Integrale si ecuatii diferentiale.pdf - Profs.info.uaic.ro

32 CAPITOLUL 2. ECUAŢII DIFERENŢIALEPentru unele cazuri particulare ale lui α se obţin cazuri de ecuaţii deja studiate. Îngeneral împărţim prin y α şi obţinemFacem substituţiaşi obţinem imediat ecuaţia liniarăExempluSă rezolvăm ecuaţiay ′y α + P (x)y1−α = Q(x).z(x) = y(x) 1−α (2.20)z ′ + (1 − α)P (x)z = (1 − α)Q(x).y ′ +x1 − x 2 y = x√ y.Facem substituţia z = √ y şi gă<strong>si</strong>m ecuaţia liniarăz ′ +x2(1 − x 2 ) = x 2cu soluţiade undez = (1 − x 2 ) 1 4 (−13 (1 − x2 ) 3 4 + C),√ y = −13 (1 − x2 ) + C(1 − x 2 ) 1 4 .I. Arătaţi că următoarele funcţii sunt soluţii ale ecuaţiilor diferenţiale indicate1. y(x) = c 1 cos x + c 2 <strong>si</strong>n x, y ′′ (x) + y(x) = 02. y(x) = c 1 e x + c 2 e −x , y ′′ (x) − y(x).II. Deduceţi ecuaţia diferenţială a cărei soluţie este y(x) = e x (a cos x + b <strong>si</strong>n x).III.Rezolvaţi următoarele ecuaţii diferenţiale1. y ′ x(2 ln x + 1)=<strong>si</strong>n y + y cos y , 2. y − xy′ = a(y 2 + y ′ ) 3. y ′ = e 2x+3y4. xyy ′ = 1 + x + y + xy 5. (x + y)(dx − dy) = dx + dy6.{ 3e x1+e x dx + 2<strong>si</strong>n 2y dy = 0y(0) = π 27.{ xy ′ + coth y = 0y( √ 2)