Kinematická dvojice, Třídy a - FBMI

fbmi.cvut.cz

Kinematická dvojice, Třídy a - FBMI

Přednáška 1

Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

Kinematická dvojice, Třídy a rozdělení kinematických dvojic, Kinematické

řetězce, Kinematické řetězce průmyslových robotů, Obecný pohyb těles,

Transformační matice pohybu, Charakteristické matice základních pohybů

těles

1.1. Kinematické dvojice

Každý robot nebo manipulátor je po konstrukční stránce složitým mechanismem,

obsahujícím různé konstrukční skupiny, podskupiny, uzly a části, které se nazývají členy

soustavy. V celé soustavě je vždy jeden člen pevný, nazývaný rám a pohyb ostatních členů se

pak obvykle vyšetřuje vzhledem k němu. Vzájemný pohyb členů je realizován

prostřednictvím kloubů, vedení či jiných variant spojení.

Při kinematickém řešení soustavy jsou skutečné tvary těles většinou nepodstatné,

nahrazujeme je zjednodušeným modelem, spolu s modelem jejich vzájemných vazeb.

Dostáváme tak kinematický model reálného mechanismu, v němž jsou členy mezi sebou

vázány prostřednictvím kinematických dvojic.

Kinematická dvojice jsou dva geometrické prvky nebo dvě soustavy prvků, v nichž

dochází ke styku povrchů dvou členů mechanizmu a které vymezují vzájemný pohyb těchto

členů.

Označíme-li jedno těleso r a druhé těleso s, pak poloha členu s vzhledem k členu r (v

souřadnicovém systému tělesa r) je určena šesti parametry. Tři parametry jsou souřadnice

počátku Os souřadnicové soustavy Os,xs,ys,zs, spojené s členem s vyjádřené v souřadnicové

soustavě tělesa r Or,xr,yr,zr. Zbývající tři parametry jsou Eulerovy úhly, vyjadřující pootočení

souřadnicové soustavy Os,xs,ys,zs vůči soustavě Or,xr,yr,zr, viz obrázek 1.1.

Není-li člen s pomyslně připojen k členu r, má vzhledem k němu šest stupňů volnosti

(může se posouvat ve směru os xs, ys, zs – souřadnice xOs, yOs, zOs a může se kolem os xs, ys, zs

natáčet – úhly α, β, γ).

Je-li k němu připojen reálnou vazbou, pak oba členy vytvářejí kinematickou dvojici a

těleso s ztrácí některé ze stupňů volnosti. O které se konkrétně jedná, určuje druh a třída

kinematické dvojice, viz kapitola 1.2. Každá kinematická dvojice má daný počet vazeb mezi

parametry a tím i odpovídající počet vazebních rovnic m, které určují polohu členu

s vzhledem k členu r. Mezi členy s a r dochází k pohybu s:

W = 6 − m

(1.1)

sr

sr

Stránka 1 z 26


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

stupni volnosti. Je zřejmé, že každé hybné spojení členů s a r má msr < 6. V případě, že by

bylo msr = 6, nejedná se o kinematickou dvojici, ale o pevné spojení členů.

xOs

xr

r

zr

zOs

Or

Jiná podoba vzorce (1.1) může být:

zs

s

γ

O s

α

yOs

Obr.1.1. Parametry polohy těles.

6 ⎡


Wsr

= 6 − ⎢∑

k ⋅ p k − p z ⎥

⎣ k=

1 ⎦ , (1.2)

kde jednotlivé symboly znamenají:

Je-li:

k - druh vazby (k = 1, 2,…, 6),

pk - počet vazeb odnímajících tělesu k stupňů volnosti,

pz - počet ztracených (kinematicky i staticky pasivních) vazeb (viz např. šroubová

kinematická dvojice).

Wsr = 0, je těleso uloženo nepohyblivě, staticky určitě,

Wsr > 0 a


1.2. Třídy kinematických dvojic

Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

Kinematické dvojice zařazujeme do pěti tříd, podle počtu vazeb, které vnášejí na

vzájemný pohyb spojených členů. Dále uvedeme pět základních tříd kinematických dvojic.

V jednotlivých třídách je uveden nejtypičtější představitel kinematické dvojice dané třídy a

k němu je vztažen i model reakčních sil. Pro jinak uspořádanou kinematickou dvojici bude

mít bivektor úhrnného silového účinku jiné složky sil a momentů. V obrázcích 1.2 až 1.6 a ve

vztazích 1.3 až 1.12 znamená:

Fi – výsledná vnější síla působící na těleso kinematické dvojice,

Mi – výsledný vnější moment působící na těleso kinematické dvojice,

RA – reakční síla v bodě A,

MRA – reakční moment v bodě A,

MT – moment smykového tření,

FV – odpor valivého tření,

FT – třecí síla

První třídu představuje bodový styk dvou ploch, kdy je jedno těleso na druhé vázáno

pouze v jednom bodu povrchu, viz obrázek 1.2.

x

z

O=A

Mi

RA

Obr.1.2. Kinematická dvojice první třídy.

s

Vazba odnímá tělesu s jeden stupeň volnosti (dále jen ˚V), platí m = 1 a Wsr = 5.

Nositelka reakce je známá. Vznikne pouze jedna neznámá složka reakce RA, takže bivektor

výsledného silového účinku v bodě A je:

r

Fi

y

Stránka 3 z 26


[ 0,

0,

R , 0,

0,

0]

SA Az =

Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

(1.3)

Obrázek 1.2 platí pro ideální případ, kdy není uvažováno tření mezi plochou a hrotem.

Při reálných podmínkách je za pohybu reakce RA odchýlena od normály o třecí úhel φ a

vzniká třecí síla FT. Pak bivektor výsledného silového účinku bude:

T

[ F , F , R , 0,

0,

0]

.

SA

= Tx Ty Az

(1.4)

Druhou třídu tvoří křivkový styk dvou ploch, jedná se o těleso vázané jedním bodem

na hladkou křivku, viz obrázek 1.3.

Mj

x

RAx

z

r Fi

O=A

RAz

Obr.1.3. Kinematická dvojice druhé třídy.

Vazba odnímá tělesu 2˚V, platí m =2 a Wsr = 4. Vznikají dvě neznámé složky reakce

RA, takže bivektor výsledného silového účinku v bodě A je:

S

A =

T

[ R , 0,

R , 0,

0,

0]

.

Ax

Az

s

y

(1.5)

Tato kinematická dvojice se vyskytuje například u vedení kladky po vačce. Při

reálných vazbách vzniká za pohybu odpor proti pohybu (valivý odpor) FV, bivektor

výsledného silového účinku s jeho uvážením nabude tvaru:

S

T

[ R , F , R , 0,

0,

0]

.

A = Ax V Az

(1.6)

Poznámka: bivektor (1.6) platí pouze pro typ kinematické dvojice na obr. 1.3.

Třetí třídu vytváří sférická kinematická dvojice, což je těleso vázané na pevný bod, viz

obrázek 1.4.

Vazba odnímá tělesu 3˚V, platí m = 3 a Wsr = 3. Vznikají tři neznámé složky reakce

RA, bivektor výsledného silového účinku v bodě A je:

Stránka 4 z 26


S

Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

T

[ R , R , R , 0,

0,

0]

.

A = Ax Ay Az

(1.7)

Typickým představitelem této třídy kinematických dvojic je sférický kloub,kde pánev

je pevně uložena a čep umožňuje natáčení kolem os. Při uvážení tření mezi čepem a pánví

vzniká odpor proti pohybu – třecí moment MT a bivektor výsledného silového účinku bude:

S

T

[ R , R , R , M , M , M ] .

A = Ax Ay Az Tx Ty Tz

(1.8)

Poznámka: bivektor (1.7) platí pouze pro sférický kloub. Pro jiné kinematické dvojice, např.

obecnou, má jiný tvar.

x

Mj

O=A

RAx

z

s

r

RAy

Obr.1.4. Kinematická dvojice třetí třídy.

Čtvrtou třídu představuje těleso vázané na válcový posuvný kloub, viz obrázek 1.5.

x

RAx

z

O=A

MRAx

r

Mj

RAy

s

Fi

MRAy

Obr 1.5. Kinematická dvojice čtvrté třídy.

Vazba odnímá tělesu 4˚V, platí m = 4 a Wsr = 2. Vzniknou dvě neznámé složky reakce

RA a dvě neznámé složky reakčního momentu MRA, bivektor výsledného silového účinku

v bodě A je:

S

T

[ R , R , 0,

M , M , 0]

.

A = Ax Ay RAx RAy

(1.9)

Fi

y

y

Stránka 5 z 26


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

Kinematická dvojice na obrázku 1.5 představuje tzv. válcovou kinematickou dvojici,

jejímž reálným představitelem je radiální ložisko, které kromě otáčení čepu umožňuje jeho

posuv ve směru osy rotace.

Při uvážení třecích odporů proti pohybu vzniká ve válcové kinematické dvojici třecí

moment MT bránící otáčení a třecí síla FT působící proti posuvnému pohybu. Při uvážení

těchto odporů bude bivektor výsledných silových účinků:

T

[ R , R , F , M , M , M ] .

S Ax Ay T RAx RAy T

Pátá třída je tvořena tělesem vázaným na válcový kloub se zarážkou, viz obrázek 1.6.

A = (1.10)

r

x

MRAz

z

RAz

RAx O=A

MRAx

Mj

RAy

Obr.1.6. Kinematická dvojice páté třídy.

Vazba odnímá tělesu 5˚V, platí m = 5 a Wsr = 1. Vzniká celkem pět neznámých

reakčních složek, tři složky reakční síly RA a dvě složky reakčního momentu MR. Bivektor

úhrnného silového účinku bude:

A

[ ] T

R , R , R , M , M , 0

S = (1.11)

Ax

Ay

Az

RAx

RAy

a s uvážením momentu odporu proti otáčení MT bude:

S

T

[ R , R , R , M , M , M ] .

A = Ax Ay Az RAx RAy T

(1.12)

Kinematická dvojice na obrázku 1.6 představuje radiálně axiální ložisko, které

umožňuje pouze rotaci čepu kolem osy symetrie.

1.3. Rozdělení kinematických dvojic

V kapitole 1.2. bylo provedeno rozdělení kinematických dvojic do pěti tříd podle

stupňů volnosti, to znamená podle počtu nezávislých pohybů, které může jeden člen

kinematické dvojice vykonávat vůči druhému.

s

Fi

y

Stránka 6 z 26


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

Kinematické dvojice se dají podle způsobu vzájemného dotyku též rozdělit na

kinematické dvojice nižší a vyšší. U nižších kinematických dvojic se členy stýkají v ploše,

mají plošný kontakt, resp., které mohou být provedeny tak, že dochází ke styku v ploše. Jsou

to kinematické dvojice:

a) rotační,

b) posuvná,

c) šroubová,

d) válcová (cylindrická),

e) sférická,

f) plochá (rovinná),

Tab.1.1. Přehled prostorových kinematických dvojic

Druh kinematické dvojice Geometrie

styku

Třída Název Schéma

1 obecná

2

3

4

Stykový

útvar

bod

křivková bod

válcová přímka

rovinná

sférická

rotačně

posuvná

5 posuvná

rovina

kulová

plocha

válcová

plocha

rovinné

plochy

Kinematika styku Statika

styku

Možný

nezávislý

pohyb

Počet Počet složek

˚V reakcí

2 posuvy po

ploše a 3

rotace

1 posuv po

křivce a 3

rotace

2 posuvy a 2

rotace

2 posuvy a 1

rotace

3 rotace

1 posuv

1 rotace

5 1

4 2

3 3

2 4

1 posuv 1 5

Stránka 7 z 26


6

rotační

šroubová

nepohyblivé

spojení

Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

válcová

plocha

1 rotace

šroubová

plocha 1 rotace nebo

1 posuv

obecná

plocha

žádný 0 6

příklady kinematických dvojic jsou přehledně uspořádány v tabulce 1.1.

Vyšší kinematická dvojice je tvořena dvěma členy, které se stýkají v přímce (úsečce,

křivce) nebo bodě. Takovýchto kinematických dvojic je nekonečně mnoho, neboť styčné

křivky mohou mít libovolné tvary. Zavedeme-li si ovšem typy vyšších kinematických dvojic,

je jich konečný počet. Po geometrické stránce lze vyšší kinematické dvojice rozdělit na:

a) styk plochy s plochou (styk ozubených kol),

b) styk křivky s plochou,

c) styk bodu s plochou,

d) styk dvou křivek,

e) styk bodu s křivkou.

U členů dvojic předpokládáme, že jsou hladké, pak typy kinematických dvojic a), b),

c) a d) jsou kinematické dvojice první třídy, jde o tzv. obecnou kinematickou dvojici,

v případě e) jde o kinematickou dvojici druhé třídy, viz tabulka 1.1.

Jestliže je z konstrukčního hlediska nutno zabezpečit stálý styk mezi povrchy členů

kinematické dvojice vnější (přítlačnou) silou, jde o tzv. otevřenou kinematickou dvojici.

Příkladem je styk vačky a zvedátka ventilu u spalovacího motoru. Je-li styk mezi členy

zabezpečen bez vnější síly, např. tvarem povrchu členů, jedná se o uzavřené kinematické

dvojice. Příkladem může být vedení čepu v drážce.

V mechanismech vytvářející polohovací a orientační ústrojí průmyslových robotů a

manipulátorů (dále PRaM) se ve většině případů u pohybových jednotek využívá základních

pohybů. Jedná se o pohyb přímočarý posuvný a rotační, z toho důvodu se v PRaM používají

pouze kinematické dvojice posuvné (někdy nazývané translační), označované P (nebo T) a

rotační, označované R. Oba druhy kinematických dvojic mohou být různého konstrukčního

provedení, a to jednoduchého nebo kombinovaného. Všechna provedení by však měla

odpovídat modelům kinematických dvojic, které splňují statickou určitost ve vzájemné vazbě

Stránka 8 z 26


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

členů. Tomu odpovídají kinematické dvojice konstruované na základě kombinací modelů

dlouhých a krátkých kinematických dvojic, viz obrázek 1.7.

Posuvná kinematická dvojice krátká, viz obrázek 1.7a, umožňuje základní pohyb

tělesa s – posuv ve směru osy y. Vlivem vůlí v uložení a malé tloušťce stěny t členu r je však

umožněno natáčení členu s kolem osy x a z. Kinematická dvojice má proto tři stupně volnosti

a patří do třetí třídy kinematických dvojic. Platí pro ni m = 3 a Wsr = 3 a bivektor výsledných

silových účinků bude:

S

T

[ R , 0,

R , 0,

M , 0]

.

A = Ax Az RAy

(1.13)

a)

x

x

s

O=A

z

O=A

z

t

u

r

s

r

y

y

b)

c) d)

x

z

s

O=A y

s

x

t

O=A

Obr.1.7.Modely kinematických dvojic krátkých a dlouhých.

Posuvná kinematická dvojice dlouhá, viz obrázek 1.7b, umožňuje pouze základní pohyb, a to

posuv ve směru osy y. Vzhledem k velké délce vedení t není umožněno natáčení členu s vůči

r v žádném směru. Má tudíž jeden stupeň volnosti, jedná se proto o kinematickou dvojici páté

třídy. Platí pro ni m = 5 a Wsr = 1 a bivektor výsledných silových účinků bude:

S

T

[ R , 0,

R , M , M , M ] .

A = Ax Az RAx RAy RAz

(1.14)

Rotační kinematická dvojice krátká, viz obrázek 1.7c, realizuje základní pohyb rotační

kolem osy y. Vzhledem k malé hloubce uložení u, členu s v prvku r a vlivem vůle v ložení

kinematická dvojice je schopna realizovat natáčení členu s vůči členu r kolem osy x a z.

u

r

r

y

Stránka 9 z 26


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

Kinematická dvojice má celkem tři stupně volnosti a patří tak do třetí třídy kinematických

dvojic. Platí pro ni m = 3 a Wsr = 3. Bivektor výsledných silových účinků bude:

S

A =

T

[ R , R , R , 0,

0,

0]

.

Ax

Ay

Az

(1.15)

Rotační kinematická dvojice dlouhá, viz obrázek 1.7d, zabezpečuje realizaci

základního pohybu rotačního kolem osy y. Jelikož hloubka uložení u je větší nežli u krátké

kinematické dvojice, je natáčení kolem os z a x znemožněno a kinematická dvojice má pouze

jeden stupeň volnosti a patří do páté třídy kinematických dvojic. Platí pro ni m = 5 a Wsr = 1 a

bivektor výsledných silových účinků bude:

S

T

[ R , R , R , M , 0,

M ] .

A = Ax Ay Az RAx RAz

(1.16)

Celkem výjimečně se v konstrukci PRaM může vyskytnout válcová kinematická

dvojice, viz obrázek 1.8.

a)

x

s

z

O=A

t

r

y

b)

x

s

z

O=A

Obr.1.8. Válcová kinematická dvojice.

Válcová kinematická dvojice krátká (obr.1.8.a) realizuje dva základní pohyby, posuv

ve směru osy y a rotaci kolem této osy. Vzhledem k malé tloušťce stěny t členu r je členu

s umožněno natáčení kolem osy x a z. Kinematická dvojice má čtyři stupně volnosti a patří do

druhé třídy. Platí pro ni m = 4 a Wsr = 2. Bivektor výsledných silových účinků pak bude:

S

T

[ R , 0,

R , 0,

0,

0]

.

A = Ax Az

(1.17)

Válcová kinematická dvojice dlouhá (obr.1.8.b) realizuje dva základní pohyby, posuv

ve směru osy y a rotaci kolem této osy. Větší délka styku obou členů t neumožňuje členu

s natáčení. Kinematická dvojice má proto jen dva stupně volnosti a patří do čtvrté třídy. Platí

pro ni m = 2 a Wsr = 4. Bivektor výsledných stykových účinků bude:

S

T

[ R , 0,

R , M , 0,

M ] .

A = Ax Az RAx RAz

(1.18)

Jako poslední uvedeme šroubovou kinematickou dvojici, viz obrázek 1.9, která je

svým způsobem, vzato, zvláštní.

t

r

y

Stránka 10 z 26


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

r

x

FO

O=A

z

α

Fi

MO

Obr.1.9. Šroubová kinematická dvojice.

Kinematická dvojice má obdobné vlastnosti jako válcová kinematická dvojice dlouhá,

otáčí se a posouvá kolem osy y. Zvláštním ovšem je, že šroubová kinematická dvojice

obsahuje vazbu v podélné ose y. Těleso s se sice může otáčet a posouvat, ale oba pohyby jsou

spolu vázané. Vazební podmínka je:

y = ϕ ⋅ tgα,

(1.19)

kde y je posuv v ose y,

φ je úhel otočení kolem osy y a

α je úhel stoupání závitu.

Takže těleso má pouze 1˚V a kinematická dvojice patří do páté třídy. Vzniká celkem pět

reakcí a bivektor výsledných silových účinků bude:

S

T

[ R , R , R , M , 0,

M ] .

A = Ax Ay Az RAx RAz

(1.20)

Pro rovnováhu šroubu zatíženého osovou silou FO nebo chceme-li šroubem vyvodit

sílu FO, je nutné na šroub připojit moment působící kolem osy šroubu (y) MO o velikosti:

M O O

= F ⋅ r ⋅ tgα,

(1.21)

kde r je střední poloměr závitu a

α je úhel stoupání.

Při reálné vazbě je nutno zavést do šroubového spojení všechny pasivní odpory.

y

Stránka 11 z 26


2.1. Úvod

Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

KINEMATICKÉ ŘETĚZCE

Každý pohybový mechanismus je vytvořen z určitého počtu dílů – členů, které jsou mezi

sebou spojeny kinematickými dvojicemi. Volba druhu kinematických dvojic a členů závisí od

požadavků na celý mechanismus a jeho uzlů.

Základní členy, které se používají, jsou:

1. člen jednoduchý

2. člen dvojnásobný-binární

3. člen vícenásobný (trojnásobný,…)

Z těchto členů se postupným skládáním, podle určitých zásad, vytváří kinematické schéma

mechanismu, neboli kinematický řetězec. Kinematické řetězce dělíme podle různých hledisek

na:

− otevřené, uzavřené a smíšené,

− jednoduché a složené,

− rovinné, sférické a prostorové.

Při vytváření kinematického řetězce může určitým sestavením několika členů vzniknout

prostorový mnohoúhelník tak, že jeho strany jsou tvořeny členy řetězce a jeho vrcholy jsou

tvořeny kinematickými dvojicemi, pak se takový útvar nazývá kinematická smyčka, viz

obrázek 2.1.

a) b)

Obr.2.1. Kinematické smyčky.

Po zavedení tohoto pojmu můžeme popsat některé druhy kinematických řetězců.

Uzavřený kinematický řetězec je tvořen jednou nebo více kinematickými smyčkami, to

znamená, že neobsahuje žádný jednoduchý člen. Každý člen i každá kinematická dvojice

řetězce musí být obsaženy alespoň v jedné smyčce. Schémata uzavřených řetězců jsou tvořena

Stránka 12 z 26


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

vesměs mnohoúhelníky. Na obrázku 2.1.a) je příklad uzavřeného kinematického řetězce

s jednou smyčkou, na obrázku 2.1.b) se dvěma smyčkami.

Otevřený kinematický řetězec neobsahuje žádnou smyčku, viz obrázek 2.2.a). Ostatní

řetězce jsou pak smíšené, např. na obrázku 2.2.b).

Jednoduchý kinematický řetězec má na každý člen připojeny maximálně dvě kinematické

dvojice. Takový řetězec obsahuje členy jednoduché (s jednou kinematickou dvojicí) a

dvojnásobné (se dvěma kinematickými vazbami), viz obrázek 2.1. a 2.2..

a)

b)

Obr.2.2. Kinematické řetězce otevřené a smíšené.

Složené kinematické řetězce obsahují kromě členů jednoduchých a dvojnásobných i členy

vícenásobné (s více jak dvěmi vazbami). Na obrázku 2.3.a) je kinematický řetězec s členem

trojnásobným a na obrázku 2.3.b) s členem čtyřnásobným.

a) b)

Obr.2.3. Kinematické řetězce s členy vyšších řádů.

Kinematické řetězce se dále rozeznávají rovinné, sférické a prostorové podle toho, jakou

křivku opisují body při relativním pohybu dvou jeho členů. To znamená, jestli opisují křivku

rovinnou nebo prostorovou.

Stránka 13 z 26


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

2.2. Kinematické řetězce průmyslových robotů

Průmyslové roboty a manipulátory (PRaM) jsou ve většině případů konstruovány jako

otevřené kinematické řetězce, a to jednoduché nebo složené, popřípadě kombinované. U

soudobých PRaM jsou v kinematických řetězcích využívány posuvné (P) a rotační (R)

kinematické dvojice. Jejich kinematická schémata používaná v řetězcích jsou zachycena na

obrázku 2.4. Kinematické dvojice ve schématu robota vlastně představují jeho pohybové

jednotky. Oba typy pohybových jednotek jsou konstrukčně voleny tak, aby měly pouze jeden

stupeň volnosti. V kinematickém řetězci robota se pak pohybové jednotky dají schematicky

P R R

Obr.2.4. Pohybové jednotky.

nahradit kinematickou dvojicí rotační dlouhou či posuvnou dlouhou (dále jen rotační R nebo

posuvná P), které patří do páté třídy kinematických dvojic. Libovolným řazením P a R

jednotek můžeme vytvořit jakoukoliv konfiguraci kinematického řetězce robota. Prakticky se

volba struktury kinematického řetězce řídí požadavky na manipulační schopnosti robota,

velikostí a tvarem pracovního prostoru, složitostí řízení, atd.

Poznámka: Budeme-li vytvářet kinematický řetězec robota se třemi stupni volnosti libovolnou

volbou posuvných a rotačních kinematických dvojic, dostaneme následující počet

možných variant bez opakování (v závorce je uveden možný počet s opakováním,

např. Px-Px-Px) pro strukturu:

P-P-P - 6 (27)

R-P-P - 18 (27)

P-R-P - 18 (27)

P-P-R - 18 (27)

R-R-P - 27 (27)

R-P-R - 27 (27)

P-R-R - 27 (27)

R-R-R - 24.(27).

Celkem je tedy možno získat 165 různých konfigurací kinematického řetězce

robota bez opakování stejných členů nebo 216 možností s opakováním. Z tohoto

množství je celá řada prakticky nevyužitelných případů, např. z hlediska

polohování v rovině (87 případů), špatné volby pohonů, nevhodného pracovního

prostoru, atd. Reálně se využívají např. ze struktury P-P-P tři možnosti, R-P-P

čtyři modely, atd., celkově je to asi osmnáct řešení.

Stránka 14 z 26


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

Aby bylo možno kinematický řetězec vyšetřovat, je nutné přesně popsat jeho strukturu.

K tomu jsou potřebné následující informace.

a) formulace konkrétního problému využití PRaM,

b) struktura kinematického řetězce, tj. počet a druh členů a kinematických dvojic, popis

smyček,

c) rozměry členů.

Analýzou požadavků na pracoviště s robotem získáme tvar pracovního prostoru, pro nějž

se navrhne optimální kinematické a strukturní schéma robota.

Strukturní schéma je tvořeno posloupností jednotlivých hnacích a hnaných kinematických

dvojic, počínaje od základní jednotky (rámu) robota, až po poslední kinematickou dvojici. Pro

odlišení hnacích a hnaných kinematických dvojic zavedeme označení hnacích jednotek

pruhem. Ve strukturním schématu jsou pohybové jednotky označeny písmeny P a R, ale není

patrná třída daných kinematických jednotek, schéma popisuje pouze funkci kinematických

dvojic. O třídě lze rozhodnout až z kinematického schématu – řetězce.

Na obrázku 2.5 je nakreslen kinematický řetězec robota obsahující 3 kinematické dvojice

posuvné, 6 kinematických dvojic rotačních a členy 3,4,5 a 6 tvoří kinematickou smyčku.

Jedná se tedy o kinematický řetězec smíšený, složený.

z 32

φ 21

2

z

O

R3

3

P 1

R 1

R 2

P 2

4

6

y

5

x 63

1

R 4

platí:

x

x 76

P 3

7

R5 R6

8

φ 87

φ 98

R1 = Rz P1 = Pz R2 = Ry P2 = Px4 R3 = Ry P3 = Px R4 = Ry R5 = Rz R6 = Rx Obr.2.5.Kinematický řetězec robota.

U tohoto robota je poloha výstupního bodu (M) určena šesti nezávislými souřadnicemi

(též nezávislými parametry nebo obecnými souřadnicemi):

φ21, z32, x63, x76, φ87, φ98,

M

9

Stránka 15 z 26


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

realizovanými v příslušných hnacích kinematických dvojicích a jeho strukturní schéma je:

Rz – Pz - Ry

Ry

Px4

Ry – Px – Rz - Rx.

Poznámka: U posuvné kinematické dvojice P2 se ve strukturním schématu objevuje index x4.

Toto je dáno skutečností, že v základní poloze kinematického řetězce není osa x4

souřadnicového systému členu 4 rovnoběžná s osou x, základního systému.

φ32

φ21

2

z

R2

O

R1

3

x43

P1

y

1

4

platí:

x

2.5 obsahuje šest stupňů volnosti, daných šesticí nezávislých souřadnic, které realizuje šest

Stránka 16 z 26

R3

φ54

M

5

R1 = Rz P1 = Px

R2 = Ry

R3 = Rx

Obr.2.6. Kinematický řetězec robota.

Na obrázku 2.6. je uveden kinematický řetězec robota složeného ze tří rotačních a jedné

posuvné kinematické dvojice. Řetězec neobsahuje žádnou kinematickou smyčku, jedná se o

otevřený, jednoduchý kinematický řetězec. Poloha výstupního bodu je určena čtyřmi

nezávislými souřadnicemi:

φ21, φ32, x43, φ54,

a je patrné, že každá kinematická dvojice je zároveň hnací jednotkou. Strukturní schéma je

tedy:

Rz – Ry – Px - Rx,

a v případě, že všechny dvojice jsou hnací (řetězec neobsahuje smyčku), můžeme zápis

zestručnit. Pro náš případ lze strukturní schéma zapsat jednoduše ve tvaru

Rz Ry Px Rx.

Kinematický řetězec na obrázku 2.6 má čtyři stupně volnosti (pohyblivosti) a čtyři

nezávislé souřadnice, realizované čtyřmi hnacími jednotkami. Manipulační ústrojí na obrázku


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

hnacích jednotek. Z příkladů plyne, že počet stupňů volnosti kinematického řetězce robota je

roven počtu nezávislých souřadnic (a tím v podstatě i počtu hnacích jednotek).

Aby nedošlo ke statické neurčitosti kinematického řetězce vlivem nevhodného

vzájemného uložení členů kinematické dvojice, je třeba se o počtu stupňů volnosti přesvědčit.

Počet stupňů volnosti mechanické soustavy těles (bez pasivních vazeb a členů), tudíž i

kinematického řetězce robota nebo manipulátoru, se vypočte ze vzorce:

W = 6 ⋅ ( n −1)


5


j=

1

j⋅

d

kde je: W - počet stupňů volnosti,

n - počet členů řetězce včetně rámu,

j - třída kinematické dvojice,

j

,

(2.1)

dj – počet kinematických dvojic dané třídy.

Odvození tohoto vzorce je velice jednoduché. Každé volné těleso má v prostoru šest stupňů

volnosti (viz. kapitola 1.1). Celkem je v řetězci n členů. Rám je považován za nepohyblivý,

nevnáší do řetězce žádné stupně volnosti, proto se odečte a dostáváme tak člen v závorce

(n – 1). Výraz 6(n – 1) pak udává celkový počet stupňů volnosti řetězce, jako kdyby byly

všechny jeho členy volné. Každá kinematická dvojice pak odebírá tolik stupňů volnosti,

kolika vazbami je v řetězci vázána, což vyjadřuje výraz v součtu.

Př.2.1

Vypočtěte kolik stupňů volnosti má kinematický řetězec robota na obrázku 2.6.

Řešení: Řetězec má celkem pět členů, včetně rámu. Počet kinematických dvojic je tedy d = 4

a všechny dvojice jsou páté třídy, takže j = 5. Potom bude:

W = 6 ⋅ ( n −1)

− ∑

j=

5

1

j⋅

d

j

= 6 ⋅ ( 5 −1)

− 5⋅

4 =

4.

KPř 2.1

V některých případech může počet stupňů volnosti vypočtený ze vztahu (2.1) být menší

než počet nezávislých souřadnic, či může být roven nule nebo záporné hodnotě. Znamená to,

že kinematický řetězec obsahuje členy, které z něho můžeme odstranit, aniž by se změnila

jeho celková pohyblivost. Takovéto členy připojením k ostatním členům nevkládají na jejich

pohyb žádné vazby, a jsou z hlediska kinematiky zbytečné. Vytvářejí tzv. pasivní vazby.

Stránka 17 z 26


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

Vztah (2.1) má obecnou platnost a nepostihuje vliv pasivních vazeb, ty lze určit jen rozborem

pohybu členů řetězce po geometrické stránce. Vztah (2.1) lze uvést do souladu s těmito

případy přičtením příslušného počtu pasivních vazeb pz, dostáváme:

W 6 ⋅ ( n −1)

− j⋅

d j + p z.

= ∑

j=

1

5

Př.2.2

Určete pohyblivost manipulačního ústrojí manipulátoru na obrázku 2.7.

Řešení: Kinematický řetězec obsahuje celkem 7 členů a 7 kinematických dvojic, všechny

R 2

3

φ 21

2

φ32

O

R4

z

φ 63

R 1

6

4

5

R 3

P 1

y

1

R5

x

x76

P2

platí:

7

M

R 1 = Rz P 1 = P z4

R 2 = Ry P 2 = P x

R 3 = R y

R4 = Ry

R5 = Ry

Obr.2.7. Kinematický řetězec manipulátoru.

(2.2)

páté třídy. Poloha koncového bodu (M) je určena čtveřicí nezávislých souřadnic φ21,

φ32, φ63, x75. Strukturní vzorec tohoto ústrojí tedy bude mít tvar:

Rz

Ry - Ry

Ry - Pz4 - Ry

Podle vztahu (2.1) bude počet stupňů volnosti řetězce:

5

W = 6 ⋅ ( n −1)

−∑

j⋅

d j = 6 ⋅ ( 7 −1)

− 5⋅

7 = 1.

j=

1

Je zde patrná nesrovnalost mezi výsledkem (1˚V) a počtem nezávislých souřadnic

(4). Rozborem řetězce zjistíme, že členy 4 a 5 jsou zbytečné. Jejich odstraněním se

Px.

Stránka 18 z 26


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

pohyblivost ústrojí nezmění. Kinematické dvojice R4, R5 a P1 nám vytvářejí tři

pasivní vazby pz = 3 a podle vztahu (2.2) získáme:

5

W 6 ⋅ ( n −1)

− j⋅

d j + p z = 6 ⋅ ( 7 −1)

− 5⋅

7 + 3 = 4,

= ∑

j=

1

což odpovídá skutečnosti.

KPř 2.2

V kinematických řetězcích se mohou vyskytovat členy, které mají tzv. vnitřní stupně

volnosti. Pohyb takovýchto členů je do jisté míry nezávislý na pohybu ostatních členů a nijak

jejich pohyb neovlivňují. Označíme-li počet vnitřních stupňů volnosti pv, pak vztah (2.1)

s uvážením vztahu (2.2) můžeme upravit na tvar:

W 6 ⋅ ( n −1)

− j⋅

d j + p z − p v.

= ∑

j=

1

5

Př.2.3

Určete kolik stupňů volnosti má manipulační zařízení jehož kinematický řetězec je na

obrázku 2.8.

z 76

S1

4

3

P 1

R 1

z

O

P 2

7

6

R 2 R 3

φ 32

x 21

y

x

R 4

5

φ 65

S2

2

φ87

M

8

platí:

1

R1 = Rz R2 = Ry R3 = Ry R3 = Ry Obr.2.8.Kinematický řetězec manipulátoru.

P1 = Px P2 = Pz (2.3)

Řešení: Kinematický řetězec obsahuje celkem 7 členů a 7 kinematických dvojic, všechny

jsou páté třídy. Zvláštní je kinematická dvojice tvořená členy 3, 4 a 5 (pojezd kladek

4 a 5 po vedení 3). Kinematická dvojice má styk v bodech S1 a S2 a vytváří tzv.

dvojobálkovou kinematickou dvojici, která patří do páté třídy kinematických dvojic.

Poloha koncového bodu je určena pěti nezávislými souřadnicemi x21, φ32, φ65, z76,

φ87 a strukturní vzorec řetězce je:

Stránka 19 z 26


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

Px - Rz

V1 - Ry

V2 - Ry

V1 a V2 zde označuje valivé kinematické dvojice.

Podle vztahu (2.1) je počet stupňů volnosti:

5

Pz – Rx .

W = 6 ⋅ ( n −1)

− ∑ j⋅

d j = 6 ⋅ ( 8 −1)

− 5⋅

7 = 7,

j=

1

ale podle počtu nezávislých souřadnic má ústrojí jen pět stupňů volnosti. Přebývají

dva stupně volnosti. Jelikož řetězec neobsahuje žádné pasivní vazby, pz = 0, jedná se

o dva vnitřní stupně volnosti, a to otáčení kladek při pojezdu. Podle vztahu (2.3) je:

5

W 6 ⋅ ( n −1)

− j⋅

d j + p z − p v = 6 ⋅ ( 8 −1)

− 5⋅

7 + 0 − 2 = 5,

= ∑

j=

1

což odpovídá skutečným poměrům.

2.3. Souřadnice homogení v prostoru.

Každý bod v pravoúhlém souřadnicovém prostoru je určen trojicí čísel x, y, z, které

představují jeho souřadnice v daném prostoru. Tyto body jsou vlastní body prostoru. Mimo

body vlastní obsahuje daný prostor i tzv. body nevlastní, které nelze v obyčejných

souřadnicích vyjádřit. Všechny body prostoru, vlastní i nevlastní, lze ovšem číselně vyjádřit

čtyřmi čísly x1, x2, x3, x4 takovými, že pro bod vlastní platí:

x1

x 2 x 3

x = , y = , z = .

(2.4)

x x x

4

4

4

Čtyři čísla takto zavedená se nazývají homogení souřadnice bodu v prostoru.

Je zřejmé, že poloha bodu závisí jen na poměrech těchto čtyř čísel, takže bod

( x , x , x , x ) a ( , kx , kx , kx )

1

2

3

4

kx , kde k ≠ 0 , je tentýž bod.

1

2

3

4

Pro body nevlastní, a jen pro ně, je x 4 = 0 , pro body vlastní je 0

proto vyjadřuje počátek souřadnicového systému, bod ( , 0,

0,

1)

( 1 , 0,

0,

0)

je nevlastní bod na ose x, atd. Bod ( , 0,

0,

0)

0 neexistuje.

x 4 ≠ . Bod ( 0 , 0,

0,

1)

1 je vlastní bod na ose x, bod

Přechod od souřadnic obyčejných (pravoúhlých) k homogením je dán nahrazením

souřadnic x, y, z poměry

x 1 x 2 x 3

, , , přechod opačný je dán obráceným postupem.

x

4

x

4

x

4

Stránka 20 z 26


3.1. Transformační matice pohybu

Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

OBECNÝ POHYB TĚLES

Kinematiku pohybu dvou těles budeme vyšetřovat na obecném pohybu tělesa b a jeho

bodů, vzhledem k tělesu a, viz obrázek 4.1, čili v tomto případě budeme těleso a považovat za

nepohyblivé.

xa

a

za

Oa

zb

rM

rba

r

M

°

O

b

a

rM

rb

Ob

ya

Obr.3.1.Souřadnicové systémy těles.

V každém tělese vhodně zvolíme pravoúhlý pravotočivý souřadnicový systém.

V tělese a bude Oaxayaza, v tělese b Obxbybzb. Souřadnicové systémy se volí obvykle ve

význačných bodech, jako jsou těžiště, hmotný střed tělesa, body souměrnosti, atd. Dále

zavedeme následující názvy vektorů a jejich označení:

− prostý vektor počátku Ob vzhledem k počátku Oa tělesa a

r

O

b

b

=

[ ] T

O

b

O

b

O

b

x b , y b , z b

− prostý vektor bodu M tělesa b v systému tělesa b

r

M

b

=

[ ] T

M M M

x , y , z

b

b

b

, (3.1)

, (3.2)

b

yb

xb

Stránka 21 z 26


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

− rozšířený vektor (v homogenních souřadnicích) bodu M tělesa b v systému tělesa b

M

b

[ ] [ ] T

M M M T M

x , y , z , 1 r , 1

r = = , (3.3)

b

b

b

b

− prostý vektor bodu M tělesa b vzhledem k tělesu a, vyjádřený v systému tělesa a

M

ba a

[ ] T

M M M

x , y , z

r =

, (3.4)

a

a

a

− rozšířený vektor (v homogenních souřadnicích) bodu M tělesa b vzhledem k tělesu a,

vyjádřený v systému tělesa a

M

ba a

[ ] [ ] T

M M M T M

x , y , z , 1 r , 1

r = = . (3.5)

a

a

a

ba a

Poloha bodu M vůči počátku Oa je dána vektorovým součtem:

r M

r

r O

b = r

r M

+ r

(3.6)

ba

a

b

Podle obrázku 3.1 a s uvážením vztahů můžeme vektorový součet přepsat do podoby:

O

a

M b

M

r = r + S ⋅r

,

(3.7)

ba

ba

b

kde S ba je matice směrových kosinů, popisující rotační pohyb těles (viz kapitola 3.2).

Nyní zavedeme transformační matici polohy tělesa b vzhledem k tělesu a, viz kapitola 3.8.

Matice je vyjádřena v submaticovám tvaru (prvky matice jsou opět matice) takto:

.

0 1

T

O ⎡

b S ba r ⎤

a

T ba = ⎢ ⎥

(3.8)

⎢⎣

⎥⎦

Transformační matice T ba vyjadřuje kompaktně rozklad obecného prostorového pohybu

b

tělesa b vzhledem k tělesu a. Uvedený vektor O

a

r je funkcí času a popisuje translační složku

pohybu tělesa b (posun bodu Ob). Matice směrových kosinů je též funkcí času a popisuje

rotační složku pohybu tělesa b (otáčení tělesa kolem Ob).

Zavedeme-li transformační matici do vztahu (4.7) dostáváme:

O M

O


b

M b

M

M S ba r ⎤ ⎡r

⎤ ⎡

a b S ba ⋅rb

+ r ⎤

a

r ba = Tba

⋅ rb

=

=

,

a

⎢ ⎥ ⋅ ⎢


T ⎢ ⎥

(3.9)

⎢⎣

0 1 ⎥⎦

⎣ 1 ⎦ ⎢⎣

1 ⎥⎦

což je rovnice polohy tělesa b vůči tělesu a (též se užívá pojem zákon pohybu nebo pohybový

zákon). V tomto tvaru jsou souřadnice bodu M vyjádřeny v homogenních souřadnicích.

Stránka 22 z 26


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

Je-li třeba řešit opačnou úlohu, tj. získat vektor M

b

M b

r v závislosti na vektorech r ba a a

O

a

užijeme tzv. transformační matici inverzní polohy, která charakterizuje pohyb tělesa a

vzhledem k tělesu b. Její submaticový tvar je:

O

⎡ T T b

S ba - S ba ⋅r


a

T ab = ⎢

⎥.

(3.10)

T

⎢⎣

0 1 ⎥⎦

Za využití obrázku 3.1 můžeme sestavit rovnici pro určení vektoru M

r b :

O

a

M T M T b

r = S ⋅r

− S ⋅r

,

(3.11)

b

ba

ba a

ba

a po zavedení transformační matice inverzní polohy dostaneme jeho homogenní souřadnice

(rozšířený vektor) ve tvaru:

⎡ T

M

M S ba

r b = Tab

⋅ rba

= a ⎢ T

⎢⎣

0

T O

b M

T M T O

b

− S ba ⋅r

⎤ ⎡r

⎤ ⎡ ⎤

a ba a S ba ⋅rba

− S a ba ⋅ra

⎥ ⋅ ⎢ ⎥ = ⎢

⎥.

1 ⎥⎦

⎣ 1 ⎦ ⎢⎣

1 ⎥⎦

(3.12)

Z porovnání výrazů (3.8) a (3.11) pro transformační matice je zřejmé, že

T ≠ T . (3.13)

ab

T

ba

Z následujícího však plyne, že se jedná navzájem o inverzní matice, poněvadž pro inverzní

matice platí vztah:

-1

T ⋅ T = I.

r ,

ba ba

(3.14)

Jestliže tuto rovnici přepíšeme do submaticového tvaru obdobného výrazu (3.8) a (3.10)

dostaneme:

⎡S


⎢⎣

0 T

ba

r

O

b

a

1

⎤ ⎡X

⎥ ⋅ ⎢

⎥⎦

⎣z

y⎤

⎡ I

⎥ =

u


⎦ ⎣k

tento vztah vede na čtyři rovnice:

O

a

j⎤

⎥,

l⎦

(3.15)

b T

S ⋅ X + r ⋅ z = I,

(3.16a)

ba

O

a

S ba ⋅ y + r b ⋅u

= 0,

(3.16b)

T

T

0 ⋅ X + 1⋅

z

T

= 0 ,

(3.16c)

T

0 ⋅ y + 1⋅u

= m.

(3.16d)

Ze získaných rovnic lze určit neznámé submatice, tj.:

T T T

T b

X = S , z = 0 , u = m,

y = −S

⋅r

.

(3.17)

ba

ba

O

a

Stránka 23 z 26


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

Musí tedy platit:

−1

T = T

(3.18)

ab

ba

Poznámka: Jelikož matice S ab jsou ortogonální platí:

T −1

S = S = S .

(3.19)

ab

ba

3.2. Charakteristické matice základních pohybů těles

ba

V kapitole 2.2 bylo řečeno, že v konstrukcích robotů se používají jen rotační a

posuvné kinematické dvojice. Oba typy jsou kinematické dvojice páté třídy, to znamená, že

mohou vykonávat pouze jeden základní pohyb. Koná-li pak těleso b pohyb vzhledem k tělesu

a, může se pouze posouvat přímočarým pohybem nebo otáčet okolo stálé vzájemné osy

rotace. Jsou-li navíc souřadnicové systémy obou těles výhodně zvolené, nabudou matice T ba ,

V ba , ba A a ba

B velmi jednoduché tvary, neboť jsou funkcí jediné souřadnice. Tyto matice se

nazývají matice základních pohybů těles. Jelikož existuje celkem šest základních pohybů (tři

posuvné a tři rotační pohyby v příslušných osách) bude též existovat šest typů matic ba

A ba a ba

B .

T , ba

V ,

Matice základních pohybů budeme označovat indexem zi – základní pohyb a číslo,

které určuje o jaký druh pohybu se jedná a do závorky uvedeme parametr (proměnnou)

pohybu. Platí pro i = 1÷

6:

Například označení ( y)

1. posuv v ose x,

2. posuv v ose y,

3. posuv v ose z,

4. rotace kolem osy x,

5. rotace kolem osy y,

6. rotace kolem osy z.

T znamená, že se jedná o transformační matici základního

z2

posuvného pohybu v ose y a proměnným parametrem je vzdálenost y.

Při odvozování charakteristických matic jednotlivých základních pohybů budeme

předpokládat, že pro výchozí polohu obou těles jsou souřadnicové systémy těles a a b spolu

rovnoběžné, přičemž počáteční souřadnice počátku souřadnicového systému tělesa b Ob

a , b,

c , viz obrázek 3.2.

v souřadnicovém systému tělesa a jsou [ ]

Stránka 24 z 26


a)

xa

c)

xa

e)

xa

Oa

Oa

Oa

za

za

za

xb0

xb0

zb

xb0 = xb

x(t)

Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

zb0

Ob0

Ob (a + x, b, c)

zb0 = zb

yb

ya

Ob (a, b, c + z)

Ob0

z(t)

ya

yb0

yb

yb0

b)

Oa

xb Oa

ψ

zb

xb

ψ

zb0

yb0 = yb

Ob0 = Ob (a, b, c)

ya

d)

xa

f)

xa

Oa

xa

za

za

za

xb0

zb

xb0 = xb

xb0

Obr.3.2. Základní pohyby těles.

zb0

ϕ

ϑ

Ob0

xb

zb0

y(t)

ya

ya

zb

Ob0 = Ob (a, b, c)

zb0 = zb

xb

Ob (a, b + y, c)

ϕ

ya

ϑ

Ob0 = Ob (a, b, c)

yb

yb0

yb

yb0 = yb

yb0

Stránka 25 z 26


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

Stránka 26 z 26

Charakteristické matice základních pohybů jsou souhrnně uvedeny v tabulce 3.1.

základní

pohyb

proměnná

směrová

matice S

polohový

vektor r

rychlost

pohybu v

úhlová

rychlost ω

dif.operá-

tor D

dif.operá-

tor D 2

posuv

v ose x

x(t)











1

0

0

0

1

0

0

0

1

( )










⎡ +

c

b

t

x

a ( )











0

0

t

x&











0

0

0













0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0













0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

posuv

v ose y

y(t)











1

0

0

0

1

0

0

0

1











+

c

)

t

(

y

b

a

()











0

t

y

0

&











0

0

0













0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0













0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

posuv

v ose z

z(t)











1

0

0

0

1

0

0

0

1











+ )

t

(

z

c

b

a

()⎥ ⎥⎥








t

z

0

0

&











0

0

0













0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0













0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

rotace

v ose x

ϕ(t)











ϕ

ϕ

ϕ


ϕ

c

s

0

s

c

0

0

0

1











c

b

a











0

0

0










⎡ω

0

0

x














0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0















0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

rotace

v ose y

ψ(t)











ψ

ψ


ϕ

ψ

c

0

s

0

1

0

s

0

c











c

b

a











0

0

0











ω

0

0

y














0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0















0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

rotace

v ose z

ϑ(t)











ϑ

ϑ

ϑ


ϑ

1

0

0

0

c

s

0

s

c











c

b

a











0

0

0











ω z

0

0












⎡ −

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0















0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

Tab.3.1. Matice základních pohybů.

More magazines by this user
Similar magazines