Integrale si ecuatii diferentiale.pdf - Profs.info.uaic.ro

2.3. SISTEME SIMETRICE 411.10 Din primele două avem y 2 − x 2 = c 1 . Apoiunde c 2 z = xy.ydx + xdyxy(x 2 + y 2 ) =dzz(x 2 + y 2 ) , de1.11 Din ultimele două z = c 1 y, iar primele două constituie ecuaţie omogenă şiy 3 + x 2 y = c 2 x 2 .1.12 Amplificăm fiecare raport cu x, y, z respectiv şi prin adunare xdx + ydy +dx zdy + ydzzdz = 0. Apoi=x(y 2 − z 2 ) yz(y 2 − z 2 ) , de unde yz = c 2x.1.13 Amplificăm primele două rapoarte cu x respectiv y adunăm şi obţinemxdx + ydy dz=x 2 − y 2 z(y 2 − x 2 ) de unde x2 + y 2 + ln z 2 = c 1 ; amplificăm primacu yz, a doua cu xz a treia cu xy , adunăm şi egalăm cu a treia fracţie;deducem xyz − z = c 2 .1.14 Amplificăm prima cu x, a doua cu y, a treia cu z şi avem x 2 + y 2 + z 2 = c 1 ;apoi amplificăm prima cu yz, a doua cu xz, a treia cu xy şi egalăm cuultimul raport avem xyz − z = c 2 .1.15 Din dx + dy + dz = 0 rezultă x + y + z = c 1 şi xdx + ydy + zdz = 0rezultă x 2 + y 2 + z 2 = c 2 .1.16 Din ultimele două deducem dyy = dzz , y = c 1z şi= dy2xy , de unde x2 + y 2 + z 2y= c 2 .xdx + ydy + zdzx(x 2 + y 2 + z 2 ) =dz − dx − dy1.17 Din ultimele două 2y−z = c 1 şi− √ = dy, de unde prin substituţiaz − x − yz − x − y = t deducem y + 2 √ z − x − y = c 2 .1.18 Din primele două x = yc 1 . Apoi=xdx + ydy + zdzx 2 + y 2 + z 2 − z √ x 2 + y 2 + z 2 =dzz − √ x 2 + y 2 + z 2 de unde prin substituţia x2 + y 2 + z 2 = t, avemdt2(t − z √ t) = dzz − √ t ; rezultădt−2 √ t(z − √ t) =dzz − √ t şi z + √ t = c 2 .1.19 Din primul şi ultimul arctgx−arctgz = c 1 , iar din primele douăxdx1 + x = dy2 2 − y de unde (1 + x2 )(2 − y) 2 = c 2 .