Rotationsrörelse - Fysik

Rörelsemängdsmoment 6 – 46.5 Ren rotation kring fix axelI kapitel 3 visade vi att för ett system avpartiklar var det lämpligt att skilja på yttreoch inre krafter. De inre krafterna togut varandra enligt Newtons tredle lag, ochrörelsemängden ändrades endast p g a yttrekrafter. Detta leder till rörelsemängdens bevarande.• rörelsemängden för ett isolerat system árkonstantFör rotationsrörelse kan vi göra på sammasätt och skilja mellan yttre och inre kraftmoment.Man finner experimentellt attalla inre kraftmoment tar ut varandra eftersomrörelsemängdsmomentet för en isoleradkropp inte ändras. Vi antar därför att endastyttre kraftmoment kan ändra en kroppsrörelsemängdsmoment.I detta avsnitt studerar vi ren rotationsrörelse,dvs rörelse kring en axel sominte translateras, t ex bladen på en fläkt.I otaliga tekniska tillämpningar, framföralltinom maskintekniken, förekommer kropparsom roterar kring fixa axlar. Typiska exempelär svänghjul, kugghjul etc.Betrakta en kropp vilken roterar medvinkelhastighet ω kring z-axeln. För z-komponenten av rörelsemängdsmomentet harviL z = IωEftersom kraftmomentet från yttre krafter ärsåfår viτ = dLdtτ z = d dt (Iω)=Idω dt =Iαdärα = dωdtkallas vinkelaccelerationen. Denna ekvationär analog med Newtons andra lag ma = F .Kinetiska energin för en roterande kroppmed ren rotationsrörelse blirK = ∑ 12 m jvj 2 = ∑ 12 m j(ρ j ω) 2 = 1 2 Iω2jjVi kan även få ett uttryck för arbetet vid renrotation. Allmänt är∫ b ∑W ba = f j · dr jdär f j är kraften på partikelj.Nuärajdr j = v j dtoch för hastigheten som är parallell med xyplanethar viv j = ρ j ωˆθ jDet är fördelaktigt att införa en rotationsvektorω som har beloppet ω och är riktadlängs rotationsaxeln med riktning enligthögerregeln. I vårt fall blir alltsåω = ωˆkVi kan då skriva hastigheten för partikel jsomv j = ω × r jty denna vektorprodukt är riktad längs ˆθ joch har beloppet ωρ j . För det infinitesimaltuträttade arbetet får vi alltsådW = ∑ f j · dr j = ∑ f j · (ω × r j )dt =jj= ∑ ω · (r j × f j )=ω·τdtjdär τ = ∑ j (r j × f j ) är det totala kraftmomentetpå kroppen. Det infinitesimalaarbetet längs sträckan dr blir alltså kraftmomentetskomponent längs rotationsaxelngånger den infinitesimala vinkeln, dvs med z-axeln som rotationsaxeldW = τ z dθty ωdt =dθ.För det totala arbetet får viW ba =∫ θbθ aτ z dθ