You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Soru 4. Sığası C olan boş bir kondansatörün uçları, gerilimi ε ve indüktansı L olan bir<br />
bobinle seri bağlı olan bir elektrik kaynağına bağlanıyor. Bu devrede elektrik titreşimi<br />
oluşuyor. Elektrik akımı sıfır olduğu anda kondansatör devreden çıkarılıyor ve uçların<br />
yerlerini değiştirip yine devreye bağlanıyor. Bu durumda elektrik akımın maksimum<br />
değeri ne kadar olacaktır?<br />
Çözüm: Denklemleri daha kısa ve boyutsuz şeklinde yazmak için ε = 1,<br />
C = 1 ve<br />
L = 1 sırasıyla gerilim, sığa ve indüktans birimi olsun. Buna göre<br />
2<br />
E 0 = Cε<br />
, I 0 = ε<br />
C<br />
,ve τ 0 =<br />
L<br />
LC sırasıyla enerji, akım ve zaman birimi oluyor.<br />
İlk anda kondansatördeki yük q ( t = 0)<br />
= 0 , akım ise bobinin eylemsizliğinden<br />
dolayı I = q&<br />
( t = 0)<br />
= 0 dır. Anahtar kapalı iken bobindeki gerilim<br />
di<br />
VL = L = q&<br />
& ,<br />
dt<br />
q<br />
kondansatördeki ise VC = = q . Kirchoff’un kurallarına göre V L<br />
C<br />
q& & + q = 1.<br />
İlk duruma bakıldığında<br />
+ VC<br />
= ε , yani<br />
⎧q&<br />
& + q = 1<br />
⎪<br />
⎨q<br />
= 0<br />
⎪<br />
⎩q&<br />
= 0<br />
diferansiyel denklemine gelinir. Bu denklemin çözümü<br />
(1)<br />
q = 1− cost<br />
(2)<br />
Akım ise i = q&<br />
= sin t . Buna göre t = nπ<br />
anlarda akım sıfır oluyor, burada n doğal bir<br />
sayıdır.<br />
t = ( 2n1<br />
+ 1)<br />
π = nπ<br />
iken (yani n herhangi bir tek doğal sayı olduğunda)<br />
q = 1 − cost<br />
= 2 ve bu değerin tersi ikinci bağlantıda diferansiyel denklemin ilk koşulu<br />
oluyor:<br />
⎧q&<br />
& + q = 1<br />
⎪<br />
⎨q<br />
= −2<br />
⎪<br />
⎩q&<br />
= 0<br />
(3)<br />
Denk(4)’n çözümü q = 1− 3cost<br />
, akım ise i = q&<br />
= −3sin<br />
t . Buna göre akımın<br />
C<br />
maksimum değeri I max = 3,<br />
boyutlu şeklinde I max = 3ε<br />
. (Cevap)<br />
L<br />
t = 2 n1π<br />
= nπ<br />
iken (yani n herhangi bir çift doğal sayı olduğunda) q = 1 − cost<br />
= 0 ve<br />
yeni durumda diferansiyel denklem Denk(1)’ye özdeştir: çözümü q = 1− cost<br />
, akım<br />
ise i = q&<br />
= sin t . Buna göre bu durumda maksimum akım birdir, boyutlu şekilde ise<br />
I max = ε<br />
C<br />
(Cevap)<br />
L<br />
Bu soru enerji koruma yöntemiyle de çözülebilir.<br />
<strong>ITAP</strong> <strong>Fizik</strong> <strong>Olimpiyat</strong> <strong>Okulu</strong>
Change language