Zadaci za zadaću

Lagrangeov interpolacijski polinom
1. Odredite Lagrangeov interpolacijski polinom:
x -2 -1 0 1 2
y 24 -2 -2 12 25
2. Izračunajte log 0. 6 razvijajući funkciju f ( x)
= log x u Lagrangeov interpolacijski
polinom sa čvorovima 0.4, 0.5, 0.7, 0.8. Ocijenite grešku interpolacije.
3. Sa kakvom točnošću možemo izračunati 1 . 12 pomoću Lagrangeovog
interpolacijskog polinomaza funkciju f ( x)
= x uzimajući čvorove 1.05, 1.1, 1.15,
1.2.
Newtonov interpolacijski polinom
4. Interpolirajte funkciju f ( x)
= sin x na čvorovima x
0
=15°
, x
n
= 55°
, h = 5°
.
Izračunajte sin 14°
i sin 56°
i odredite pravu pogrešku.
5. Odredite Newtonov interpolacijski polinom:
x 2 3 5 6
y 1.5713 1.5719 1.5738 1.5751
6. U tablici su zadane vrijednosti integrala vjerojatnosti Φ(
x)
=
x
2
∫ − 2
t
e dt . Izračunajte
π
0
Φ (1.43) primjenom Newtonovog inerpolacijskog polinoma.
x
i 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
y 0.9523 0.9661 0.9763 0.9838 0.9891 0.9928 0.9953
i
Čebiševljevi polinomi
7. Odredite L 2(
x ) za funkciju f ( x)
= 3 1+
x , x ∈[ − 0.5,1 ] koristeći za čvorove nultočke
Čebiševljevog polinoma T
3. Odredite pravu pogrešku za taj polinom u x = −0. 4 i
x = 0.9.
3 2
8. Zadana je funkcija f ( x)
= 1+
x . Interpolirajte funkciju polinomom L ( ) na
[ − 0.5,1 ]
x ∈ tako da ocjena greške bude minimalna. Odredite pravu pogrešku za
x = −0.4 i x = 0. 9 .
10
9. Funkciju f ( x)
= aproksimirajte na [ − 1,1 ] Newtonovim interpolacijskim
3 x
2 + 1
polinomom 4. stupnja na Čebiševljevim čvorovima.
Racionalna aproksimacija
10. Aproksimirajte racionalnu funkciju na zadanim čvorovima i izračunajte R (0.5)
x -2 -1 0 1 2
y 24 -2 -2 12 25
11. Aproksimirajte racionalnu funkciju na zadanim čvorovima i izračunajte R (4)
x 2 3 5 6
y 1.5713 1.5719 1.5738 1.5751
Hornerova shema
6 4 3
12. Odredite vrijednosti svih derivacija polinoma P ( x)
= 2x
− x + 17x
−100
u x = −2
koristeći Hornerovu shemu.
7 6 4 2
2
13. Podijelite polinom P ( x)
= 2x
− 3x
− 2x
− x −1
s polinomom x + 7x −13
koristeći
Hornerovu shemu
10 6 4 3
14. Izračunajte vrijednost polinoma P ( x)
= 10x
− 6x
+ 4x
− 3x
−1
u točkama 2 ± 2i
koristeći Hornerovu shemu.
Linearni spline
3
x

15. Izračunajte f (3.11)
i f (4.7)
primjenom linearnog splinea
x 0 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6
y 0 2.9 3.5 3.8 3.5 3.5 3.5 2.6 0
16. Koristeći linearni spline odredite vrijednost funkcije f(x)=sinx na intervalu [ ,π ]
0 u
x=2.5 gdje je h=0.1.
Kubični spline
17. Primjenom kubičnog splinea izračunajte S(2.33) i S(4.21)
x i 1 2 3 4 5
S(x i ) 1 0.5 0.3333 0.25 0.2
S'(x i ) -0.5 -0.25 -0.1111 -0.0625 -0.04
18. Zadana je sljedeća tablica:
x i 0,1 0,2 0,4 0,7 1 1,2 1,5
S(x i ) -3,29758926 -2,58950449 -1,83735 -1,12152 -0,5403 -0,18004 0,334728
S''(x i ) 0 M1 M2 M3 M4 M5 0
Izračunajte S(0.5) i S(1.42)
19. Zadana je sljedeća tablica
x i 0,1 0,2 0,3 0,5 0,8 1 2,718282
S(x i ) -2,30259 -1,60944 -1,20397 -0,69315 -0,22314 0 1
S'(x i ) 10 5 3,333333 2 1,25 1 0,367879
S''(x i ) -100 -25 -11,1111 -4 -1,5625 -1 -0,13534
S''(x i ) 2000 250 74,07407 16 3,90625 2 0,099574
Izračunajte S(0.45) i S(1.5).
20. Zadana je funkcija f(x)=cosx na [0, π]. Izračunajte f(2.1) i f(0.7) primjenom kubičnog
spline-a na čvorovima 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, π.
21. Zadana je sljedeća tablica:
x i 1 2 3 4 5
S(x i ) 1 0,5 0,3333 0,25 0,2
S'(x i ) -0,5 -0,25 -0,1111 -0,0625 -0,04
Primjenom kubičnog splinea izračunajte S(2,33) i S(4,21).
Metoda bisekcije
22. Pomoću metode bisekcije odredite prvo pozitivno rješenje:
cos 2x
− ln x = 0
4
uz točnost na 10 − .
23. Pomoću metode bisekcije odredite jedno od negativnih rješenja:
cos 2x
− ln | x + 1| = 0
4
uz točnost na 10 − .
24. Pomoću metode bisekcije odreedite prvo pozitivno rješenje:
3
x + x −1=
0
−4
uz točnost na 0.5⋅ 10 .
Metoda iteracije
25. Pomoću metode iteracije odredite jedno od negativnih rješenja:
3
x − x + 1 = 0
4
uz točnost na 10 − .
26. Pomoću metode iteracije odredite jedno od negativnih rješenja:
x = sin x
4
uz točnost na 10 − .
Metoda tangente

27. Pomoću metode tangente odredite prvo pozitivno rješenje:
2
sin 2x
− x −1
= 0
4
uz točnost na 10 − .
28. Pomoću metode tangente odredite negativno rješenje najbliže nuli:
e x − cos x = 0
4
uz točnost na 10 − .
29. Pomoću metode tangente riješite sljedeću jednadžbu:
3
x − cos x −1
= 0
4
uz točnost na 10 − .
Metoda sekante
30. Pomoću metode sekante odredite prvo pozitivno rješenje:
x
3 − 2x
2 − 2x
− 5 = 0
−4
uz točnost na 0.5⋅ 10 .
31. Pomoću metode sekante odredite prvo negativno rješenje:
2
x = −sin
3x
4
uz točnost na 10 − .
Metoda regula falsi
32. Pomoću metode regula falsi odredite prvo pozitivno rješenje:
3
x + x − 8 = 0
−5
uz točnost na 2.5⋅ 10 .
33. Pomoću metode regula falsi odredite prvo pozitivno rješenje:
2
ln x + 3x
− 2x
= 0
−5
uz točnost na 1.5⋅ 10 .
34. Pomoću metode regula falsi riješite sljedeću jednadžbu:
ln x − e
x + 5 = 0
−4
uz točnost na 3.5⋅ 10 .
Algebarske jednadžbe
35. Pomoću kriterija obrađenih na satu odredite područje rješenja jednadžbe
4 3 2
x −10x
+ 35x
− 50x
+ 24 = 0
te riješite jednadžbu pomoću Lobačevski-Graffe metode.
36. Pomoću kriterija obrađenih na satu odredite područje rješenja jednadžbe
5 4 3 2
x − 3x
− 23x
+ 87x
−14x
−120
= 0
te riješite jednadžbu pomoću Lobačevski-Graffe metode.
Trapezna formula
37. Riješite sljedeći zadatak pomoću produljene trapezne formule:
2
∫
1
( e
x
−1)
Neka je h = 0. 1. Osim rezultata izračunajte i grešku R T koju dobijemo pomoću podjele
početnog intervala na zadani broj dijelova.
38. Riješite sljedeći zadatak pomoću produljene trapezne formule:
3
1 x
∫ + log
dx
x
1
Neka je x = 0. 4 . Osim rezultata izračunajte i grešku R T koju dobijemo pomoću podjele
početnog intervala na zadani broj dijelova.
39. Riješite sljedeći zadatak pomoću produljene trapezne formule:
4
e
x
dx

π
∫ 2 0
x cos xdx
Podijelite početni interval na 8 dijelova. Osim rezultata izračunajte i grešku R T koju
dobijemo pomoću podjele početnog intervala na zadani broj dijelova
Simpsonova formula
40. Riješite sljedeći zadatak Simpsonove produljene formule pomoću :
3
dx
∫
1
x 1+
ln x
Početni interval podijelite na 6 jednakih dijelova. Odredite grešku za dobiveno rješenje.
41. Riješite sljedeći zadatak pomoću Simpsonove produljene formule:
∫ 3 2
x ln xdx
−4
uz točnost ε = 5⋅10
42. Riješite sljedeći zadatak pomoću Simpsonove produljene formule:
uz točnost
ε =10 −4
1
∫
0
( e
x
−1)
Popisi zadataka za studente:
Prezime Ime Zadatak1 Zadatak2
Matijević Andrej 12 34
Kraljević Dino 8 31
Švaglić Andrea 26 35
Beliga Slobodan 13 23
Lukin Irena 27 41
Šimac Ivan 22 38
Bašković Antonia 29 39
Barković Nikola 14 30
Prikaski Marjan 9 42
Vignjević Tea 2 20
Fak Iva 3 18
Muškardin Marin 11 28
Maržić Sanjin 4 19
Unuk Luka 36 40
Čeko Goran 25 37
Lipovac Dijana 21 33
Jakšić Dejan 6 17
Munjas Siniša 10 24
Pupovac Petra 1 15
Malec Mateo 5 32
Bukvič Antonio 7 16
4
e
x
dx