Integrale si ecuatii diferentiale.pdf - Profs.info.uaic.ro

2.5. ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL I 45de unde prin integrare deducemdeci x 2 + x 3 + z = c 1 x 2 1. Apoi dinln |x 1 | = 1 2 ln |x 2 + x 3 + z| + 1 2 ln |c 1|,dx 1x 1= d(x 2 − x 3 )x 3 − x 2,deducem ln |x 1 | = − ln |x 2 − x 3 | + ln |c 2 |, de unde x 1 (x 2 − x 3 ) = c 2 . Dindx 1x 1= − d(z − x 3)z − x 3deducem x 1 (z − x 3 ) = c 3 . Soluţia este funcţia z, definită implicit de( )x2 + x 3 + zF, x 1 (x 2 − x 3 ), x 1 (z − x 3 ) = 0.x 2 1Problema Cauchy. Cazul n=2 Se con<strong>si</strong>deră ecuaţiaP (x, y, z) ∂z + Q(x, y, z)∂z∂x ∂y= R(x, y, z). (2.35)Problema Cauchy revine la determinarea suprafeţei z = z(x, y) care conţine curbadată parametric⎧⎨ x = f(s)(Γ) y = g(s) s ∈ I, (2.36)⎩z = h(s)unde f, g, h sunt funcţii de clasă C 1 (I), I ⊂ R şi f ′2 + g ′2 + h ′2 ≠ 0.Teorema 2.5.1 Presupunem că P 2 + Q 2 ≠ 0 pe un domeniu din R 2 şi∆ =∣ P Q∣ ∣∣∣f ′ g ′ ≠ 0, ∀s ∈ I. (2.37)Atunci problema Cauchy (2.35) , (2.36) are soluţie unică definită într-o vecinătatea curbei Γ.De multe ori curba Γ din problema Cauchy este dată sub forma{g1 (x, y, z) = 0g 2 (x, y, z) = 0