Gaussova eliminace

More documents

Recommendations

Info

KAPITOLA 2. GAUSSOVA ELIMINACE 21 Tato vlastnost není žádnou specialitou soustavy řešené v Úloze 2.3. Dokážeme si to za chvilku. Postup pro řešení obecné soustavy (2.1) je analogický postupu pro řešení homogenní soustavy (2.2). • Pomocí Gaussovy <strong>eliminace</strong> převedeme matici (A|b) do odstupňovaného tvaru (E|c). Je-li sloupec pravých stran c bázovým sloupcem matice (E|c), je soustava (2.1) neřešitelná. Pokud není bázovým sloupcem matice (E|c), pokračujeme následujícími kroky. • Identifikujeme bázové a volné neznámé podle toho, jsou-li sloupcové vektory jejich koeficientů bázové sloupce matice (E|c). • Pomocí zpětné substituce vyjádříme bázové neznámé pomocí volných neznámých. • Vyjádříme obecné řešení ve tvaru x = p + x f1 h 1 + x f2 h 2 + · · · + x fn−r h n−r , kde p je vhodné konkrétní řešení soustavy (2.1), h 1 , h 2 , . . . , h n−r jsou vhodné sloupcové vektory dimenze m, x f1 , . . . , x fn−r jsou libovolná reálná čísla a r = rank (A). Pokud tedy sloupec pravých stran rozšířené matice (A|b) soustavy (2.1) není bázový sloupec této matice, je soustava řešitelná. Věta 2.5 Soustava (2.1) m lineárních rovnic o n neznámých je řešitelná právě když sloupec pravých stran není bázovým sloupcem rozšířené matice (A|b) této soustavy. ✷ Dokážeme ještě následující větu. Věta 2.6 Obecné řešení x = p + x f1 h 1 + x f2 h 2 + · · · + x fn−r h n−r řešitelné soustavy (2.1) dostaneme tak, že k jednomu konkrétnímu řešení p této soustavy přičteme obecné řešení x f1 h 1 + x f2 h 2 + · · · + x fn−r h n−r příslušné homogenní soustavy (2.2). Soustava má jednoznačně určené řešení právě když rank (A) = n, kde A je matice soustavy.
KAPITOLA 2. GAUSSOVA ELIMINACE 22 Důkaz. Označíme p = (p 1 , p 2 , . . . , p n ) T konkrétní řešení soustavy (2.1). Pro každé j = 1, 2, . . . , m proto platí a j1 p 1 + a j2 p 2 + · · · + a jn p n = b j . Dále označíme q = (q 1 , q 2 , . . . , q n ) T libovolný vektor z aritmetického reálného prostoru R n . Je-li vektor p + q = (p 1 + q 1 , . . . , p n + q n ) T také řešení soustavy (2.1), musí platit pro každé j = 1, 2, . . . , m Odtud plyne a j1 (p 1 + q 1 ) + a j2 (p 2 + q 2 ) + · · · + a jn (p n + q n ) = b j . b j = a j1 (p 1 + q 1 ) + a j2 (p 2 + q 2 ) + · · · + a jn (p n + q n ) = Proto = (a j1 p 1 + a j2 p 2 + · · · + a jn p n ) + (a j1 q 1 + a j2 q 2 + · · · + a jn q n ) = = b j + a j1 q 1 + a j2 q 2 + · · · + a jn q n . a j1 q 1 + a j2 q 2 + · · · + a jn q n = 0 pro každé j = 1, 2, . . . , m. Vektor q je tedy řešením homogenní soustavy (2.2). Je-li naopak vektor r = (r 1 , r 2 , . . . , r n ) T řešením homogenní soustavy (2.2), platí a j1 r 1 + a j2 r 2 + · · · + a jn r n = 0 pro každé j = 1, 2, . . . , m. Potom b j = (a j1 p 1 + a j2 p 2 + · · · + a jn p n ) + (a j1 r 1 + a j2 r 2 + · · · + a jn r n ) = a j1 (p 1 + r 1 ) + a j2 (p 2 + r 2 ) + · · · + a jn (p n + r n ). Vektor p + r je tedy řešením soustavy (2.1). Právě jsme dokázali, že řešitelná soustava (2.1) má jednoznačně určené řešení právě když příslušná homogenní soustava (2.2) má pouze triviální řešení. Podle Věty 2.4 má příslušná homogenní soustava pouze triviální řešení právě když je hodnost matice soustavy rank (A) = n. ✷ Efektivita Gaussovy <strong>eliminace</strong> Jak efektivní je algoritmus pro řešení soustavy lineárních rovnic založený na Gaussově eliminaci a zpětné substituci? Efektivitu algoritmu můžeme měřit různými způsoby. Kolik operační paměti je k němu potřeba? Jak dlouho
Page 1 and 2: Kapitola 2 Gaussova eliminace Náze
Page 3 and 4: KAPITOLA 2. GAUSSOVA ELIMINACE 14 5
Page 5 and 6: KAPITOLA 2. GAUSSOVA ELIMINACE 16 o
Page 7 and 8: KAPITOLA 2. GAUSSOVA ELIMINACE 18 k
Page 9: KAPITOLA 2. GAUSSOVA ELIMINACE 20 P
Page 13 and 14: KAPITOLA 2. GAUSSOVA ELIMINACE 24 p
Page 15 and 16: KAPITOLA 2. GAUSSOVA ELIMINACE 26
Page 17 and 18: KAPITOLA 2. GAUSSOVA ELIMINACE 28 a
Page 19 and 20: KAPITOLA 2. GAUSSOVA ELIMINACE 30 D

Gaussova eliminace

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?