Gaussova eliminace

KAPITOLA 2. GAUSSOVA ELIMINACE 16
označíme A = (a ij ) matici této soustavy a b = (b 1 , b 2 , . . . , b m ) T sloupcový
vektor pravých stran. Rozšířenou matici této soustavy budeme zapisovat
také jako (A|b).
Řešení soustavy rovnic Ax = b je snadné, pokud je matice soustavy
A v odstupňovaném tvaru. Je-li r = rank (A) a b j ≠ 0 pro nějaké j =
r + 1, . . . , m, pak soustava Ax = b nemá řešení. To proto, že j-tá rovnice
této soustavy má tvar
0x 1 + 0x 2 + · · · + 0x n = b j .
Protože b j ≠ 0, žádná čísla x 1 , . . . , x n této rovnici nevyhovují a proto je i
celá soustava Ax = b neřešitelná.
V případě, že b r+1 = · · · = b m = 0, najdeme všechna řešení soustavy tak,
že neznámé odpovídající sloupcům neobsahujícím pivot zvolíme libovolně a
zbývajících r neznámých jednoznačně dopočítáme. Tomuto dopočítávání se
říká zpětná substituce.
Pokud matice soustavy Ax = b není v odstupňovaném tvaru, napřed
pomocí Gaussovy eliminace převedeme rozšířenou matici soustavy (A|b) do
odstupňovaného tvaru (E|c) a teprve poté použijeme zpětnou substituci.
Tento obecný postup budeme ilustrovat na několika příkladech. Začneme
případem, kdy platí b i = 0 pro všechny indexy i = 1, . . . , m. Takovou soustavu
nazýváme homogenní soustava lineárních rovnic. Otázka řešitelnosti
homogenních soustav je triviální. Soustava
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = 0,
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = 0,
a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = 0
. (2.2)
má vždy aspoň jedno řešení x 1 = x 2 = · · · = x n = 0. Nazýváme jej triviální
řešení. Homogenní soustava může mít ještě další řešení, jak ukazuje
následující úloha.
Úloha 2.2 Najděte všechna řešení soustavy
x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 0,
2x 1 + 4x 2 + x 3 + 3x 4 = 0,
3x 1 + 6x 2 + x 3 + 4x 4 = 0.