Gaussova eliminace

KAPITOLA 2. GAUSSOVA ELIMINACE 20
Původní soustava je tedy ekvivalentní soustavě
x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 4,
− 3x 3 − 3x 4 = −3.
Hodnoty neznámých x 2 a x 4 můžeme zvolit libovolně a pak dopočítáme
hodnoty neznámých x 1 a x 3 z posledních dvou rovností. Z druhé rovnice
dostaneme
x 3 = 1 − x 4
a po dosazení za x 3 do první rovnice
x 1 = 2 − 2x 2 − x 4 .
Řešení soustavy je následující:
hodnoty neznámých x 2 a x 4 zvolíme libovolně a dále
x 1 = 2 − 2x 2 − x 4 ,
x 3 = 1 − x 4 .
Vyjádříme-li řešení pomocí sloupcových vektorů, dostaneme
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
x 1 2 − 2x 2 − x 4 2 −2
x 2
⎜ ⎟
⎝ x 3 ⎠ = x 2
⎜
⎟
⎝ 1 − x 4 ⎠ = 0
⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠ + x 1
2 ⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠ + x 4 ⎜
⎝
x 4 x 4
0
0
Označíme-li p = (2, 0, 1, 0) T , h 1 = (−2, 1, 0, 0) T a h 2 = (−1, 0, −1, 1) T ,
můžeme obecné řešení soustavy vyjádřit ve tvaru
x = p + x 2 h 1 + x 4 h 2 ,
kde x 2 a x 4 jsou libovolná reálná čísla. ✷
Všimněte si, že vektor p je jedním konkrétním řešením soustavy, zvolímeli
hodnoty volných neznámých x 2 = x 4 = 0. Srovnáme-li řešení Úlohy 2.3
s řešením Úlohy 2.2, vidíme že obecné řešení nehomogenní soustavy dostaneme
jako součet jednoho konkrétního řešení p této soustavy a obecného
řešení x 2 h 1 + x 4 h 2 příslušné homogenní soustavy
x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 0,
2x 1 + 4x 2 + x 3 + 3x 4 = 0,
3x 1 + 6x 2 + x 3 + 4x 4 = 0.
−1
0
−1
1
⎞
⎟
⎠ .