Rotationsrörelse - Fysik

Rörelsemängdsmoment 6 – 2Mendr× p = mv × v =0dtochdpdt = FdvsdLdt = τDenna ekvation visar att om τ = 0 ärL =konstant, dvs rörelsemängdsmomentet ärkonserverat.Ex. 6.3 Keplers andra lag. För en centralkraftF = f(r)ˆr ärdvsτ = r × F = r × f(r)ˆr =0L = |L|ˆL = LˆL = konstantRörelsen är alltsåbegränsad till ett plan.Beräkna den yta vilket en planet sveperunder ett tidsintervall ∆t.Ex. 6.4 Vi vill beräkna den effektiva ytanA = πb ′2 för vilken en rymdfarkostfångas av en planet.Ex. 6.7 Beräkna kraftmomentet från gravitationskraften.6.4 Rörelse kring en fix axelDet viktigaste området där rörelsemängdsmomentkan tillämpas är på fasta kropparsrotation. I det allmänna fallet kan en stelkropp rotera kring en godtycklig axel. I dettaavsnitt skall vi emellertid betrakta rotationkring en fix axel. En fix axel har alltid sammariktning, men axeln kan utföra en translationsrörelse.Vi väljer axeln längs z-axeln. När en stelkropp roterar kring en fix axel, befinner sigvarje partikel på ett konstant avstånd frånaxeln, och beskriver en cirkelbana i ett planvinkelrätt mot rotationsaxeln. Med ett koordinatsystemmed origo på axelnsåär förvarje partikel |r| =konst. För att r skallkunna ändras måste därför hastigheten varavinkelrät mot r, dvs|v j |=|ṙ j |=ωρ jdär ρ j är det vinkelräta avståndet från rotationsaxelntill partikeln m j ikroppen. ωärvinkelfrekvensen för rotationen, ochxρ j =(x 2 j+y 2 j) 1/2z6Hρ jHHj:vjmjr j -yRörelsemängdsmomentet för en partikel j ikroppen blirL j = m j r j × v jVi kan införa cylindriska koordinater medpolära koordinater ρ, θ i xy-planet och rotationsaxelnlängs den vanliga z-axeln, dettagerr j = ρ j ˆρ j + z jˆkochv j = v j ˆθjdär ˆθ j är en enhetsvektor i θ-riktningen, dvsr j × v j = v j ρ jˆk − zj v j ˆρ jFör komponenten L z längs z-axeln får vialltsåL z (j) =m j v j ρ jdvs med v j = ρ j ω blir dettaL z (j) =m j ρ 2 jω