Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Badanie funkcji

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Badanie funkcji 6
Rozwiązanie
1. Dziedzina funkcji. Funkcja (20) jest wszędzie dobrze określona, więc mamy: .
2. Własności szczególne. Zachodzi: , więc badana funkcja jest nieparzysta.
3. Granice na końcach przedziałów określoności. Mamy do znalezienia jedynie granice funkcji w
nieskończonościach. Ponieważ pierwszy wyraz zbiega wtedy do zera, więc łatwo otrzymujemy:
(21)
4. Asymptoty. Zbadamy istnienie ewentualnych asymptot ukośnych przy . Stosując oznaczenia
identyczne jak w poprzednich zadaniach, obliczamy:
(22)
oraz
(23)
Prawą asymptotą jest więc prosta: . Dla lewej asymptoty otrzymujemy:
(24)
a następnie:
(25)
Lewa asymptota jest więc identyczną prostą: .
5. Punkty przecięcia z osiami współrzędnych. Miejscem zerowym funkcji jest i jest to zarazem punkt
przecięcia wykresu z osią .
6. Pochodna funkcji. Obliczamy pochodną funkcji :
(26)
Pochodna ta istnieje wszędzie (czyli ).
7. Przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji. Mianownik wyrażenia (26) jest nieujemny, więc można go
pominąć przy badaniu znaków pochodnej, natomiast licznik można zapisać w formie:
(27)
Na tej podstawie łatwo stwierdzamy, że:
1. dla zachodzi funkcja jest rosnąca,
2. dla zachodzi funkcja jest malejąca,
3. dla zachodzi funkcja jest rosnąca.
4. dla zachodzi funkcja jest malejąca,
5. dla zachodzi funkcja jest rosnąca.
Ponadto dla oraz . Z otrzymanych rezultatów wynika, że:
1. w punkcie funkcja ma maksimum, przy czym ,
2. w punkcie funkcja ma minimum, przy czym ,
3. w punkcie funkcja ma maksimum, przy czym ,
4. a w punkcie funkcja ma minimum, przy czym .
Wyniki te zgodne są z naszą obserwacją, że funkcja jest nieparzysta.
8. Druga pochodna. Obliczamy teraz drugą pochodną:
(28)
Druga pochodna także istnieje wszędzie, więc mamy .