele exterioare, constituie un sistem de forţe care
acţionează pe structura static determinată.

236
Calculul de ordinul II al cadrelor prin metoda forţelor
Sub acţiunea acestui sistem de forţe, structura va fi în echilibru
indiferent de ce valori se vor da forţelor necunoscute. Soluţia unică a
problemei se obţine din condiţia ca sistemul de bază, încărcat cu forţele
exterioare date şi forţele necunoscute, notate X , să se comporte identic
cu sistemul dat, adică deplasările totale pe direcţiile tuturor
necunoscutelor (legăturilor suprimate) să fie egale cu zero, deoarece
legăturile sistemului real nu permite astfel de deplasări.
În cazul unui sistem de n ori static nedeterminat condiţiile care
se scriu sunt:
∆ = ∆ = 0,
......., ∆ = 0,
......., ∆ = 0,
(12.3)
1
0, 2
i
n
unde ∆ i reprezintă deplasare totală pe direcţia necunoscutei Xi
.
Dacă forţele exterioare date şi cele din legăturile suprimate ar fi
aplicate simultan pe sistemul de bază, ele ar produce deplasări pe
direcţia fiecărei necunoscute. Suma acestor deplasări reprezintă
deplasarea totală, ∆ i , care pentru respectarea condiţiei de
compatibilitate a deformatei trebuie să fie egală cu zero.
este:
Relaţia de calcul a deplasării totale pe direcţia necunoscutei
δ X δ X + ....... + δ X + ....... + δ X + ∆ = 0 . (12.4)
i1
1 + i2
2
ii i
in n ip
În ecuaţia (12.4) coeficienţii necunoscutelor sunt deplasări
produse pe direcţia necunoscutei X din încărcarea sistemului de bază
i
separat cu forţele X1
= 1, X 2 = 1,.....,
Xi
= 1,.....
Xn
= 1,
iar termenul liber
este deplasarea pe direcţia necunoscutei X , produsă de forţele
exterioare date, aplicate pe sistemul de bază.
Scriind n asemenea ecuaţii se obţine sistemul de ecuaţii de
condiţie care se poate exprima sub forma:
n
∑
j=
1
δ
ij
X
j
+ ∆
ip
= 0,
i =
i
i
Xi
1,2, ......, n . (12.5)
După aflarea soluţiei sistemului de ecuaţii de condiţie se trasează
diagramele finale de eforturi prin suprapunerea efectelor.
12.2. Calculul de ordinul II
Metoda forţelor, în calculul de ordinul II, se aplica la fel ca în cel
de ordinul I, cu unele aspecte specifice, în special referitor la alegerea
sistemului de bază, calculul coeficienţilor şi termenilor liberi şi
suprapunerea efectelor, privind trasarea diagramelor finale de eforturi.

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 237
Sistemul de bază provine din sistemul real prin suprimarea unor
legături, cu menţiunea că subsistemele sistemului de bază trebuie să fie
constituite din bare simplu rezemate (dublu articulate) şi/sau bare
încastrate (console), pentru care s-au calculat parametrii α,
β,
θ,
θ'
etc.
Necunoscutele problemei sunt forţe, notate X , care se introduc
pe direcţiile legăturilor suprimate.
Ecuaţiile de condiţie, care exprimă identificarea sistemului de
bază cu sistemul real, sunt ecuaţii de continuitate.
La calculul coeficienţilor şi termenilor liberi apar diferenţe, fată de
calculul de ordinul I, deoarece diagramele reale de eforturi se trasează
printr-un calcul de ordinul II obţinute pentru cele tipuri de grinzi: simplu
rezemate şi încastrate, prin metoda parametrilor în origine.
Suprapunerea efectelor, la trasarea diagramelor de eforturi
finale, se va realiza plecând de la rezultatele concrete obţinute pentru
diverse tipuri de încărcări, în cazul celor două tipuri de grinzi,
menţionate anterior.
12.2.1. Etape de calcul
În continuare, se va face o prezentare a etapelor de calcul
referitor la trasarea diagramelor de eforturi de ordinul II, prin metoda
forţelor.
a) Se realizează un calcul de ordinul I pentru a afla eforturile axiale
din barele structurii. Se iau în considerare numai eforturile de
compresiune:
Nij = f(
P)
; (12.6)
b) Se calculează factorii de compresiune pentru barele structurii,
aplicând relaţia (11.3), care ia forma:
Nij
ν ij = lij
, (12.7)
EI
în calculul de ordinul II, în care sarcinile sunt cunoscute, factorii
de compresiune ν au valori determinate încă de la începutul
calculelor;
c) Se depistează factorul de compresiune maxim şi funcţie de acest
factor se exprimă ceilalţi factori de compresiune. Dacă notăm
factorul de compresiune maxim, cu " ν"
sau " " , atunci
ceilalţi factori de compresiune se determină funcţie de acesta
astfel:
ij
i
ν max

238
Calculul de ordinul II al cadrelor prin metoda forţelor
lij
Nij
EI
ν ij = ν
, (12.8)
l N EI
unde ν se calculează cu relaţia (11.3); convenim să neglijăm forţele
axiale din barele în care ν < 0.
2ν
, în aceste bare se va admite
N ≈ 0 , deci ν ≈ 0 ;
max
d) Se alege un sistem de bază, corespunzător metodei forţelor,
format din bare dublu articulate (simplu rezemate) şi/sau console
(grinda încastrată).
Obs. Această restricţie este impusă de faptul că am evidenţiat
modalităţi şi relaţii de calcul pentru deplasări (să aplicăm relaţia Mohr-
Maxwell) numai în cazurile specifice grinzii dublu articulate şi grinda
încastrată;
e) Se trasează diagramele de moment încovoietor pe sistemul de
bază ales, în cele două stări: starea reală (diagrame de ordinul
II) şi starea virtuală (diagrame de moment de ordinul I);
f) Se calculează coeficienţii δ aplicând relaţia (11.2) după regulile
precizate în capitolul numărul 10:
δ
l
ij = ∫0
ij
M ( x)
M
g) Se calculează termenii liberi cu relaţia:
∆
l
ip = ∫0
i
EI
EI
II
j
M ( x)
M
i
II
p
ij
dx . (12.9)
dx . (12.10)
h) Se rezolvă sistemul de ecuaţii de condiţie şi se trasează
diagramele finale de eforturi.
12.2.2. Aplicaţia nr.1
Să se traseze diagrama finală de moment încovoietor pentru
cadrul din figura 12.1.a. Se cunosc:
şi
P = 140KN,
Q = 1KN,
2
EI = 5000KNm
.
a) Determinarea eforturilor axiale de ordinul I din barele structurii.
Eforturile axiale sunt:
N =
13
P
N 0 .
12 =

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 239
sau
P
Q 1
a. 6.00m
b.
EI
3
4EI
5.00m
2
Fig. 12. 1. Cadru static nedeterminat. Calcul de ordinul II.
a. Structura considerată. b. Sistemul de bază
b) Calculul factorului de compresiune, ν .
13
Folosind relaţia (11.3), factorul de compresiune are valoarea:
ν = l
13
13
N
EI
13
13
140
ν13 = 6.
0 = 1.
003 ≈ 1.
0 . (12.11)
5000
c) Alegerea sistemului de bază şi scrierea ecuaţiei de condiţie.
Sistemul de bază stabilit este prezentat în figura 12.1.b, alcătuit
din două grinzi: grinda încastrată 13 şi grinda simplu rezemată 12 .
Ecuaţia de condiţie are forma:
δ X ∆ = 0 .
11
1 + 1p
d) Trasarea diagramelor unitare de moment încovoietor.
Diagramele unitare sunt trasate şi prezentate în figura 11.2 în
două stări de încărcare corespunzătoare stării virtuale, figura12.2.a,
diagrame de eforturi de ordinul I şi stării reale, diagrame de eforturi de
ordinul II, figura 12.2.b.
P
X 1
SB

240
a.
1
1
M 1
Calculul de ordinul II al cadrelor prin metoda forţelor
Fig. 12. 2. Cadru static nedeterminat. Calcul de stabilitate.
a. Diagramă unitară de moment încovoietor în starea virtuală
de încărcare a sistemului de bază. b. Diagramă unitară de moment
încovoietor în starea reală de încărcare a sistemului de bază
e) Calculul coeficientului δ11.
Coeficientul se determină aplicând pseudo-metoda Mohr-Maxwell,
relaţia (10.2), rezultă:
sau
δ
11
M1(
x)
M
= ∑ EI
II
1
1
b.
dx =
5.
0 6.
0 6.
0
6.
0
= 1 • 1 + 1 • 1 • θ'+
1 • 1 • θ"
+ 2 1 • 1 • θ ,
3 • 4EI
3EI
3EI
6EI
P
1
δ11 = ( 0.
417 + 2θ'+
2θ"
+ 2θ).
(12.12)
EI
f) Trasarea diagramei reale de moment încovoietor de ordinul II
pentru acţiunile exterioare date. Aceasta este prezentată în figura
12.3.
g) Calculul termenului liber ∆ 1p
.
Termenul liber se determină aplicând pseudo-metoda Mohr-
Maxwell, relaţia (10.2), prin integrarea diagramelor din figura 12.2.a şi
figura 12.3. Rezultă:
II
M1(
x)
Mp
∆1 p = ∑ dx =
EI
6.
0 6.
0
= − 1 • 6 • θ'−
1 • 6 • θ
3EI
6EI
1
II
M1

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 241
sau
6. 0
Q
P
Fig. 12. 3. Cadru static nedeterminat. Calcul de ordinul II.
Diagramă de moment încovoietor în starea reală
de încărcare cu forţele exterioare a sistemului de bază
Mp II
6.
0
∆1 p = − ( 2θ'+
θ)
. (12.13)
EI
Obs. Cunoscând relaţiile de definire a parametrilor θ'
, θ"
, θ ,
expresiile (10.9), 10.10) şi (10.11), aceştia iau valorile:
3(
tgν13
− ν13)
3(
tg1
− 1)
θ ' = =
= 1.
6722 ,
3
3
ν
1
13
3 ⎛ tgν13
2 ⎞ 3 ⎛ tg1
2 ⎞
θ " = ⎜1
ν13tgν13
⎟ 1 1 tg1
1.
23955
2 ⎜
+ + − = ⎜ + + • − ⎟ =
ν
2
ν
13
cos ν ⎟
⎝
13 ⎠ 1 ⎝ 1
cos1
⎠
13
6 ⎛ 1 tgν13
⎞ 6 ⎛ 1 tg1
⎞
θ = ⎜
⎟
1.
76045
2 ⎜
− = ⎜ − ⎟ =
cos ν
2
ν
13 ν ⎟
,
⎝
13 ⎠ 1 ⎝ cos1
1 ⎠
13
care introduse în relaţiile (12.12) şi (12.13), acestea iau valorile:
şi
δ
11 =
1
9.
761446
EI
1
∆ 1p
= −30.
62936 .
EI
h) Aflarea soluţia ecuaţiei de condiţie.

242
condiţie:
Calculul de ordinul II al cadrelor prin metoda forţelor
Valoarea necunoscutei X se găseşte rezolvând ecuaţia de
δ
11
1
1
∆ − 30.
62936
1p
= − = −
EI
= 3.
13779 .
δ11
1
9.
761446
EI
i) Trasarea diagramei finale de moment încovoietor.
În calculul de ordinul II nu se poate aplica principiul
suprapunerilor efectelor, în forma cunoscută din Statica Construcţilor,
prin utilizarea diagramelor unitare şi a celei din încărcări exterioare. De
aceea, la trasarea diagramei finale de moment încovoietor se folosesc
rezultatele obţinute, prin aplicarea metodei parametrilor în origine,
pentru cele două grinzi: grinda simplu rezemată şi grinda încastrată,
pentru diferite încărcări.
Pentru structura luată în studiu, pe riglă avem numai eforturi de
ordinul I şi, prin urmare, efortul moment încovoietor se determină direct
prin multiplicarea valorilor din diagrama unitară cu valoarea necunoscuei
X , obţinută din ecuaţia de condiţie. În diagrama produsă de încărcărilor
1
exterioare, diagrama pe riglă este nulă.
Pe stâlp, suprapunerea se face plecând de la diagramele
cunoscute pentru grinda încastrată, separat produse de un cuplu
M
P
a. b.
M = x1
M = x1
1 1
M = X1
cos ν cos ν
Fig. 12. 4. Grinda încastrată. a. Situaţie de încărcare.
b. Diagramă de moment încovoietor de ordinul II
concentrat, identificat aici, cu un moment egal cu necunoscuta
problemei, X
, pentru care cunoaştem valoarea efortului de ordinul II în
1
încastrare, figura 12.4, şi diagrama produsă de forţa concentrată,

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 243
aplicată normal pe axa barei, în extremitatea liberă a grinzii încastrate,
figura 12.5.
Q
P
a. b.
Ql
tgν
Ql
ν
Fig. 12. 5. Grinda încastrată. a. Situaţie de încărcare.
b. Diagramă de moment încovoietor de ordinul II
Eforturile finale se calculează în modul următor:
M
M
II
12 , final
II
13 , final
= M
II
12
II
13
• X
1
= 1 • 3,
13779 = 3,
13779KNm
,
= M • X = 1 • 3,
13779 = 3,
13779KNm
,
1
II 1 tgν
1
tg1
M 31,
final = X1
• − Q • l = 3,
13779 − 1 • 6.
0 = −3,
536976KNm
.
cos ν ν
cos1
1
Diagrama finală a momentului încovoietor de ordinul II este
prezentată în figura 12.6.a, iar diagrama corespunzătoare unui calcul de
ordinul I este desenată în figura 12.6.b.
Comparativ, în procente, momentul încovoietor de ordinul II este
mai mare cu 9.67%
, fată de cel calculat exprimând echilibrul în raport
cu axa iniţială nedefromată a structurii.
12.2.3. Aplicaţia nr.2.
Pentru structura soluţionată în paragraful 12.2.2 se cere să se
calculeze deplasarea pe orizontală a nodului numărului 1.
Deplasările de ordinul II se calculează, după cum s-a precizat în
capitolul 10, cu relaţia Moh-Maxwell, prin considerarea a două situaţii de
încărcare: starea reală constituită din structura dată acţionată de
sistemul de forţe exterioare, sub acţiunea cărora se dezvoltă deplasarea
în secţiunea în care se doreşte aflarea deplasării şi starea virtuală,

244
Calculul de ordinul II al cadrelor prin metoda forţelor
constituită din structura dată sau a oricărei structuri static determinate
obţinută din sistemul dat prin suprimarea legăturilor suplimentare (deci,
inclusiv sistemul de bază) solicitată de o forţă (forţă concentrată, cuplu
concentrat, sarcină uniform distribuită etc.) de intensitate egală cu
unitatea.
3. 13779
II
a. b.
M f
3. 536976
3. 1948
2. 8052
I
Mf Fig. 12. 6. Cadru static nedeterminat. Diagrame finale
de moment încovoietor: a. diagrama de ordinul II;
b. diagrama de ordinul I
Diagrama de moment încovoietor din starea reală este de ordinul
II, iar diagrama corespunzătoare stării virtuale este calculată prin
exprimarea echilibrului în raport cu poziţia iniţială a structurii.
Deplasarea ∆ i se calculează cu relaţia (10.2) pe care o reluăm
∆
i = ∑ ∫
l
0
I
II
Mi
( x)
Mf
( x)
dx , (12.14)
EI
unde: Mi ( x)
reprezentă momentul încovoietor din secţiunea x a
diagramei de moment calculată în starea virtuală de încărcare a
structurii date (acţiune egală cu unitatea aplicată în secţiunea i şi pe
direcţia pe care dorim sa aflăm deplasarea);
M II
p
( x)
- momentul încovoietor din secţiunea x a diagramei de
moment produsă de încărcările exterioare aplicate pe structura reală,
luată în studiu şi calculată prin exprimarea echilibrului în raport cu
poziţia deformată structurii, diagramă de ordinul II;
EI - modulul de rigiditate la solicitarea de încovoiere;
l
- lungimea tronsonului pe care modulul de rigiditate la
solicitarea de încovoiere este constant, iar cele două diagrame de
moment încovoietor au aceeaşi lege de variaţie.

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 245
II
f
Diagrama M este prezentată în figura 12.6, iar pentru starea
virtuală în figura 12.7.a, care cuprinde sistemul de bază acţionat de o
forţă concentrată egală cu unitatea, aplicată în nod şi pe direcţie
orizontală şi figura 12.7.b diagrama de moment încovoietor respectivă,
M .
a.
1
SV
b.
M
1 • l = 6.
0
Fig.12.7. Sistem de bază în starea virtuală de încărcare:
a) situaţie de încărcare; b) digrama de moment încovoietor
Analizând cele două diagrame, în cele două situaţii de încărcare:
virtuală şi reală, se observă că se suprapun numai pe lungimea stâlpului
13.
Pentru a efectua integrarea celor două diagrame este necesar să
descompunem prima diagramă, de pe stâlp, notată generic M , figura
12.8.
a.
3. 536976
3. 13779
II
Mf 1 • l = 6.
0
Fig. 12. 8. Calculul deplasării de ordinul II a nodului cadrului.
Cele două diagrame de moment încovoietor (de la nivelul stâlpului)
care se integrează: a. diagrama de ordinul II din starea reală
de încărcare; b. diagrama de ordinul I corespunzătoare stării virtuale
(aici trasată pe un sistem static determinat).
Din analiza diagramei de ordinul II apar două posibilităţi:
b.
M
II
f

246
Calculul de ordinul II al cadrelor prin metoda forţelor
a) considerarea stâlpului drept grindă simplu rezemată, figura
12.9.a, acţionată în extremităţi de cupluri egale cu momentele
încovoietoare din extremităţile diagramei de momente de ordinul
II, situaţie echivalentă cu situaţiile prezentate în figura 12.9.b şi
figura 12.9.c;
P
3. 13779
II
Mf 3. 536976
a.
3. 13779
A II B II
b.
3. 536976
Fig. 12.9. Stâlpul cadrului considerat că se comportă ca o grindă
simplu rezemată: a. grinda simplu rezemată acţionată în secţiunile
de capăt de cupluri concentrate şi diagrama de momente de ordinul
II corespunzătoare; b. grinda acţionată de un cuplu în secţiunea capătului
superior şi diagrama de momente de ordinal II; c. grinda încărcată de un
cuplu concentrat la extremitatea inferioară şi diagrama de ordinal II.
b) considerarea stâlpului drept grindă încastrată acţionată în capătul
liber cu necunoscuta problemei ( X , deci momentul încovoietor
din extremitatea superioară a stâlpului), figura 12.4 şi cu
încărcările exterioare, figura 12.5 sau 12.10.
Se aplică regula de integrare a diagramelor, conform relaţiei
Mohr Maxwell, se obţin rezultatele:
a) pentru primul caz expus mai sus, diagramele sunt notate cu litere
II II
pe figură (A şi B ), fig.9.:
I
I
II
II
II
lM1
( x)
M ( x)
lM
( x)
A ( x)
l
f
1
M1
( x)
B ( x)
∆1 = ∑∫
dx = ∑∫
dx + ∑∫
dx =
0 EI
0 EI
0 EI
−6.
0
−6.
0
= • 6.
0 • 3.
13779 • β + • 6.
0 • 3.
536976 • α ,
6EI
3EI
efectuând calculele rezultă:
d.
1
c.
I

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 247
1 0.004858312m
;
= ∆
b) pentru cel de al doilea caz, prin integrarea diagramele din figura
12.10., avem:
∆
1
=
Q
P
a.
3.13779
=
Ql =
6
Q
C
Fig. 12. 10. Grinda încastrată. a. Situaţie de încărcare.
b. Diagramă de moment încovoietor de ordinul II pentru Q şi P,
c. Diagramă de moment încovoietor de ordinul II pentru X1 şi P
l
∑∫
0
I
II
M1
( x)
M f ( x)
dx =
EI
l
∑∫
0
+
I
b.
+
3.13779
M1
( x)
C(
x)
dx +
EI
l
∑∫
0
I
l
∑∫
3.13779
D
M1
( x)
E(
x)
dx =
EI
0
I
E
c.
M1
( x)
D(
x)
dx +
EI
6.
0
6.
0
6.
0
= • 6.
0 • 6.
0 • θ'−
• 6.
0 • 3.
13779 • θ − • 6.
0 • 3.
13779 •
3EI
6EI
3EI
efectuând calculele rezultă:
1 0.00485831m.
= ∆
Între cele două variante diferenţa între rezultate în eroare
relativă este:
ε % = 0 . 000041 < 0.
1.
θ'
,

CAPITOLUL 13
STUDIUL DE STABILITATE ŞI CALCULUL DE
ORDINUL II AL CADRELOR CU NODURI FIXE
PRIN METODA DEPLASĂRILOR
13.1. Studiul de stabilitate a cadrelor cu noduri fixe
folosind matrice de rigiditate
În studiu de stabilitate a cadrelor prin metoda deplasărilor este
necesar să se cunoască matricea coeficienţilor sau matricea de
rigiditate, conform Staticii matriceale. Acest lucru este realizat, deoarece
ecuaţia de stabilitate, în ambele cazuri de pierdere a stabilităţii: prin
deformare continuă şi deformare continuă, se defineşte anulând
determinantul matricei de rigiditate a structurii.

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 249
La fel ca în Statica Construcţiilor, studiul de stabilitate a
structurilor va trata separat cadrele cu noduri fixe, ştiut fiind faptul că
nodurile acestor structuri descriu, în procesul de deformare, exclusiv
deplasări unghiulare (rotiri), pe când structurile cu noduri deplasabile,
descriu atât deplasări liniare (translaţii), cât şi deplasări unghiulare.
Sistemul de bază, în metoda deplasărilor, după cum se cunoaşte,
se constituie din sistemul real, luat în studiu, căruia i se adaugă o serie
de legături suplimentare astfel încât să blocheze posibilitatea de
deplasare: deplasări unghiulare, în cazul cadrelor cu noduri fixe şi
deplasări unghiulare şi liniare, în cazul cadrelor cu noduri deplasabile.
Coeficienţii ecuaţiilor de condiţie, în metoda deplasărilor, se
definisc şi se calculează pe sistemul de bază, prin realizarea de
deformate cu ajutorul cedărilor de reazeme (deplasări unghiulare şi
liniare) succesive, egale cu unitatea, în blocajele care au definit sistemul
de bază. Modalităţile de determinare a coeficienţilor sunt oferite de
Statica Construcţiilor.
13.1.1. Ecuaţia de stabilitate
Ecuaţia de stabilitate în metoda deplasărilor se obţine prin
anularea determinantului matricei coeficienţilor (matricea de rigiditate a
structurii). Matricea de rigiditate are următoarea formă:
[ r ]
ij
⎡r11
⎢
⎢r21
= ⎢ −
⎢
⎢ −
⎢
⎣rn1
r
r
r
22
−
−
n2
Ecuaţia de stabilitate are alura:
det
12
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
( [ r ] ) = 0
ij
r1n
⎤
⎥
r2n
⎥
− ⎥ . (13.1)
⎥
− ⎥
r ⎥
nn⎦
. (13.2)
13.1.2. Determinarea elementelor matricei de rigiditate.
Cazul cadrelor cu noduri fixe
Matricea de rigiditate (a coeficienţilor) cuprinde două tipuri de
coeficienţi: coeficienţii principali notaţi, în general r şi coeficienţii
laterali sau secundari notaţi r .
ii
Coeficientul principal r reprezintă reacţiunea din blocajul de nod
ii
i
, când în nodul i se produce o rotire (deplasare unghiulară) egală cu
unitatea.
ii

250
Studiul de stabilitate Şi calculul de ordinul II
al cadrelor cu noduri fixe prin metoda deplasărilor
Coeficientul lateral (secundar) r reprezintă reacţiunea din
blocajul de nod j , când în nodul i se produce o rotire (o deplasare
unghiulară) egală cu unitatea.
Se consideră un cadru cu noduri fixe pentru care se stabileşte
sistemul de bază prin blocarea nodurile, figura 13.1.
P
P
P k
i j
ji
SB
Fig.13.1. Cadru cu noduri fixe. Sistem de bază.
Pentru calculul coeficienţilor rii şi r ji se produce o cedare de
reazem în blocajul din nodul i , egală cu unitatea. Se desenează
deformata sistemului de bază, figura 13.2, iar momentele care iau
naştere în extremitătile barelor deformate sunt rigidităţile la rotire: K şi
şi momentul tramsmis
Kik tr
şi
M , calulate cu relaţiile:
K ij
4EI
= K'
, (13.3)
l
3EI 0
Kik = K
(13.4)
l
K"
4EI
2EI
Mtr = tijKij
= 0 . 5 K'
= K"
. (13.5)
K'
l l
ij

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 251
i :
sau
rezultă:
Coeficientul r ii se determină
exprimând echilibrul static al nodului
∑ =
i
M o ;
r K − K = 0 ,
ii − ij ik
∑
= r K , (13.6)
ii
în concluzie, conform relaţiei (13.6), coeficientul r este egal cu suma
rigidităţilor la rotire ale extremităţilor barelor ce concură în nodul i .
K ik
r ii
K ij
k
ϕ = 1
i
Fig.13.2. Cadru cu noduri fixe. Deformata sistemului de bază
pentru o cedare a blocajului de nod “i” egală cu unitatea.
Calculul coeficienţilor în metoda deplasărilor
i
M tr
ij
Pentru a calcula coeficientul r se exprimă echilibrul static al
nodurilor j,
astfel:
sau
ji
∑ = M o
r
i
ji − tr M
r ji
= 0
j
ii

252
rezultă:
ij
Studiul de stabilitate Şi calculul de ordinul II
al cadrelor cu noduri fixe prin metoda deplasărilor
M r = . (13.7)
tr
Coeficientul lateral r este egal cu momentul transmis din nodul
i , din extremitatea barei ij către nodul j.
ji
13.1.3. Etape în studiul stabilităţii cadrelor cu noduri fixe
În vederea efectuării unui calcul de stabilitate a unui cadru se
parcurg următoarele etape de calcul:
a) Se realizează un calcul de ordinul I pentru a afla eforturile axiale
din barele structurii. Nu se iau în considerare decât eforturile de
compresiune;
b) Se calculează factorii de compresiune pentru barele structurii cu
relaţia:
Nij
ν ij = lij
; (13.8)
EI
c) Se depistează factorul de compresiune maxim şi funcţie de acest
factor se exprimă ceilalţi factori de compresiune. Dacă notăm
factorul de compresiune maxim cu " ν"
sau " " , atunci ceilalţi
prin urmare:
factori de compresiune se determină funcţie de acesta astfel:
ij
ij
ν max
lij
Nij
EI
ν ij = ν
, (13.9)
l N EI
νij = f(
ν)
. (13.10)
d) Se stabilieşte sistemul de bază, corespunzător metodei
deplasărilor şi se calculează rigidităţile la rotire şi momente
transmise ale barelor structurii;
e) Se calculează coeficienţii şi r , aplicând relaţiile (13.6) şi
(13.7);
rii ji
f) Se determină ecuaţia de stabilitate prin anularea determinantului
coeficienţilor, relaţia (13.2);
g) Se caută, prin încercări, soluţia ecuaţiei de stabilitate.
Obs.: În iteraţia pentru aflarea soluţiei ecuaţiei de stabilitate se
parcurg câţiva paşi, după cum urmează:
1. Se impune o soluţie pentru factorul de compresiune maxim,
ν
, după criteriile prezentate în capitolul numărul 11,

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 253
paragraful 11.2, în cadrul observaţiilor (punctele 1, 2 şi 3).
Funcţie de acesta se determină ceilalţi factori de
compresiune.
2. Se calculează parametrii K ' , K , K " , K cu relaţiile:
0
3α
k'
= , (13.11)
2 2
4α
− β
k"
k'
0 1
k = , (13.12)
α
3β
= , (13.13)
2 2
4α
− β
1
=
2α
− β
, (13.14)
parametrii α şi β se calculează în funcţie de factorul de compresiune cu
relaţiile (9.50 şi 9.53)
3. Se determină rigidităţile la rotire şi se introduc, spre
verificare, în ecuaţia de stabilitate.
Următorii paşi în iteraţie coincid cu operaţiunile expuse la studiul
stabilităţi cadrelor prin metoda matricei de flexibilitate, capitolul 11,
pararagraful 11.2, punctele 4, 5 şi 6 din observaţii.
13.1.4. Aplicaţie
Să se determine încărcarea critică pentru cadrul din figura 13.3.
q
4EI
1
4EI
0
EI
2
10.0 m. 12.0 m.
3
Fig.13.3. Cadru cu noduri fixe
5.0 m.
a) Determinarea eforturilor axiale de ordinul I din barele structurii.

254
Studiul de stabilitate Şi calculul de ordinul II
al cadrelor cu noduri fixe prin metoda deplasărilor
Analizând structura propusă spre studiu se constată că este de
două ori static nedeterminată, iar dintr-un calcul de ordinul I, aplicând
metoda forţelor sau metoda deplasărilor, se determină eforturile axiale
de ordinul I din barele cadrului. Rezultă:
N 13.
83q
13 = , (13.15)
N = −0,
24q,
01
iar în bara 12 efortul axial este nul. Nu se va ţine cont de efortul axial
din bara 01 deoarece este efort de întindere (considerăm numai
eforturile de compresiune).
b) Calculul factorilor de compresiune, νij
.
Se foloseşte relaţia (13.8). Luând în considerare caracterisrticile
geometrice şi fizice ale barei comprimate şi efortul axial determinat în
etapa precedentă, rezultă:
ν
13
N13
13.
83q
= l13
= l13
; (13.16)
EI
EI
13
c) Exprimarea factorilor de compresiune funcţie de factorul de
compresiune maxim
-
d) Stabilirea sistemului de bază.
Prin introducerea în nodul structurii a unei legături suplimentare
pentru a împiedica rotirea acestuia se obţine sistemul de bază din figura
13.4.
N 13
Z 1
SB
Fig.13.4. Sistem de bază
e) Calculul coeficientului 11
r .
Deoarece structura are un singur nod va trebui să calculăm un
singur coeficient. Acesta se determină prin aplicarea relaţiei (13.6) sau

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 255
urmând procedura clasică, constând din realizarea deformatei sistemului
de bază, prin producerea unei cedări de reazem egală cu unitatea,
z 1,
figura 13.5, şi evidenţierea mometelor din extremităţile barelor
1 =
ce concură în nodul 1.
Momentele de capăt sunt egale cu rigidităţile la
rotire de ordinul I pe barele 01 şi 12 şi de ordinul II pe bara 13,
influenţată de efortul axial de compresiune din bară.
sau
unde
şi
K 10
K 13
K 12
r 11
Z 1 =1
Fig.13.5. Deformata sistemului de bază. Calculul coeficientului r ii
Rigiditatea nodului, egală cu coeficientul r , este egal cu suma
rigidităţilor la rotire a extremităţilor barelor ce concură în nod:
ij k r ∑ = 11
Rezultă
11
10
1
r = K + K + K , (13.17)
13
12
3EI
3 • 4EI
K10 = = = 1.
2EI,
l 10
3EI
0 3 • EI 0
K 13 = K = K = 0.
6EIK
l 5
3EI
3 • 4EI
K 12 = = = EI .
l 12
r
11
= ( 2 . 2 + 0.
6K
f) Stabilirea ecuaţiei de stabilitate.
0
11
0
) EI . (13.18)

256
Studiul de stabilitate Şi calculul de ordinul II
al cadrelor cu noduri fixe prin metoda deplasărilor
Ecuaţia de stabilitate se obţine prin anularea determinantului
matrice de rigiditate, realaţia (13.2), aici:
sau
r 11 =
2.
2 + 0.
6K
0
0 =
g) Determinarea soluţiei ecuaţiei de stabilitate.
Din ecuaţia (13.19) rezultă:
0 2.
2
K = − = −3.
667 ,
0.
6
dar cunoscând
K
0 =
se obţine pentru parametrul α valoarea:
scrie:
1
α
1
α = = −0.
27273 .
0
K
0 . (13.19)
Cum însă parametrul α se determină cu relaţia (9.50) se poate
3 ⎛ 1 1 ⎞
α = = −0.
27273
ν
⎜ −
ν tgν
⎟
,
⎝ ⎠
iar prin încercări, dând valori factorului de compresiune ν , care să
verifice relaţia de mai sus, se ajunge la rezultatul:
ν cr = 4. 158466 .
În continuare, se foloseşte relaţia (13.16) pentru a deteremina
încărcarea critică de pierdere a stabilităţii cadrului:
de unde, pentru
rezultă:
ν
13
13.
83qcr
= νcr
= l13
= 4.
158466 ,
EI
2
EI = 1000KNm ,
q cr
= 50.
01544 KN . (13.20)

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 257
13.2. Calculul de ordinul II al cadrelor cu noduri fixe
folosind metoda deplasărilor
13.2.1. Etape de calcul
În vederea efectuării unui calcul de ordinul II, al unui cadru cu
noduri fixe, se parcurg următoarele etape de calcul:
a) Se realizează un calcul de ordinul I pentru a determina eforturile
axiale din barele structurii. Nu se iau în considerare decât
eforturile de compresiune;
b) Se calculează factorii de compresiune pentru barele structurii cu
relaţia:
Nij
ν ij = lij
; (13.21)
EI
c) Se stabilieşte sistemul de bază, corepunzător metodei
deplasărilor, se scrie sistemul de ecuaţii de condiţie şi se
calculează rigidităţile la rotire şi momentelor transmise ale
barelor structurii:
[ ]{ z } + { R } = {} 0
rij j ip
unde [ r ij ] reprezintă matricea coeficienţilor,
{ z j}
- vectorul necunoscutelor, deplasările nodurilor,
şi
{ R ip } - vectorul termenilor liberi;
ij
(13.22)
d) Se calculează coeficienţii şi r , aplicând relaţiile (13.6) şi
(13.7);
rii ji
e) Se determină termenii liberi R ip .
Prin definiţie un termen liber, R , reprezintă reacţiunea din
blocajul de nod i al sistemului de bază când acesta este acţionat de
forţele exterioare şi este egal cu suma momentelor de încastrare
perfectă din extremităţile barelor ce concură în nodul i.
Momentele de
încastrare perfectă sunt obţinute dintr-un calcul de ordinul II. Fie cadrul
din figura 13.4, cadru cu noduri fixe acţionat de o sarcină distribuită, iar
în figura 13.5 sistemul de bază corespunzător, pe care s-au figurat
ip

258
Studiul de stabilitate Şi calculul de ordinul II
al cadrelor cu noduri fixe prin metoda deplasărilor
momentele de încastrare perfectă şi termenul liber, R , pentru care se
doreşte să se evidenţieze o relaţie de calcul.
q
i j k
Fig.13.6. Cadru cu noduri fixe
Se consideră un cadru cu noduri fixe, figura 13.6, acţionat cu o
sarcină uniform distribuită, de intensitate q,
pentru care se cere
determinarea termenului liber R . Se realizează deformata sistemului
ip
de bază sub acţiunea încărcării, figura 13.7, pe care se evidenţiază
momentele de încastrare perfectă de ordinul II, pe barele solicitate la
compresiune.
Rj p
M ji
M ij
q
M ik
Fig.13.7. Cadru cu noduri fixe.
Deformata sistemului de bază. Calculul termenilor liberi în metoda deplasărilor
Pentru calculul reacţiunii din blocajul de nod, care reprezintă
termenul liber R ip , se exprimă echilibrul static al forţelor din nodul i:
R ip
∑ = Mij i
0 (13.22)
ip

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 259
sau
de unde
R M − M = 0 ,
ip + ik ij
∑
= R M ; (13.23)
ip
i
f) Se rezolvă sistemul de ecuaţii de condiţie şi se trasează
diagramele de eforturi finale.
13.2.2. Aplicaţie
Se cere să se traseze diagrama de moment încovoietor pentru
cadrul din figura 13.3, cunoscându-se intensitatea sarcinii distribuite
q = 11.
65KN
/ m şi valoarea modulului de rigiditate la solicitarea de
2
încovoiere EI = 1000KNm , printr-un calcul de ordinul II.
Pentru rezolvarea problemei se parcurg următoarele etape de
calcul:
a) Determinarea eforturilor axiale de ordinul I din barele structurii.
La aplicaţia 13.1.4 s-au determinat eforturile axiale din barele
cadrului în cazul analizei stabilităţii acestuia, iar eforturile axiale erau
funcţie de intensitatea sarcinii distribuite. Cunoscând această
intensitete, eforturile axiale devin:
ij
N = 13.
83q
= 13.
83 • 11.
65 = 161.
119KN,
(13.24)
13
N = −0,
24q
= −0.
24 • 11.
65 = −2.
796KN,
01
iar neluând în considerare efortul axial de întindere din bara 01 , se vor
continua calculele tinând cont nunai de efortul axial din bara 13.
b) Calculul factorilor de compresiune, νij
.
Se foloseşte relaţia (13.8). Luând în considerare caracteristicile
geometrice şi fizice ale barei comprimate şi efortul axial determinat în
etapa precedentă rezultă:
N13
161,
119
ν 13 = l13
= 5 = 2.
00698 ; (13.25)
EI EI
13
c) Exprimarea factorilor de compresiune funcţie de factorul de
compresiune maxim
-
d) Stabilirea sistemului de bază.
În figura 13.4, din aplicaţia 13.1.4, este prezentat sistemul de
bază al cadrului luat în analiză;

260
e) Scrierea sistemul de ecuaţii de condiţie.
Studiul de stabilitate Şi calculul de ordinul II
al cadrelor cu noduri fixe prin metoda deplasărilor
Forma generală a sistemului de ecuaţii în metoda deplasărilor are
forma (relaţia 11.22):
[ r ]{ z } { R } = {} 0
ij
j
+ ip
iar în cazul acestei probleme, echilibrul este exprimat numai prin
intermediul unei singure ecuaţii de echilibru, deoarece cadrul face parte
din categoria cadrelor cu noduri fixe şi are un singur nod:
sau
unde
dar
,
r Z R = 0 ; 13.26)
11
1 + 1p
f) Calculul coeficientului r 11 .
Se utilizează relaţia (13.6), care aici devine:
11
∑
= K r .
11 1j
1
r = K + K + K , (13.17)
10
3EI
3 • 4EI
K10 = = = 1.
2EI
= 1200KNm
l 10
3EI
0 3 • EI 0
0
K 13 = K = K = 0.
6EIK
,
l 5
K
13
1
α
0 = ,
conform relaţiei (9.59), aici ia valoarea
de unde
3 ⎛ 1 1 ⎞ 3 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛
1 ⎞
α = ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟ = 1.
5⎜0.
5 −
⎟ = 1.
44414998
ν ⎝ ν tgν
⎠ 2 ⎝ 2 tg2
⎠ ⎝ − 2.
1453394 ⎠
0
K = 0.
6924488
obţinem pentru rigiditatea K13
valoarea
şi
12
K 415.
469312KNm
13 =
3EI
3 • 4EI
K12 = = = EI = 1000KNm
.
l 12

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 261
Rezultă:
r 2615.
469312KNm
g) Calculul termenului liber R .
p
1
11 = . (13.18)
În vederea determinării termenului liber se poate aplica
R1p direct relaţia (13.23) sau se exprimă echilibrul nodului i conform figurii
13.6. Deci:
R1 p = −∑
M1j
= −(
M01
+ M12
)
unde
şi
2
1
ql 11.
65 • 10
M10 = =
= −145.
625KNm
8 8
2
ql 11.
65 • 12
M12 = =
= 209.
700KNm
.
8 8
M10 M12 0 2
q
3
2
2
R iP
Fig. 13.8. Deformata sistemului de bază sub acţiunea
sarcinii uniform distribuite, q
Rezultă:
R1p = −64.
075KNm
.
h) Aflarea soluţia ecuaţiei de condiţie.
Din ecuaţia (13.26) se determină soluţia:
Z
1
R1p
− 64.
075
= − = −
= 0.
024498471 .
r 2615.
469312
11
i) Determinarea momentelor de capăt şi trasarea digramei finale de
momente încovoietoare.

262
Studiul de stabilitate Şi calculul de ordinul II
al cadrelor cu noduri fixe prin metoda deplasărilor
Se folosesc expresii ale momentelor încovoietoare, obţinute prin
suprapunerea efectelor, folosind cele două deformate prezentate în
figurile 13.5 şi 13.8:
13.9.
M10 = −(
K10Z1
+ M 10 ) = 175.
023KNm
M12 = −K12Z1
+ M 12 = 185.
201KNm
M = −K
Z = −10.
178KNm
.
13
13
1
Diagrama finală de moment încovoietor este trasată în figura
M 13 = 10.178
Fig. 13.9. Diagrama finală de moment încovoietor

CAPITOLUL 14
CALCULUL DE ORDINUL II ŞI DE STABILITATE.
CADRE CU NODURI DEPLASABILE
14.1. Metoda deplasărilor
În capitolul numărul 13 s-a făcut o prezentare generală a
metodei deplasărilor pentru structurile cu noduri fixe.
Cadrele cu noduri deplasabile sunt acele sisteme de bare la care,
prin deformare, sub acţiunea încărcărilor exterioare se produc atât
deplasări unghiulare (ca la cadrele cu noduri fixe), cât şi deplasări liniare

264
Calculul de ordinul II şi de stabilitate.
Cadre cu noduri deplasabile. Metoda deplasărilor
(translaţii), acestea din urmă sunt împiedicate să se deplaseze, într-un
sistem de bază, de blocaje sub formă de reazeme simple.
Prin urmare, legătura care se introduce pe direcţia unui grad de
libertate, reazemul simplu, împiedică deplasările tuturor nodurilor
antrenate în deplasare pe direcţia gradului de libertate. O asemenea
legătură permite rotirea nodului în care se introduce. De asemenea,
este de menţionat faptul că blocajul de nod, în cazul cadrelor cu noduri
deplasabile, permite deplasarea liniară în cadrul gradului de libertate a
lanţului cinematic din care face parte.
Se mai remarcă faptul că necunoscutele, egale cu numărul
nodurilor rigide, în cazul cadrelor cu noduri deplasabile, sunt de două
tipuri: deplasări unghiulare ale nodurilor, notate Z şi deplasări liniare,
notate ..., , Z , .... , egale cu numărul gradelor de libertate.
Za b
Sistemul de bază va fi încărcat cu forţele exterioare şi
necunoscutele – deplasări liniare şi unghiulare. Acestea din urmă sunt
aplicate pe sistemul de bază ca cedări de reazeme.
Sub acţiunea încărcărilor exterioare şi a deplasărilor nodurilor în
legăturile suplimentare (blocaje de nod şi reazeme simple
corespunzătoare gradelor de libertate) apar reacţiuni. Reacţiunile totale
din cele două tipuri de blocaje i
prin suprapunerea efectelor:
şi a (momente şi forţe) se determină
R + ... + r Z + ... + r Z + r Z + r Z + ... + R
i = ri1
Z1
+ ri2Z
2
ii
i
in
n
ia
a
i
ib
b
ip
, (14.1)
R r Z + r Z + ... + r Z + ... + r Z + r Z + r Z + ... + R . (14.2)
a = a1
1 a2
2
ai
i
an
Ecuaţiile de echilibru exprimă condiţia de echilibru static şi se
materializează prin condiţia ca reacţiunile totale din cele două tipuri de
legături suplimentare, care în structura reală nu există, să fie egale cu
zero:
= 0,
R = 0 . (14.3)
n
R i
a
În concluzie:
a) sistemul de bază în metoda deplasărilor este unic;
b) sistemul de bază cuprinde două tipuri de bare cu legături
perfecte la căpete;
c) necunoscutele metodei deplasărilor, notate cu şi Z , sunt
deplasări unghiulare şi liniare, iar coeficienţii, ,
aa
a
ab
b
ap
Zi a
rij r ia , rai
şi r ab
şi termenii liberi şi R sunt reacţiuni – moment şi forţă,
Rip ap
deci forţe generalizate;
d) sistemul de ecuaţii are expresia, sub forma generală:

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 265
n
∑
j=
1
iar sau formă matriceală:
rij Z j + R ip = 0,
i =
[ r ]{ Z } { R } = {} 0
ij
j
+ ip
1,2,....., n
, (14.4)
, (14.5)
unde: [ r ij ] reprezintă matricea coeficienţilor sau matricea de rigiditate a
structurii;
R - vectorul termenilor liberi;
{ }
ip
{ Z i}
- vectorul necunoscutelor.
14.2. Relaţii diferenţiale între eforturi şi încărcări
14.2.1. Echilibrul forţelor exprimat în raport cu poziţia
iniţială
Se consideră un element de bară de lungime dx acţionat de un
sistem de sarcini distribuite reduse la rezultante, iar pe feţele laterale
(în extremităţi) ale barei, bara este acţionată de eforturile
corespunzătoare: N , M,
T şi respectiv: N + dN , M + dM,
T + dT , figura 14.1.
N
T
p n dx
M p dx t M+dM
A B
dx
N+dN
T+dT
Fig.14.1. Bara dreaptă, în poziţia iniţială nedeformată, acţionată
de forţe exterioare şi eforturi pe feţele secţiunilor extreme
Echilibrul static al sistemului de forţe se exprimă prin intermediul
a trei ecuaţii:
∑ X = 0 ; N + pt
dx − ( N + dN)
= 0 , (14.6)
∑
B
∑ Y = 0 ; T + pn
dx − ( T + dT)
= 0 , (14.7)
dx
= 0 ; M + Tdx − p dx − ( M + dM)
= 0 . (14.8)
2
M n

266
Calculul de ordinul II şi de stabilitate.
Cadre cu noduri deplasabile. Metoda deplasărilor
Rezolvând sistemul de ecuaţii format din cele trei ecuaţii de mai
sus se obţin următoarele expresii între eforturi şi încărcări:
t p
dN
= , (14.9)
dx
dT
dx
Obs. Nu s-a ţinut cont de termenul
p = − , (14.10)
n
dM
= T . (14.11)
dx
dx
pt dx .
2
14.2.2. Echilibrul forţelor exprimat în raport cu poziţia
deplasată
Se consideră un element de bară de lungime dx acţionat de un
sistem de sarcini distribuite reduse la rezultante, iar pe feţele laterale
(în extremităţi) ale barei, bara este acţionată de eforturile
corespunzătoare: N, M,
T şi respectiv: N + dN , M + dM,
T + dT , figura 14.2.
Bara se găseşte într-o poziţie deformată în raport cu care se va exprima
echilibrul forţelor.
N
T
M
A
p t dx
dx
p n dx
B
M+dM
N+dN
T+dT
Fig.14.2. Bara dreaptă, in poziţie deformată, acţionată
de forţe exterioare şi eforturi pe feţele secţiunilor extreme
Prin exprimarea echilibrului se obţine următorul sistem de trei
ecuaţii:
∑ X = 0 ; N + pt
dx − ( N + dN)
= 0 , (14.12)
∑
B
∑ Y = 0 ; T + pn
dx − ( T + dT)
= 0 , (14.13)
dv dx
= 0 ; M + Tdx + ptdx
− p dx + Ndv − ( M + dM)
= 0 . (14.14)
2 2
M n

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 267
Prin rezolvarea sistemul de ecuaţi de echilibru static şi neţinând
dv
dx
cont de termenii: pt dx şi p ndx
, rezultă relaţii dintre eforturi şi
2
2
încărcări:
dM
dx
t p
dN
= , (14.15)
dx
dT
dx
p = − , (14.16)
n
dv
= T + N . (14.17)
dx
14.2.3. Echilibrul forţelor exprimat în raport cu poziţia
iniţială. Bara încărcată suplimentar cu un cuplu distribuit, mdx
Se consideră un element de bară de lungime d x acţionat de un
sistem de sarcini distribuite, forţă şi cuplu reduse la rezultante, iar pe
feţele laterale (în extremităţi) ale barei se introduc şi eforturile
corespunzătoare: N , M,
T şi respectiv: N + dN , M + dM,
T + dT , figura 14.3.
N
T
M ptdx M+dM
A
m dx
B
dx
N+dN
T+dT
Fig.14.3. Bara dreaptă, in poziţie iniţială, acţionată
de forţe exterioare şi eforturi pe feţele secţiunilor extreme
Se exprimă echilibrul forţelor în raport cu poziţia iniţială a
elementului de bară. Se deduce sistemul de ecuaţii de echilibru static:
∑ X = 0 ; N + pt
dx − ( N + dN)
= 0 , (14.18)
∑
B
∑ Y = 0 ; T + pn
dx − ( T + dT)
= 0 , (14.19)
dx
= 0 ; M + Tdx − p dx + mdx − ( M + dM)
= 0 . (14.20)
2
M n
Prin rezolvarea sistemul de ecuaţii se obţin relaţii diferenţiale
între eforturi şi încărcări de forma:
dN
= pt
, (14.21)
dx

268
dT
dx
dM
dx
n
Calculul de ordinul II şi de stabilitate.
Cadre cu noduri deplasabile. Metoda deplasărilor
p = − , (14.22)
= T + m . (14.23)
14.2.4. Concluzii privind exprimarea echilibrului barei
drepte încărcată cu forţe exterioare şi eforturi în secţiunile de
capăt
1. Comparând celor trei situaţii expuse anterior, prin care s-a
exprimat echilibrul unui element de bară acţionat de forţe exterioare şi
eforturile din extremităţi, în urma căruia au rezultat trei grupuri de
relaţii diferenţiale se constată:
a) relaţia diferenţială t p
dN
= care exprimă legătura dintre
dx
încărcarea exterioară şi efortul axial (N) sunt identice în toate
cele trei situaţii (v. paragrafele: 14.2.1, 14.2.2 şi 14.2.3),
relaţiile: (14.9), (14.15), şi (14.21), indiferent dacă echilibrul
este exprimat în raport cu poziţia iniţială sau cu cea
deformată;
b) relaţia diferenţială n p
dT
= − care exprimă legătura dintre
dx
încărcarea exterioară şi forţa tăietoare (T) sunt, de
asemenea, identice în toate cele trei situaţii (v. paragrafele:
14.2.1, 14.2.2 şi 14.2.3) relaţiile: (14.10), (14.16), şi
(14.22), indiferent dacă echilibrul este exprimat în raport cu
poziţia iniţială sau cea deformată;
c) relaţiile diferenţiale, (14.11) şi (14.17), dintre momentul
încovoietor din secţiunile de capăt şi încărcări, în cazul
exprimării echilibrului în raport cu poziţia iniţială sau cu
poziţia deformată a elementului de bară diferă, dacă
exprimăm echilibrul în raport cu poziţia iniţială a elementului
dM dM dv
de bară sau cu poziţia deformată: = T şi = T + N ;
dx dx dx
2. Referitor la relaţiile diferenţiale dintre momentul
încovoietor şi încărcări, (14.17) şi (14.23), în cazul exprimării
echilibrului în raport cu poziţia deformată a elementului de bară,
paragraful (14.2.2) şi, respectiv, în raport cu poziţia iniţială a acestuia,
dar încărcat elementul de bară cu un cuplu distribuit, paragraful

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 269
(14.2.3):
diferă.
dM
dx
dv dM
= T + N şi = T + m , constatăm că şi acestea
dx dx
Pentru ca relaţiile de mai sus să fie identice înseamnă ca trebuie
să existe egalitatea:
dv
N = m
(14.24)
dx
şi astfel, constatăm că putem exprima echilibrul elementului de bară
încărcat cu sarcinile distribuite şi cu un cuplu distribuit de intensitate
dată de relaţia (14.24), în raport cu poziţia inţială nedefomată.
3. Pentru a valorifica constatarea de mai sus, vom analiza relaţia
(14.24) prin care se determină intensitatea cuplului distribuit, ce se
adaugă ca sarcină exterioară suplimentară, în solicitarea elementului de
bară.
barei:
dv
Se exprimă raportul funcţie de rotirea Φ unei secţiuni a
dx
dv
dx
= tgΦ
≈ Φ , (14.25)
iar intensitatea cuplului suplimentar, din expresia (14.25), se calculează
cu relaţia:
m = NΦ
. (14.27)
În consecinţă, încărcarea suplimentară m este funcţie de
deformata structurii, v , Φ care, în prima etapă de soluţionare a
problemei, este necunoscută. De aceea, se exprimă deformata şi,
implicit, încărcarea suplimentară m , în funcţie de necunoscutele
problemei, specifice metodei deplasărilor, care se determină, într-o altă
etapă, prin rezolvarea sistemului de ecuaţii de condiţie.
Nodurile unei bare, dintr-un cadru cu noduri deplasabile, vor
descrie, în procesul de deformare, atât deplasări liniare, cât şi deplasări
unghiulare (v. figura 14.4).
Deplasarea relativă a nodurilor barei ij , detaşată dintr-un sistem
de bază al unui cadru cu noduri fixe, poate fi definită prin intermediul
rotirii axei barei, notată Ψ . Rotirea unei secţiuni oarecare Φ poate fi
descompusă în două componente, astfel se scrie relaţia:
Φ = Ψ + φ , (14.28)

270
Calculul de ordinul II şi de stabilitate.
Cadre cu noduri deplasabile. Metoda deplasărilor
unde componenta φ reprezintă rotirea secţiunii măsurată în raport cu
axa înclinată a barei ij .
Se introduce relaţia (14.28) în (14.27) şi rezultă:
i
j
ψ
m = NΨ
+ Nφ
, (14.29)
ψ
φ
dv
dx
≈ Φ
Fig.14.4. Deformata barei ij aparţinând unui
cadru cu noduri deplasabile
a) b)
c)
m
= +
Nφ
Fig.14.5. Barei ij dintr-un sistem de bază acţionat:a) cu un cuplu
distribuit de intensitate m ; b) cuplu distribuit de intensitate
N φ ; c) cuplu distribuit de intensitate N ψ
Nψ

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 271
ceea ce corespunde descompunerii cuplului suplimentar în alte două
cupluri distribuite: N Ψ şi N φ .
Şi, în consecinţă, încărcarea suplimentară a unei bare, extrasă
dintr-un cadru cu noduri deplasabile, figura 14.5, se va compune în
doua componente:
a) o încărcare cu cupluri distribuite, de intensitate N Ψ ;
b) o încărcare cu cupluri distribuite, de intensitate Nφ
.
În cazul primei situaţii de încărcare, figura 14.6, bara încastrată
perfect în noduri, în ambele extremităţi şi acţionată de un cuplu uniform
distribuit, evidenţiază o diagramă de moment încovoietor, conform
Staticii Construcţiilor, identic nulă, iar încărcarea poate fi înlocuită cu
două forţe concentrate de intensităţi egale cu N Ψ . Sensurile acestor
forţe, care se aplică în nodurile barei, sunt alese astfel încât să aibă
acelaşi sens cu rotirea Ψ a barei.
În concluzie, calculul de ordinul II şi de stabilitate se poate
efectua exprimând echilibrul forţelor în raport cu poziţia inţială
nedeformată a structurii, dar încărcând, în acelaşi timp, barele cu un
cuplu distribuit, care se înlocuieşte, în procesul de calcul, cu două forţe
concentrate, de intensitate N Ψ , aplicate în noduri, normal pe axa barei.
Aceste forţe se aplică numai în nodurile unei bare ce suferă rotiri, Ψ
reprezentând rotirea barei respective, iar N efortul din bara respectivă.
14.3. Calculul de ordinul II al cadrelor cu noduri
deplasabile
14.3.1. Etape de calcul
În vederea efectuării unui calcul de ordinul II al unui cadru cu
noduri deplasabile se parcurg următoarele etape de calcul:
a) Se realizează un calcul de ordinul I pentru a defermina eforturile axiale
din barele structurii. Nu se iau în considerare decât eforturile de
compresiune;
b) Se calculează factorii de compresiune pentru barele structurii cu relaţia:
Nij
ν ij = lij
; (13.21)
EI
c) Se stabilieşte sistemul de bază, corespunzător metodei deplasărilor, se
scrie sistemul de ecuaţii de condiţie;
[ r ]{ z } { R } = {} 0
ij
j
+ ip
ij
, (13.22)

272
Calculul de ordinul II şi de stabilitate.
Cadre cu noduri deplasabile. Metoda deplasărilor
unde [ r ij ] reprezintă matricea coeficienţilor (matricea de rigiditate a
structurii),
{ z j}
- vectorul necunoscutelor, deplasările nodurilor,
şi { R ip } - vectorul termenilor liberi;
În cazul cadrelor cu noduri deplasabile, de exemplu structura din
r cuprinde mai multe tipuri
figura 14.7, matricea coeficienţilor notată [ ]
ij
de coeficienţi, spre deosebire de cadrele cu noduri fixe. Astfel,
distingem:
q
2P P
1 i
2 3
4 5 6
Fig.14.7. Cadru cu noduri deplasabile
i. coeficienţii şi r , calculaţi cu relaţii identice cu cele găsite
rii ji
la studiul cadrele cu noduri fixe;
ii. şi r - coeficienţi principali care se determină ca reacţiuni
rbb ab
în blocajele grade de libertate (reazeme simple) ale
sistemului de bază;
iii. rib şi r bi - coeficienţi laterali referitor la blocajele de nod,
respectiv, blocajele grade de libertate.
Vectorul termenilor liberi, { }
ip
R , cuprinde două tipuri de termeni
liberi, şi anume:

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 273
i. R ip - termeneni liberi identici cu cei determinaţi la cadrele cu noduri
fixe, se determină cu relaţia (13.23);
ii. R bp - reacţiuni din blocaje de nod grad de libertate ale
sistemului de bază.
d) Se determină coeficienţii matricei de rigiditate (coeficienţilor):
i. coeficienţii r ii şi r ji se calculează cu relaţiile (13.6) şi (13.7);
ii. pentru a calcula coeficienţii r bb şi r ib se realizează sistemul de
bază corespunzător, figura 14.8.
q
2P P
1 i
SB
2 3
4 5 6
Fig.14.8. Cadru cu noduri deplasabile. Sistem de bază
Folosind sistemul de bază, stabilit şi prezentat în figura 14.8, se
definesc cei doi coeficienţi. Coeficientul principal r reprezintă
reacţiunea din blocajul grad de libertate b , când în acest blocaj se
produce o cedare de reazem, deplasare liniară, egală cu unitatea, iar
coeficientul r se identifică cu reacţiunea din blocajul de nod i,
când în
ib
blocajul grad de libertate b , al sistemului de bază, s-a produs o
deplasare liniară, cedare de reazem, egală cu unitatea.
În vederea determinării acestor coeficienţi se produce o cedare
de reazem în blocajul grad de libertate b , egală cu unitatea, figura 14.9.
Reacţiunile rbb şi r ib se determină exprimând echilibrul static prin
intermediul unei ecuaţii de moment, referitor la nodul i,
respectiv, a
a
b
bb

274
Calculul de ordinul II şi de stabilitate.
Cadre cu noduri deplasabile. Metoda deplasărilor
unei ecuaţii de lucru mecanic virtual pentru gradul de libertate b ,
conform figurii 14.10.
şi
sau
r
bb
Se obţin următoarele ecuaţii de echilibru:
Ψ
b
Ψ
b
b
∑ =
i
M 0 ;
r K Ψ = 0
(14.23)
+ 2 2
Ψ b
ib i i
MV
L b
Ψ
b
i
= 0;
• 1 − ( K14
Ψ14
+ K 41Ψ14
) Ψ14
− ( Ki2
Ψ 2 + K 2i
Ψ 2 ) Ψ 2 + N Ψ14
• 1 + N 2Ψ
2 • 1 = 0
b
N14ψ14 l 14
1
ψ14 l
b =
b
N14ψ14 14
ψ b
K41ψ14 ψ b
K14ψ14 b 1
ψ i2
=
l
b
Ni2ψi 2
b
Ni2ψi 2
i2
Ψ
zb
= 1
b
i
rib
ψ b
i i ψ K 2 2
b
i
14
ψ b
i i ψ K 2 2
Fig.14.9. Cadru cu noduri deplasabile. Deformata sistemului de
bază corespunzătoare gradului de libertate “b”
rbb
b
i
b
i
(14.24)
Rezolvând ecuaţiile (14.23) şi (14.24) se evidenţiază relaţiile de
calcul a celor doi coeficienţi: r ib şi r ib . Acestea sunt:
rab

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 275
şi
Ψ
b
rib = −Ki2
Ψi2
Ψ
b
Ψ
b b
Ψ
b
Ψ
b b
b
b
rbb = ( K14Ψ14
+ K 41Ψ14
) Ψ14
+ ( Ki2
Ψi2
+ K 2i
Ψi2
) Ψi2
− N14Ψ14
− Ni2Ψi
2
iii. coeficientul rab
.
(14.25)
. (14.26)
Prin definiţie coeficientul r reprezintă reacţiunea din blocajul
ab
grad de libertate b când pe sistemul de bază, în blocajul grad de
libertate b , se produce o cedare de reazem egală cu unitatea.
b
N14ψ14 1
ψ14 l14
b =
b
N14ψ14 1
ψ b
K41ψ14 b
Ni2ψi2 ψ b
K14ψ14 b 1
ψ i2
=
li2
b
Ni2ψi2 1
ψ b
i i ψ K 2 2
rbb
ψ b
i i ψ K 2 2
Fig.14.10. Cadru cu noduri deplasabile. Deplasata în gradul
de libertate “b”
Situaţia de încărcare definită mai sus este desenată în figura
14.9, iar pentru a afla relaţia de calcul a coeficientului r ab se realizează
deplasata corespunzătoare gradului de libertate a , încăcată cu forţele şi
cuplurile din deformata sistemului de bază, din deformata sistemului
prezentată în figura 14.11.
Sistemul de forţe din deformata b parcurgând deplasările
specifice deplasatei a vor produce un lucru mecanic virtual. Egalarea
acestui lucru virtual cu zero evidenţiază o ecuaţie de echilibru, care prin
rezolvare va pune în evidenţă expresia de calcul a coeficientului r .
ab

276
sau
şi
Deci:
MV
L a
= 0;
Ψ
b
Ψ
b a b
1 i2
i2
2i
i2
i2
i2
i2
Calculul de ordinul II şi de stabilitate.
Cadre cu noduri deplasabile. Metoda deplasărilor
r • + ( K Ψ + K Ψ ) Ψ − N Ψ • 1 = 0 (14.27)
ab
iv. coeficientul rbi
.
Ψ
b
Ψ
b a b
rab = −(
Ki2
Ψi2
+ K 2i
Ψi2
) Ψi2
+ Ni2Ψi
2
b
Ni2ψi 2
a 1
ψ i2
=
li2
b
Ni2ψi2 1
ψ b
i i ψ K 2 2
ψ b
i i ψ K 2 2
. (14.28)
Fig.14.11. Cadru cu noduri deplasabile. Deformata în gradul
de libertate “a”
Semnificaţia fizică a coeficientului r este următoara: reacţiunea
forţă din blocajul grad de libertate b , când în blocajul de nod i al
sistemului de bază se produce o cedare de reazem, deplasare
unghiulară, egală cu unitatea. Deplasata sistemului de bază
corespunzătoare cedării de reazem a blocajului i este prezentată în
figura 14.12, iar deplasata sistemului obţinută prin introducerea de
articulaţii în toate nodurile rigide şi reazemele încastrate ale structurii
date, corespunzătoare gradului de libertate b
, este desenată în figura
14.13.
bi
1
rab

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 277
Pentru a calcula coeficientul r se scrie lucrul mecanic al forţelor
de pe deformata sistemului de bază, referitoare la cedarea blocajului de
nod i, parcurgând deplasările din deplasata b .
sau
şi
sau
şi
Rezultă:
M = K t
tr
i1
i1
r
bi
•
MV
L b
bi
= 0;
b
1 + ( Ki2
+ Mtr
) Ψi2
b
rbi = −(
Ki2
+ Mtr
) Ψi2
zi
= 1
Ki1
i
M = K
tr
Ki2
= 0
(14.29)
. (14.30)
t
rbi
i2
i2
Fig.14.12. Cadru cu noduri deplasabile. Deformata sistemului de
bază produsă de cedarea de blocaj de nod “i” egala cu unitatea
(deplasare unghiulară)
r
bi
•
MV
L b
= 0;
b
1 + ( Ki2
+ Mtr
) Ψi2
b
rbi =
−(
Ki2
+ Mtr
) Ψi2
= 0
(14.29)
. (14.30)

278
Calculul de ordinul II şi de stabilitate.
Cadre cu noduri deplasabile. Metoda deplasărilor
Obs. În ecuaţiile de mai sus, rigidităţile au expresiile:
pentru bara dublu încastrată;
Ψ
Kij
Ψ
Kij =
6EI
= K ,
l
3EI K
l
pentru bara încastrată simplu rezemată,
unde:
şi
1
ψ14 l14
b =
1
b 1
ψ i2
=
li2
0
1
K =
2α
− β
1
Mtr
Fig.14.13. Cadru cu noduri deplasabile. Deplasata sistemului în
gradul de libertate “b”. Calculul coeficientului r bi
K
0
1
= .
α
,
Ki2
e) Se determină termenii liberi: R ip şi R bp :
v. termenul liber R a fost analizat la cadrele cu noduri fixe,
relaţia (13.23);
ip
vi. termenul liber Rbp
.
rbi

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 279
Termenul liber R bp reprezintă reacţiunea forţă din blocajul grad
de libertate b , când sistemul de bază este acţionat cu forţele exterioare
date.
În vederea determinării acestui termen liber, se desenează
deformata sistemul de bază, sub acţiunea forţelor şi se evidenţiază
momentele de încastrare perfectă, figura 14.14. Termenul liber se află
prin rezolvarea unei ecuaţii de lucru mecanic virtual. Lucrul mecanic
virtual va fi exprimat de forţele exterioare şi momentele de încastrare
perfectă, parcurgând deplasările corespunzătoare din deplasata gradului
de libertate b , figura 14.15. Ecuaţia de lucru mecanic este următoarea:
sau
şi
1
ψ14 l14
b =
R
bP
•
MV
L b
= 0;
b
1 + ql • δ + ( m14
+ m41)
Ψ14
b
RbP = −ql
• δ − ( m14
+ m41)
Ψ14
1
2P P
ql δ
M 41
M14
1
= 0
(14.31)
, (14.32)
Rbp
Fig.14.15. Cadru cu noduri deplasabile. Deplasata sistemului în
gradul de libertate “b”. Calculul termenului liber Rbp
unde: şi m sunt momente de încastrare perfectă obţinute printr-
m14 41
un calcul de ordinul II,

280
Calculul de ordinul II şi de stabilitate.
Cadre cu noduri deplasabile. Metoda deplasărilor
δ =
1
.
2
f) Se rezolvă sistemul de ecuaţii de condiţie, relaţia (14.23) şi
trasează
efectelor.
diagramele finale de eforturi prin suprapunerea
q
l
2P P
M14
M41
Rbp
Rap
Fig.14.14. Cadru cu noduri deplasabile. Deformata sistemului de
bază produsă de acţiunea forţelor exterioare
14.3.2. Aplicaţie
Pentru structura din figura 14.16.a se cere să se traseze
diagrama de moment încovoietor printr-un calcul de ordinul II, prin
metoda deplasărilor. Se cunosc: P = 140 KN,
Q = 1 KN şi EI = 5000KNm .
Se vor parcurg etapele de calcul prezentate în subcapitolul
14.3.1, astfel:
şi
a) Determinarea eforturilor axiale de ordinul I din barele structurii.
Eforturile axiale sunt:
N =
13
P ,
N 0 .
12 =
2

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 281
P
Q 1
a.
EI
3
4EI
5.00m
2
6.00m
Fig. 14. 16. Cadru static nedeterminat. Calcul de stabilitate.
a. Structura considerată. b. Sistemul de bază
b) Calculul factorului de compresiune, ν13
.
b.
P
Q z 1 z a
Folosind relaţia (11.5), se obţine pentru factorul de compresiune
valoarea:
sau
ν = l
13
13
N
EI
13
13
140
ν13 = 6.
0 = 1.
003 ≈ 1.
0 . (14.32)
5000
c) Se stabilieşte sistemul de bază, corespunzător metodei
deplasărilor, figura 14.16.b şi se scrie sistemul de ecuaţii de
condiţie:
⎪⎧
r11Z1
+ r1aZ
a + Rip
= 0
⎨
. (14.33)
⎪⎩
ra1Z1
+ raaZa
+ R ap = 0
d) Determinarea coeficienţii matricei de rigiditate: r 11 , r a1 , r 1a şi r aa .
Deformatele sistemului de bază pentru cedări în blocajul de nod
i, respectiv blocajul grad de libertate a sunt prezentate în figurile
14.17.a şi 14.18.a, iar deplasatele în gradul de libertate a încărcate cu
forţele din deformatele sistemului de bază sunt arătate în figura 14.
17.b, respectiv figura 14.18.b.
Pentru calculul coeficienţilor se scriu următoarele ecuaţii de
echilibru static, conform fig. 14.17:
SB

282
MV
L a
∑ =
1
M 0 ; r − K − K = 0 ;
= 0 ; r • + ( K + t K ) • Ψ = 0 .
a 1
11
a
1 13 13 13 13
12
Calculul de ordinul II şi de stabilitate.
Cadre cu noduri deplasabile. Metoda deplasărilor
Rezolvând cele două ecuaţii se obţin relaţiile de calcul ale
coeficienţii:
şi
a.
K13
r11
K12
13 13 t K
ra1
11
12
13
13
r = K − K
(14.34)
b.
a
ψ 13
1 1
K13
13 13 t K
Fig.14.17. Cadru cu noduri deplasabile. Calculul coeficienţilor r a1
şir 11 :
a. deformata sistemului de bază, b. deplasata sistemului în gradul de libertate “a”
a
N13ψ
13
a
N13ψ
13
r1a a
ra 1 = −(
K13
+ t13K13)
• Ψ13
raa
a. b.
ψ
K ψ
a
31 13
ψ
K ψ
a
13 13
a
N13ψ
13
a
N13ψ
13
a
ψ 13
ra1
. (14.35)
1 1
ψ
K ψ
a
31 13
ψ
K ψ
a
13 13
Fig. 14. 18. Cadru cu noduri deplasabile. Calculul coeficienţilor r a 1 şi r aa :
a. deformata sistemului de bază, b. deplasata sistemului în gradul de libertate “a”
Conform figurii 14.17, pentru calculul coeficienţilor r1a şi r aa , se
scriu următoarele ecuaţii de echilibru static:
∑ =
1
M 0 ,
raa

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 283
rezultă:
şi
1 + 13Ψ
13
= 0
Ψ a
a K r (14.36)
MV
L a
= 0
Ψ Ψ
r • 1 − 13 Ψ
a
13
+ 31Ψ
a
13
• Ψ
a
13
+ 13Ψ
a
aa ( K K ) N
13
• 1 = 0 . (14.37)
Rezolvând ecuaţiile de echilibru se obţin relaţiile de calcul ale
celor doi coeficienţi:
şi
Ψ
r
a
1a
= −K13Ψ
13
, (14.38)
Ψ
a
Ψ
a a
a
raa = ( K13Ψ13
+ K 31Ψ13)
• Ψ13
− N13Ψ13
. (14.39)
Conform datelor problemei şi a celor patru figuri se cunosc:
Rezultă:
4EI
4EI
K13
K'
= K'
l 6
3EI
3 • 4EI
12EI
K 12 = K =
l 5 5
t = 0.
5 •
13
K"
K"
Ψ 6EI
6EI
K13 = K = K = EI • K
l 6
Ψ
a
13
1
= =
l
1
6
N13 = 140KN
3α
K ' =
= 0.
96622
2 2
4α
− 3β
1
K = = 0.
9832
2
2α
− β
3φ
K ' = = 1.
017197 .
2 2
4α
− 3β

284
Calculul de ordinul II şi de stabilitate.
Cadre cu noduri deplasabile. Metoda deplasărilor
r = 15220.
73558
(14.40)
11
ra1 1a
e) Calculul termenii liberi: R
1p
şi R ap .
= r = − 819.
3441
(14.41)
raa = 249. 78137
(14.42)
În vederea determinării termenilor liberi se încarcă sistemul de
bază cu forţele exterioare, figura 14.19.a şi se exprimă echilibrul static,
prin intermediul următoarelor două ecuaţii:
a.
Q
P
R1p Rap
b.
3. 53996
3. 140722
Fig. 14. 19. Cadru static nedeterminat: a. sistem de bază acţionat de forţe
exterioare; b. diagramă finală de moment încovoietor de ordinal II
rezultă:
şi
se obţine:
şi
Q
∑ = M 0;
1
II
Mf R 0
(14.43)
∑
1 = p
Y = 0 ;
+ R ap
R ap
= 0
f) Rezolvarea sistemului de ecuaţii de condiţie.
= −1
. (14.44)

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 285
Introducând în sistemul de ecuaţii (14.33), relaţiile de calcul a
coeficienţilor (14.40-42) şi termenii liberi, expresiile (14.4 şi 14.44) şi în
urma rezolvării acestuia se obţin soluţiile:
Z 1 = 0.
000261727
, (14.45)
Z 1 = 0.
004862029
. (14.46)
g) Trasarea diagramei de eforturi.
Diagrama finală de moment încovoietor de ordinul II se trasează,
prin suprapunerea efectelor, în modul următor:
şi este trasată în figura 14.19.b.
M
f
M
f
12
=
13
= K12Z1
= 3.
140722142KNm
, (14.47)
M
f
Ψ
t K Z K
a
31 = − 13 13 1 + 31Ψ
13
Za
= 3.
53996KNm
(14.48)
14.4. Calculul de stabilitate a cadrelor cu noduri
deplasabile folosind matricea de rigiditate. Etape de calcul
În vederea efectuării unui calcul de stabilitate al unui cadru cu
noduri deplasabile, se parcurg următoarele etape de calcul:
a) Se realizează un calcul de ordinul I pentru a afla eforturile axiale
din barele structurii. Se iau în considerare numai eforturile de
compresiune;
b) Se calculează factorii de compresiune pentru barele structurii,
aplicând relaţia (11.3), care ia forma:
Nij
ν ij = lij
; (14.49)
EI
c) Se depistează factorul de compresiune maxim şi funcţie de acest
factor se exprimă ceilalţi factori de compresiune. Dacă notăm
factorul de compresiune maxim cu " ν"
sau " " , atunci ceilalţi
factori de compresiune se determină funcţie de acesta astfel:
unde ν se determină cu relaţia (11.3).
ij
ν max
lij
Nij
EI
ν ij = ν
, (14.50)
l N EIij
d) Se fixează sistemul de bază, corespunzător metodei deplasărilor.
e) Se calculează coeficienţii rii , rji , rib , rbb , rab şi rbi
aplicând
relaţiile (13.6), (13.7), (14.25), (14.26), (14.28) şi (14.30);

286
Calculul de ordinul II şi de stabilitate.
Cadre cu noduri deplasabile. Metoda deplasărilor
f) Se determină ecuaţia de stabilitate prin anularea determinantului
matricei coeficienţilor (matricei de rigiditate):
[ r ] ) = 0
det( ij ; (15.51)
g) Se caută, prin încercări, soluţia ecuaţiei de stabilitate.
Obs.: În iteraţia pentru aflarea soluţiei ecuaţiei de stabilitate se
parcurg câţiva paşi, după cum urmează:
1. Se impune o soluţie pentru factorul de compresiune maxim,
ν , după criteriile prezentate în cursul nr.11, paragraful 11.2,
în cadrul observaţiilor (punctele 1, 2 şi 3). Funcţie de aceasta
se determină ceilalţi factori de compresiune.
2. Se calculează parametrii K ' , K , K " , K cu relaţiile:
0
3α
k'
= , (14.52)
2 2
4α
− β
k"
k'
0 1
k = , (14.53)
α
3β
= , (14.54)
2 2
4α
− β
1
=
2α
− β
, (14.55)
parametrii α şi β se calculează în funcţie de factorul de compresiune cu
relaţiile (9.50 şi (9.53)
3. Se determină rigidităţile la rotire şi se introduc, spre
verificare, în ecuaţia de stabilitate.
Următorii paşi în iteraţie coincid cu operaţiunile expuse la studiul
stabilităţi cadrelor prin metoda matricei de flexibilitate, cursul numărul
11, pararagraful 11.2, punctele 4, 5 şi 6 din observaţii.

BIBLIOGRAFIE B
1. Bănuţ, V., Calculul neliniar al structurilor, Editura Tehnică, Bucureşti,
1981.
2. Bănuţ, V., Popescu, H., Stabilitatea structurilor elastice, Editura
Academiei R.S.R., Bucureşti, 1975.
3. Bălan, Şt., Mihăilescu, N. Şt., Istoria ştiinţei şi tehnicii în România.
Date cronologice., Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1985.
4. Bălan, Şt., ş.a., Dicţionar cronologic al ştiinţei şi tehnicii universale,
Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1979.
5. Bârsan, G.M., Dinamica şi stabilitatea construcţiilor, EDP, Bucureşti,
1979.
6. Bigs, J.M., Introduction to Structural Dynamics, McGraw-Hill Books
Company, New York, 1964.

288
Bibliografie
7. Borş, I., Aplicaţii ale transformatei Laplace şi reprezentări Dirac în
Mecanica Construcţiilor.
8. Bratu, Polidor, Vibraţiile sistemelor elastice, Editura Tehnică,
Bucureşti, 2000.
9. Buzdugan, Gh., Fetcu, L., Radeş, M., Vibraţii mecanice, EDP,
Bucureşti, 1979.
10. Buzdugan, Gh., Mihăilescu El., Radeş, M., Măsurarea vibraţiilor,
Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1979.
11. Buzdugan, Gh., Izolarea antivibratilă a maşinilor, Editura Academiei
R.S.R., Bucureşti, 1980.
12. Buzdugan, Gh., Dinamica fundaţiilor de maşini, Editura Academiei
R.S.R., Bucureşti, 1968.Silaş, Gh. ş.a., Culegere de probleme de
vibraţii mecanice, vol. I, Sisteme liniare cu un număr finit de grade
de libertate, Editura Tehnică, Bucureşti, 1967.
13. Bratu, P.P., Izolarea şi amortizarea vibraţiilor la utilaje de construcţii,
INCERC Bucureşti, 1982.
14. Caracostea, A., ş.a., Manual pentru calculul construcţiilor, Vol.I,
Bazele teoretice de calcul al construcţiilor, Editura Tehnică,
Bucureşti, 1977.
15. Chiriacescu, Sergiu T., Dinamica maşinilor unelte. Prolegomene,
Editura Tehnică, Bucureşti, 2004.
16. *** Culegere de probleme de mecanică, Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti, 1974.
17. Dicţionar de mecanică, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti,
1980.
18. Darabont, Al., Iorga, I., Văiteanu, D., Simanschevici, H., Şocuri
vibraţii. Aplicaţii în tehnică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1988.
19. Darabont, Al., Iorga, I., Cihodaru, M., Măsurarea zgomotului şi
vibraţiilor în tehnică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1983.
20. Filimon, I., Soare, M., Ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii în mecanica
construcţiilor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1983.
21. Gheorghiu, Al., Statica construcţiilor, Vol.III, Formulări şi metode
matriceale în statica liniară. Comportarea şi calculul neliniar al
structurilor., Editura Tehnică, Bucureşti, 1980.
22. Gioncu, V., Ivan, M., Bazele calculului structurilor la stabilitate,
Editura Facla, Timişoara, 1983.
23. Hangan, S., Crainic, L., Concepte şi metode energetice în dinamica
construcţiilor, Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1980.
24. Harris, C., Crede, Ch., Şocuri şi Vibraţii, vol. I, II şi III, Editura
Tehnică, Bucureşti, 1968.
25. Ifrim, M., Dinamica structurilor şi inginerie seismică, EDP, Bucureşti,
1984.
26. Ifrim, M., Aplicaţii în Analiza Dinamică a Structurilor şi Inginerie
Seismică, EDP, Bucureşti, 1974.

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 289
27. Ilie, Gh., Fierbinţeanu, V., Stănilă, N., Petrescu, I., Mecanica
construcţiilor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1987.
28. Ispas, C., Simion, F.-P., Vibraţiile maşinilor – unelte. Teorie şi
aplicaţii, Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1986.
29. Ixaru, L. Gr., Metode numerice pentru ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii,
Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1979.
30. Marinov., R., Probleme de stabilitate dinamică în construcţii, EDP,
Bucureşti, 1985.
31. Massonnet, Ch., ş.a., Calculul structurilor la calculatoare electronice,
Editura Tehnică, Bucureşti, 1974.
32. Mihu, C., Metode numerice în algebra liniară, Editura Tehnică,
Bucureşti, 1977.
33. Mihu, C., Sisteme de ecuaţii liniare şi forme pătratice, Editura
Tehnică, Bucureşti, 1985.
34. Munteanu, M., Introducere în dinamica maşinilor vibratoare, Editura
Academiei R.S.R., Bucureşti, 1986.
35. Nowacki, W., Dinamica sistemelor elastice, Editura Tehnică, 1969.
36. Olariu, V., Sima, P., Achiriloaie, V., Mecanică tehnică, Editura
Tehnică, Bucureşti, 1982.
37. Oprea, Gh., Stabilitatea şi calculul de ordinal II al structurilor din
bare, Editura Naţional, 1999.
38. Pană, T., Absorbitori dinamici de vibraţii, Editura Tehnică, Bucureşti,
1984.
39. Posea, N., Calculul dinamic al structurilor, Editura Tehnică, Bucureşti,
1991.
40. Radeş, M., Metode dinamice pentru identificarea sistemelor
mecanice, Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1979.
41. Rădoi, M., Deciu, E., Voiculescu, D., Elemente de vibraţii mecanice,
EDP, Bucureşti, 1973., Statica Construcţiilor, EDP, Bucureşti, 1972.
42. Răutu, S., Băbuţ, V
43. Salvadori, M.G., Baron, M.L., Metode numerice în tehnică, Editura
Tehnică, Bucureşti, 1972.
44. Sandi, H., Elemente de dinamica structurilor, EDP, Bucureşti, 1983.
45. Scarlat, A., Stabilitatea şi calculul de ordinul II al structurilor, Editura
Tehnică, Bucureşti, 1969.
46. Scarlat, A., Stabilitatea structurilor. Probleme speciale, Editura
Tehnică, Bucureşti, 1969.
47. Silaş, Gh. ş.a., Culegere de probleme de vibraţii mecanice, vol. II,
Sisteme neliniare şi parametrice. Sisteme vibropercutante. Aplicaţii
tehnice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1973.
48. Silaş, Gh., Mecanică. Vibraţii mecanice, EDP, Bucureşti, 1968.
49. Silaş, Gh., Brîndeu, L., Sisteme vibropercutante, Editura Tehnică,
1986.
50. Simionescu, I., Dragnea, M., Moise, V., Metode numerice în tehnică,
Editura Tehnică. Aplicaţii în FORTRAN, EDITURA TEHNICĂ, 1995.

290
Bibliografie
51. Simonici, M., Dinamica construcţiilor, Editura Tehnică, Bucureşti,
1958.
52. Soare, M., Teodorescu, P.P., Toma, I., Ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii
în Mecanica Construcţiilor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1999.
53. Snitko, N.K., Dinamica construcţiilor, Editura Tehnică, Bucureşti,
1965.
54. Staicu, Şt., Introducere în mecanica teoretică, Editura Ştiinţifică şi
Enciclopedică, Bucureşti, 1983.
55. STAS 3451 – 73, Statica, dinamica şi stabilitatea structurilor.
Terminologie.
56. STAS 6488 – 73, Solicitări variabile periodice. Terminologie şi
simboluri.
57. STAS 10101/0 – 75. Acţiuni în construcţie. Clasificarea şi gruparea
acţiunilor.
58. STAS 101001/OB – 77, Clasificarea şi gruparea acţiunilor pentru
poduri de cale ferată şi şosea.
59. STAS 10101/1 – 75, Acţiuni în construcţie. Greutăţi tehnice şi
încărcări permanente.
60. STAS 1489 – 75, Poduri de cale ferată. Acţiuni.
61. STAS 1545 – 63, Poduri pentru străzi şi şosele. Pasarele. Sarcini.
62. STAS 3220 – 65, Sarcini în construcţii. Poduri de cale ferată.
Convoaie tip.
63. STAS 3221 – 63, Poduri pentru străzi şi şosele. Convoaie tip şi clase
de încărcare.
64. STAS 737/1 – 72, Sistemul Internaţional de unităţi (SI). Unităţi
fundamentale şi unităţi suplimentare.
65. STAS 737/2 – 72, Sistemul Internaţional de unităţi (SI). Unităţi
derivate.
66. STAS 737/3 – 72, Sistemul Internaţional de unităţi (SI). Reguli de
formare şi scriere a unităţilor SI.
67. STAS 737/4 – 72, Sistemul Internaţional de unităţi (SI). Prefixe
pentru formarea multiplilor şi submultiplilor zecimali ai unităţilor SI.
68. STAS 737/8 – 72, Sistemul Internaţional de unităţi (SI). Mărimi
caracteristice mecanicii. Unităţi de măsură.
69. STAS 9446 – 73, Unităţi de măsură care nu fac parte din sistemul
Internaţional de unităţi (SI). Unităţi tolerate.
70. Teodorescu, P.P., Dinamica corpurilor liniar elastice, Editura
Academiei R.S.R., Bucureşti, 1972.
71. Ţăposu, I., Mecanică analitică şi vibraţii, Teorie şi probleme, Editura
Tehnică, Bucureşti, 1998.
72. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R., Mecanică teoretică, Editura
Tehnică, Bucureşti, 1968.