Kraft och dynamik - Zenit ab Läromedel

Kraft och dynamik 

9 

Vad innebär Newtons lagar? 

Hur kan en krockkudde rädda liv? 

Är det sant att en bil som kör med 

konstant fart inte påverkas av några krafter?

238 Krafter och dynamik 

Mekanikens historia 

Aristoteles och Galilei 

Det kan tyckas rimligt att tro att det finns ett samband mellan ett föremåls 

toppfart och den kraft som föremålet påverkas av – ju större kraft 

i bilmotorn, desto snabbare kan bilen köra. Eller? 

Detta är en missuppfattning som är mycket gammal. Vi sätter klockan 

till 300 år f. Kr och byter ut bilen mot en grekisk häst och vagn på en 

dammig landsväg. 

Greken Aristoteles, som levde då, var den förste som formulerade regler 

för ett föremåls rörelse. Aristoteles menade t.ex. att två hästar kan dra 

en vagn dubbelt så fort som en häst. Vagnens maximala fart skulle alltså 

vara direkt proportionell mot den kraft som verkade på vagnen – en 

vanlig uppfattning under många århundraden. 

Aristoteles skrev många verk om bland annat fysik, kemi, ekonomi och 

filosofi och var en naturvetenskaplig auktoritet under nästan 2 000 år. 

Ända fram till slutet av 1500-talet bestod studier i fysik av att läsa Aristoteles 

verk och sedan försöka förklara det som stod i böckerna. 

På 1500-talet var det inte många vetenskapsmän som ens kunde drömma 

om göra egna experiment för att pröva om det som stod skrivet i Aristoteles 

böcker verkligen stämde. Om böckerna inte stämde överens med 

verkligheten, måste det helt enkelt bero på att man inte förstod det som 

stod skrivet i böckerna på ett korrekt sätt. 

Teckningen i bakgrunden är från mitten av 1500-talet och visar ett 

av problemen att beskriva verkligheten med hjälp av Aristoteles fysik. 

Bilden visar hur en kanonkula avfyras snett uppåt (från höger). Kanonkulan 

fortsätter i en snett uppåtriktad bana så länge som en kraft driver 

den framåt. Vid en viss tidpunkt, ganska långt från kanonen, är plötsligt 

all kraft ”förbrukad” och kulan faller rakt ner mot jorden (till vänster). 

Under 1500- och 1600-talet började många fysiker tycka att det var 

orimligt att acceptera Aristoteles verk – texterna stämde så illa överens 

med vad man kunde se i naturen. Några enstaka fysiker började med 

något för den tiden så revolutionerande som att ställa upp nya teorier 

och utföra egna experiment. 

© Författarna och Zenit AB

Galileo Galilei levde från 1564 till 

1642. 

Isaac Newton levde från 1642 till 1727. 

© Författarna och Zenit AB 

Den mest framstående av experimentalfysikerna vid denna tid var Galilei. 

Han mätte krafter, utförde fallförsök och observerade stjärnhimlen 

med sin nykonstruerade kikare. Galilei blev banbrytande i sitt nya sätt att 

studera fysik. Han gjorde iakttagelser och experiment och använde matematik 

som ett redskap för att kunna beskriva fysikaliska förlopp. Med 

Galilei kunde fysiken träda ut ur Aristoteles skugga efter nästan 2 000 år. 

Newtons mekanik 

Även om många fysiker försökte lösa problemet med hur kraft och hastighet 

hänger samman var det länge en svår nöt att knäcka. 

I slutet av 1600-talet revolutionerade engelskmannen Isaac Newton 

mekaniken genom att formulera tre grundläggande rörelselagar: tröghetslagen, 

kraftlagen samt lagen om verkan och motverkan. Dessa tre 

lagar utgör grunden för hela dynamiken. Vi återkommer till dem senare 

i kapitlet. 

De tre röreslelagarna är bara en liten del av de resultat som beskrivs 

i Newtons kända verk Principia eller som det mera fullständigt heter: 

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Naturvetenskapens matematiska 

principer). 

Principia är ett av de mest betydelsefulla naturvetenskapliga dokument 

som någon människa skapat. Då det gavs ut 1687 väckte det en kolossal 

uppståndelse i Europas vetenskapliga kretsar. Principia skapade förutsättningarna 

att med hjälp av naturvetenskap beskriva vår värld och har 

haft en avgörande betydelse för vår vetenskapliga utveckling. 

Kvantmekanik och relativitetsteori 

I början av 1900-talet insåg fysiker att den newtonska mekaniken inte 

kan beskriva allt i den fysikaliska världen. Eftersom teorin inte kunde 

göra bra förutsägelser på atomnivå, utvecklades en ny teori för detta, 

kvantmekaniken. 

Dessutom visade det sig att den klassiska mekaniken inte kunde beskriva 

kroppars rörelser vid hastigheter nära ljusets. För att förklara detta 

behövs Einsteins relativitetsteori, som vi redan stiftat bekantskap med. 

Nu kan du lösa uppgift 901 på sidan 264 

Krafter och dynamik 239 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

9 

10 

11 

S

F 

F luft 

F tyngd 

En kraft har både storlek och riktning. 

Här verkar tyngdkraften, F tyngd , nedåt och 

luftmotståndet, F luft , som bromsar rörelsen, 

uppåt (observera att pilarnas längd inte är 

proportionella mot värdena i texten). 

Den resulterande kraften är: 

F res = F tyngd – F luft 

som är riktad nedåt. 

Bilen accelererar i samma riktning 

som den resulterande kraften. 

Krafter 

Ett äpple som faller, en bil som ökar sin fart för att kunna köra om och 

en fotboll som sparkas iväg har något gemensamt – alla accelereras och 

alla påverkas av en yttre kraft. 

Ett föremål kan naturligtvis påverkas av flera krafter samtidigt. I exemplen 

ovan påverkas föremålen av tyngdkraft och luftmotstånd. Vi är 

intresserade av summan av alla krafter på föremålet. Denna kraft kallar 

vi för den resulterande kraften, F res, på föremålet. 

När vi ska räkna med krafter, måste vi ta hänsyn till att krafterna har 

både storlek och riktning. I exemplet med det fallande äpplet kommer 

den resulterande kraftens storlek att vara skillnaden mellan den nedåtriktade 

tyngdkraften och den uppåtriktade bromskraften orsakad av 

luftmotståndet, F res = F tyngd - F luft . Om vi t.ex. har att F tyngd = 1,24 N och 

F luft = 0,02 N så är F res = 1,22 N riktad neråt. 

Kraftlagen 

Newton upptäckte att det inte fanns något direkt samband mellan hastighet 

och kraft. Det gör det däremot mellan acceleration och kraft – 

ju större kraft ett föremål påverkas av desto större är dess acceleration. 

Detta samband brukar kallas kraftlagen eller Newtons andra lag: 

Accelerationen är proportionell mot den resulterande kraft som 

verkar på föremålet, och verkar i den resulterande kraftens riktning. 

Newton gav en matematisk beskrivning av sambandet mellan acceleration 

och kraft: 

F res = m · a 

Här är F res den resulterande kraften på föremålet, m föremålets massa 

och a den acceleration föremålet får under kraftpåverkan. Ett föremål 

med stor massa behöver alltså en större kraft för att få samma acceleration 

som ett föremål med liten massa. 

240 Krafter och dynamik © Författarna och Zenit AB

När bilen bromsar känns det som om 

vi slungas framåt. Vad som egentligen 

händer är att medan bilen bromsar fortsätter 

vi framåt med samma hastighet som 

bilen tidigare hade. 


Kraft och acceleration 

Ett föremål som faller fritt påverkas bara av tyngdkraften (om luftmotståndet 

försummas). Tyngdkraften blir alltså den resulterande kraften, 

F res = m · g. 

Med hjälp av kraftlagen har vi att F res = m · a. Det innebär att mg = ma 

och att a = g = 9,82 m/s 2 . 

Tröghetslagen 

Newton visade att ett föremål kan röra sig utan att det påverkas av någon 

kraft. Om bara en kraft sätter föremålet i rörelse, fortsätter det att röra 

sig tills någon annan kraft stoppar det. 

En flicka på skridskor som glider fram på isen kommer nära en sådan 

beskrivning. För att komma igång måste hon påverkas av någon kraft – 

hon kan bli ivägknuffad eller själv sätta fart. Sedan kan hon glida fram 

över isen utan att hon påverkas av någon resulterande kraft. Om det inte 

fanns något luftmotstånd eller friktion mot isen skulle hon fortsätta att 

röra sig så länge hon inte bromsar själv eller bromsas av något. Flickan 

på skridskor är ett exempel på tröghetslagen eller Newtons första lag: 

Ett föremål som inte påverkas av någon resulterande kraft förblir i 

vila eller fortsätter att röra sig med konstant fart längs en rät linje. 

Vi kan visa att detta stämmer genom att utnyttja kraftlagen. Om den 

resulterande kraften på ett föremål är 0 N så får vi att: 

0 = m· a 

Eftersom detta ger a = 0 får föremålet accelerationen 0 m/s 2 . Det innebär 

att om föremålet redan rör sig, fortsätter det att röra sig med samma 

hastighet. Om föremålet är i vila (ligger stilla), förblir det i vila. 


1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

9 

10 

11 

S

Bollen påverkas av en kraft åt vänster 

och väggen av en kraft åt höger. Dessa 

båda krafter är lika stora och motriktade. 

Experiment Kraftlagen 

En vagn placeras på en luftkuddebana. I vagnen fästs 

ett snöre som via ett hjul leder till ett antal tyngder som 

kan accelerera vagnen. Häng t.ex. en 10-gramsvikt i 

snöret och placera två 20-gramsvikter på vagnen. 

Släpp sedan vagnen, mät hastigheten och beräkna 

accelerationen. Placera sedan en 20-gramsvikt i snöret 

och 30 g på vagnen och upprepa. 

Lagen om aktion och reaktion 

Lagen om aktion och reaktion beskriver vad som händer då två föremål 

påverkar varandra med krafter. 

Om du t.ex. trycker din handflata mot en kamrats handflata påverkar 

du henne med en kraft som är riktad bort från dig. Samtidigt påverkar 

din kamrat dig med en lika stor och motriktad kraft. Observera att den 

första kraften påverkar din kamrat, den andra dig. Detta är ett exempel 

på lagen om aktion och reaktion eller Newtons tredje lag: 

Två föremål påverkar varandra med krafter 

som är lika stora och motsatt riktade. 

Bilden visar ett annat exempel på Newtons tredje lag. Om en boll kastas 

mot en vägg påverkar bollen väggen med en viss kraft, och väggen 

påverkar bollen med en lika stor motriktad kraft. Verkan av kraften på 

bollen blir att den vänder tillbaka. 

Rita hur accelerationen beror av den accelererande 

kraften. 

Att fundera över: Varför är det viktigt att flytta tyngder 

mellan snöre och vagn? 

Därefter kan försöket upprepas med konstant dragkraft 

men varierande massa på vagnen. Hur beror accelerationen 

på massan? 


Experiment Lagen om aktion och reaktion 

Du behöver en våg, en liten bägare, en tyngd och en 

dynamometer. Fyll bägaren till drygt hälften med vatten 

och placera den på vågen. Fäst vikten i dynamometern 

och sänk ner vikten i vattnet. 

Studera vad som händer med vågens och med dynamometerns 

utslag då du sänker ned vikten. Förklara 

först det du ser och gör sedan mätningar för att kontrollera 

att din förklaring stämmer. 

EXEMPEL 1 

En kula, vars massa är 150 g, rullar 

nerför ett lutande plan. Kulans acceleration 

bestäms till 2,4 m/s 2 . Hur stor är 

den resulterande kraften på kulan? 

EXEMPEL 2 

Lisa står i en hiss som accelererar uppåt 

med 1,2 m/s2 . Lisa väger 52 kg. 

a) Hur stor är den accelererande kraften 

på Lisa? 

b) Hur stor är den uppåtriktade kraften 

på Lisa? 

c) Med hur stor kraft pressar Lisa mot 

golvet när hissen accelererar och när 

den går med konstant fart? 

Experiment 

Fundera över hur du ska kunna 

mäta accelerationen hos en hiss 

med hjälp av en badrumsvåg. 

Genomför experimentet! 


Kulans massa är m = 150 g = 0,150 kg. Kraftlagen ger: 

F = m · a = (0,150 · 2,4) N = 0,36 N 

Svar: Den resulterande kraften utmed planet är 0,36 N. 

a) Enligt kraftlagen är den accelererande kraften på Lisa: 

F res = m · a = 52 · 1,2 N = 62,4 N 

b) Eftersom Lisa påverkas av sin tyngd neråt, så gäller att: 

F res = F upp - F g (där F g = m · g) 

Det innebär att: 

F upp = F g + F res = (52 · 9,82 + 62,4)N ≈ (510,6 + 62, 4)N ≈ 573N 

c) Den kraft Lisa påverkar golvet med är lika stor som den kraft 

golvet påverkar Lisa med och motriktad. När hissen accelererar 

påverkar alltså Lisa golvet med en nedåtriktad kraft på 570 N. 

Då hissen går med konstant fart påverkar Lisa golvet med en 

nedåtriktad kraft som är lika stor som hennes tyngd, dvs. ca 

510 N, och golvet påverkar Lisa uppåt med en lika stor kraft. 

Svar: a) Den accelererande kraften är 62 N. b) Den uppåtriktade 

kraften är 570 N. c) Hissen påverkas av en neråtriktad kraft, som 

vid acceleration är 570 N och vid konstant fart 510 N. 

Nu kan du lösa uppgifterna 902-906 på sidan 264 


1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

9 

10 

11 

S

Krocktest. 

Impulslagen 

För att ett föremål ska kunna ändra sin hastighet krävs att det påverkas 

av en resulterande kraft. Ju längre denna kraft får verka, desto större blir 

hastighetsändringen. 

Om en bil kör in i en vägg, så som krocktestet på bilden visar, är det en 

fördel om kraften får verka under längre tid. Ju längre tid hastighetsförändringen 

tar, desto mindre blir kraften som påverkar personerna 

i bilen. Moderna bilar är därför försedda med deformationszoner som 

gör att krocktiden förlängs. Utöver detta är moderna bilar utrustade 

med krockkuddar som fördelar kraften och på så sätt ytterligare förlänger 

den tid som kraften verkar. 

Impuls 

När ett föremål påverkas med en resulterande kraft accelereras det. 

Sambandet mellan kraft och acceleration ges av kraftlagen, F = m · a . 

Om accelerationen skrivs som a = Dv/Dt kan kraftlagen tecknas: 

F m v 

= ⋅ 

t 

∆ 

∆ 

F · Dt = m · Dv 

Sambandet F · Dt = m · Dv brukar kallas impulslagen. 



Produkten av kraften, F, och den tid kraften verkar, Dt, kallas impuls, I, 

och har enheten Ns: 

I = F · Dt 

Rörelsemängd 

Produkten av massa, m, och fart, v, kallas rörelsemängd, p, och har enheten 

kgm/s: 

p = m · v 

Impulslagen kan alltså skrivas som: 

F · Dt = m · Dv 

I = Dp 

eller formuleras i ord: 

Impulsen är lika stor som förändringen av rörelsemängd. 

Exempel på impuls 

En trapetskonstnär på cirkus har oftast ett säkerhetsnät under sig för att 

kunna överleva ett eventuellt fall. Om trapetskonstnären misslyckas är 

rörelsemängdsändringen densamma, p = m · Dv, oavsett om det finns 

ett säkerhetsnät eller inte. Av impulslagen ser du att: 

F · Dt = m · Dv 

Skillnaden mellan de båda fallen är att utan säkerhetsnät verkar en stor 

( dödande ) kraft under en kort tid. Med säkerhetsnät är Dt stort – kraften 

verkar under lång tid och är ofarlig för trapetskonstnären. 

För att tydliggöra skillnaderna kan du tänka dig en bil som bromsas till 

stillastående genom att köra in i en bergvägg eller i en höstack. I båda 

fallen är rörelsemängdsändringen lika stor, men om inbromsningstiden 

är hundra gånger längre för bilen som kör in i höstacken, är kraften 

endast en hundradel ( eftersom impulsen är konstant ). 

I många fall kan impulslagen användas istället för kraftlagen. Detta är 

speciellt lämpligt då hastigheter är kända eller ska beräknas. 


1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

9 

10 

11 

S

Kraften som funktion av tiden. 

Hastigheten som funktion av tiden. 

Kollision med en vagn 

Vi ska nu visa ett experiment med vars hjälp impulslagen kan verifieras. 

I försöket rör sig en liten vagn mot och kolliderar med en kraftgivare. 

Efter kollisionen vänder vagnen och rullar tillbaks i motsatt riktning. 

Genom att låta vagnen kollidera med en kraftgivare kan den variation i 

kraft som påverkar vagnen vid kollisionen registreras och impulsen kan 

beräknas. Om vagnen dessutom förses med en reflektor kan vagnens 

rörelse studeras med hjälp av en ultraljudsdetektor. På så sätt kan rörelsemängden 

beräknas. 

Bilderna visar dels kraften, dels hastigheten som funktion av tiden. 

Kraften växer upp mot ett maxvärde för att sedan avta ned till noll när 

vagnen släpper kontakten med givaren. Hastigheten ändras direkt efter 

kollisionsögonblicket eftersom vagnen ändrar rörelseriktning. 

Tidsskalan är väsentligt olika i de båda bilderna. Hela kraftkurvan utspelas 

under den korta tid då hastigheten ändrar riktning. 

Rörelsemängdsändring 

Genom att placera markören på lämpliga ställen i v( t )-grafen kan vagnens 

hastighetsförändring vid kollisionen bestämmas. Av de båda bilderna 

framgår att hastighetsförändringen är: 

Dv = ( -0,323 – 0,464 ) m/s = -0,787 m/s 

Vagnens massa är 1135 g. Rörelsemängdsändringen blir alltså : 

m · Dv = -1,135 · 0,787 kgm/s -0,893 kgm/s 

Det negativa tecknet ska tolkas så att hastighetsändringen och rörelsemängdsändringen 

är motsatta positiv rörelseriktning, dvs. motsatt vagnens 

ursprungliga rörelseriktning. 

Hastigheten vid t = 1,997 s är 0,464 m/s. 

Hastigheten vid t = 2,196 s är -0,323 m/s. 


kraft 

F 1 

Dt 

F 5 

Dt 

EXEMPEL 3 

En bil, som väger 950 kg, påverkas 

under 5,0 s av en accelererande kraft 

som är 1,1 kN. 

a) Hur stor blir impulsen på bilen? 

b) Hur stor rörelsemängdsändring får 

bilen? 

c) Hur stor blir bilens fartändring? 


tid 

tid 

Impulsen fås genom att summera mätvärden 

och multiplicera med tidsintervallet 

mellan mätpunkterna (se översta bilden på 

föregående sida). 

Impuls 

Om kraften varit konstant, skulle vagnens impuls kunna beräknas som 

arean av rektangeln under kraftkurvan. 

I detta fall varierar kraften med tiden. Du kan därför betrakta kraftkurvan 

som sammansatt av smala rektanglar, vars bas är tidsintervallet 

mellan mätpunkterna ( 0,0025 s ). Om du antar att kraften som registrerats 

av kraftgivaren är konstant under ett sådant intervall, kan impulsen 

bestämmas som: 

F1 · Dt + F2 · Dt + F3 · Dt +...+ Fn · Dt = Dt · ( F1 + F2 + F3 +...+ Fn ) 

Genom att summera mätvärdena som registrerats av kraftgivaren och 

sedan multiplicera värdet med 0,0025 s får du värdet 0,898 Ns på impulsen 

på kraftgivaren. 

Enligt Newtons tredje lag är impulsen på vagnen motriktad ( -0,898 Ns ), 

vilket stämmer bra överens med den registrerade rörelsemängdsändringen 

( se föregående sida ). 

Om ni gjort experimentet kan det vara intressant att göra om det, fast 

med en liten skumgummibit fasttejpad i fronten på vagnen. Försök få 

vagnen att träffa med samma hastighet och jämför sedan kurvorna. Vad 

är detta exempel på? 

a ) Impulsen är: 

I = F · Dt = 1,1 · 103 · 5,0 Ns = 5,5 · 103 Ns 

b ) Rörelsemängdsändringen är 5,5 · 103 kgm/s, lika stor som 

impulsen. 

c ) Eftersom du vet rörelsemängdsändringen och massan, kan fartändringen 

beräknas: 

5510 , ⋅ 

Dv 

= 

950 

Svar : a ) Impulsen är 5,5 · 10 3 Ns. 

3 

m/s 5,79 m/s 20,8 km/h 

b ) Rörelsemängdsändringen är 5,5 · 10 3 kgm/s. 

c ) Fartändringen är 21 km/h. 

Nu kan du lösa uppgifterna 907 – 909 på sidan 265 


1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

9 

10 

11 

S

Stöt 

Många händelser kan beskrivas som en kollision mellan två eller flera 

föremål. Exempel på kollisioner är t. ex. en krock mellan två biljardkulor, 

mellan en atomkärna och en alfapartikel, mellan jorden och en meteorit 

eller mellan två bilar i trafiken. 

En kollision ( eller en stöt ) innebär inom fysiken en händelse då två 

eller flera föremål kortvarigt växelverkar med varandra. Det kan vara 

mycket komplicerat att beskriva de krafter som verkar i själva kollisionsögonblicket. 

Lyckligtvis kan man ändå förutsäga vad som kommer att 

inträffa efter en stöt om man bara har tillräckligt med information om 

de inblandade föremålens rörelser före stöten. 

Rörelsemängd är ett centralt begrepp vid diskussion av stötförlopp 

eftersom rörelsemängden bevaras vid stöten. Det innebär att den sammanlagda 

rörelsemängden hos föremålen före stöten är lika stor som 

efter stöten. 


ex 4 

s 23 

ex 3 

s 24ö 

s 24n 


Rak central stöt 

v 1f v 2f F 1 F 2 

Du kommer i fortsättningen att i huvudsak studera raka centrala stötar. 

Föremålen rör sig då hela tiden längs samma riktningslinje. 

m 1 m 2 m 1 m 2 m 1 m 2 

Föremålens rörelse före stöten. Kraftverkan på föremålen under stöten. Föremålens rörelse efter stöten. 

Bilderna ovan visar vad som händer vid kollisionen. Under kollisionen 

verkar kraften F 1 på det vänstra föremålet och F 2 på det högra. Krafterna 

är, i enlighet med Newtons tredje lag, lika stora och motriktade 

och verkar under lika lång tid, Dt. 

Om du tillämpar impulslagen på det vänstra föremålet får du att: 

F1 · Dt = m1 · v1e – m1 · v1f och på motsvarande sätt för det högra föremålet: 

F2 · Dt = m2 · v2e – m2 · v2f Eftersom de båda krafterna är motriktade är F1 = –F2 . Om du summerar 

krafterna blir alltså: 

F 1 · Dt + F 2 · Dt = 0 = m 1 · v 1e – m 1 · v 1f + m 2 · v 2e – m 2 · v 2f 

Detta kan du skriva som : 

m1 · v1f + m2 · v2f = m1 · v1e + m2 · v2e I vänstra ledet står summan av rörelsemängderna före stöten och i högra 

ledet summan av rörelsemängderna efter stöten. Rörelsemängderna är 

alltså lika stora före och efter stöten. Detta gäller för alla stötar: 

v 1e 

Rörelsemängden bevaras vid en stöt. 

v 2e 


1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

9 

10 

11 

S

s 23 

ex 3 

s 24ö 

s 23 

s 24n 

s 24ö 

s 24n 

Före stöten: 

v 1f 

m 1 

Efter stöten: 

v 1e 

m 1 

0 m/s 

m 2 

v 2e 

m 2 

Stöt vid special fallet v 2f = 0. 

Är stöten fullkomligt elastisk gäller att 

v 2e - v 1e = v 1f - 0, den relativa hastigheten 

bevaras. Vad händer med v 1e och v 2e om 

m 1 = m 2 ? 

Experiment Rörelsemängd 

Låt två personer som sitter på varsin lättrullad kontorsstol 

”ta spjärn” mot varandra med kraftigt böjda armar 

och skjuta isär stolarna. Kan sträckorna utnyttjas för att 

visa att rörelsemängderna hos de båda ”stolarna” är lika 

och motriktade? 

Det är viktigt att du tänker på att rörelsemängden har riktning. Om föremålen 

rör sig åt olika håll, kommer alltså en rörelsemängd att betraktas 

som positiv och en annan som negativ. 

I allmänhet bevaras inte rörelseenergin vid en stöt. Vid de flesta kollisioner 

uträttas ett deformationsarbete och en del av rörelseenergin 

omvandlas till värme. Den totala rörelseenergin minskar därför oftast 

vid en stöt. 

I den mikroskopiska världen ( vid kollisioner mellan partiklar ) förekommer 

stötar där rörelseenergin bevaras. Sådana stötar kallas fullkomligt 

elastiska. Ibland approximerar man och säger att en stöt, t. ex. mellan två 

vagnar med fjädrar eller repellerande magneter, är så gott som elastisk. 

Vid en elastisk stöt bevaras den relativa hastigheten. Det innebär att: 

v1f – v2f = v2e – v1e Observera att detta enbart gäller då stöten är fullkomligt elastisk. 

Rörelseenergin och den relativa hastigheten 

bevaras vid en fullständigt elastisk stöt. 

Vid vissa stötar häftar föremålen ihop vid kollisionen. En stöt där detta 

sker kallas fullkomligt oelastisk. 

Sammanfattningsvis kan sägas att oavsett om stöten är fullkomligt elastisk 

eller fullkomligt oelastisk eller något mellanliggande så bevaras 

alltid rörelsemängden. Endast om stöten är fullkomligt elastisk bevaras 

rörelseenergin och därmed också den relativa hastigheten. 

Låt gärna personer med olika massor upprepa försöket 

och mät upp de sträckor som stolarna rullar. 

Förklara experimentet med hjälp av impulslagen och 

energiresonemang. 


ex 4 

s 23 

ex 4 

ex 4 

s 23 

ex 3 

s 24ö 

s 24n 

ex 3 

ex 3 

EXEMPEL 4 

Två vagnar rör sig mot varandra och 

kolliderar i en frontalkollision. Vid kollisionen 

fastnar vagnarna i varandra. 

a) Hur stor fart får vagnarna efter 

stöten? 

b) Hur förändras den totala rörelseenergin 

hos vagnarna? 


1,5 m/s -1,3 m/s 

0,250 kg 0,180 kg 


EXEMPEL 5 

En kollision mellan två vagnar med 

fjädrande stötfångare på en luftkuddebana 

är så gott som elastisk. 

Före kollisionen rör sig vagn A med 

massan 350 g och farten 2,5 m/s in mot 

vagn B med massan 270 g som står 

stilla. 

Vilka farter får vagnarna efter stöten? 


2,5 m/s 



v 

(0,250 + 0,180) kg 

0 m/s 

0,350 kg 0,270 kg 

v 1e 

v 2e 

0,350 kg 0,270 kg 

a ) Rörelsemängden bevaras : 

( 0,250 · 1,5 – 0,180 · 1,3 ) kgm/s = 0,430 kg · v 

v 0,33 m/s 

b ) Den totala rörelseenergin före kollisionen är : 

1 

2 1 

2 

⋅0, 250⋅ 15 , + ⋅01013 , ⋅ , J≈0, 433 J 

2 2 

Efter kollisionen är den totala rörelseenergin: 

1 

2 

⋅0, 430⋅033 , J≈0, 023 J 

2 

Den totala rörelseenergin minskar från 0,433 J till 0,023 J, dvs. 

med ca 95 %. 

Svar : a ) Vagnarna får farten 0,33 m/s åt den tyngre vagnens håll. 

b ) Rörelseenergin minskar med ca 95 %, från 0,43 J till 0,02 J. 

Alla enheter anges i kg resp. m/s. Vagn A har hastigheten u efter 

stöten och vagn B har hastigheten v efter stöten. 

Rörelsemängden bevaras : 

0,350 · 2,5 = 0,350 · v1e + 0,270 · v2e Eftersom det är en elastisk stöt bevaras den relativa hastigheten : 

2,5 = v2e – v1e v2e = v1e + 2,5 

Sätt in v i den första ekvationen : 

0,350 · 2,5 = 0,350 · v1e + 0,270 · ( v1e + 2,5 ) 

0,875 = 0,350 · v1e + 0,270 · v1e + 0,675 

0,200 = 0,620 · v1e v1e 0,32 

v2e 2,82 

Svar : Efter stöten har vagn A farten 0,3 m/s och vagn B 2,8 m/s. 

Nu kan du lösa uppgifterna 910 – 913 på sidan 265 


1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

9 

10 

11 

S

F 

F N 

F friktion 

Så länge som den kraft man puttar 

med understiger den fullt utvecklade friktionskraften 

är kraft och friktionskraft lika 

stora. Den resulterande kraften på bilen är 

noll – bilen rör sig inte. 

F 

F friktion 

När den kraft man puttar med överstiger 

den fullt utbildade friktionskraften 

är den resulterande kraften riktad framåt 

– bilen accelererar. 

F tyngd 

Friktion 

Ett föremål som rör sig längs ett underlag påverkas alltid av ett visst 

motstånd. Denna motståndskraft orsakas av ojämnheter i ytan hos 

föremålet. När ytorna är i kontakt, griper ojämnheterna tag i varandra. 

Denna motståndskraft kallas friktionskraft. 

Friktionskraftens storlek beror av strukturen hos de båda ytor, som är i 

kontakt med varandra. Däremot beror den inte nämnvärt på hur snabbt 

föremålet förflyttas längs ytan. Om ett föremål ligger stilla och man 

utsätter det för en kraft parallell med underlaget kommer föremålet att 

börja röra sig först då kraften man drar med blir tillräckligt stor. 

Tänk dig att du ska försöka putta igång en bil som fått motorstopp. 

Innan du börjar putta är friktionskraften = 0 N. När du börjar putta och 

successivt ökar kraften, ökar även friktionskraften – friktionskraften är 

hela tiden lika stor som dragkraften och bilen rör sig inte ur fläcken. 

Men när du tar i på allvar kan inte friktionskraften längre motverka den 

kraft du puttar med. Man säger att friktionskraften är fullt utvecklad 

– den kan inte bli större. Eftersom kraften du puttar med är större än 

friktionskraften börjar bilen röra sig. I och med att bilen rör sig kan du 

fortsätta att putta med en kraft som är lika stor som friktionskraften. 

Bilen fortsätter då att röra sig med konstant fart. Vad händer om du 

puttar med en större eller mindre kraft? 

Låt oss studera en situation där ett föremål ligger 

på ett horisontellt bord. 

Tyngden, F tyngd , påverkar föremålet med en nedåtriktad 

kraft. Från bordet verkar en uppåtriktad 

kraft som är lika stor och motsatt riktad. Denna 

kraft kallas normalkraften, F N . Normalkraften är 

alltid vinkelrätt mot underlaget, även om underlaget 

inte är horisontellt. 

Man kan visa att den fullt utvecklade friktionskraften 

är proportionell mot normalkraften. 

Detta gäller även då underlaget lutar. Vi kan formulera 

detta som: 

F friktion = μ · F N 


Exempel på ytor μ 

Stål mot is 0,02 

Skida mot snö 0,03-0,06 

Trä mot trä 0,2-0,7 

Glas mot glas 0,4 

Bildäck mot isbelagd asfalt 0,02 

Bildäck mot våt asfalt 0,5 

Bildäck mot torr asfalt 0,7 

Gummi mot betong 1,0-1,5 

EXEMPEL 6 

En trälåda med äpplen står på ett trägolv. 

Lådan med äpplen väger 20,0 kg. 

Friktionstalet mellan de båda ytorna är 

0,65. 

Tänk dig att du drar i lådan med en 

kraft som är parallell med golvet. Hur 

stor är friktionskraften mellan lådan 

och golvet om du drar i lådan med 

kraften 

a) 85 N b) 140 N 

EXEMPEL 7 

Lådan i föregående exempel kommer ut 

på ett golv där det räcker med kraften 

85 N för att flytta den med konstant fart 

längs golvet. 

Hur stort är friktionstalet mellan ytorna 

nu? 


Konstanten μ kallas friktionstalet. Friktionstalets storlek beror på de 

båda kontaktytornas struktur. Ju skrovligare de är, desto större. Friktionstalet 

är dimensionslöst, det saknar alltså enhet. Om du löser ut 

konstanten μ ur sambandet: 

m = F 

F 

friktion 

ser du att m saknar enhet. 

N 

I tabellen ser du några olika exempel på friktionstal. Eftersom en bils 

bromskraft beror på friktionstalet, ser du tydligt hur bromskraften 

snabbt kan förändras när det regnar och fryser. 

Normalkraften på lådan är lika stor som lådans tyngd: 

FN = m · g = 20 · 9,82 N = 196 N 

Den fullt utvecklade friktionskraften är alltså: 

F f = μ · F N = 0,65 · 196 N = 127,4 N ≈ 130 N 

a) Om jag drar i lådan med kraften 85 N, är friktionskraften lika 

stor och motriktad, 85 N. Lådan befinner sig alltså fortfarande 

i vila. 

b) Om jag drar i lådan med kraften 140 N, överstiger dragkraften 

den fullt utvecklade, vilken är 130 N. Lådan kommer alltså att 

röra sig med den accelererande kraften 10 N. 

Svar: a) Friktionskraften är 85 N. b) Friktionskraften är 130 N. 

Eftersom lådan flyttas med konstant fart om dragkraften är 85 N, 

är friktionskraften lika stor som dragkraften, dvs. 85 N. 

Vi kan beräkna friktionstalet μ ur sambandet Ff = μ · FN: Ff 

85 N 

μ = = ≈ 043 , 

F 196 N 

N 

Svar: Friktionstalet är 0,43. 



1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

9 

10 

11 

S

A B C 

F fjäder = 0 

EXEMPEL 8 

F fjäder 

En vikt med massan m hänger i en 

fjäder med fjäderkonstanten k. Fjädern 

förlängs då sträckan x. 

a) Hur stor är den resulterande kraften? 

b) För en fjäder blir förlängningen 

12 cm då fjädern belastas med en vikt 

med massan 250 g. Hur stor är fjäderkonstanten? 

x 

F fjäder 

x 

jämviktsläge 

Hookes lag 


Om vi vill förlänga eller pressa samman en 

fjäder måste vi påverka den med en kraft. 

Om vi försöker pressa samman en fjäder 

känner vi att fjädern ”pressar” tillbaka, 

vilket är helt i överensstämmelse med Newtons 

tredje lag. Om vi å andra sidan drar ut 

en fjäder upptäcker vi att fjädern drar tillbaka. 

Denna kraft kallas fjäderkraften. 

Man kan visa att fjäderkraften är proportionell 

mot fjäderns förlängning eller hoptryckning 

från jämviktsläget. Sambandet 

kallas Hookes lag och skrivs: 

F fjäder = k · x 

a) Då vikten är i jämvikt är den uppåtriktade 

kraften lika stor som den nedåtriktade 

kraften, dvs. k · x = m · g. 

Den resulterande kraften är alltså 0 N. 

b) Enligt texten är x = 12 cm = 0,12 m och 

m = 250 g = 0,250 kg. 

Ekvationen ovan ger då att: 

k mg 

= 

x 

⋅ = 

Här motsvarar x förlängningen och k kallas 

fjäderkonstanten. 

0, 250⋅982 , N 

≈ 20, 5 N/m 

0, 120 m 

Svar: a) Den resulterande kraften är 0 N. 

b) Fjäderkonstanten är 20 N/m. 

F fjäder = k·x 

F tyngd = m· g 


m1 m2 

F F 


r 

Krafter på avstånd 

Vi har nu i huvudsak studerat kraftverkan mellan föremål som är i 

kontakt med varandra. Kraftverkan kan också ske på avstånd, dvs. utan 

att föremålen är i kontakt med varandra. Exempel på detta är gravitationslagen 

och Coulombs lag. Det finns flera krafter som påverkar på 

avstånd. I Orbit 2 återkommer vi till dessa. 

Gravitationslagen 

Jorden påverkar dig med en kraft oavsett om du står på marken eller 

hoppar upp i luften. Och på samma sätt som jorden och månen påverkar 

varandra med lika stora, motsatt riktade krafter, så påverkar du 

jorden med en lika stor kraft som den påverkar dig. 

Enligt Newtons gravitationslag beror attraktionskraften av de ingående 

kropparnas massor och avståndet mellan dem: 

m ⋅m 

F = G⋅ 2 r 

1 2 

Här står m 1 och m 2 för de båda kropparnas massor och r för avståndet 

mellan deras centra. Proportionalitetskonstanten G ≈ 6,67·10 -11 Nm 2 /kg 2 . 

När Newton 1687 publicerade sina rön som gav gravitationslagen fanns 

det inga möjligheter att bestämma gravitationskonstanten. Det dröjde 

över 100 år innan den engelske fysikern och kemisten Henry Cavendish 

kunde bestämma G med hjälp av en torsionsvåg 

En torsionsvåg består av en arm med blykulor i ändarna som är upphängd 

i en tunn tråd. Om två andra blykulor närmas de som ligger i 

ändan på armen kommer de att attrahera varandra och armen kommer 

att svänga någon bråkdels grad mot blykulorna. 

När Cavendish bestänt gravitationskonstanten fick man en möjlighet 

att beräkna jordens massa och densitet och man förvånades då av att 

densiteten hos jorden var mycket större än jorddkorpans densitet. Detta 

ledde till att man fick revidera de teorier som fanns om hur jordens inre 

var uppbyggt. 


1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

9 

10 

11 

S

Q q 

F F 

EXEMPEL 9 

r 

Utnyttja din egen tyngd och tabellvädet 

för jordens diameter för att bestämma 

jordens massa. 

Coulombs lag 

Som du tidigare sett i kapitel 5, påverkar två laddade partiklar varandra. 

Har laddningarna samma tecken repellerar partiklarna varandra, annars 

attraherar de varandra. Enligt Coulombs lag beror attraktionskraften av 

de ingående partiklarnas laddningar och avståndet mellan: 

Q⋅q F = k⋅ 2 r 

Här betecknar F kraften, som verkar på var och en av laddingarna, Q och 

q laddningarna hos respektive punktladdning och r avståndet mellan 

deras centra. Konstanten k har värdet k = 8,99 · 10 9 Nm 2 /C 2 . 

Min egen massa betecknas m. Jordens massa betecknas M. 

Vid jordytan är min tyngd Ftyngd = m · g där g = 9,8 m/s2 som orskas 

av jordens attraktionskraft: 

m⋅M Fattr = G⋅ 2 R 

där R är jordens radie. 

Jordens diameter vid ekvatorn är 12 757 km. Radien är alltså 

R ≈ 6,28 · 106 m. 

Eftersom jag befinner mig vid jordens yta är radien detsamma 

som avståndet till jordens centrum. Men jordens attraktionskraft 

är min tyngd. Alltså är: 

m⋅M m⋅ g = G ⋅ 

2 R 

Dividera bägge sidor med m: 

g G M 

= ⋅ 

2 R 

Lös ut M: 

g R 

M = 

G 

⋅ 982 , ⋅( 6, 38⋅10 ) 

≈ 

−11 

66710 , ⋅ 

2 6 2 

Svar: Jordens massa är ca 6,0 · 10 24 kg. 

kg ≈ 5,99⋅1024 kg 



Var ligger höjdhopparens tyngdpunkt? 

F friktion 


F luft 

F driv 

På bilen verkar den accelererande 

kraften F acc i framåtrikningen : 

F acc = F driv – F friktion – F luft 

3 N 

Kraftresultant 

Om flera krafter verkar på ett föremål, kan vi alltid slå samman dem 

till en enda tänkt kraft, resultanten. De krafter som adderas kallas komposanter. 

Resultanten har samma verkan på föremålet som alla krafter 

som verkar på föremålet har tillsammans. Genom att bestämma resultanten 

förenklar vi beräkningarna, eftersom vi inte behöver ta hänsyn 

till många olika krafter, utan endast en. 

Tyngdkraften påverkar alla föremål på jorden. Men tyngdkraften på ett 

föremål med utsträckning är egentligen inte en enda kraft. Det är många 

små krafter som påverkar kroppens beståndsdelar. Vi bör rentav se 

tyngdkraften som resultanten till alla de krafter som påverkar föremålet. 

Tyngdkraftens angreppspunkt kallar vi för föremålets tyngdpunkt. 

Vi har redan i tidigare avsnitt sett hur man kan bestämma resultanten 

till krafter som verkar längs samma riktningslinje. I exemplet med det 

fallande äpplet verkar fruktens tyngd, F tyngd , nedåt och luftmotståndet, 

F luft , bromsar rörelsen. 

Ett annat exempel är när vi skjuter en kundvagn framför oss i snabbköpet. 

Vi påverkar vagnen framåt med en viss kraft, och vagnen bromsas 

av en friktionskraft. Om dessa båda krafter är lika stora, rullar kundvagnen 

med konstant fart – resultanten till de bägge krafterna är 0 N. 

En bil som accelererar vid omkörning påverkas av en resulterande kraft 

i bilens riktning. Motorns drivande kraft verkar genom friktion mellan 

hjulen och vägen framåt. Den bakåtriktade, bromsande kraften orsakas 

av luftmotstånd och friktion. Kraftresultanten är alltså större än 0 N och 

framåtriktad – bilen accelererar alltså. 

Om krafterna inte verkar längs samma riktningslinje blir det lite svårare 

att bestämma resultanten. Krafterna adderas, men nu måste du även ta 

hänsyn till krafternas riktning. Detta inser du om du tänker dig att du 

vill addera två krafter vars storlek är t.ex. 3 N och 5 N. Beroende på hur 

krafterna är riktade, får resultanten olika storlek och riktning. I de två 

bilderna nedan kan du enkelt ta reda på resultanten, men om krafterna 

bildar en annan vinkel måste du använda vektoraddition (se nästa sida). 

3 N 5 N 3 N 

5 N 


1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

9 

10 

11 

S

3 N 

flodpråm 

5 N 

F1 

F 2 

häst 1 

häst 2 

Vektoraddition 

När du ska addera två vektorer, konstruerar du ett parallellogram med 

de båda vektorerna som sidor. Storleken av resultanten får du genom att 

rita en skalenlig figur och mäta diagonalen som utgår från den gemensamma 

angreppspunkten. Om krafterna bildar rät vinkel med varandra, 

kan du beräkna resultanten storlek med hjälp av Pytagoras sats. 

För att kunna räkna ut resultantens storlek i den högra bilden, måste du 

känna till krafternas storlek och vinkeln mellan dem. Den matematik du 

behöver för att klara av en sådan beräkning ingår i senare matematikkurser. 

Om krafterna verkar på olika punkter av ett föremål, förflyttar du dem 

till en tänkt, gemensam angreppspunkt. Om du tänker dig att du drar i 

ett föremål med hjälp av ett rep inser du att detta är tillåtet – det spelar 

ju ingen roll om du fattar tag i repet närmare punkten där repet är fästat 

eller längre bort, så länge du drar lika mycket och i samma riktning som 

tidigare. 

Bilden visar två krafter, F 1 och F 2, som verkar på olika punkter på ett 

föremål. Genom att förflytta krafterna får du en gemensam angreppspunkt. 

F1 

F 2 

258 Krafter och dynamik © Författarna och Zenit AB 

3 N 

F1 

F2 

F 1 + F 2 

5 N 

flodhäst

EXEMPEL 10 

Tre krafter verkar på kulan i bilden. Hur 

stor är krafternas resultant? 

EXEMPEL 11 


5 N 3 N 4 N 

Två krafter verkar på ett föremål. Den 

ena kraften har storleken 4,8 N och den 

andra 3,4 N. Hur stor är resultanten till 

krafterna: 

a) om vinkeln är rät? 

b) om vinkeln är trubbig (se figur)? 

Resultanten till de båda krafterna som är riktade åt höger är 

3 N + 4 N = 7 N. 

Den totala resultanten är då 7 N – 5 N = 2 N. Resultanten är 

riktad åt höger. 

2 N 

Svar: Resultanten är 2 N riktad åt höger. 

a) Riktningen av den resulterande kraften framgår av bilden. 

Resultantens storlek bestäms med Pytagoras sats: 

2 2 

R = 48 , + 34 , 

N ≈ 5,9 N 

res 

b) De båda krafterna ritas i skala. Om du låter 1 N motsvara 1 cm 

blir det enkelt att avläsa kraften. Om du konstruerar ett parallellogram 

kan du mäta resultanten till 2,15 cm, vilket motsvarar 

4,3 N. 

Svar: Figurerna ovan visar resultanternas riktningar. Kraftens storlek 

är 5,9 N resp. 4,3 N. 



1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

9 

10 

11 

S

20° 

(a) Lutningsvinkeln 20°. 

30° 

(b) Lutningsvinkeln 30°. 

40° 

F res 

F N 

F res 

F N 

F res 

mg 

F N 

mg 

mg 

(c) Lutningsvinkeln 40°. 

hp 

hp 

hp 

Lutande planet 

Bild (a) visar ett föremål som befinner sig på ett lutande plan. Om du 

bortser från friktionskrafter, påverkas föremålet av två krafter: tyngdkraften 

(mg) och normalkraften (F N ) från underlaget. 

Tyngdkraften är alltid riktad mot jordens centrum och därför riktad 

vinkelrätt mot horisontalplanet (som kallats hp i bilden). Normalkraften 

är alltid vinkelrät mot underlaget. Båda krafterna har för enkelhets 

skull ritats med samma startpunkt i föremålets tyngdpunkt. 

De båda krafterna, mg och F N , kan adderas till en resulterande kraft, F res , 

som är riktad utmed planet. Lägg märke till att F res inte är en ytterligare 

kraft som påverkar föremålet, utan en kraft som ersätter de båda andra. 

Parallellogramkonstruktionen av resultanten finns inritad i figuren med 

hjälp av de streckade linjerna. 

Föremålet i bilden kommer att accelereras nedåt längs planet på grund 

av den accelererande kraften, F res. Lutningsvinkeln på planet, som i 

bilden är 20°, bestämmer både den resulterande kraftens, F res , och normalkraftens, 

F N, storlek. 

Vad som händer om du ökar lutningsvinkeln framgår av bilderna (b) 

och (c). Jämför storleken hos normalkrafterna vid de tre lutningsvinklarna, 

20°, 30° och 40°. Vad kan du säga om dem? Vad gäller för den 

resulterande kraften? 

Vinkeln mellan tyngdkraften och den streckade linjen vinkelrät mot 

planet i kraftparallellogrammen är lika stor som planets lutningsvinkel 

mot horisontalplanet, i den vänstra figuren ovan alltså 30°. Försök att 

visa detta. 

Med hjälp av trigonometri kan du alltså teckna olika samband mellan 

lutningsvinkeln och sidorna i den rätvinkliga triangel som utgör halva 

kraftparallellogrammen. 

Om du kallar lutningsvinkeln för α gäller att: 

F 

F 

res N 

sinα= och cosα= 

mg 

mg 

Att täljaren i den senare ekvationens högerled är F N inser du av att den 

streckade närliggande kateten är lika stor som F N eftersom det är en 

parallellogram. 


EXEMPEL 12 

Ett föremål med tyngden 25 N ligger 

på ett glatt lutande underlag med lutningsvinkeln 

40°. 

Beräkna normalkraften och den accelererande 

kraften. 

Bestäm också föremålets acceleration 

längs planet 

EXEMPEL 13 

En låda som väger 4,7 kg ligger på ett 

lutande plan som har lutningsvinkeln 

25° mot horisontalplanet. 

Om lutningsvinkeln ökas det allra 

minsta börjar lådan glida. 

Hur stort är friktionstalet mellan lådan 

och underlaget? 


Dessa samband ska du inte plugga in som minneskunskap eftersom du 

direkt kan plocka fram dem trigonometriskt vid behov. 

Om mg = 25 N och α = 40° är normalkraften: 

F N = mg·cos α = 25·cos 40° ≈ 19,2 N 

På motsvarande sätt blir den accelererande kraften: 

F res = 25·sin 40° ≈ 16,1 N 

Eftersom friktionen är försumbar gäller enligt kraftlagen att accelerationen 

blir: 

Fres 

16, 1 

a = = m/s ≈ 63 , m/s 

m ( 25 / g) 

2 2 

Svar: Normalkraften är 19 N, den resulterande kraften 16 N och accelerationen 

6,3 m/s 2 . 

Eftersom lådan precis nätt och jämt ligger kvar är friktionen mellan 

lådan och underlaget fullt utbildad. 

Då gäller att friktionskraften F f = μ·N, där μ betecknar friktionstalet. 

Eftersom lådan är i jämvikt är F res = F f . Alltså är F res = μ·N. 

Tillsammans med de båda andra sambanden blir detta: 

mg·sin 25° = μmg·cos 25° 

som kan förenklas till: 

sin 25° = μ·cos 25° 

μ = sin 25°/cos 25° = tan 25° ≈ 0,466. 

Svar: Friktionstalet är 0,47. 

Observera att uppgiften om lådans massa är onödig för att 

bestämma friktionstalet. Skulle däremot friktionskraften också 

varit efterfrågad hade du behövt denna uppgift. Hur stor blir friktionskraften? 

Nu kan du lösa uppgift 925 på sidan 267 


1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

9 

10 

11 

S

Sammanfattning 

Newtons första lag – tröghetslagen 

Ett föremål som inte påverkas av någon resulterande 

kraft förblir i vila eller fortsätter att röra sig 

med konstant fart längs en rät linje. 

Newtons andra lag – kraftlagen 

Accelerationen är proportionell mot den resulterande 

kraft som verkar på föremålet, och verkar i 

den resulterande kraftens riktning. 

Sambandet mellan kraft och acceleration är: 

F = m · a 

där m betecknar kroppens massa. 

Newtons tredje lag – lagen om aktion och 

reaktion 

Två föremål påverkar varandra med krafter som är 

lika stora och motsatt riktade. 

Impuls och rörelsemängd 

Ett föremåls impuls, I, är detsamma som produkten 

av kraften och den tid som kraften verkar under : 

I = F · Dt 

Ett föremåls rörelsemängd, p ges av sambandet : 

p = m · v 


Enligt impulslagen är impulsen lika stor som ändringen 

av rörelsemängden : 

F · Dt = m · Dv 

Impulsen kan beräknas som arean mellan grafen 

och den horisontella axeln i ett diagram där kraften 

ritats som funktion av tiden. 

Stöt 

Den totala rörelsemängden bevaras vid en stöt. 

Med detta menas att summan av rörelsemängderna 

med hänsyn till rörelseriktningar är lika stor före 

som efter stöten. Detta gäller oavsett om stöten är 

elastisk eller oelastisk. 

Vid en fullkomligt oelastisk stöt häftar föremålen 

samman och rör sig som ett föremål efter stöten. 

En stor del av den sammanlagda rörelseenergin 

hos föremålen före stöten omvandlas vid stöten 

till värme genom deformationsarbete – den totala 

rörelseenergin efter stöten är väsentligt mindre än 

före stöten. 

Vid en fullkomligt elastisk stöt bevaras rörelseenergin 

och den relativa hastigheten. 


Friktion 

Ett föremål som rör sig längs ett underlag påverkas 

av den fullt utbildade friktionskraften F f . Den fullt 

utbildade friktionskraften beräknas som: 

F f = m · F N 

där F N är normalkraften från underlaget och μ är 

friktionstalet. 

Hookes lag 

För att dra ut eller trycka samman en fjäder sträckan 

x, behövs kraften: 

F = k · x 

där k är fjäderkonstanten. 

Gravitationslagen 

Två kroppar med massorna m 1 och m 2 påverkar 

varandra med attraktionskraften: 

m ⋅m 

F = G⋅ 2 r 

1 2 

där r är avståndet mellan de båda kropparnas centra. 

Gravitationskonstanten G har värdet 6,67 · 10 -11 

Nm 2 /kg 2 . 

Coulombs lag 

Två partiklar med laddningarna q 1 och q 2 , påverkar 

varandra med kraften: 

q ⋅q 

F = k⋅ 2 r 

© Författarna och Zenit AB Krafter och dynamik 263 

1 2 

där r är avståndet mellan de laddade partiklarnas 

centra. Konstanten k har värdet 8,99·10 9 Nm 2 /C 2 . 

Kraften är attraktiv om laddningarna har olika 

tecken, annars repulsiv. 

Resultant till krafter 

Om flera krafter verkar på ett föremål, kan man slå 

samman dem till en enda tänkt kraft, resultanten. 

Resultanten har samma verkan på föremålet som 

alla krafter som verkar på ett föremål har tillsammans. 

Resultanten till krafter med riktningslinjer som 

skär varandra kan bestämmas genom parallellogramkonstruktion. 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

S

Uppgifter 

901 Galileis ränna. 

Galilei föddes 1564 i Pisa. Som 17-åring började 

han studera medicin men övergav snart 

detta, eftersom han tyckte naturvetenskap 

var mer intressant. Ett av de många praktiska 

försök Galilei utförde var att rulla kulor 

nerför en ränna. Avsikten med experimentet 

var att hitta ett samband mellan kulans läge 

och tiden den rullat. Målet var att kunna ge 

en matematisk beskrivning av rörelsen. 

I Galileis försöksuppställning slog kulan mot 

små klockor på vägen ned. 

a Vilken uppgift tror du att klockorna hade. 

b Varför är avståndet mellan klockorna allt 

längre efterhand som kulan rullat längre i 

rännan? 

c Beräkna avstånden mellan de övriga klockorna 

om avståndet mellan de två första är 

50 cm. 

902 Ett par personer skjuter fart på en bil som 

fått motorstopp. De lyckas ge bilen en resulterande 

kraft framåt som är 200 N. Bilens 

massa är 980 kg. Vilken acceleration får 

bilen? 


903 Vid en 100-metersstart mäts löparens accele- 

ration i framåtriktningen till 4,7 m/s 2 . Löparen 

väger 62 kg. Hur stor är den resulterande 

kraften på löparen i startögonblicket? 

904 En bil med massan 1,2 ton accelererar från 

50 km/h till 60 km/h på 6,0 s. Hur stor accelererande 

kraft behövs? 

905 En fönsterputsare tappar sin spann som 

väger 850 g. 

a Hur långt faller spannen under de första 

0,59 s av fallet. 

b Efter en stund bromsas spannen märkbart 

av luftmotståndet. Om spannens acceleration 

minskat till 3,2 m/s2 , med hur stor kraft 

påverkar luftmotståndet spannen? 

906 Louise väger 60 kg och är på väg upp i en 

hiss. Hissen börjar med att accelerera med 

1,5 m/s2 uppåt, fortsätter efter en stund med 

konstant fart, och bromsar slutligen in till 

stillastående med accelerationen -1,2 m/s2 . 

Med hur stor kraft påverkar Louise hissgolvet 

när hissen: 

a accelererar uppåt? 

b går med konstant fart? 

c bromsar in? 


907 En lastbil har massan 12 ton. 

a Hur stor impuls måste den utsättas för 

om farten ska ökas från 50 km/h till 90 

km/h ? 

b Hur stor medelkraft behövs om fartändringen 

sker på 15 s ? 

908 En boll som väger 85 g har den nedåtriktade 

farten 3,6 m/s precis innan den slår i golvet. 

Omedelbart efter studsen är den uppåtåtriktade 

farten 2,7 m/s. 

a Hur stor är bollens rörelsemängdsändring 

? 

b Hur stor impuls har bollen påverkats av 

under studsen mot golvet ? 

c Hur har bollens rörelseenergi förändrats 

vid studsen ? Vart har rörelseenergin tagit 

vägen ? 

909 Försök hitta några exempel på olika tekniska 

lösningar där impulslagen utnyttjas för att ge 

en liten kraft under lång tid eller för att ge en 

stor kraft under kort tid. 

910 En skytt ligger på en lättrullande vagn och 

avfyrar en projektil. Projektilen har massan 

0,50 g och hastigheten 400 m/s. 

Skytten väger tillsammans med vagnen och 

geväret 100 kg. Vilken rekylhastighet får skytten 

? 

911 En lastbil och en personbil kolliderar i en 

frontalkrock. Lastbilens fart vid kollisionsögonblicket 

är 40 km/h och personbilens 

60 km/h. Lastbilen väger 5,2 ton och personbilen 

1,3 ton. Vid kollisionen fastnar bilarna i 

varandra. 

a Hur stor hastighet har de sammanhängande 

bilarna omedelbart efter krocken ? 

b Beräkna den totala rörelseenergin före 

och efter kollisionen. Hur mycket energi 

omvandlas till värme vid kollisionen ? 

912 En astronaut på ”rymdvandring” befinner 

sig 100 m från sin farkost. Han väger 150 kg 

inklusive utrustning. För att återvända till 

farkosten avfyrar han sin strålpistol i riktning 

bort från farkosten. På så sätt påverkas han 

av kraften 5 N under 6 s. 

Hur lång tid tar det innan han kommer tillbaka 

till rymdfarkosten ? Bortse från den tid 

accelerationen tar. 


1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

S

913 Två vagnar, A och B, hålls samman. Mellan 

vagnarna är en fjäder hoptryckt. Vagn A har 

massan 3,0 kg och vagn B har massan 5,0 kg. 

När fjädern utlöses sätts vagnarna i rörelse. 

Då vagn A släppt kontakten med fjädern har 

den hastigheten 0,80 m/s. Hur stor energi var 

lagrad i fjädern? Fjäderns massa kan försummas. 

(CP 91) 

914 En stålplatta, som väger 50 g, placeras på ett 

isblock. Hur stor kraft behövs för att skjuta 

plattan med konstant fart över isen? 

915 En skidåkare har i ett visst ögonblick farten 

9,0 m/s och börjar glida längs det horisontella 

underlaget. 

a Hur långt glider han innan han stannar? 

b Hur lång tid tar det att stanna? 

916 Ett metallstycke som väger 0,50 kg hänger i 

en fjäder med fjäderkonstanten 50 N/m. 

a Rita en figur som visar krafterna på metallstycket 

då det hänger stilla. 

b Hur långt är fjädern utdragen, då metallstycket 

hänger i sitt jämviktsläge? 

c Tänk dig att du fattar tag i metallstycket och 

drar neråt så att fjädern förlängs 10 cm. Rita 

en ny figur som visar krafterna på metallstycket 

och ange hur stora de olika krafterna 

är. 

917 Ett metallstycke med okänd massa hängs i en 

fjäder. Fjädern förlängs då med 8,8 cm. Om 

fjäderkonstanten är 95 N/m, hur stor massa 

har metallstycket? 

918 Anta att du fick möjlighet att befinna dig i 

en satellit 2 600 km över jordytan. Hur stor 

skulle din tyngd vara där jämfört med din 

tyngd på jorden? 


919 Med hur stor kraft påverkas du av en bil, då 

du står alldeles intill den utan att röra vid 

den. Gör lämpliga antaganden om massorna 

och avståndet mellan din och bilens tyngdpunkter. 

920 Torsionsvågen på sidan 255 finns på Katedralskolan 

i Lund. De små blykloten i 

ändarna på armen väger 20,0 g och de stora 

blykloten (som kan närmas från sidan) väger 

1,200 kg. När kloten är som närmast varandra 

är avståndet mellan deras medelpunkter 

5,0 cm. Hur stor blir kraften på armen? 

921 Redan för 2500 år sedan mättes jordens 

radie (se kap 1). Enligt meterdefinitionen är 

jordens omkrets ungefär 40 000 km. Tyngdfaktorn, 

g, vid jordytan är 9,82 m/s 2 . Använd 

detta och den allmänna gravitationslagen för 

att beräkna jordens massa. 

922 I Bohrs atommodell tänker man sig att väteatomen 

består av en proton och en elektron 

som befinner sig 0,05 nm från varandra. 

a Med hur stor elektrostatisk kraft påverkar 

protonen elektronen? 

b Med hur stor gravitationskraft påverkar protonen 

elektronen? 

c Jämför de bägge krafterna och dra slutsatser 

av dina beräkningar. 

923 I punkten P verkar två krafter som är vinkelräta 

mot varandra. Den ena kraften är 25 N 

och den andra är 35 N. 

a Bestäm resultanten (både storlek och riktning) 

till krafterna. 

b Anta att du ska tillfoga en kraft så att punkten 

P kommer i jämvikt. Vilken storlek och 

riktning ska denna kraft ha? 


924 Två snören S 1 och S 2 är fästade i ett häftstift 

P (se figuren). I snöre S 1 verkar kraften 4,8 N 

och i snöre S 2 kraften 6,2 N. Bestäm resultanten 

till de båda krafterna genom noggrann 

konstruktion. 

P 

S 1 

S 2 

925 En blomkruka som har tyngden 250 N står 

på en ramp som lutar 25° mot horisontalplanet. 

Friktionstalet mellan blomkrukan och 

rampen år 0,68. 

a Hur stor är friktionskraften mellan krukan 

och rampen? 

b Man vill flytta krukan uppför rampen genom 

att dra den längs med planet. Hur stor är den 

minsta kraft som behövs för att göra detta? 

Blandade uppgifter: 

Till vissa av de blandade uppgifterna måste du göra egna 

antaganden. Glöm inte att redovisa dessa! 

926 En bil med massan 850 kg påverkas av en 

framåtriktad resulterande kraft på 350 N. 

Hur stor blir bilens acceleration? 

927 Två krafter på 3,5 N och 4,3 N verkar på ett 

föremål. Beräkna storleken på den resulterande 

kraften om vinkeln mellan de båda 

krafterna är 90°. 

928 Hur stor är rörelsemängden hos en person 

med massan 75 kg som springer med hastigheten 

6,8 m/s? 

929 När en hundragramsvikt hängs i en fjäder 

förlängs fjädern med 3,7 cm. Beräkna fjäderkonstanten. 

930 En cyklist med farten 20 km/h påverkas av 

krafter som beror på friktion och luftmotstånd. 

Sammanlagt är dessa bakåtriktade 

krafter 240 N. Hur stor måste den framåtdrivande 

kraften från cyklisten vara för att 

cykeln ska fortsätta framåt med konstant 

fart? 


931 

9,0 

3,0 

v /(m/s) 

5,0 t /s 

Grafen visar ett föremåls rörelse under fem 

sekunder. Föremålet väger 12 kg. Hur stor är 

den resulterande kraft som behövs? 

932 En boll som väger 120 gram faller från ett 

torn och uppnår sin gränsfart. 

a Rita en bild med samtliga krafter utritade. 

b Vad kan du säga om de krafter som verkar på 

bollen? 

933 Eddie vill kontrollera hur stor friktionskraften 

är när han cyklar. Han slutar därför 

trampa när farten är 20 km/h. Cykeln rullar 

då 40 m längs den horisontella vägen. Hur 

stor är den resulterande friktionskraften om 

Eddie och cykeln tillsammans väger 85 kg? 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

S

934 Hur stor rörelsemängd har en elektron som 

rör sig med farten 2,5 · 10 5 m/s ? 

935 

936 

Ett tåg består av ett lok och två stycken 

vagnar. Loket väger 38 ton och var och en av 

vagnarna 20 ton. 

Efter att ha stannat på en station accelererar 

tåget till 90 km/h, vilket tar 1,5 minuter på 

den horisontella banan. 

a Hur stor är kraften i kopplet mellan loket 

och den första vagnen under accelerationen? 

Bortse helt från friktionen i vagnarnas hjul 

och mellan hjulen och rälsen. 

b Hur stor är kraften i kopplet mellan de två 

sista vagnarna under accelerationen? 

Tre klossar placeras ovanpå varandra på 

ett bord som bilden visar. Klossarna har 

massorna 100 g, 150 g och 200 g, uppifrån 

räknat. 

Rita tre bilder, en för varje kloss, där samtliga 

krafter som verkar på denna kloss visas. 

937 En hiss som med last väger 1 600 kg accelereras 

uppåt med 1,2 m/s 2 . Hur stor är lyftkraften 

i hisslinan under accelerationen? 

938 Anta att du hoppar rakt upp i luften. Hur 

stor är din acceleration då du befinner dig i 

den högsta punkten under hoppet? 


939 Beräkna en ungefärlig bromssträcka för en 

bil från 90 km/h till stillastående under olika 

vägförhållanden. Studera torr asfalt, våt asfalt 

och isbelagd asfalt. 

940 Anta att du kör bil med farten 90 km/h. 

a Hur lång tid tar det att från det att du 

trampar på bromsen tills bilen stannar om 

retardationen är 4,2 m/s 2 ? 

b Hur lång blir bromssträckan ? 

941 Erika spelar squash. Vid ett tillfälle när hon 

smashar bollen är den på väg in mot racketen 

med farten 14 m/s och lämnar den med 

farten 55 m/s i rakt motsatt riktning. 

En squashboll väger 24 g. 

a Hur stor är bollens rörelsemängdsändring 

? 

b Hur stor är medelkraften på bollen om 

bollen och racketen antas vara i kontakt med 

varandra i 5 ms. 

942 * Hur lång uppfattas en sträcka som i jordens 

referenssystem är 2,4 km i ett system som rör 

sig med farten 99,99 % av ljusets fart ? 

943 Om en person faller ut från ett fönster på 

tionde våningen är det inte fallet som skadar 

honom, utan det plötsliga inbromsandet. 

Förklara detta påstående med Newtons lagar. 

944 En liten luftkuddepuck med massan 150 g 

knuffas uppför ett lutande plan och får 

begynnelsefarten 5,0 m/s. Pucken påverkas 

av en nedåtriktad kraft utmed planet som är 

0,40 N. 

a Beskriv puckens rörelse med funktionerna 

s( t ), v( t ) och a( t ). 

b Hur lång tid dröjer det innan pucken 

vänder ? 

c Hur högt upp på planet är den då ? 


945 Om du är passagerare i en bil som blir 

påkörd bakifrån kan du råka ut för allvarliga 

nackskador, så kallade whiplash-skador. 

946 

947 

a Förklara med hjälp av Newtons lagar hur 

dessa uppkommer 

b Hur kan ett nackstöd i bilen hjälpa till att 

förhindra skadan? 

Studera bilden av en boll som rullar nerför 

en backe. Vilket av följande påståenden är 

korrekt? 

a Farten ökar, men accelerationen minskar. 

b Farten minskar, men accelerationen ökar. 

c Både farten och accelerationen ökar. 

d Både farten och accelerationen är samma 

hela tiden. 

e Både farten och accelerationen minskar. 

F 1 

F s 

– Fs Hur är det möjligt att det ena laget kan vinna 

över det andra i en dragkamp? Strider detta 

inte mot Newtons tredje lag? 

F 2 

948 * Två temperaturprober är anslutna till en 

CBL. En försöksperson studerar vad som 

händer då den ena proben värms i handen 

och den andra i munnen. 

Båda proberna är i rumstemperatur (drygt 

21°C i luften) när försöket startas. Sedan 

stoppas den ena proben in i munnen och den 

andra värms i handen. Efter halva experimenttiden 

tas de båda proberna ut och expo- 

neras för luften i rummet. 

Resultatet av försöket ser du i grafen. 

a Vilken graf hör till vilken prob? 

b Förklara utseendet ur fysikalisk synvinkel hos 

de båda graferna så ingående du kan. 

949 En hiss som med last väger 1,3 ton accelereras 

uppåt från stillastående med konstant 

acceleration 0,85 m/s 2 under 2,5 s. 

a Hur stor fart får hissen efter denna tid ? 

b Hur stor kraft måste hisslinan kunna tåla 

för att klara av denna acceleration ? 

Hissen går med konstant fart under 12,5 s 

och bromsas därefter in till ett stopp vid en 

våning. Inbromsningen sker med en nedåtriktad 

acceleration som är 1,1 m/s2 . 

c Hur lång tid tar färden mellan våningarna 

? 

d Hur långt har hissen rört sig ? 

e Rita graferna s( t ), v( t ) och a( t ) för hissens 

rörelse. 


1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

S

950 En person utför ett jämfotahopp på en våg 

som är ansluten till mätutrustning så att 

kraften på vågen kan registreras som funktion 

av tiden. Själva hoppet går till så att personen 

snabbt böjer benen och sedan skjuter 

ifrån. 

Grafen visar ett jämfotahopp på vågen. Den 

vertikala axeln visar kraften i newton och 

den horisontella tiden i sekunder. Graderingen 

är 500 N respektive 0,2 s per skalstreck. 

a Vad gör personen i de olika faserna? Förklara 

grafens utseende. 

b Det finns tillfällen då personen har en uppåtriktad 

respektive en nedåtriktad acceleration. 

Hur kan du avgöra det? 

c Bestäm den största uppåtriktade respektive 

största nedåtriktade accelerationen hos hopparen. 

Vad gör hopparen just då? 

951 På s. 247 verifierades impulslagen, och en 

v( t )-kurva registrerades. Som du kan se 

minskar vagnens fart under rullningen, både 

före och efter kollisionen med kraftgivaren. 

Förklara varför grafen ser ut som den gör ! 


952 * Helen kör i 70 km/h längs en rak väg. Plötsligt 

kör en bil med släp ut från en sidoväg. 

Helen hinner i tid bromsa, och undviker med 

minsta möjliga marginal att krocka. 

Ett par dagar senare tänker hon: ” Vad hade 

hänt om jag istället kört i 90 km/h?”. Helen 

åker ut till platsen där hon höll på att krocka 

och mäter upp bromsspåren till 28,5 meter. 

Hon räknar sedan ut hur lång bromssträckan 

skulle varit om hon kört i 90 km/h. 

a Hur lång blir bromssträckan? 

b Hur hög hastighet hade Helen haft då hon 

kraschade in i släpet om hon hållit 90 km/h? 

953 

35 km/h 90 km/h 

Ett rälsbusståg håller farten 90 km/h. 

500 meter framför tåget upptäcker föraren 

en liten dressin med arbetare och slår genast 

till bromsarna, vilket ger tåget en retardation 

på 0,25 m/s2 . Dressinen håller en fart på 

35 km/h. 

Tack vare att lokföraren bromsar kommer 

de att klara sig. Beräkna minsta avståndet 

mellan tåg och dressin.

Kraft och dynamik - Zenit ab Läromedel

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?