Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Badanie funkcji

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Badanie funkcji 8
Zadanie 4
Znaleźć trójkąt równoboczny o najmniejszym polu, wpisany w inny trójkąt równoboczny o boku .
Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.
Wskazówka
Rozwiązanie
Oznaczmy symbolem długość boku wpisanego trójkąta. Odległość wierzchołków obu trójkątów oznaczymy ,
tak jak jest to przedstawione na rysunku.
Rys 4. Trójkąt równoboczny o boku wpisany w trójkąt
równoboczny o boku .
Pole wpisanego trójkąta równe dane jest znanym wzorem:
(29)
Korzystając z twierdzenia cosinusów zastosowanego do któregoś z trójkątów o bokach , oraz , pole to
wyrazimy poprzez wielkość :
(30)
Szukamy więc minimum funkcji:
(31)
Obliczając pochodną otrzymujemy:
(32)
Jedynym jej miejscem zerowym jest . Na lewo od tego punktu pochodna jest ujemna, a zatem funkcja
malejąca, a na prawo pochodna dodatnia, czyli funkcja rosnąca. Widzimy, że faktycznie pole osiąga dla
swoją minimalną wartość równą:
(33)