Rotationsrörelse - Fysik

Rörelsemängdsmoment 6 – 8och är oberoende av translationsrörelsen.Detta gäller även om axeln är accelererada ≠0.Låt oss även betrakta uttrycket för denkinetiska energinK = 1 ∑m j vj 2 2= 1 ∑m j (˙ρ ′ j2+V)2 =Men= 1 2+ 1 2j∑j∑jjm j (˙ρ ′ j )2 + ∑ jm j V 2m j ˙ρ ′ j ·V +∑m j ρ ′ j = ∑ (ρ j −R ⊥ )=MR ⊥ −MR ⊥ =0jjvilket även gäller för tidsderivatan ∑ j m j ˙ρ ′ j ,dvsK = 1 ∑m j ρ ′ j2 ω 2 + 1 22 MV 2 =j= 1 2 I 0 ω 2 + 1 2 MV 2Den första termen motsvarar den kinetiskaenergin p g a inre spinn medan den andrakommer från banrörelse av tyngdpunkten.Ex. 6.16 Rullande cylinder. En homogencylinder med radie b och massa M rullarutan glidning nedför ett lutande planmed lutningsvinkel θ. Beräkna accelerationenlängs planet.6.7.1 Arbete och energiFör en partikel har vi allmäntK b − K a = W ba =∫ rbr aF · drDetta kan generaliseras till en stel kropp. Förtyngdpunktens rörelse har viM dVdt = Fdvs12 MV b 2 − 1 ∫ Rb2 MV a 2 = F ·dRR aFör rotationsrörelsen kan vi utgå frånrörelseekvationendωI 0dt = τ 0dvsdωI 0dt ωdt = τ 0dθty ωdt =dθ/dtdt =dθ. Detta ger12 I 0dω 2 = τ 0 dθoch12 I 0ωb 2 − 1 ∫ θb2 I 0ωa 2 = τ 0 dθθ aInför vi den kinetiska energinK = 1 2 MV 2 + 1 2 I 0ω 2får vi alltså från sambanden ovan∫ Rb∫ θbK b − K a = F · dR + τ 0 dθR a θ aMen den första termen i högerledet är det arbetetvilket uträttas på tyngdpunkten, ochden andra är enligt tidigare arbetet för rotationenkring tyngdpunkten. Alltså ärK b − K a = W bavilket är lagen för kinetiska energin. Arbetetkan skrivas som summan av ett translationsochett rotationsarbete och dessa satisfierarvar för sig relationerna:∫ Rb12 MV b 2 − 1 2 MV a 2 = F ·dRR a12 I 0ωb 2 − 1 ∫ θb2 I 0ωa 2 = τ 0 dθθ aEx. 6.17 Rullande cylinder. Betrakta återen rullande cylinder med radien b, massaM och tröghetsmoment I 0 . Beräknatyngdpunktens hastighet när cylindernfallit sträckan h.