ITAP Fizik Olimpiyat Okulu

Soru 11. Şekildeki gösterilen devrede K anahtarı açık iken devrede serbest elektrik
titreşimi yapılmaktadır. Devredeki akım maksimum değerini
aldığı, akım I0 olduğu anda K anahtarı kapatılıyor. Anahtar
kapatıldıktan sonra kondansatörün maksimum gerilimi ne
kadar olabilir? Devrenin parametreleri şekilde verilmiştir.
1. Çözüm: Denklemleri daha kısa ve boyutsuz şekilde yazmak için I 1,
C = 1 ve
L 1 sırasıyla akım, sığa ve indüktans birimi olsun. Buna göre
1 =
2 L1
E0
= CI 0 , V = I 0
C
L1
,ve τ 0 =
C
L1C sırasıyla enerji, gerilim ve zaman birimi oluyor.
K anahtarı açık iken devrede q = −sin
t yasasına göre serbest titreşim yapılmaktadır
( ω =
1
= 1,akım
ise
L C
i = cost
’ye eşittir). Anahtar kapatıldıktan sonra devrenin
1
indüktansı
L
L L
L + L
1 2
2
= = ’ye, açısal frekans ise
1
2
L
1+ L
oluyor. İlk anda q = 0,
akım ise q& ( t = 0)
= 1,
yani
2
1
0 =
1+
L
L
2
ω = = ’ye eşit
2 ⎧q&
& + ω q = 0
⎪
⎨q(
t = 0)
= 0
⎪
⎩
q&
( t = 0)
= 1
diferansiyel denklemine gelinir. Denk(1)’in çözümü
(1)
q ωt
ω cos
1
= −
(2)
1
Denk(2)’den VC max = qmax
= buluruz, boyutlu şekilde ise
ω
VC max = I 0
L1L
2
C L + L
(Cevap).
( )
1
2
2. Çözüm: Devredeki enerji bobinde ve kondansatörde depolanmaktadır:
1 2 2
EL = ( L1I
1 + L2I
2 ) ve E C
2
1 2
= CVC
, yani
2
1 2 2 2
E = ( L1I
1 + L2I
2 + CVC
) = Ei
2
1 2
= L1I
0
2
(3)
Anahtar kapatıldığında, bobinler paralel olduğuna göre V L1
= VL2
, yani
dI1
L1
= L2
dt
dI 2 ⇒ L 1 I1
− L2I
2
dt
= sabit . İlk anda I 1 = I 0 ve I 2 = 0 , yani sabit = L1I
0 ⇒
L I − L I = L I
(4)
ITAP Fizik Olimpiyat Okulu
1
1
2 2
+ I 2
1
0
Aynı anda I 1 = I C . I C = 0 iken kondansatörün yükü ve gerilimi maksimum
haldedir. Yani bu durumda I1 = −I
2 ve Denk(4)’de göre
L1
I1
= I0
L + L
(5)
1
2
LC
2