CAPITOLUL 1

STABILITATEA ŞI DINAMICA CONSTRUCŢIILOR 177
Pentru decuplarea sistemului de ecuaţii (7.1) se efectuează
următoarea schimbare de variabilă:
sau
în care:
{ x( t)
} [ X]{
Φ(
t)
}
= (7.2)
n
x j(
t)
X j,
iΦi(
t)
, (7.3)
= ∑ 1
[ X ] reprezintă matricea modală normalizată;
Φ (
i
t)
- coordonata generalizată care precizează amplitudinea
modului „i” de vibraţie pe direcţia gradului de libertate „j”.
Obs. O formă proprie de vibraţie normalizată se calculează cu
relaţia:
1 { X}
i = { X}
i , (7.4)
M
unde Mi reprezintă masa generalizată corespunzătoare modului „i” de
vibraţie şi se determină cu relaţia:
i
i
T { X}
i [ m]{
X}
i
M = . (7.5)
Prin introducerea expresiei (7.2) în ecuaţia (7.1) se obţine:
[ m ] [ X]{
Φ&
( t)
} + [ c]
[ X]{
Φ&
( t)
} + [ K]
[ X]{
Φ(
t)
} = { F(
t)
}
& . (7.6)
Ecuaţia (7.6) se premultiplică cu matricea modală transpusă,
care devine:
şi
T
T
T
T
[ X]
[ m][
X]{
Φ&
( t)
} + [ X]
[][ c X]{
Φ&
( t)
} + [ X]
[ K][
X]{
Φ(
t)
} = [ X]
{ F(
t)
}
& . (7.7)
Se cunosc următoarele produse matriceale:
[ X] [ m][
X]
[] I
T
[ X] [][ c X]
[ νω]
T
2
2
[ X] [ K][
X]
[ ω ]
T
unde ν reprezintă fracţiunea din amortizarea critică.
= , (7.8)
= (7.9)
= , (7.10)
Luând în considerare relaţiile (7.8) – (7.10), ecuaţia (7.7) ia
forma: