Integrale si ecuatii diferentiale.pdf - Profs.info.uaic.ro

1.4. INTEGRALA IMPROPRIE 19Integrala se numeşte convergentă şi vom nota ∫ bf(x)dx < +∞ iar în caz contrar,adivergentă.Definiţia 1.4.4pe [a, b) dacăFuncţia f : [a, b) → R, a, b ∈ R se numeşte absolut integrabilă∫ ba| f(x) | dx < +∞. (1.30)Analog se poate defini integrabilitatea pentru funcţii definite pe (a, b], nemărginiteîn a. Dacă f : [a, b] → R şi f nu este mărginită într-un punct interior intervaluluic, studiul convergenţei se poate reduce la cazurile precedente, desfăcând integrala∫ baf(x)dx =∫ caf(x)dx +∫ bcf(x)dx.Pentru ultima <strong>si</strong>tuaţie se defineşte de asemenea noţiunea de valoare principalăprin următoarea limită (dacă există şi este finită)vp∫ baf(x)dx = limε→0(∫ c−εaf(x)dx +∫ bc+ε)f(x)dx(1.31)Teorema 1.4.5 (Teoremă de caracterizare) Integrala ∫ bf(x)dx este convergentădacă şi numai dacă ∀ε > 0 există δ > 0 astfel ca oricare ar fi t ′ , t ′′ ∈ [a, b),acu 0 < b − t ′ < δ, 0 < b − t ′′ < δ are loc|∫ t ′′t ′ f(x)dx |< ε. (1.32)Teorema 1.4.6 Dacă funcţia f este absolut integrabilă pe [a, b) atunci ea esteintegrabilă pe [a, b).Teorema 1.4.7 (Criteriu de comparaţie) Fie integralele ∫ bf(x) şi ∫ bg(x)dx.a aDacă ∫ +∞g(x)dx este convergentă (1.33)rezultă căDacă∫ baa| f(x) | g(x), x ∈ [c 1 , b), c 1 a (1.34)f(x)dx este absolut convergentă.∫ baf(x)dx este divergentă (1.35)