ampirik kip ayrışımı için kübik esnek şerit aradeğerleme yönteminin ...

Bir sonraki adımda kübik esnek şeritlerin üçüncü özelliği
kullanılırsa eşitlik (4) elde edilir.
′( ) = ′( )
‘ () =
‘ ( ) = 3 ( − ) +2 ( − )
+
= 3 ( − ) +2 ( − )+
Üçüncü adım olarak da kübik esnek şeritlerin dördüncü
özelliği kullanıldığında yine eşitlik (5) için elde edilir.
′′() = ′′(), ′′() = ′′() = 6 ( − ) + 2 ′′() = 6 ( − ) + 2 2 =6 ( − ) + 2 Eşitlik (5)'de ℎ= − ve ′′() = ifadeleri
kullanılırsa
2 =6ℎ + 2 =
(6)
+ 6ℎ
katsayısı da elde edilmiş olur. Bulunan sonuçlarda
katsayısının diğer denklemlerle tekrar düzenlenmesiyle
birlikte genel formüller aşağıdaki gibi olur.
= +
6ℎ
= 2
= + +ℎ
ℎ
− 2 6
= n adet kontrol noktası bulunan bir kübik şerit için 4 adet
bilinmeyen var demektir. Fakat yukarıdaki işlemlerle ancak
4-2 adet denklem elde edilebilir. Bu da sınırlardan
kaynaklanmaktadır. Bu sorunu çözmek için sınır koşulları
belirlenmelidir. Bu noktada belirlenen üç adet durum vardır ve
bu durumlar için üç farklı kübik esnek şerit ortaya çıkar:
• Natural Splines: Bu şeritlerde n noktalı kübik şeritte baş
ve son noktanın ikinci türevleri 0 kabul edilir. Yani,
(4)
(5)
(7)
=0 ve =0 (8)
• Clamped Splines: Şeridin baş ve son noktalarının birinci
türevlerine sabit sayılar atanır.
′ ( ) = ve ′ ( ) = (9)
• Not-a-Knot Splines: Üçüncü türevler eşitlenir.
′′′ ()=′′′ () ′′′ ()=′′′ () (10)
Bu çalışmada yaygın olarak kullanılması sebebiyle natural
spline sınır koşulları kabul edilmiştir. Sınır koşullarının
belirlenmesi ile elde edilen 4n adet denklem eşitlik (11)'de
görülen bir tri-diagonal matris sistemine indirgenebilir. Bu
matris sisteminin çözülmesi sonucunda bulunan değerler
(ikinci türevler) de eşitlik (7)'de yerine konulduğunda kübik
esnek şeritler çizilmeye başlanabilir.
3. APKD ÜZERİNDE GERÇEKLEME
Yukarıda yapılan işlemler ve sonuçtaki katsayıların
çıkarımları göz önünde bulundurulduğunda gelen kontrol
noktalarının indisleri, değerleri, matris değerleri ve ikinci
türev sonuçlarının bir bellekte saklanması gerektiği görülür.
Buna çözüm olarak tasarımda gelen indis ve değerleri için
birer, matrise dönüştürülmüş denklemlerde matrisin sağ ve sol
tarafı için birer ayrıca ikinci türev sonuçları için bir adet
olmak üzere toplamda beş adet RAM yapısı kullanılmıştır.
Bunlara ek olarak girişe gelen ve RAM bellekte saklanan
ardışık verileri birlikte kullanma ihtiyacı olduğundan dolayı
(örneğin matrisin sağ tarafının ikinci satır elemanı
hesaplanacağı sırada , , , , ve değerleri) 3 adet D
tipi yaz boz içeren bir kaydırmalı kaydedici (KK)
tasarlanmıştır.
Tasarımda öncelikli amaç kontrol noktaları gelmeye
başladığı anda indis, değer ve matrisler için ayrılan RAM
yapılarına veri yazmaya başlamak ve son kontrol noktası
geldiğinde matrislerin yerine koyma işlemi ile çözülebilecek
sadelikte olmasıdır. Bu amaç doğrultusunda tasarımın genel
mimarisi Şekil 1'deki gibi oluşturulmuştur.
3.1. LHSM Hesapla Öbeği
Şekil 2’de görülen LHSM hesaplama yapısı tri-diagonal
matrisin sol tarafındaki sayıları yukarıdan aşağıya doğru gelen
sayılara uygun olarak köşegenin solundaki elemanları (2.
satırda ℎ, 3. satırda ℎ vb.) yok edecek şekilde hesaplar ve
LHSM RAM ine gönderir. Matristeki ℎ elemanları indis
değerlerine döndürülürse,
ℎ = − 2(ℎ +ℎ )=2( − ) (12)
Şekil 3’deki blok verilerin indirgenip köşegen verilerinin
RAM belleğe gönderilmesini sağlar. Elde edilen tridiagonal
matriste köşegen elemanlarının sağ tarafındaki
değerlerin ayrı bir RAM de tutulmasına gerek yoktur.
Çünkü bu veriler indislerin tutulduğu matriste zaten
mevcuttur ve tridiagonal matrislerin özelliğinden dolayı
indirgeme sonucu herhangi bir değişikliğe uğramazlar.
(11)