Gaussova eliminace

KAPITOLA 2. GAUSSOVA ELIMINACE 19
kde h 1 , h 2 , . . . , h n−r jsou vhodná konkrétní řešení této soustavy a x f1 , . . . ,
x fn−r jsou libovolná reálná čísla. Dokázali jsme tak první část následující
věty.
Věta 2.4 Obecné řešení homogenní soustavy lineárních rovnic
lze vyjádřit ve tvaru
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = 0,
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = 0,
a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = 0
x = x f1 h 1 + x f2 h 2 + · · · + x fn−r h n−r ,
kde r = rank (A) je hodnost matice soustavy A = (a ij ), h 1 , h 2 , . . . , h n−r
jsou vhodná konkrétní řešení této soustavy, a x f1 , . . . , x fn−r jsou libovolná
reálná čísla.
Soustava má pouze triviální řešení právě když rank (A) = n.
Důkaz. Zbývá dokázat ekvivalenci z druhého odstavce. Soustava má
pouze triviální řešení právě když není žádná neznámá volná. To je právě
když jsou všechny sloupce matice A bázové. Z Definice 2.3 plyne, že všechny
sloupce matice A jsou bázové právě když rank (A) = n. ✷
Řešení soustavy s obecnou pravou stranou probíhá analogicky.
Úloha 2.3 Najděte všechna řešení soustavy
x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 4,
2x 1 + 4x 2 + x 3 + 3x 4 = 5,
3x 1 + 6x 2 + x 3 + 4x 4 = 7.
Řešení. Rozšířenou matici soustavy
⎛
(A|b) =
⎜
⎝
1 2 2 3 4
2 4 1 3 5
3 6 1 4 7
převedeme Gaussovou eliminací do odstupňovaného tvaru
⎛
⎞
1 2 2 3 4
⎜
⎟
⎝ 0 0 −3 −3 −3 ⎠ = (E|c).
0 0 0 0 0
.
⎞
⎟
⎠