Rotationsrörelse - Fysik

Rörelsemängdsmoment 6 – 6där I a betecknar tröghetsmomentet m a protationsaxeln genom punkten a. För småsvängningar får vi som tidigaremed lösningoch frekvensenI a¨θ + Mglθ =0θ(t) =Acos(ωt)+Bsin(ωt)ω =√MglI aLåt I 0 vara tröghetsmomentet m a p tyngdpunkten,och inför den s k tröghetsradien√I 0 = Mk 2 I 0; k =MDågäller enligt Steiners sats attoch därför attI a = I 0 + Ml 2 = M(k 2 + l 2 )√glω =k 2 + l 2Periodtiden för pendeln blir√T = 2π ω =2π k 2 +l 2gl=2π√k 2gl + l gför en enkel pendel har vi k =0,för en tunnring med radien R är k = R, för en cirkulärskiva är k = R/ √ 2ochför en sfär är k =√2/5R.Ex 6.12 Kater’s pendel. Mellan 1500- och1900-talen gjordes de mest noggrannamätningarna av tyngdaccelerationen g mh a pendlar. Först att mäta g var Huygensäven om Galilei förmodligen kändetill värdet av g. För precisionsmätningarkan man använda sig av Kater’s pendel.Ex. 6.13 Dörrstopp. En dörr som slängs uppför häftigt kan lossna från sina gångjärn.Genom ett lämpligt val av avståndet lför dörrstoppet kan kontaktkraften pågångjärnet bli noll. Bestäm l.6.7 Translations- och rotationsrörelseOfta har man translations och rotationsrörelsesamtidigt, som i fallet med en rullandecylinder. Ett möjligt sätt att beskriva enallmän rörelse är via en translation av tyngdpunktenplus en rotation kring tyngdpunkten.Genom att använda tyngdpunktskoordinaterär det möjligt att finna enkla uttryck för båderörelsemängdsmomentet och kraftmomentetliksom rörelseekvationerna.Liksom tidigare skall vi betrakta rörelse förvilken rotationsaxeln är parallell med z-axeln.Vi skall visa att L z kan skrivas som summanav två termerL z =I 0 ω+(R×MV) zdär I 0 är tröghetsmomentet m a p en axelgenom tyngdpunkten. R är tyngdpunktensläge och V = Ṙ.Antag att kroppen vi studerar består av Npartiklar med massor m j ,j =1,...,N ochlägevektorer r j .Då blirN∑L = (r j × m j ṙ j )j=1Tyngdpunkten har lägevektorn∑jR =m jr j∑j m = 1 ∑m j r jj MjVi övergår nu till ett koordinatsystem m a ptyngdpunktenr j = R + r ′ jdär r ′ j betecknar partikelns läge relativttyngdpunkten. Detta gerL = ∑ j= ∑ j= R× ∑ j+ R× ∑ j(r j × m j ṙ j )=(R+r ′ j)×m j (Ṙ+ṙ ′ j)=m j Ṙ+ ∑ jm j ṙ ′ j+ ∑ jm j r ′ j×Ṙ+r ′ j×m j ṙ ′ j