10. ←↑→ 10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1
10.
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
10.1. Zastosowanie funkcji Airy'ego
∇ 2 x
y =0 (10.1)
Zakładamy, że istnieje funkcja F(x,y) spełniająca następujące warunki (przy założeniu p x =0 oraz
istnienia siły masowej skierowanej przeciwnie do osi Y):
x
= ∂2 F
∂ y 2 (10.2)
y
= ∂2 F
∂ x 2 (10.3)
xy
= ∂2 F
∂ x ∂ y qx (10.4)
∇ 4 F x , y =0 (10.5)
∇ 4 ≡ ∂4
∂ x 4 2 ∂ 4
∂ x 2 ∂ y 2 ∂4
∂ y 4 (10.6)
∂ x
∂ xy
∂ x
∂ y p x=0 (10.7)
Sprawdzamy czy funkcja Airy'ego spełnia te warunki.
∂ xy
∂ x ∂ y
∂ y p y=0 (10.8)
∂ 3 F
∂ y 2 ∂ x − ∂3 F
−q=0 (10.9)
2
∂ x ∂ y
−∂ 3 F
∂ x 2 ∂ y q ∂3 F
∂ x ∂ y
2−q=0 (10.10)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 2
Zadanie 1.
Znaleźć stan naprężeń w dowolnym punkcie tarczy.
p y
p x
x
h
h
p x
p y
l
y
l
1
Rys.10.1. Rysunek do zadania 1.
Przyjmujemy taką funkcję by spełniała równania biharmoniczne – warunek konieczny.
Warunek dostateczny:
Warunki brzegowe:
F x , y =ax 2 bxycy 2 (10.11)
x
= ∂2 F
=2 c (10.12)
2
∂ y
y
= ∂2 F
=2 a (10.13)
2
∂ x
xy
=−b (10.14)
1 x=l −h yh (10.15)
x
= p x
xy
= p (10.16)
2 c= p −b= p (10.17)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 3
c= p x
2
b=− p (10.18)
2 x=−l −h ∢ y∢h (10.19)
x
= p x
xy
= p (10.20)
Warunki zgodne.
3 y=−l −h∢x∢h (10.21)
y
= p y
xy
= p (10.22)
a= p y
2
b=− p (10.23)
F = 1 2 p y
x 2 − p xy p x
y 2 (10.24)
Zadanie 2.
Zginanie belki
y
q
ql
ql
h
2
ql
l
ql
x
h
2
b=1
l
l
Rys.10.2. Rysunek do zadania 2.
przyjmujemy funkcję F(x,y)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 4
Warunek jest spełniony.
F x , y =a 2
x 2 b 3
x 2 yd 5 x2 y 3 − y5
(10.23)
5
∇ 2 F =0 (10.24)
∂ 4 F
=0 (10.25)
4
∂ x
∂ 4 F
∂ y 4 =−24 d 5 y (10.26)
2 ∂4 F
∂ x 2 ∂ y 2=24 d 5
y (10.27)
1 x
= ∂2 F
∂ y 2 =d 5
6 x 2 y−4 y 3 (10.28)
2 y
= ∂2 F
∂ x 2 =2 a 2
2 b 3
y2 d 5
xy 3 (10.29)
3 xy
= ∂2 F
∂ y ∂ x =−2 b 3
x−6 d 5
xy 2 (10.30)
Warunki brzegowe (wyrażone w naprężeniach).
1 y=± h 2
−lxl xy
=0 (10.31)
2 y= h 2
−lxl y
=−q (10.32)
3 y=− h 2
−lxl y
=0 (10.33)
h
2
4a x=l − h 2 y h ∫
2 xy
dy1=ql (10.34)
− h 2
h
2
4b x=−l − h 2 y h ∫
2 xy
dy1=−ql (10.35)
− h 2
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 5
h
2
5 x=±l ∫ x
dy1=0 (10.36)
− h 2
h
2
6 x=±l ∫ x
ydy1=0 (10.37)
− h 2
y ∣ h=−q y=
(10.38)
2
Po podstawieniu do wzoru (10.29) otrzymamy:
Z układu otrzymamy:
y ∣ h=0 y=−
(10.39)
2
h
{2 a 2
2 b 3
2 2 d h 3
5
8 =−q
h
2 a 2
−2 b 3
2 −2 d h 3
(10.40)
5
8 =0
a 2
=− q 4
(10.41)
xy ∣ h=0 y=
(10.42)
2
Po podstawieniu do wzoru (10.30) otrzymamy:
x −2 b 3
−6 d 5
− h2
4 =0 (10.43)
Z równań (10.40) i (10.43) otrzymujemy:
d 5
= q h 3 10.44)
b 3 =− 3 4
q
4
(10.45)
Zatem
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 6
x
= q h 3 6 x2 y−4 y 3 (10.46)
y
=− q 2 − 3 2
xy
= 3 2
q
h y 2 q
h 3 y3 (10.47)
q
h x−6 q
h x 3 y2 (10.48)
I z
=I = 1h3
12
(10.49)
Zatem
x
= 1 I
y
= 1 I
xy
= 1 I
q
2 x2 − 2 3 y2 y (10.50)
q
2 y3
3 − h2
4
Sprawdźmy warunki brzegowe (10.34)-10.37):
Warunek spełniony.
Warunek spełniony.
h3
y− (10.51)
12
q
2 h2
4 − y2 x (10.52)
∫ xy
dy=±ql (10.53)
∫ x
dy=0 (10.54)
h
2
∫
−h
2
x
ydy= 1 I
q
2 l 2 h 3
12 10 −
h2
≠0 (10.55)
Warunek nie jest spełniony czyli źle przyjęto funkcję F do przyjętej funkcji dodajemy F 1
F=FF 1 (10.56)
gdzie
F 1
=d 3
y 3 (10.57)
Zatem
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 7
x 1 =6 d 3
y (10.58)
y 1 =0 (10.59)
1 xy
=0 (10.60)
Po zmodyfikowaniu σ x
Wprowadźmy zmienione σ x
wszystkie dotychczasowo spełnione warunki brzegowe są spełnione.
x
= 1 I
q
2 x 2
2
3 y2 y6 d 3
y (10.61)
do ostatniego warunku brzegowego, którego spełnienie prowadzi do relacji:
Ostatecznie σ x ma postać:
d 3
= −q
2 I l 2 −
10 h2
(10.62)
x
= −q
2 I l 2 −x 2 y− q
2 I 2 3 y2 −
10 h2
y (10.63)
Rys. 10.3. Naprężenia
x
=− M x
I
y (10.64)
M x= q 2 l 2 −x 2 (10.65)
σ x jest krzywą trzeciego stopnia.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 8
x
przybl.
x
dokł.
h
Rys. 10.4. Naprężenia σ x
Porównajmy maksymalne naprężenia w włóknach skrajnych:
max x
= ∣ x d − xp ∣
∣ xd ∣
(10.67)
2
1
3
h
=0,1 0,3 promil (10.68)
1l
h
=0,25 1,7 promil (10.69)
2 l
h
=0,5 6,7 promil (10.70)
2 h
Przyjęte do rozważań wzory określające zginanie belki są wystarczająco dokładne.
Rys. 10.5. Naprężenia σ y , τ xy
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 9
q
Ekstremalne wartości σ y =q

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 10
vx , y=
q
{ y4
2 EI 12 − h2
4
q
2 EI [ l 2 x 2
2 − x4
12 − h2
20 x2
y 2
2 − h3
12 y [ l 2 −x 2 y2
2 y4
6 − h2
1
2 h2
]} 20 y2
] 4 x2 f 0
(10.82)
przyjmijmy następujące warunki:
x=±l
y=0 }
v=0 (10.83)
Wówczas otrzymamy:
f 0
= −ql 2
[ 5
2 EI 12
4 2 5 3 ] h4
(10.84)
4
W wyniku podstawienia f 0 do f 1 otrzymamy wzory na ugięcie w dolnych punktach belki (tylko w
poziomie).
v= 5 ql 4
24 EI
(10.85)
9.3 Płaskie zadania osiowo symetryczne (współrzędne biegunowe)
Zadanie osiowo symetryczne to zadanie tak skonstruowane, że funkcja miejsca i obciążenia są zależne
tylko od jednej zmiennej ( promień).
Φ=Φ(r) – funkcja naprężeń
1 r
= 1 r
d
dr
(10.86)
= d 2
dr 2 (10.87)
r
=0 (10.88)
=
2 ∇ 2 d 2
d r 1 2 r
=
∇ 4 d 4
dr 2 4 r
d 3
dr 3− 1 d 2
r 2 dr 1 2 r 3
d
(10.89)
dr
d
(10.90)
dr
∇ 4 r=0 (10.91)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 11
Istnieje tylko jedna funkcja która spełnia to równanie.
r=AlnrBr 2 lnrCr 2 D (10.92)
Stan naprężeń i odkształceń łatwo możemy określić z definicji.
r
= A r
2B [12 lnr]2C (10.93)
=− A B
2
[32lnr]2C (10.94)
r
r
=0 (10.95)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater