Gaussova eliminace

KAPITOLA 2. GAUSSOVA ELIMINACE 25
Celkem tedy zpětná substituce vyžaduje
n∑
n∑
(n − i + 1) = i = 1 2 n2 + 1 2 n
i=1
i=1
n∑
n−1 ∑
(n − i) = i = 1 2 n2 − 1 2 n
i=1
i=0
násobení/dělení, a
sčítání/odčítání.
Gaussova eliminace spolu se zpětnou substitucí tak vyžaduje celkem
1
3 n3 + 1 2 n2 − 5 6 n + 1 2 n2 + 1 2 n = 1 3 n3 + n 2 − 1 3 n násobení/dělení, a
1
3 n3 − 1 3 n + 1 2 n2 − 1 2 n = 1 3 n3 − 1 2 n2 − 5 6 n sčítání/odčítání.
✷
Gaussova eliminace spolu se zpětnou substitucí je natolik jednoduchý
algoritmus, že jsme mohli spočítat přesně maximální nutný počet aritmetických
operací pro celý algoritmus. U složitějších algoritmů to není tak
jednoduché. V takovém případě se zajímá o asymptotický odhad počtu nutných
operací. Pokud je n hodně velké, tak členy menšího řádu v celkovém
počtu operací nehrají žádnou roli. Pro celkový počet operací má zásadní
význam pouze člen s největší mocninou n. V případě řešení soustavy lineárních
rovnic se čtvercovou maticí je n řád matice. Obecně n označuje vhodně
měřenou “velikost” úlohy.
Cvičení 2.6 Dokažte všechny formulky pro sumy v předchozím důkazu matematickou
indukcí podle n.
Spolehlivost Gaussovy eliminace
Gaussova eliminace spolu se zpětnou substitucí najde správně všechna řešení
dané soustavy lineárních rovnic. Problém nastává v okamžiku, kdy reálná
čísla vyjadřujeme pomocí plovoucí desetinné čárky, tj. ve tvaru
±0, d 1 d 2 · · · d t × β ɛ ,
kde základ β, exponent ɛ a cifry 0 ≤ d i < β pro i = 1, 2, . . . , t jsou celá čísla.
Takovou reprezentaci reálných čísel používá naprostá většina programovacích
jazyků. Obvyklý dekadický zápis dostaneme volbou β = 10. Binární
zápis dostaneme, pokud β = 2. 64-bitový procesor přirozeně používá základ