(Microsoft PowerPoint - Mait Att f\366rst\345 hela tal Stockholm 8 ...

Att utveckla först f rståelse else för f r hela tal
Kommentarmaterial, Skolverket 1997
Att lära sig matematik handlar om att se sammanhang och
att kunna föra logiska resonemang genom att känna igen,
granska och pröva olika sätt att dra slutsatser med
hjälp av flera representationsformer. Det är betydelsefullt
att undervisningen bidrar till att en matematisk idé eller
ett begrepp tydliggörs och att översättningen mellan de
olika representationsformerna diskuteras så att eleven
förstår och kan förklara sambanden där emellan.

Exempel på mål att sträva mot
- utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna
tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik
och att använda matematik i olika situationer
- utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda
logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera
samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera
för sitt tänkande

Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i skolår 3, 5 och 9
Förstå tal skolår 3
Kunna läsa och skriva tal samt ange siffrors värde i talen
inom heltalsområdet 0 – 1000
Kunna jämföra, storleksordna och dela upp tal inom
heltalsområdet 0 – 1000
Kunna beskriva mönster i enkla talföljder
Kunna hantera matematiska likheter inom heltalsområdet
0 - 20

Förstå tal skolår 5
Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal
och enkla tal i bråk- och decimalform
Kunna upptäcka talmönster
Förstå tal skolår 9
Ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och
rationella tal i bråk- och decimalform

Kritiska punkter nivå skolstarten – 3
* Antalskonservation
* Grundläggande räkneprinciper
* Sambandet räkneord, talsymboler och antal
* Kunna talraden till minst 20
Förståelse för hela tal
* Räkna föremål i 2, 5 och 10 i taget
* Skriva, säga och representera tal upp till flera hundra
* Användning av positionssystemet för att lägga till 100
* Uppskattning av tal på tallinjen 0 - 100

* Säga, läsa och skriva tal upp till flera tusen även med pengar
i olika sammanhang
* Placera heltalen på en tänkt tallinje
* Uppskatta antal i mängder genom olika strategier
* Läsa, skriva och säga fyr- och femsiffriga tal
* Räkna uppåt och nedåt i tiosteg från vilket tal som helst
upp till 1000
Kritiska punkter nivå 4 - 5
* Dela upp tal på icke standardiserade sätt

Kritiska punkter nivå 6 - 9
* Dela upp tal på icke standardiserade sätt för att underlätta
beräkningar
* Välja bland flera olika tekniker för att räkna mängder och pengar
* Läsa, säga och ha känsla för stora och små tal och mängder
* Ha en känsla för storleken på stora tal genom personliga
referenstal
* Ha känsla för och bedöma tals relativa storlek
* Ha förtrogenhet med stora och små tal

Elevintervju Kap. 2
Här är 6 föremål.
Hur många är det om jag tar bort två?
Räknar alla, räknar två som tas bort och räknar hur
många som är kvar.
Tar bort två och räknar sedan 1, 2, 3, 4.
Uppfattar antalet genom subitisering och ser att det är fyra.

Test 1 Kap. 2
4 Ringa in gruppen med fyra snöstjärnor.
Skriv talet fyra.
Sambandet räkneord, talsymboler och antal

Test 2 Kap. 2
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Talen står i ordningsföljd men några gömmer sig bakom
prickar. Vilka tal finns bakom de tre svarta prickarna?
_________ _________ _________
Räkna när flera tal är utelämnade eller se och använda
talmönster. Eftersom talen är ordnade i rader om tio, finns
samma ental i samma kolumn. Observera om eleven
använder uppåträkning en i taget eller mönstret som hjälp.

Test 5 Kap. 3
Användning av positionssystemet för att ta bort 100

Test 9, elevversion Kap. 3
Uppåträkning stora tal. Använda positionssystemet för att
lägga till 10, med hundratalsövergång.

Kända nda svårigheter sv righeter och missuppfattningar
Antalskonservation
Grundläggande räkneprinciper – ”hur många”
Koppla samman siffersymbolerna med räkneorden.
Principer för hur vi namnger och skriver tal talen mellan 11
och 20. (Jämför kinesiska uttryck, tio-tre, tio-fyra, tio-fem…).
Tiotalsövergång – tjugoåtta, tjugonio, tjugotio…
Stegräkning, tex 2-steg, 5-steg, 10-steg

En grupp föremål som en enhet (ett tiotal, ett hundratal.)
Relationerna mellan ental, tiotal, hundratal och tusental.
Tiotalsövergångar, hundratalsövergång.
Siffrors platsvärde (14 och 41).
Nollan som symbol för tomma mängden (tex tresiffriga
tal ”tvåhundrafyra”).
Dela upp tal på icke standardiserade sätt (47 = 40+7 =
30+17 = 20+27).
Uppskatta antal i en mängd
Tallinjen, bedöma tals relativa storlek.

Glupska grisen – akta dig för ettan!
En lek som tränar enkel addition (och sannolikhet)

Antalskonservation
Först rståelse else för f r hela tal
Antalet förändras inte:
- om vi flyttar på föremålen,
- om vi räknar dem om igen,
- om vi sprider ut dem, eller lägger dem
tätt tillsammans.
Föremålens storlek påverkar inte antalet.

Om undervisningen
Sortera knappar, olikfärgade kuber, logiska block efter
olika egenskaper. Diskutera likheter och skillnader i
objektens egenskaper. Storleksordna föremål.
Para ihop, dela upp och jämför mängder, fler/färre, flest/färst,
storleksordna mängder, begreppet skillnad.

0 100

Dela upp tal på p icke standardiserade sätt s tt

• Räkna ofta i kör framåt och bakåt på räkneramsan.
Det hjälper eleven att befästa mönstret i talföljden.
• Räkna framåt och bakåt i steg om två, fem och tio från
0 respektive 100.
• Räkna framåt och bakåt i steg om två, fem och tio från
vilket tal som helst (70, 23, 82…).
• Skriv aktuella talföljder.
1 3 5 7 9
11 13 15 17 19
• Arbeta med talföljder med hjälp av miniräknaren.
Eleven säger vilket tal som följer på det aktuella
talet och kontrollerar med den programmerade
miniräknaren.

Utveckling av inre tallinje

Tallinje
Sortera talen på tallinjen.
Räkna framåt och bakåt.
Vilket tal kommer före/efter 10? 20? 30?
Vad är ett mer/ett mindre än ett givet tal?
Två mer/två mindre?
5, 10, 15…? 10, 20, 30…
2, 4, 6…? 1, 3, 5…?

Var på p tallinjen vill du placera 19, 49, 78…? 78
Använda t ex talen 50, 25 och 75 som referenspunkter
0 100

Uppskatta och bedöma bed ma tals relativa storlek
0 20
0
0
100
1000

100 - ruta
Undersök slutsiffran i varje kolumn och
startsiffran i varje rad.
I vilken kolumn slutar alla tal med 2?
I vilken rad börjar alla tal med 4?
Starta på talet 14 och räkna på 10 – sekvensen.
Vad upptäcker du?
Vilka tal är multiplar av 2. Ringa in dem.
Vilka tal är multiplar av fyra? Ringa in
dem med en annan färg. Jämför multiplar
av 2 och 4 och beskriv de mönster som du
upptäcker.

Välj två angränsande tal, mindre än 50. Visa dem inte för någon.
Addera talen och markera summan på 100-kvadraten.
Utmana en kompis att komma på starttalen. Vilka frågor
ger relevant information?
Välj ett tvåsiffrigt tal och skriv ner det. Byt plats på siffrorna
i talet och skriv det också (exempelvis 36 och 63).
Räkna ut differensen mellan talen och markera det på
100-rutan. Upprepa tio gånger med olika tal.
Diskutera i klassen vad ni upptäcker!
Gissa mitt tal
Jag tänker på ett tal som är större än 20 men mindre än 25.
Mitt tal är udda och delbart med 3.
Välj ett tal och formulera egna ledtrådar. Utmana en
kompis!

Sammanställning nivå 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Karin / / / / / / / / / / / / / 0 0 / /
Ebba / / / / / / / / / / / / / / / / / 0
Viktor / / / / / / / / / / / / / / / / /
Gustav / / / / / / / / / / / / / / / 0 / /
Lina / / / / / / / 0 / 0 / / / / / / / / /
Nadja / / / / / / / 0 / / / / / 0 / / /
Senad / / / 0 / / / / / / / / / / 0 / / /
Amanda / / / / / / / 0 / / / / 0 / / / / /
Kapitel 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 8 9 9 9 10 10 10 14 14

3 . 5 = 15 eller
5 . 3 = 15
Sambandet mellan en bild och
ett multiplikationsuttryck.
Att formulera ett rimligt uttryck
till en given bild tyder på
förståelse för operationen.
5 + 5 + 5 = 15 visar inte om
eleven förstår sambandet
mellan bilden och multiplikation.
Uppfatta grupper av föremål
som helheter.
Sambandet mellan en
räknehändelse och ett uttryck.
Uppgiften skiljer avsiktligt
mellan förmåga att identifiera
operationen och förmåga att
göra beräkningen.

Översiktsdiagnosen versiktsdiagnosen leder till frågor fr gor
Varför gör eleven särskilda misstag?
Vilka är de bakomliggande faktorerna?
Vilken typ av åtgärder behöver eleven?
Vad innebär detta för min undervisning?

Intervjuunderlag – råd d och riktlinjer
En intervju är inte ett undervisningstillfälle!
Elevens tänkande är i centrum.
Eleven står för ”pratandet” under intervjun.
Eleven får ett par uppgifter som hon tidigare har
besvarat korrekt.
Läraren håller sig neutral och ger varken positiv eller
negativ respons.

Intervju:
”Eleven ska få möjlighet att visa och förklara så att läraren
kan upptäcka vad som sker inne i elevens huvud när hon
löser problem”
L: Om du skulle förklara vad
multiplikation är, för någon som
inte förstår det – hur skulle du
göra då?
E: Jag skulle säga att det är
plus många gånger. Tex
3+3+3+3.
L: Om du skulle säga det med
multiplikation, hur skulle du
säga då?
E: Fyra gånger tre.
L: Skulle du kunna visa den
multiplikationen på något sätt?
E: Ja, på tallinjen

L: Skulle du kunna visa med hjälp av
markörerna också?
E: Ja, så här.
L: Vilken multiplikation har du lagt?
E: Fyra gånger tre.
L: Hur mycket är fyra gånger tre?
E: Tolv.
L: Kan man se det?
E: Hm, då fattas det fem. Nej, jag
skulle inte visa med markörer!
L: Hur tänkte du när du lade
markörerna just så här?
E: Jag tänkte fyra gånger tre liksom –
istället för siffror, om du förstår.

Bakgrund
Multiplikation presenteras ofta inledningsvis som upprepad addition.
”fyra korgar med tre äpplen i varje korg”
Bilden kan också representeras på en tallinje
Två tal som multipliceras representerar två oberoende dimensioner

Kända nda svårigheter sv righeter och missuppfattningar
Multiplikation och division (representationer, berättelser,
symboler)
- elevens förmåga att uppfatta en samling av objekt som
en enhet (jfr ett tiotal, ett hundratal etc.).
- eleven missuppfattar symbolen för multiplikation
- eleven uppfattar inte att multiplikation representerar
situationer där lika stora mängder adderas successivt
- eleven har en begränsad uppfattning av multiplikation,
enbart som upprepad addition
- multiplikation leder alltid till något större och division
till något mindre.

Multiplikationens tvådimensionella tv dimensionella karaktär karakt r

* Uppmärksamma hur takplattor, fönsterrutor
och skåp sitter i rader och kolumner. Hur många
rader är det? Hur många kolumner? Hur räknar vi
ut hur många det är totalt?

10
4
4
13 · 47
10
3
10
10 · 4 = 4 · 10
40 7
400 70
120 21

* Rita en bild av 5 • 3.
* Hitta på en berättelse till 7 • 6.
* Här är fyra pappersremsor. Var och en är 6 cm långa.
Skriv detta som en multiplikation.
Skriv det som en division.
Hitta på en berättelse kopplat till multiplikation.
Hitta på en berättelse kopplat till division.
* Jag delade ut 12 bullar till tre kompisar.
Rita en bild. Skriv en matteuppgift.

* Använd knappar som hjälp att illustrera följande:
En bonde planterar frön i rader. Han vill ha minst två rader
och raderna måste innehålla lika många frön.
Hur kan han plantera 6 frön? 9 frön?
På vilka olika sätt kan han plantera 24 frön?
Kan han plantera 7 frön? Varför? Varför inte?
Vilka antal frön upp till 20 kan han inte plantera?
* Använd tanketavlan och låt eleverna använda
och röra sig mellan olika representationer för
multiplikation: laborativt material, berättelser,
bilder, talat språk och skrivet språk.

Tanketavlan – användningsomr
anv ndningsområden den
Vid introduktion av ett begrepp
För att låta eleven arbeta med ett begrepp i olika
representationer
För att följa upp undervisningens effekter
För att lyfta fram och synliggöra samband, tex
mellan multiplikation och division, tal i bråkform
och tal i decimalform osv.

Visuell-spatiala
upplagring
Central exekutiv
Episodisk
buffert
Långtidsminnet
Fonologisk
lagring
Inre tysta
talet
Baddeley, 2006

- ouppmärksamma, distraherade, dagdrömmer
- tillbakadragna i klassrumsdiskussioner
- svårt att övervaka och kontrollera sitt arbete
- svårt att komma ihåg och följa instruktioner
- dålig uthållighet
Klassrumssituationer
- presterar under sin förmåga, lär sig långsamt

Några principer för undervisning
Övervaka elevens skolarbete
Bedöm aktiviteters krav på arbetsminnet och reducera
kraven när det är möjligt
Skapa sammanhang i undervisningen
Använd olika typer av minnesstöd i klassrummet
Hjälp eleven att utveckla minnesstrategier
Kontinuerlig kartläggning, analys och åtgärder

.
Exempel på p hur handboken kan användas anv ndas
Upptäcka och analysera hur elever tänker, vilka svårigheter
och missuppfattningar som kan finnas.
Få hjälp att planera innehållet inom ett eller flera områden.
Kontrollera hur väl en lärobok täcker det aktuella området.
Hitta goda exempel på aktiviteter och uppgifter inom
olika områden av taluppfattning.

Division är mer komplext än multiplikation eftersom två
distinkta situationer (delningsdivision och innehållsdivision)
kan representera samma uttryck tex.
20/5
Om jag delar ut tjugo pennor till fem personer så får de fyra
pennor var.
Om jag klipper fem cm långa remsor från ett band
som är tjugo cm långt, så får jag fyra sådana remsor.
Att översätta från en situation till symbolspråk
12/3 uttalas som:
tolv dividerat med tre…, eller
tre går i tolv…
Språkligt kastar vi om de två talens positioner (3/12)