Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Badanie funkcji

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Badanie funkcji 1 

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Badanie 

funkcji 

Badanie funkcji 

Zadanie 1 

Zbadać przebieg zmienności funkcji: 

(1) 

Wskazówka 

Należy zbadać kolejno następujące elementy: dziedzina, granice, asymptoty, punkty przecięcia wykresu z osiami 

współrzędnych, własności szczególne, pochodna, przedziały monotoniczności funkcji, ekstrema, druga pochodna, 

wklęsłość, wypukłość, a następnie sporządzić wykres funkcji. 

Rozwiązanie 

Badanie funkcji będziemy wykonywać w sposób systematyczny trzymając się podanych niżej punktów. 

1. Dziedzina funkcji. Wyrażenie (1) jest dobrze określone wszędzie, więc przyjmujemy . 

2. Własności szczególne. Badana funkcja nie jest ani okresowa, ani nie przekształca się prosto przy zamianie 

. 

3. Granice na końcach przedziałów określoności. Musimy rozważyć jedynie granice przy . Wielomian 

w liczniku (1) ma wyższy stopień niż ten w mianowniku, więc łatwo otrzymujemy: 

(2) 

4. Asymptoty. Współczynnik kierunkowy asymptoty w (o ile ona istnieje) oznaczymy symbolem , a 

wyraz wolny . Parametry te znajdziemy, obliczając kolejno granice: 

(3) 

oraz 

(4) 

Równanie prawej asymptoty ma więc postać: . Parametry lewej asymptoty oznaczymy odpowiednio 

i . Znajdziemy je obliczając najpierw: 

(5) 

a następnie: 

(6) 

Równanie lewej asymptoty jest więc identyczne: . 

5. Punkty przecięcia z osiami współrzędnych. Miejscami zerowymi funkcji są oraz , a punkt 

przecięcia z osią ma współrzędne . 

6. Pochodna funkcji. Obliczamy pochodną funkcji : 

(7) 

Pochodna istnieje wszędzie, gdzie określona jest sama funkcja (czyli ). 

7. Przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji. Mianownik wyrażenia (7) jest zawsze dodatni, więc można go 

pominąć przy badaniu znaków pochodnej, natomiast licznik można zapisać w formie:


(8) 

Ponieważ trójmian kwadratowy w nawiasie jest nierozkładalny, więc łatwo możemy stwierdzić, że: 

1. dla zachodzi funkcja jest rosnąca, 

2. dla zachodzi funkcja jest malejąca, 

3. dla zachodzi funkcja jest rosnąca. 

Ponadto dla oraz dla . Z otrzymanych rezultatów wynika, że w punkcie funkcja 

ma maksimum, przy czym , a w punkcie minimum, przy czym . 

8. Druga pochodna. Obliczamy teraz drugą pochodną: 

(9) 

Druga pochodna istnieje wszędzie, więc mamy . 

9. Wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia. Wielomian w liczniku (9) można zapisać w formie: 

(10) 

Natomiast mianownik jest zawsze dodatni. Wynika stąd, że: 

1. dla zachodzi funkcja jest wypukła, 

2. dla zachodzi funkcja jest wklęsła, 


4. dla zachodzi funkcja jest wklęsła. 

W punktach , oraz funkcja ma punkty przegięcia, przy czym , 

, a . 

Teraz wszystkie otrzymane informacje zbierzemy w formie tabeli: 

Na jej podstawie można już łatwo sporządzić wykres funkcji, który przedstawiony jest na rysunku 1.


(1) Wykres funkcji (1). Należy zwrócić uwagę, że gdy , wykres przecina asymptotę i przybliża się do niej od 

Zadanie 2 

dołu, gdyż w punkcie funkcja ma punkt przegięcia, który trudno jest uwidocznić na rysunku. 


(11) 

Wskazówka 



wklęsłość, wypukłość, a następnie sporządzić wykres funkcji. 

Rozwiązanie 

Podobnie jak w poprzednim zadaniu, badanie funkcji prowadzić będziemy w sposób systematyczny, trzymając się 

wypracowanej metody. 

1. Dziedzina funkcji. Wyrażenie (11) nie jest dobrze określone tam, gdzie są zera mianownika, a zatem w 

punktach: 

Mamy więc . 

2. Własności szczególne. Badana funkcja nie jest ani okresowa, ani nie przekształca się prosto przy zamianie: 

. 

3. Granice na końcach przedziałów określoności. Obliczamy po kolei:


(12) 

4. Asymptoty. Z otrzymanych powyżej granic wynika, że proste i są asymptotami pionowymi dla 

wykresu funkcji. Pozostaje jeszcze zbadać ewentualne asymptoty ukośne przy . Stosując oznaczenia 

identyczne jak w poprzednim zadaniu, obliczamy: 

(13) 

oraz 

(14) 

Równanie prawej asymptoty ma więc postać: . Dla lewej asymptoty uzyskujemy: 

(15) 

a następnie: 

(16) 

Równanie lewej asymptoty jest więc identyczne: . 

5. Punkty przecięcia z osiami współrzędnych. Jedynym miejscem zerowym funkcji jest i jest to zarazem 

punkt przecięcia wykresu z osią . 


(17) 

Pochodna istnieje wszędzie, gdzie określona jest sama funkcja (czyli ). 

7. Przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji. Mianownik wyrażenia (17) jest nieujemny, więc można go 

pominąć przy badaniu znaków pochodnej, natomiast licznik można zapisać w formie: 

(18) 

Na tej podstawie łatwo możemy stwierdzić, że: 



3. dla zachodzi funkcja jest malejąca. 



Ponadto dla , oraz dla . Z otrzymanych rezultatów wynika, że w punkcie 

funkcja ma maksimum, przy czym , w punkcie minimum, przy czym . 

W punkcie funkcja ma punkt przegięcia. 


(19) 

Druga pochodna istnieje wszędzie, gdzie określona jest funkcja , więc mamy 

. 

9. Wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia. Analizując znak wyrażenia (19) dochodzimy do wniosku, że: 


2. dla zachodzi funkcja jest wypukła,



4. dla zachodzi funkcja jest wypukła. 

Wyniki te potwierdzają, że dla funkcja ma punkt przegięcia. 

Teraz wszystkie otrzymane informacje zbierzemy w formie tabeli. 

Na jej podstawie można już łatwo sporządzić wykres funkcji, który przedstawiony jest na rysunku 2. 

Zadanie 3 


(20) 

(2) Wykres funkcji (11). 

Wskazówka 



wklęsłość, wypukłość, a następnie sporządzić wykres funkcji.


Rozwiązanie 

1. Dziedzina funkcji. Funkcja (20) jest wszędzie dobrze określona, więc mamy: . 

2. Własności szczególne. Zachodzi: , więc badana funkcja jest nieparzysta. 

3. Granice na końcach przedziałów określoności. Mamy do znalezienia jedynie granice funkcji w 

nieskończonościach. Ponieważ pierwszy wyraz zbiega wtedy do zera, więc łatwo otrzymujemy: 

(21) 

4. Asymptoty. Zbadamy istnienie ewentualnych asymptot ukośnych przy . Stosując oznaczenia 

identyczne jak w poprzednich zadaniach, obliczamy: 

(22) 

oraz 

(23) 

Prawą asymptotą jest więc prosta: . Dla lewej asymptoty otrzymujemy: 

(24) 

a następnie: 

(25) 

Lewa asymptota jest więc identyczną prostą: . 

5. Punkty przecięcia z osiami współrzędnych. Miejscem zerowym funkcji jest i jest to zarazem punkt 

przecięcia wykresu z osią . 


(26) 

Pochodna ta istnieje wszędzie (czyli ). 

7. Przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji. Mianownik wyrażenia (26) jest nieujemny, więc można go 

pominąć przy badaniu znaków pochodnej, natomiast licznik można zapisać w formie: 

(27) 

Na tej podstawie łatwo stwierdzamy, że: 






Ponadto dla oraz . Z otrzymanych rezultatów wynika, że: 

1. w punkcie funkcja ma maksimum, przy czym , 

2. w punkcie funkcja ma minimum, przy czym , 

3. w punkcie funkcja ma maksimum, przy czym , 

4. a w punkcie funkcja ma minimum, przy czym . 

Wyniki te zgodne są z naszą obserwacją, że funkcja jest nieparzysta. 


(28) 

Druga pochodna także istnieje wszędzie, więc mamy .


9. Wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia. Analizując znak wyrażenia (28), dochodzimy do wniosku, że: 




4. dla zachodzi funkcja jest wypukła. 

W punktach oraz funkcja ma punkty przegięcia. Znajdziemy jeszcze wartości funkcji w tych 

punktach: , oraz . Ponownie możemy dostrzec w otrzymanych 

rezultatach odbicie nieparzystości funkcji. 

Teraz wszystkie otrzymane informacje zbierzemy w formie tabeli. 

Na jej podstawie można już łatwo sporządzić wykres funkcji, który przedstawiony jest na rysunku 3. 

(3) Wykres funkcji (20).


Zadanie 4 

Znaleźć trójkąt równoboczny o najmniejszym polu, wpisany w inny trójkąt równoboczny o boku . 

Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki. 

Wskazówka 

Rozwiązanie 

Oznaczmy symbolem długość boku wpisanego trójkąta. Odległość wierzchołków obu trójkątów oznaczymy , 

tak jak jest to przedstawione na rysunku. 

Rys 4. Trójkąt równoboczny o boku wpisany w trójkąt 

równoboczny o boku . 

Pole wpisanego trójkąta równe dane jest znanym wzorem: 

(29) 

Korzystając z twierdzenia cosinusów zastosowanego do któregoś z trójkątów o bokach , oraz , pole to 

wyrazimy poprzez wielkość : 

(30) 

Szukamy więc minimum funkcji: 

(31) 

Obliczając pochodną otrzymujemy: 

(32) 

Jedynym jej miejscem zerowym jest . Na lewo od tego punktu pochodna jest ujemna, a zatem funkcja 

malejąca, a na prawo pochodna dodatnia, czyli funkcja rosnąca. Widzimy, że faktycznie pole osiąga dla 

swoją minimalną wartość równą: 

(33)


Zadanie 5 

Dane jest koło o promieniu . Jaki wycinek, należy z niego usunąć, aby po sklejeniu uzyskać stożek o największej 

objętości? 

Wskazówka 

Należy wyrazić objętość stożka przez kąt usuniętego wycinka, a następnie wykorzystać rachunek różniczkowy. 

Rozwiązanie 

Na rysunku przedstawiona jest sytuacja, z jaką mamy do czynienia i wprowadzone oznaczenia: -- kąt usuniętego 

wycinka, -- promień podstawy stożka, -- jego wysokość. 

Rys 5. Stożek uzyskany z koła, z którego usunięto wycinek o kacie 

Objętość stożka jest naturalnie dana wzorem: 

(34) 

. 

Obwód podstawy stożka równy jest , co daje promień jego postawy: 

(35) 

Wysokość stożka możemy natomiast znaleźć z twierdzenia Pitagorasa wykorzystując fakt, że tworząca stożka ma 

długość : 

(36) 

Wstawiając to do (34) otrzymujemy szukaną funkcję : 

(37) 

Obliczamy teraz pochodną i szukamy ekstremów. 

(38) 

Ze względów geometrycznych zachodzi: , co oznacza, że dla miejsc zerowych pochodnej oraz jej 

znaków istotne jest tylko wyrażenie: . Ma ono dwa miejsca zerowe, przy czym w przedziale 

leży tylko . W punkcie tym pochodna zmienia znak z dodatniej na ujemną, skąd wynika, 

że objętość dla jest maksymalna. Podstawiając tę wartość do (37), otrzymujemy: 

(39)


Zadanie 6 

Dana jest elipsa zapisana we współrzędnych biegunowych: 

(40) 

gdzie oraz . Znaleźć półosie tej elipsy. 

Wskazówka 

Półoś (na osi ) znaleźć jest łatwo, a półoś (na osi ) znaleźć można szukając maksimum funkcji , 

gdzie jest zmienną kartezjańską. 

Rozwiązanie 

Wprowadzamy oznaczenia takie, jak na rysunku: -- duża półoś, -- mała półoś. 

Rys 6. Elipsa opisana równaniem (40). 

Aby znaleźć półoś nie ma potrzeby wykorzystywania rachunku różniczkowego. Wystarczy napisać: 

(41) 

W celu obliczenia półosi napiszemy równanie funkcji , gdzie jest zmienną kartezjańską, a . 

Mamy: 

(42) 

Różniczkując tę funkcję po , otrzymujemy: 

(43) 

Jedynym miejscem zerowym pochodnej (w przedziale ) jest kąt stanowiący rozwiązanie równania: 

. W punkcie tym pochodna zmienia znak z dodatniej na ujemną, co oznacza, że mamy do czynienia z 

maksimum funkcji. Nie musimy znać jawnie tego kąta. Wystarczy nam znajomość wartości cosinusa oraz wiedza, że 

(44) 

, gdzie sinus jest dodatni. Wtedy wiemy, iż 

i wstawiając wszystkie potrzebne wartości do (42) uzyskujemy: 

(45)


Zadanie 7 

Pomiędzy ładunkami punktowymi i odległymi o , znaleźć punkt, w którym siła elektrostatyczna 

działająca na pewien ładunek jest najmniejsza. 

Wskazówka 

Należy wykorzystać wzór na siłę elektrostatyczną działającą pomiędzy ładunkami punktowymi i odległymi o 

: 

(46) 

gdzie jest stałą. 

Rozwiązanie 

Całkowita siła, jaka działa na ładunek umieszczony pomiędzy ładunkami różnych znaków, jest ich algebraiczną 

sumą, gdyż oba wektory sił skierowane są w tę samą stronę. Wykorzystując wzór Coulomba: 

(47) 

gdzie jest stałą (współczynnikiem przenikalności elektrycznej próżni), i -- ładunkami, a -- odległością 

pomiędzy nimi, otrzymujemy: 

(48) 

Symbol oznacza tutaj odległość pomiędzy ładunkami i , a pomiędzy ładunkami i . 

Musimy teraz znaleźć minimum tej funkcji (rolę argumentu odgrywa ). W tym celu obliczamy pochodną: 

(49) 

Rozwiązując równanie otrzymujemy: 

(50) 

Badając znaki pochodnej na lewo i na prawo od tego punktu, łatwo stwierdzamy, że siła przyjmuje w nim wartość 

minimalną. Jest ona równa: 

(51)

Źródła i autorzy artykułu 12 

Źródła i autorzy artykułu 

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Badanie funkcji Źródło: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?oldid=11534 Autorzy: Asia 

Źródła, licencje i autorzy grafik 

Plik:bf1.jpg Źródło: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?title=Plik:Bf1.jpg Licencja: nieznany Autorzy: - 






Licencja 

Attribution-Share Alike 3.0 PL 

http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/ pl

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Badanie funkcji

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?