You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>ITAP</strong> <strong>Fizik</strong> <strong>Olimpiyat</strong> <strong>Okulu</strong> 01 Eylül 2010 Deneme Sınavı<br />
(Prof.Dr.Ventsislav Dimitrov)<br />
Konu: Elektrik Devrelerinde İndüktans<br />
Soru 1. Şekildeki gösterilen devrede ilk anda K1 ve K2 anahtarları açıktır. K1 anahtarı<br />
kapatılıyor ve kondansatörün gerilimi U 0 = ε / 2<br />
olduğunda K 2 anahtarı da kapatılıyor. K2 anahtarı<br />
kapatıldığı anda bobinin uçları arasındaki gerilim ne<br />
kadardır? Sistem denge durumuna geldiğinde<br />
kondansatörün gerilimi ne kadardır? (Elektrik<br />
kaynakların iç direncini ihmal ediniz.)<br />
Çözüm: K1 anahtarı kapalı, K2 ise açık iken kondansatör dolmaya başlıyor.<br />
Kirchoff’un kurallarına göre herhangi kapalı bir döngüde voltaj düşümü döngüdeki net<br />
emk’ya eşittir: devredeki sol döngü için (dönme saat boyunca) = ε V V . Ardından<br />
C + R11<br />
K2 anahtarı kapıldığında sağ döngü için ise V L −V R 1 + V 2 = ε<br />
1 R . Fakat K2 kapatıldıktan<br />
1<br />
hemen sonra indüktansın ‘eylemsizliği’ sebebiyle bobinden geçen akım sıfırdır, yani<br />
V 0 veya V = + V = ε + ( ε −V<br />
) .<br />
R2<br />
=<br />
L<br />
ε R 1<br />
1<br />
C<br />
ε<br />
3<br />
O anda V C = olduğuna göre V L = ε (Cevap).<br />
2<br />
2<br />
Bobin ile kondansatör farklı döngülerde olduğuna göre devrede elektrik titreşimi<br />
oluşmuyor, yani devre kısa veya uzun süre sonra denge durumuna geliyor: bu<br />
durumda kondansatör maksimum bir yüke kadar doluyor ve sol döngüde akım<br />
sıfırdır, sağa döngüde ise akım sabit olarak<br />
R R<br />
ε<br />
I = ’ye eşittir. Buna göre<br />
+<br />
εR<br />
1<br />
1 2<br />
VC = ε −V<br />
R11<br />
= ε + IR1<br />
= ε + = ε (Cevap)<br />
R1<br />
+ R2<br />
R1<br />
+ R2<br />
1<br />
2R<br />
+ R<br />
<strong>ITAP</strong> <strong>Fizik</strong> <strong>Olimpiyat</strong> <strong>Okulu</strong><br />
2
Soru2. İndüktansları L1 ve L2 olan bobinler arasında bir ideal diyotla kısa devre<br />
oluşturuyor(şekildeki gibi). İlk anda K anahtarı açık,<br />
kondansatör ise U0 gerilime kadar yüklüdür. Anahtar<br />
kapatılıyor ve bilinen bir sürede kondansatörün gerilimi<br />
sıfır oluyor. Bu anda L1 bobininden geçen akım ne<br />
kadardır? Ardından kondansatör maksimum bir gerilime<br />
kadar yükleniyor. Bu gerilim ne kadardır? Devreden açığa<br />
çıkan ısıyı ihmal ediniz.<br />
Çözüm: Denklemleri daha kısa yazmak için U 1,<br />
C = 1 ve L 1 sırasıyla gerilim,<br />
0 =<br />
sığa ve indüktans birimi olsun. Buna göre akım birimi<br />
1 =<br />
C<br />
I 0 = U 0 oluyor ve<br />
L<br />
1<br />
L2<br />
L =<br />
L<br />
ikinci bobinin indüktansıdır. Anahtar kapatıldığında bobinler ve kondansatör bir<br />
titreşim döngüsü oluşturuyor. İlk anda kondansatör boşalırken diyot D akımın L2’den<br />
geçmesine engel oluyor ve tüm akım L1’den geçmektedir. Enerji koruma yassına<br />
2 2 2<br />
C<br />
göre UC + I L1<br />
= U 0 = 1.<br />
UC sıfır iken I L1<br />
= 1:<br />
boyutlu şekilde I L 1 = I 0 = U 0 (Cevap).<br />
L<br />
L1-L2 döngüsü için her bir anda ε L1<br />
+ ε L2<br />
= 0 (döngüde direnç yok), yani<br />
dI L1<br />
L1<br />
+ L2<br />
dt<br />
dI L2<br />
= 0 buradan<br />
dt<br />
d( I L1<br />
+ LI L2<br />
) = 0 veya I L 1 + LI L2<br />
= sabit . L2 devreye<br />
girmeden bir an önceki durumda (IL1=1, IL2=0 iken) I L 1 + LI L2<br />
devrede rol aldıktan sonra her bir an için:<br />
= 1 = sabit , yani L2<br />
I L1<br />
+ LI L2<br />
= 1.<br />
(1)<br />
Kondansatörün gerimi maksimum iken (yani maksimum yüklü iken) ondan geçen<br />
akım sıfırdır. Bu anda I L1<br />
= I L2<br />
ve Denk(1)’e göre<br />
1<br />
I L1<br />
= I L2<br />
=<br />
1+<br />
L<br />
(2)<br />
Enerji koruma yasasına göre ise<br />
2 2<br />
+ I<br />
2<br />
+ LI<br />
2<br />
= U = 1,<br />
buradan ve Denk(2)’den<br />
2<br />
U C max<br />
1 L<br />
= 1−<br />
= . Boyutlu şekilde<br />
1+<br />
L 1+<br />
L<br />
U C max L1<br />
L2<br />
0<br />
2<br />
U C max = U 0 (Cevap)<br />
L1<br />
+ L2<br />
<strong>ITAP</strong> <strong>Fizik</strong> <strong>Olimpiyat</strong> <strong>Okulu</strong><br />
L<br />
1<br />
1
Soru 3. Devredeki K anahtarı açık iken sığası C=20µF olan kondansatör U0=12V<br />
gerilime kadar yüklüdür. Bobinin indüktansı L=2H, elektrik<br />
kaynağın gerilimi ε=5V, D ise ideal bir diyottur. Anahtar<br />
kapatıldıktan sonra devredeki akımın maksimum değeri ne<br />
kadardır? Devre durgun hale geldiğinde kondansatörün<br />
gerilimi ne kadardır?<br />
Çözüm: Denklemleri daha kısa ve boyutsuz şeklinde yazmak için ε = 1,<br />
C = 1 ve<br />
L = 1 sırasıyla gerilim, sığa ve indüktans birimi olsun. Buna göre<br />
2<br />
E 0 = Cε<br />
, I 0 = ε<br />
C<br />
,ve τ 0 =<br />
L<br />
LC sırasıyla enerji, akım ve zaman birimi oluyor.<br />
Devredeki döngünün yönünü D boyunca alalım (ters yönde diyot akım geçirmiyor).<br />
Buna göre ilk anda kondansatördeki yük q( t = 0)<br />
= −U<br />
0 , akım ise bobinin<br />
eylemsizliğinden dolayı I = q&<br />
( t = 0)<br />
= 0 dır. Anahtar kapalı iken bobindeki gerilim<br />
di<br />
VL = L = q&<br />
& , kondansatördeki ise<br />
dt<br />
q<br />
VC = = q . Kirchoff’un kurallarına göre<br />
C<br />
V L + VC<br />
= −ε<br />
, yani q& & + q = −1.<br />
İlk duruma bakıldığında<br />
⎧q&<br />
& + q = −1<br />
⎪<br />
⎨q<br />
= −U<br />
0<br />
⎪<br />
⎩q&<br />
= 0<br />
(1)<br />
diferansiyel denklemine gelinir. Bu denklemin çözümü<br />
q = −(<br />
( U 0 −1)<br />
cost<br />
+ 1)<br />
Akım ise<br />
(2)<br />
i = q&<br />
= ( U 0 −1)<br />
sin t<br />
(3)<br />
Denk(3)’ye göre akımın maksimum değeri I = U −1)<br />
’ye eşittir. Boyutlu şeklinde<br />
ise I max = ( U 0 − ε )<br />
C<br />
= 7<br />
L<br />
10mA<br />
≈ 0.<br />
022A<br />
(Cevap).<br />
Akım sıfır olduğunda ( t = π anda) devre tıkanıyor (diyot ters yönde akım geçirmez)<br />
ve durgun hale geliyor. Bu durumda = q = −(<br />
− ( U 0 −1)<br />
+ 1)<br />
= U 0 − 2 , boyutlu<br />
şeklinde ise VC = U 0 − 2ε<br />
= 2V<br />
(Cevap)<br />
Bu soru enerji koruma yöntemiyle de çözülebilir.<br />
V C<br />
max<br />
<strong>ITAP</strong> <strong>Fizik</strong> <strong>Olimpiyat</strong> <strong>Okulu</strong><br />
( 0
Soru 4. Sığası C olan boş bir kondansatörün uçları, gerilimi ε ve indüktansı L olan bir<br />
bobinle seri bağlı olan bir elektrik kaynağına bağlanıyor. Bu devrede elektrik titreşimi<br />
oluşuyor. Elektrik akımı sıfır olduğu anda kondansatör devreden çıkarılıyor ve uçların<br />
yerlerini değiştirip yine devreye bağlanıyor. Bu durumda elektrik akımın maksimum<br />
değeri ne kadar olacaktır?<br />
Çözüm: Denklemleri daha kısa ve boyutsuz şeklinde yazmak için ε = 1,<br />
C = 1 ve<br />
L = 1 sırasıyla gerilim, sığa ve indüktans birimi olsun. Buna göre<br />
2<br />
E 0 = Cε<br />
, I 0 = ε<br />
C<br />
,ve τ 0 =<br />
L<br />
LC sırasıyla enerji, akım ve zaman birimi oluyor.<br />
İlk anda kondansatördeki yük q ( t = 0)<br />
= 0 , akım ise bobinin eylemsizliğinden<br />
dolayı I = q&<br />
( t = 0)<br />
= 0 dır. Anahtar kapalı iken bobindeki gerilim<br />
di<br />
VL = L = q&<br />
& ,<br />
dt<br />
q<br />
kondansatördeki ise VC = = q . Kirchoff’un kurallarına göre V L<br />
C<br />
q& & + q = 1.<br />
İlk duruma bakıldığında<br />
+ VC<br />
= ε , yani<br />
⎧q&<br />
& + q = 1<br />
⎪<br />
⎨q<br />
= 0<br />
⎪<br />
⎩q&<br />
= 0<br />
diferansiyel denklemine gelinir. Bu denklemin çözümü<br />
(1)<br />
q = 1− cost<br />
(2)<br />
Akım ise i = q&<br />
= sin t . Buna göre t = nπ<br />
anlarda akım sıfır oluyor, burada n doğal bir<br />
sayıdır.<br />
t = ( 2n1<br />
+ 1)<br />
π = nπ<br />
iken (yani n herhangi bir tek doğal sayı olduğunda)<br />
q = 1 − cost<br />
= 2 ve bu değerin tersi ikinci bağlantıda diferansiyel denklemin ilk koşulu<br />
oluyor:<br />
⎧q&<br />
& + q = 1<br />
⎪<br />
⎨q<br />
= −2<br />
⎪<br />
⎩q&<br />
= 0<br />
(3)<br />
Denk(4)’n çözümü q = 1− 3cost<br />
, akım ise i = q&<br />
= −3sin<br />
t . Buna göre akımın<br />
C<br />
maksimum değeri I max = 3,<br />
boyutlu şeklinde I max = 3ε<br />
. (Cevap)<br />
L<br />
t = 2 n1π<br />
= nπ<br />
iken (yani n herhangi bir çift doğal sayı olduğunda) q = 1 − cost<br />
= 0 ve<br />
yeni durumda diferansiyel denklem Denk(1)’ye özdeştir: çözümü q = 1− cost<br />
, akım<br />
ise i = q&<br />
= sin t . Buna göre bu durumda maksimum akım birdir, boyutlu şekilde ise<br />
I max = ε<br />
C<br />
(Cevap)<br />
L<br />
Bu soru enerji koruma yöntemiyle de çözülebilir.<br />
<strong>ITAP</strong> <strong>Fizik</strong> <strong>Olimpiyat</strong> <strong>Okulu</strong>
Soru 5. Şekildeki devrede K anahtarı kapalıyken serbest elektrik titreşimi<br />
yapılmaktadır. Sığası C1 olan kondansatör gerilimi maksimum<br />
ve U0’a eşit iken K anahtarı açılıyor. Kondansatör C1’de gerilim<br />
sıfır iken devredeki akımın değerini bulunuz. C 2 > C1<br />
.<br />
Çözüm: Denklemleri daha kısa ve boyutsuz şeklinde yazmak için U 0 = 1,<br />
C 1 = 1 ve<br />
L = 1 sırasıyla gerilim, sığa ve indüktans birimi olsun. Buna göre<br />
2<br />
E 0 = C1U<br />
0 , I 0 = U 0<br />
C1<br />
,ve τ 0 =<br />
L<br />
LC1<br />
sırasıyla enerji, akım ve zaman birimi oluyor.<br />
İlk anda C1 kondansatöründeki yük q t = 0)<br />
= C U = 1 = max , akım ise I = q&<br />
( t = 0)<br />
= 0<br />
( 1 0<br />
di<br />
(o anda yük maksimumdur). Anahtar kapalı iken bobindeki gerilim VL = L = q&<br />
& ,<br />
dt<br />
q<br />
kondansatördekiler ise VC 1 =<br />
C<br />
q2<br />
= q , VC 2 =<br />
C<br />
q2<br />
C2<br />
= ’ye eşittir. C = > 1.<br />
Kirchoff’un<br />
C<br />
C<br />
1<br />
q2<br />
kurallarına göre V L + VC1<br />
+ VC<br />
2 = 0 , yani q& & + q + = 0 . Yük koruma yasasına göre<br />
C<br />
− q + q2<br />
= −1(kondansatörlerin<br />
arasındaki bölgede toplam yük ilk yüke, yani -1’re<br />
eşittir) veya<br />
⎧ q −1<br />
⎪q&<br />
& + q + = 0<br />
C<br />
⎪<br />
⎨q<br />
= 1<br />
⎪q&<br />
= 0<br />
⎪<br />
⎩<br />
⇒<br />
⎧ 2 1<br />
⎪q&<br />
& + ω q =<br />
C<br />
⎪<br />
⎨q<br />
= 1<br />
⎪q&<br />
= 0<br />
⎪<br />
⎩<br />
(1)<br />
2 C + 1<br />
diferansiyel denklemine gelinir; burada ω = . Bu denklemin genel çözümüdür.<br />
C<br />
1<br />
+ A ( ω + α ) ve i = q = −ω<br />
Asin(<br />
ωt<br />
+ α )<br />
2<br />
q =<br />
ω C<br />
cos t<br />
& .<br />
1<br />
C<br />
İlk duruma göre (t=0) α = 0 ve q(<br />
t = 0)<br />
= + A = 1,<br />
buradan A = ve<br />
2<br />
ω C<br />
C + 1<br />
C<br />
1<br />
C<br />
q = cos(<br />
ω t)<br />
+ ve i = q&<br />
= −ω<br />
sin(<br />
ωt)<br />
.<br />
C + 1 C + 1<br />
C + 1<br />
(2)<br />
VC = q = 0 iken<br />
1<br />
⎧ 2 1<br />
⎪<br />
cos ωt<br />
= 2<br />
C<br />
⇒ ⎨<br />
⇒ i<br />
2<br />
⎪ 2 C −1<br />
sin ωt<br />
=<br />
⎪<br />
2<br />
⎩ C<br />
Boyutlu şeklinde<br />
i<br />
2<br />
2<br />
2 ⎛ C ⎞<br />
= ω ⎜ ⎟<br />
⎝ C + 1⎠<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( C −1)(<br />
C + 1)<br />
C + 1 C ( C −1)(<br />
C + 1)<br />
C<br />
2<br />
=<br />
C<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ C + 1⎠<br />
( C − C )<br />
2 C2<br />
− C1<br />
C1<br />
2 1 C1<br />
= U 0<br />
, buradan i = U 0<br />
(Cevap)<br />
C L<br />
C L<br />
2<br />
1<br />
C<br />
2<br />
C −1<br />
=<br />
C<br />
<strong>ITAP</strong> <strong>Fizik</strong> <strong>Olimpiyat</strong> <strong>Okulu</strong>
2. Yöntemle Çözüm: Bu soru enerji koruma yöntemiyle çok kısa bir şekilde çözülür.<br />
İlk durumda ( q 1 = 1,<br />
i = 0)<br />
devredeki enerji Ei =<br />
2<br />
q1<br />
C<br />
1<br />
= ,<br />
2<br />
ikinci durumda<br />
( q = ; q = −1)<br />
ise<br />
1<br />
0 2<br />
q<br />
2C<br />
göre E f = Ei<br />
, buradan<br />
( C − C )<br />
2 1 C1<br />
i = U 0<br />
(Cevap)<br />
C L<br />
2<br />
2<br />
1<br />
Li<br />
2<br />
1<br />
2C<br />
1<br />
i<br />
2<br />
E f =<br />
2<br />
2<br />
+<br />
2<br />
= +<br />
2<br />
’ye eşittir. Enerji koruma yasasına<br />
2 1<br />
1 1 2 1 C −1<br />
+ i = ⇒ i = , boyutlu şekilde<br />
2C<br />
2 2 C<br />
<strong>ITAP</strong> <strong>Fizik</strong> <strong>Olimpiyat</strong> <strong>Okulu</strong>
Soru 6. Şekildeki gösterilen devrede K anahtarı ilk anda açıktır. İnduktansı L olan<br />
bobinin direnci r dir. Devredeki diğer dirençlerin<br />
değerleri şekilde verilmiştir. Anahtar kapatıldıktan<br />
sonra AB telinden ne kadar yük geçecek? Tel AB’nin<br />
ve elektrik kaynağının direncini ihmal ediniz.<br />
Çözüm: Denklemleri daha kısa ve boyutsuz şeklinde yazmak için ε = 1,<br />
r = 1 ve<br />
ε L<br />
L = 1 sırasıyla gerilim, direnç ve indüktans birimi olsun. Buna göre I 0 = , T 0 = ,ve<br />
r rR<br />
εL<br />
Q0<br />
= sırasıyla akım, zaman ve yük birimi oluyor.<br />
2<br />
r<br />
L’den geçen akım i1, AB’den ise i olsun. Buna göre R dirençlerinden geçen akım<br />
( i + i1)<br />
, r’den ise ( 2i<br />
+ i1)<br />
’dir. Tel AB’den, L ve r dirençten oluşan döngüde toplam<br />
voltaj düşümü sıfır olduğuna göre<br />
di1<br />
di1<br />
1 di1<br />
1<br />
( 2i<br />
+ i1<br />
) r − i1r<br />
− L = 0 , yani ( 2i<br />
+ i1<br />
) − i1<br />
− = 0 ⇒ i = ⇒ dq = idt = di1<br />
⇒<br />
dt<br />
dt 2 dt<br />
2<br />
1<br />
q = ( i1<br />
f − i1i<br />
)<br />
(1)<br />
2<br />
Denk(1)’de i1f devre durgun durumdayken bobinden geçen akım, i1i ise ilk andaki<br />
akımdır. Bobinin eylemsizliğinden dolayı<br />
i 1 i = 0 . (2)<br />
Devre durgun halinde iken AB’den akım geçmez, diğer akımlar ise sabittir, yani<br />
ε 1<br />
i1 f = =<br />
(3)<br />
R + r 1+<br />
R<br />
1<br />
1 εL<br />
1 εL<br />
Denk(1-3)’ten q = . Boyutlu şeklinde ise q = = . (Cevap)<br />
2<br />
2(<br />
1+<br />
R)<br />
⎛ R ⎞ r ( r + R)<br />
r<br />
⎜1+<br />
⎟<br />
⎝ r ⎠<br />
<strong>ITAP</strong> <strong>Fizik</strong> <strong>Olimpiyat</strong> <strong>Okulu</strong>
Soru 7. Şekildeki gösterilen elektrik titreşimi hafif sönmelidir. Titreşimin sönmemesi<br />
için devrede akım her bir an sıfır iken induktans L çubuk<br />
(titreşimin periyotuna göre) bir şekilde ∆L (∆L
Soru 8. Devredeki K1 ve K2 anahtarları ilk anda açıktır. Önceden K1 kapatılıyor.<br />
İndüktansı L olan bobinden geçen akımın değeri I0<br />
olduğunda K2 anahtarı de kapatılıyor. K2 kapatıldığı<br />
anda bobindeki gerilim ne kadardır? Devre durgun<br />
hale geldiğinde kondansatörün gerilimi ne kadar<br />
olacaktır? Elektrik kaynakların iç direncini ihmal ediniz.<br />
Elektrik aletlerinin değerleri şekilde verilmiştir.<br />
Çözüm. K1 anahtarı kapatıldıktan bir süre sonra bobinin bulunduğu döngüde akım<br />
sıfırdan I0‘a artıyor. K2 anahtarı kapandığı anda indüktansın eylemsizlik özelliği<br />
sebebiyle I0 akım hemen değişmiyor. Buna göre o anda L’den geçen akım I0, R1’den<br />
(yukarıdan aşağı doğru) I1, R2 ise I2 dir ve<br />
I 1 + I 2 = I 0<br />
(1)<br />
Kirchoff’un yasalarına göre<br />
V L + VR1<br />
= ε<br />
(2)<br />
−V R1<br />
+ VR2<br />
= ε<br />
(3)<br />
Denk(1) ve (3) bir denklem sistemi oluşturuyor:<br />
⎧I1<br />
+ I 2 = I 0<br />
⎨<br />
(4)<br />
⎩−<br />
I1R1<br />
+ I 2R2<br />
= ε<br />
− I 0R<br />
2<br />
Bu sisteme göre I1<br />
= −<br />
R + R<br />
ε<br />
ve Denk(2)’ye göre<br />
( 2R<br />
+ R )<br />
1<br />
2<br />
VL =<br />
1 2 − I 0R1<br />
R2<br />
R1<br />
+ R2<br />
ε<br />
(Cevap)<br />
Devre durgun hale geldiğinde C’den akım geçmiyor ve L’deki gerilim sıfırdır:<br />
Kirchoff’un yasalarına göre I 1R1<br />
= ε (sol döngüden) ve − I1 R1<br />
+ VC<br />
= ε (sağ döngü).<br />
Buradan = ε + I R = 2ε<br />
. (Cevap)<br />
V C<br />
1<br />
1<br />
<strong>ITAP</strong> <strong>Fizik</strong> <strong>Olimpiyat</strong> <strong>Okulu</strong>
Soru 9. İndüktansı L1 ve L2 olan süper iletkenden yapılmış bobinler, sığası C olan bir<br />
kondansatörle seri olarak şekildeki gibi bağlıdır. İlk anda<br />
K1 ve K2 anahtarları açık, kondansatör ise U0 gerilime<br />
kadar yüklüdür. İlk başta K1 anahtarı ve ardından<br />
kondansatörün gerilimi sıfır olduğunda K2 anahtarı<br />
kapatılıyor. Bu andan bilinen bir zaman geçtikten sonra<br />
kondansatör bilinen bir maksimum Um gerilimine kadar<br />
yükleniyor. Bu gerilim ne kadardır? K2 anahtarı<br />
kapanmadan bir an önce bobinlerden geçen akım ne<br />
kadardır?<br />
Çözüm: K1 anahtarı kapatıldıktan sonra kondansatör sıfır gerilime (yüke) kadar<br />
boşalıyor. Kondansatörün gerilimi sıfır iken bobinlerden geçen akımı enerji koruma<br />
yasasına göre buluruz:<br />
( ) 2<br />
1 2 1<br />
CU 0 = L1<br />
+ L2<br />
I1<br />
2 2<br />
Buradan<br />
(1)<br />
I1<br />
= U 0<br />
C<br />
L + L<br />
(Cevap) (2)<br />
1<br />
2<br />
2<br />
K2 anahtarı kapatıldığında L2 bobinin gerilimi her bir an sıfırdır, yani VL 2 = L2<br />
= 0<br />
Buradan I = sabit olduğu gözleniyor. İlk başta<br />
I<br />
2<br />
2<br />
C<br />
= U 0 ’dir (3)<br />
L + L<br />
1<br />
2<br />
ve zamanla sabit kalıyor. Kondansatörün gerilimi maksimum olduğu an C’den ve<br />
dq<br />
dolayısıyla L1’den geçen akım sıfırdır ( I = = 0,<br />
q maksimum iken)<br />
. Enerji koruma<br />
dt<br />
yasasına göre<br />
1 2 1 2 1 2<br />
CU 0 = L2I<br />
2 + CU max<br />
2 2 2<br />
(4)<br />
2<br />
Denk(3)-(4)’ten U 0<br />
2<br />
= L2U<br />
0<br />
L<br />
1<br />
+ L<br />
2<br />
+ U max buluruz, yani<br />
U<br />
L<br />
1<br />
max = U 0 . (Cevap)<br />
L1<br />
+ L2<br />
1<br />
2<br />
<strong>ITAP</strong> <strong>Fizik</strong> <strong>Olimpiyat</strong> <strong>Okulu</strong><br />
dI<br />
dt<br />
.
Soru 10. Şekildeki gösterilen devrede K anahtarı açık iken sığası C olan<br />
kondansatörün gerilimi 5ε’dir, burada ε iç direnci düşük olan<br />
elektrik kaynağının gerilimidir. Anahtarı kapadıktan sonra<br />
indüktansı L olan bobinden geçen akımın maksimum değeri<br />
ne kadar olabilir?<br />
1. Çözüm: Denklemleri daha kısa ve boyutsuz şekilde yazmak için ε = 1,<br />
C = 1 ve<br />
L = 1 sırasıyla gerilim, sığa ve indüktans birimi olsun. Buna göre<br />
2<br />
E 0 = Cε<br />
, I 0 = ε<br />
C<br />
,ve τ 0 =<br />
L<br />
LC sırasıyla enerji, akım ve zaman birimi oluyor.<br />
K anahtarı kapatıldığı anda kondansatördeki yük q ( t = 0)<br />
= 5 , akım ise bobinin<br />
eylemsizliğinden dolayı I = q&<br />
( t = 0)<br />
= 0 dır. Anahtar kapalı iken bobindeki gerilim<br />
di<br />
VL = L = q&<br />
& , kondansatördeki ise<br />
dt<br />
q<br />
VC = = q . Kirchoff’un kurallarına göre<br />
C<br />
V L + VC<br />
= ε , yani q& & + q = 1.<br />
İlk duruma bakıldığında<br />
⎧q&<br />
& + q = 1<br />
⎪<br />
⎨q<br />
= 5<br />
⎪<br />
⎩q&<br />
= 0<br />
diferansiyel denklemine gelinir. Bu denklemin çözümü<br />
(1)<br />
q = 1+ 4cost<br />
(2)<br />
Akım ise i = q&<br />
= −4sin<br />
t . Buna göre i 4 , boyutlu şeklinde ise<br />
max =<br />
C<br />
imax = 4I 0 = 4ε<br />
(Cevap).<br />
L<br />
1 2<br />
2. Çözüm: Devredeki enerji bobinde ve kondansatörde depolanmaktadır: E L = LI L<br />
2<br />
1 2<br />
ve E C = CVC<br />
, yani<br />
2<br />
1 2 2<br />
E = ( I + q )<br />
(3)<br />
2<br />
25<br />
İlk anda q = CVC<br />
= 5 , I = 0 , buna göre E i = . Sistemin enerji değişimi emk’nın<br />
2<br />
yaptığı işe eşittir. İlk anlarda kondansatör boşalırken 5’ten bir q’ya kadar emk’nın<br />
1 2 2 25<br />
yaptığı iş W = −ε<br />
∆q<br />
= −(<br />
5 − q)<br />
. Buna göre E − Ei<br />
= ( I + q ) − = −(<br />
5 − q)<br />
. Buradan<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
I = 15 + 2q<br />
− q ’ye eşittir. (4)<br />
2<br />
Bu fonksiyonun maksimumu q = 1iken<br />
oluşuyor, yani I = 15 + 2 −1<br />
= 16,<br />
buradan<br />
C<br />
I max = 4 , boyutlu şeklinde ise imax = 4I 0 = 4ε<br />
(Cevap).<br />
L<br />
<strong>ITAP</strong> <strong>Fizik</strong> <strong>Olimpiyat</strong> <strong>Okulu</strong><br />
max
Soru 11. Şekildeki gösterilen devrede K anahtarı açık iken devrede serbest elektrik<br />
titreşimi yapılmaktadır. Devredeki akım maksimum değerini<br />
aldığı, akım I0 olduğu anda K anahtarı kapatılıyor. Anahtar<br />
kapatıldıktan sonra kondansatörün maksimum gerilimi ne<br />
kadar olabilir? Devrenin parametreleri şekilde verilmiştir.<br />
1. Çözüm: Denklemleri daha kısa ve boyutsuz şekilde yazmak için I 1,<br />
C = 1 ve<br />
L 1 sırasıyla akım, sığa ve indüktans birimi olsun. Buna göre<br />
1 =<br />
2 L1<br />
E0<br />
= CI 0 , V = I 0<br />
C<br />
L1<br />
,ve τ 0 =<br />
C<br />
L1C sırasıyla enerji, gerilim ve zaman birimi oluyor.<br />
K anahtarı açık iken devrede q = −sin<br />
t yasasına göre serbest titreşim yapılmaktadır<br />
( ω =<br />
1<br />
= 1,akım<br />
ise<br />
L C<br />
i = cost<br />
’ye eşittir). Anahtar kapatıldıktan sonra devrenin<br />
1<br />
indüktansı<br />
L<br />
L L<br />
L + L<br />
1 2<br />
2<br />
= = ’ye, açısal frekans ise<br />
1<br />
2<br />
L<br />
1+ L<br />
oluyor. İlk anda q = 0,<br />
akım ise q& ( t = 0)<br />
= 1,<br />
yani<br />
2<br />
1<br />
0 =<br />
1+<br />
L<br />
L<br />
2<br />
ω = = ’ye eşit<br />
2 ⎧q&<br />
& + ω q = 0<br />
⎪<br />
⎨q(<br />
t = 0)<br />
= 0<br />
⎪<br />
⎩<br />
q&<br />
( t = 0)<br />
= 1<br />
diferansiyel denklemine gelinir. Denk(1)’in çözümü<br />
(1)<br />
q ωt<br />
ω cos<br />
1<br />
= −<br />
(2)<br />
1<br />
Denk(2)’den VC max = qmax<br />
= buluruz, boyutlu şekilde ise<br />
ω<br />
VC max = I 0<br />
L1L<br />
2<br />
C L + L<br />
(Cevap).<br />
( )<br />
1<br />
2<br />
2. Çözüm: Devredeki enerji bobinde ve kondansatörde depolanmaktadır:<br />
1 2 2<br />
EL = ( L1I<br />
1 + L2I<br />
2 ) ve E C<br />
2<br />
1 2<br />
= CVC<br />
, yani<br />
2<br />
1 2 2 2<br />
E = ( L1I<br />
1 + L2I<br />
2 + CVC<br />
) = Ei<br />
2<br />
1 2<br />
= L1I<br />
0<br />
2<br />
(3)<br />
Anahtar kapatıldığında, bobinler paralel olduğuna göre V L1<br />
= VL2<br />
, yani<br />
dI1<br />
L1<br />
= L2<br />
dt<br />
dI 2 ⇒ L 1 I1<br />
− L2I<br />
2<br />
dt<br />
= sabit . İlk anda I 1 = I 0 ve I 2 = 0 , yani sabit = L1I<br />
0 ⇒<br />
L I − L I = L I<br />
(4)<br />
<strong>ITAP</strong> <strong>Fizik</strong> <strong>Olimpiyat</strong> <strong>Okulu</strong><br />
1<br />
1<br />
2 2<br />
+ I 2<br />
1<br />
0<br />
Aynı anda I 1 = I C . I C = 0 iken kondansatörün yükü ve gerilimi maksimum<br />
haldedir. Yani bu durumda I1 = −I<br />
2 ve Denk(4)’de göre<br />
L1<br />
I1<br />
= I0<br />
L + L<br />
(5)<br />
1<br />
2<br />
LC<br />
2
Denk(3) ve (5)’e göre<br />
2 2<br />
2<br />
( L1 L2<br />
) I1<br />
CVCmac<br />
L1I<br />
0 = +<br />
⎛<br />
2 2<br />
+ ⇒ ⎜<br />
⎛ L1<br />
⎞<br />
CV = − ( + )<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎟<br />
C max I 0 L1<br />
L1<br />
L2<br />
⎝<br />
⎝ L1<br />
+ L2<br />
⎠<br />
⇒ ⎟ 2 2 L1<br />
⎛ L1<br />
⎞<br />
L1L2<br />
V = ⎜<br />
C max I 0 1−<br />
⇒ VC max = I 0<br />
(Cevap)<br />
C ⎝ L1<br />
+ L2<br />
⎠<br />
C(<br />
L1<br />
+ L2<br />
)<br />
<strong>ITAP</strong> <strong>Fizik</strong> <strong>Olimpiyat</strong> <strong>Okulu</strong><br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠