Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Badanie funkcji
Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Badanie funkcji
Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Badanie funkcji
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Matematyka</strong>:<strong>Matematyka</strong> I - <strong>ćwiczenia</strong>/<strong>Badanie</strong> <strong>funkcji</strong> 1<br />
<strong>Matematyka</strong>:<strong>Matematyka</strong> I - <strong>ćwiczenia</strong>/<strong>Badanie</strong><br />
<strong>funkcji</strong><br />
<strong>Badanie</strong> <strong>funkcji</strong><br />
Zadanie 1<br />
Zbadać przebieg zmienności <strong>funkcji</strong>:<br />
(1)<br />
Wskazówka<br />
Należy zbadać kolejno następujące elementy: dziedzina, granice, asymptoty, punkty przecięcia wykresu z osiami<br />
współrzędnych, własności szczególne, pochodna, przedziały monotoniczności <strong>funkcji</strong>, ekstrema, druga pochodna,<br />
wklęsłość, wypukłość, a następnie sporządzić wykres <strong>funkcji</strong>.<br />
Rozwiązanie<br />
<strong>Badanie</strong> <strong>funkcji</strong> będziemy wykonywać w sposób systematyczny trzymając się podanych niżej punktów.<br />
1. Dziedzina <strong>funkcji</strong>. Wyrażenie (1) jest dobrze określone wszędzie, więc przyjmujemy .<br />
2. Własności szczególne. Badana funkcja nie jest ani okresowa, ani nie przekształca się prosto przy zamianie<br />
.<br />
3. Granice na końcach przedziałów określoności. Musimy rozważyć jedynie granice przy . Wielomian<br />
w liczniku (1) ma wyższy stopień niż ten w mianowniku, więc łatwo otrzymujemy:<br />
(2)<br />
4. Asymptoty. Współczynnik kierunkowy asymptoty w (o ile ona istnieje) oznaczymy symbolem , a<br />
wyraz wolny . Parametry te znajdziemy, obliczając kolejno granice:<br />
(3)<br />
oraz<br />
(4)<br />
Równanie prawej asymptoty ma więc postać: . Parametry lewej asymptoty oznaczymy odpowiednio<br />
i . Znajdziemy je obliczając najpierw:<br />
(5)<br />
a następnie:<br />
(6)<br />
Równanie lewej asymptoty jest więc identyczne: .<br />
5. Punkty przecięcia z osiami współrzędnych. Miejscami zerowymi <strong>funkcji</strong> są oraz , a punkt<br />
przecięcia z osią ma współrzędne .<br />
6. Pochodna <strong>funkcji</strong>. Obliczamy pochodną <strong>funkcji</strong> :<br />
(7)<br />
Pochodna istnieje wszędzie, gdzie określona jest sama funkcja (czyli ).<br />
7. Przedziały monotoniczności i ekstrema <strong>funkcji</strong>. Mianownik wyrażenia (7) jest zawsze dodatni, więc można go<br />
pominąć przy badaniu znaków pochodnej, natomiast licznik można zapisać w formie:
<strong>Matematyka</strong>:<strong>Matematyka</strong> I - <strong>ćwiczenia</strong>/<strong>Badanie</strong> <strong>funkcji</strong> 2<br />
(8)<br />
Ponieważ trójmian kwadratowy w nawiasie jest nierozkładalny, więc łatwo możemy stwierdzić, że:<br />
1. dla zachodzi funkcja jest rosnąca,<br />
2. dla zachodzi funkcja jest malejąca,<br />
3. dla zachodzi funkcja jest rosnąca.<br />
Ponadto dla oraz dla . Z otrzymanych rezultatów wynika, że w punkcie funkcja<br />
ma maksimum, przy czym , a w punkcie minimum, przy czym .<br />
8. Druga pochodna. Obliczamy teraz drugą pochodną:<br />
(9)<br />
Druga pochodna istnieje wszędzie, więc mamy .<br />
9. Wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia. Wielomian w liczniku (9) można zapisać w formie:<br />
(10)<br />
Natomiast mianownik jest zawsze dodatni. Wynika stąd, że:<br />
1. dla zachodzi funkcja jest wypukła,<br />
2. dla zachodzi funkcja jest wklęsła,<br />
3. dla zachodzi funkcja jest wypukła,<br />
4. dla zachodzi funkcja jest wklęsła.<br />
W punktach , oraz funkcja ma punkty przegięcia, przy czym ,<br />
, a .<br />
Teraz wszystkie otrzymane informacje zbierzemy w formie tabeli:<br />
Na jej podstawie można już łatwo sporządzić wykres <strong>funkcji</strong>, który przedstawiony jest na rysunku 1.
<strong>Matematyka</strong>:<strong>Matematyka</strong> I - <strong>ćwiczenia</strong>/<strong>Badanie</strong> <strong>funkcji</strong> 3<br />
(1) Wykres <strong>funkcji</strong> (1). Należy zwrócić uwagę, że gdy , wykres przecina asymptotę i przybliża się do niej od<br />
Zadanie 2<br />
dołu, gdyż w punkcie funkcja ma punkt przegięcia, który trudno jest uwidocznić na rysunku.<br />
Zbadać przebieg zmienności <strong>funkcji</strong>:<br />
(11)<br />
Wskazówka<br />
Należy zbadać kolejno następujące elementy: dziedzina, granice, asymptoty, punkty przecięcia wykresu z osiami<br />
współrzędnych, własności szczególne, pochodna, przedziały monotoniczności <strong>funkcji</strong>, ekstrema, druga pochodna,<br />
wklęsłość, wypukłość, a następnie sporządzić wykres <strong>funkcji</strong>.<br />
Rozwiązanie<br />
Podobnie jak w poprzednim zadaniu, badanie <strong>funkcji</strong> prowadzić będziemy w sposób systematyczny, trzymając się<br />
wypracowanej metody.<br />
1. Dziedzina <strong>funkcji</strong>. Wyrażenie (11) nie jest dobrze określone tam, gdzie są zera mianownika, a zatem w<br />
punktach:<br />
Mamy więc .<br />
2. Własności szczególne. Badana funkcja nie jest ani okresowa, ani nie przekształca się prosto przy zamianie:<br />
.<br />
3. Granice na końcach przedziałów określoności. Obliczamy po kolei:
<strong>Matematyka</strong>:<strong>Matematyka</strong> I - <strong>ćwiczenia</strong>/<strong>Badanie</strong> <strong>funkcji</strong> 4<br />
(12)<br />
4. Asymptoty. Z otrzymanych powyżej granic wynika, że proste i są asymptotami pionowymi dla<br />
wykresu <strong>funkcji</strong>. Pozostaje jeszcze zbadać ewentualne asymptoty ukośne przy . Stosując oznaczenia<br />
identyczne jak w poprzednim zadaniu, obliczamy:<br />
(13)<br />
oraz<br />
(14)<br />
Równanie prawej asymptoty ma więc postać: . Dla lewej asymptoty uzyskujemy:<br />
(15)<br />
a następnie:<br />
(16)<br />
Równanie lewej asymptoty jest więc identyczne: .<br />
5. Punkty przecięcia z osiami współrzędnych. Jedynym miejscem zerowym <strong>funkcji</strong> jest i jest to zarazem<br />
punkt przecięcia wykresu z osią .<br />
6. Pochodna <strong>funkcji</strong>. Obliczamy pochodną <strong>funkcji</strong> :<br />
(17)<br />
Pochodna istnieje wszędzie, gdzie określona jest sama funkcja (czyli ).<br />
7. Przedziały monotoniczności i ekstrema <strong>funkcji</strong>. Mianownik wyrażenia (17) jest nieujemny, więc można go<br />
pominąć przy badaniu znaków pochodnej, natomiast licznik można zapisać w formie:<br />
(18)<br />
Na tej podstawie łatwo możemy stwierdzić, że:<br />
1. dla zachodzi funkcja jest rosnąca,<br />
2. dla zachodzi funkcja jest malejąca,<br />
3. dla zachodzi funkcja jest malejąca.<br />
4. dla zachodzi funkcja jest malejąca,<br />
5. dla zachodzi funkcja jest rosnąca.<br />
Ponadto dla , oraz dla . Z otrzymanych rezultatów wynika, że w punkcie<br />
funkcja ma maksimum, przy czym , w punkcie minimum, przy czym .<br />
W punkcie funkcja ma punkt przegięcia.<br />
8. Druga pochodna. Obliczamy teraz drugą pochodną:<br />
(19)<br />
Druga pochodna istnieje wszędzie, gdzie określona jest funkcja , więc mamy<br />
.<br />
9. Wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia. Analizując znak wyrażenia (19) dochodzimy do wniosku, że:<br />
1. dla zachodzi funkcja jest wklęsła,<br />
2. dla zachodzi funkcja jest wypukła,
<strong>Matematyka</strong>:<strong>Matematyka</strong> I - <strong>ćwiczenia</strong>/<strong>Badanie</strong> <strong>funkcji</strong> 5<br />
3. dla zachodzi funkcja jest wklęsła,<br />
4. dla zachodzi funkcja jest wypukła.<br />
Wyniki te potwierdzają, że dla funkcja ma punkt przegięcia.<br />
Teraz wszystkie otrzymane informacje zbierzemy w formie tabeli.<br />
Na jej podstawie można już łatwo sporządzić wykres <strong>funkcji</strong>, który przedstawiony jest na rysunku 2.<br />
Zadanie 3<br />
Zbadać przebieg zmienności <strong>funkcji</strong>:<br />
(20)<br />
(2) Wykres <strong>funkcji</strong> (11).<br />
Wskazówka<br />
Należy zbadać kolejno następujące elementy: dziedzina, granice, asymptoty, punkty przecięcia wykresu z osiami<br />
współrzędnych, własności szczególne, pochodna, przedziały monotoniczności <strong>funkcji</strong>, ekstrema, druga pochodna,<br />
wklęsłość, wypukłość, a następnie sporządzić wykres <strong>funkcji</strong>.
<strong>Matematyka</strong>:<strong>Matematyka</strong> I - <strong>ćwiczenia</strong>/<strong>Badanie</strong> <strong>funkcji</strong> 6<br />
Rozwiązanie<br />
1. Dziedzina <strong>funkcji</strong>. Funkcja (20) jest wszędzie dobrze określona, więc mamy: .<br />
2. Własności szczególne. Zachodzi: , więc badana funkcja jest nieparzysta.<br />
3. Granice na końcach przedziałów określoności. Mamy do znalezienia jedynie granice <strong>funkcji</strong> w<br />
nieskończonościach. Ponieważ pierwszy wyraz zbiega wtedy do zera, więc łatwo otrzymujemy:<br />
(21)<br />
4. Asymptoty. Zbadamy istnienie ewentualnych asymptot ukośnych przy . Stosując oznaczenia<br />
identyczne jak w poprzednich zadaniach, obliczamy:<br />
(22)<br />
oraz<br />
(23)<br />
Prawą asymptotą jest więc prosta: . Dla lewej asymptoty otrzymujemy:<br />
(24)<br />
a następnie:<br />
(25)<br />
Lewa asymptota jest więc identyczną prostą: .<br />
5. Punkty przecięcia z osiami współrzędnych. Miejscem zerowym <strong>funkcji</strong> jest i jest to zarazem punkt<br />
przecięcia wykresu z osią .<br />
6. Pochodna <strong>funkcji</strong>. Obliczamy pochodną <strong>funkcji</strong> :<br />
(26)<br />
Pochodna ta istnieje wszędzie (czyli ).<br />
7. Przedziały monotoniczności i ekstrema <strong>funkcji</strong>. Mianownik wyrażenia (26) jest nieujemny, więc można go<br />
pominąć przy badaniu znaków pochodnej, natomiast licznik można zapisać w formie:<br />
(27)<br />
Na tej podstawie łatwo stwierdzamy, że:<br />
1. dla zachodzi funkcja jest rosnąca,<br />
2. dla zachodzi funkcja jest malejąca,<br />
3. dla zachodzi funkcja jest rosnąca.<br />
4. dla zachodzi funkcja jest malejąca,<br />
5. dla zachodzi funkcja jest rosnąca.<br />
Ponadto dla oraz . Z otrzymanych rezultatów wynika, że:<br />
1. w punkcie funkcja ma maksimum, przy czym ,<br />
2. w punkcie funkcja ma minimum, przy czym ,<br />
3. w punkcie funkcja ma maksimum, przy czym ,<br />
4. a w punkcie funkcja ma minimum, przy czym .<br />
Wyniki te zgodne są z naszą obserwacją, że funkcja jest nieparzysta.<br />
8. Druga pochodna. Obliczamy teraz drugą pochodną:<br />
(28)<br />
Druga pochodna także istnieje wszędzie, więc mamy .
<strong>Matematyka</strong>:<strong>Matematyka</strong> I - <strong>ćwiczenia</strong>/<strong>Badanie</strong> <strong>funkcji</strong> 7<br />
9. Wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia. Analizując znak wyrażenia (28), dochodzimy do wniosku, że:<br />
1. dla zachodzi funkcja jest wklęsła,<br />
2. dla zachodzi funkcja jest wypukła,<br />
3. dla zachodzi funkcja jest wklęsła,<br />
4. dla zachodzi funkcja jest wypukła.<br />
W punktach oraz funkcja ma punkty przegięcia. Znajdziemy jeszcze wartości <strong>funkcji</strong> w tych<br />
punktach: , oraz . Ponownie możemy dostrzec w otrzymanych<br />
rezultatach odbicie nieparzystości <strong>funkcji</strong>.<br />
Teraz wszystkie otrzymane informacje zbierzemy w formie tabeli.<br />
Na jej podstawie można już łatwo sporządzić wykres <strong>funkcji</strong>, który przedstawiony jest na rysunku 3.<br />
(3) Wykres <strong>funkcji</strong> (20).
<strong>Matematyka</strong>:<strong>Matematyka</strong> I - <strong>ćwiczenia</strong>/<strong>Badanie</strong> <strong>funkcji</strong> 8<br />
Zadanie 4<br />
Znaleźć trójkąt równoboczny o najmniejszym polu, wpisany w inny trójkąt równoboczny o boku .<br />
Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.<br />
Wskazówka<br />
Rozwiązanie<br />
Oznaczmy symbolem długość boku wpisanego trójkąta. Odległość wierzchołków obu trójkątów oznaczymy ,<br />
tak jak jest to przedstawione na rysunku.<br />
Rys 4. Trójkąt równoboczny o boku wpisany w trójkąt<br />
równoboczny o boku .<br />
Pole wpisanego trójkąta równe dane jest znanym wzorem:<br />
(29)<br />
Korzystając z twierdzenia cosinusów zastosowanego do któregoś z trójkątów o bokach , oraz , pole to<br />
wyrazimy poprzez wielkość :<br />
(30)<br />
Szukamy więc minimum <strong>funkcji</strong>:<br />
(31)<br />
Obliczając pochodną otrzymujemy:<br />
(32)<br />
Jedynym jej miejscem zerowym jest . Na lewo od tego punktu pochodna jest ujemna, a zatem funkcja<br />
malejąca, a na prawo pochodna dodatnia, czyli funkcja rosnąca. Widzimy, że faktycznie pole osiąga dla<br />
swoją minimalną wartość równą:<br />
(33)
<strong>Matematyka</strong>:<strong>Matematyka</strong> I - <strong>ćwiczenia</strong>/<strong>Badanie</strong> <strong>funkcji</strong> 9<br />
Zadanie 5<br />
Dane jest koło o promieniu . Jaki wycinek, należy z niego usunąć, aby po sklejeniu uzyskać stożek o największej<br />
objętości?<br />
Wskazówka<br />
Należy wyrazić objętość stożka przez kąt usuniętego wycinka, a następnie wykorzystać rachunek różniczkowy.<br />
Rozwiązanie<br />
Na rysunku przedstawiona jest sytuacja, z jaką mamy do czynienia i wprowadzone oznaczenia: -- kąt usuniętego<br />
wycinka, -- promień podstawy stożka, -- jego wysokość.<br />
Rys 5. Stożek uzyskany z koła, z którego usunięto wycinek o kacie<br />
Objętość stożka jest naturalnie dana wzorem:<br />
(34)<br />
.<br />
Obwód podstawy stożka równy jest , co daje promień jego postawy:<br />
(35)<br />
Wysokość stożka możemy natomiast znaleźć z twierdzenia Pitagorasa wykorzystując fakt, że tworząca stożka ma<br />
długość :<br />
(36)<br />
Wstawiając to do (34) otrzymujemy szukaną funkcję :<br />
(37)<br />
Obliczamy teraz pochodną i szukamy ekstremów.<br />
(38)<br />
Ze względów geometrycznych zachodzi: , co oznacza, że dla miejsc zerowych pochodnej oraz jej<br />
znaków istotne jest tylko wyrażenie: . Ma ono dwa miejsca zerowe, przy czym w przedziale<br />
leży tylko . W punkcie tym pochodna zmienia znak z dodatniej na ujemną, skąd wynika,<br />
że objętość dla jest maksymalna. Podstawiając tę wartość do (37), otrzymujemy:<br />
(39)
<strong>Matematyka</strong>:<strong>Matematyka</strong> I - <strong>ćwiczenia</strong>/<strong>Badanie</strong> <strong>funkcji</strong> 10<br />
Zadanie 6<br />
Dana jest elipsa zapisana we współrzędnych biegunowych:<br />
(40)<br />
gdzie oraz . Znaleźć półosie tej elipsy.<br />
Wskazówka<br />
Półoś (na osi ) znaleźć jest łatwo, a półoś (na osi ) znaleźć można szukając maksimum <strong>funkcji</strong> ,<br />
gdzie jest zmienną kartezjańską.<br />
Rozwiązanie<br />
Wprowadzamy oznaczenia takie, jak na rysunku: -- duża półoś, -- mała półoś.<br />
Rys 6. Elipsa opisana równaniem (40).<br />
Aby znaleźć półoś nie ma potrzeby wykorzystywania rachunku różniczkowego. Wystarczy napisać:<br />
(41)<br />
W celu obliczenia półosi napiszemy równanie <strong>funkcji</strong> , gdzie jest zmienną kartezjańską, a .<br />
Mamy:<br />
(42)<br />
Różniczkując tę funkcję po , otrzymujemy:<br />
(43)<br />
Jedynym miejscem zerowym pochodnej (w przedziale ) jest kąt stanowiący rozwiązanie równania:<br />
. W punkcie tym pochodna zmienia znak z dodatniej na ujemną, co oznacza, że mamy do czynienia z<br />
maksimum <strong>funkcji</strong>. Nie musimy znać jawnie tego kąta. Wystarczy nam znajomość wartości cosinusa oraz wiedza, że<br />
(44)<br />
, gdzie sinus jest dodatni. Wtedy wiemy, iż<br />
i wstawiając wszystkie potrzebne wartości do (42) uzyskujemy:<br />
(45)
<strong>Matematyka</strong>:<strong>Matematyka</strong> I - <strong>ćwiczenia</strong>/<strong>Badanie</strong> <strong>funkcji</strong> 11<br />
Zadanie 7<br />
Pomiędzy ładunkami punktowymi i odległymi o , znaleźć punkt, w którym siła elektrostatyczna<br />
działająca na pewien ładunek jest najmniejsza.<br />
Wskazówka<br />
Należy wykorzystać wzór na siłę elektrostatyczną działającą pomiędzy ładunkami punktowymi i odległymi o<br />
:<br />
(46)<br />
gdzie jest stałą.<br />
Rozwiązanie<br />
Całkowita siła, jaka działa na ładunek umieszczony pomiędzy ładunkami różnych znaków, jest ich algebraiczną<br />
sumą, gdyż oba wektory sił skierowane są w tę samą stronę. Wykorzystując wzór Coulomba:<br />
(47)<br />
gdzie jest stałą (współczynnikiem przenikalności elektrycznej próżni), i -- ładunkami, a -- odległością<br />
pomiędzy nimi, otrzymujemy:<br />
(48)<br />
Symbol oznacza tutaj odległość pomiędzy ładunkami i , a pomiędzy ładunkami i .<br />
Musimy teraz znaleźć minimum tej <strong>funkcji</strong> (rolę argumentu odgrywa ). W tym celu obliczamy pochodną:<br />
(49)<br />
Rozwiązując równanie otrzymujemy:<br />
(50)<br />
Badając znaki pochodnej na lewo i na prawo od tego punktu, łatwo stwierdzamy, że siła przyjmuje w nim wartość<br />
minimalną. Jest ona równa:<br />
(51)
Źródła i autorzy artykułu 12<br />
Źródła i autorzy artykułu<br />
<strong>Matematyka</strong>:<strong>Matematyka</strong> I - <strong>ćwiczenia</strong>/<strong>Badanie</strong> <strong>funkcji</strong> Źródło: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?oldid=11534 Autorzy: Asia<br />
Źródła, licencje i autorzy grafik<br />
Plik:bf1.jpg Źródło: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?title=Plik:Bf1.jpg Licencja: nieznany Autorzy: -<br />
Plik:bf2.jpg Źródło: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?title=Plik:Bf2.jpg Licencja: nieznany Autorzy: -<br />
Plik:bf3.jpg Źródło: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?title=Plik:Bf3.jpg Licencja: nieznany Autorzy: -<br />
Plik:bf4.jpg Źródło: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?title=Plik:Bf4.jpg Licencja: nieznany Autorzy: -<br />
Plik:bf5.jpg Źródło: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?title=Plik:Bf5.jpg Licencja: nieznany Autorzy: -<br />
Plik:bf6.jpg Źródło: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?title=Plik:Bf6.jpg Licencja: nieznany Autorzy: -<br />
Licencja<br />
Attribution-Share Alike 3.0 PL<br />
http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/ pl