CAPITOLUL 1

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 25
Deoarece vibraţiile unui sistem dinamic, fără a fi acţionat de forţe
perturbatoare, au un caracter armonic, soluţia ecuaţiei (2.13) este:
( t)
= C sin ω t + C cos ω t . (2.14)
x 1
2
Prin derivări succesive se calculează expresiile vitezelor şi
acceleraţiilor:
x&
& ( t)
& ( t)
= C ω cos ω t − C sin ω t , (2.15)
x 1
2
= −C
ω
1
2
sin ω
t − C
2
ω
2
cos ω t . (2.16)
Constantele C 1 şi C se determină din condiţiile iniţiale ale
2
mişcării, pentru o deplasare şi o viteză. Deci, la momentul t = 0 ,
cunoaştem:
⎧x(
0)
= x
t = 0⎨
⎩x&
( 0)
= v
0
0
. (2.17)
Introducând condiţiile (2.17) în relaţiile (2.14) şi (2.15) se obţin
expresiile:
C
v
0
1 = , 2 x0
Cu expresiile (2.18), relaţia (2.14) devine:
ω
C = . (2.18)
v 0
( t)
= sin ω t + x cos ω t
(2.19)
ω
x 0
sau comparând cele două mişcări rezultă:
x ( t)
= A sin( ωt
+ φ)
. (2.20)
Amplitudinea mişcării, notată A, se determină cu relaţia:
iar faza iniţială a vibraţiei, φ :
2
⎛ v 0 ⎞ 2
A = ⎜ + x 0
ω
⎟ , (2.21)
⎝ ⎠
x0ω
φ = arctg . (2.22)
v0
Derivând succesiv relaţia (2.20) se deduc variaţiile vitezelor şi
acceleraţiilor sistemului vibrant:
x&
& ( t)
x & ( t)
= ωA
cos( ω t + φ)
, (2.23)
2
= −ω
A
sin( ω
t +
φ)
2
= −ω
x(
t)
. (2.24)