Zadaci za zadaću
Zadaci za zadaću
Zadaci za zadaću
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Lagrangeov interpolacijski polinom<br />
1. Odredite Lagrangeov interpolacijski polinom:<br />
x -2 -1 0 1 2<br />
y 24 -2 -2 12 25<br />
2. Izračunajte log 0. 6 razvijajući funkciju f ( x)<br />
= log x u Lagrangeov interpolacijski<br />
polinom sa čvorovima 0.4, 0.5, 0.7, 0.8. Ocijenite grešku interpolacije.<br />
3. Sa kakvom točnošću možemo izračunati 1 . 12 pomoću Lagrangeovog<br />
interpolacijskog polinoma<strong>za</strong> funkciju f ( x)<br />
= x uzimajući čvorove 1.05, 1.1, 1.15,<br />
1.2.<br />
Newtonov interpolacijski polinom<br />
4. Interpolirajte funkciju f ( x)<br />
= sin x na čvorovima x<br />
0<br />
=15°<br />
, x<br />
n<br />
= 55°<br />
, h = 5°<br />
.<br />
Izračunajte sin 14°<br />
i sin 56°<br />
i odredite pravu pogrešku.<br />
5. Odredite Newtonov interpolacijski polinom:<br />
x 2 3 5 6<br />
y 1.5713 1.5719 1.5738 1.5751<br />
6. U tablici su <strong>za</strong>dane vrijednosti integrala vjerojatnosti Φ(<br />
x)<br />
=<br />
x<br />
2<br />
∫ − 2<br />
t<br />
e dt . Izračunajte<br />
π<br />
0<br />
Φ (1.43) primjenom Newtonovog inerpolacijskog polinoma.<br />
x<br />
i 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0<br />
y 0.9523 0.9661 0.9763 0.9838 0.9891 0.9928 0.9953<br />
i<br />
Čebiševljevi polinomi<br />
7. Odredite L 2(<br />
x ) <strong>za</strong> funkciju f ( x)<br />
= 3 1+<br />
x , x ∈[ − 0.5,1 ] koristeći <strong>za</strong> čvorove nultočke<br />
Čebiševljevog polinoma T<br />
3. Odredite pravu pogrešku <strong>za</strong> taj polinom u x = −0. 4 i<br />
x = 0.9.<br />
3 2<br />
8. Zadana je funkcija f ( x)<br />
= 1+<br />
x . Interpolirajte funkciju polinomom L ( ) na<br />
[ − 0.5,1 ]<br />
x ∈ tako da ocjena greške bude minimalna. Odredite pravu pogrešku <strong>za</strong><br />
x = −0.4 i x = 0. 9 .<br />
10<br />
9. Funkciju f ( x)<br />
= aproksimirajte na [ − 1,1 ] Newtonovim interpolacijskim<br />
3 x<br />
2 + 1<br />
polinomom 4. stupnja na Čebiševljevim čvorovima.<br />
Racionalna aproksimacija<br />
10. Aproksimirajte racionalnu funkciju na <strong>za</strong>danim čvorovima i izračunajte R (0.5)<br />
x -2 -1 0 1 2<br />
y 24 -2 -2 12 25<br />
11. Aproksimirajte racionalnu funkciju na <strong>za</strong>danim čvorovima i izračunajte R (4)<br />
x 2 3 5 6<br />
y 1.5713 1.5719 1.5738 1.5751<br />
Hornerova shema<br />
6 4 3<br />
12. Odredite vrijednosti svih derivacija polinoma P ( x)<br />
= 2x<br />
− x + 17x<br />
−100<br />
u x = −2<br />
koristeći Hornerovu shemu.<br />
7 6 4 2<br />
2<br />
13. Podijelite polinom P ( x)<br />
= 2x<br />
− 3x<br />
− 2x<br />
− x −1<br />
s polinomom x + 7x −13<br />
koristeći<br />
Hornerovu shemu<br />
10 6 4 3<br />
14. Izračunajte vrijednost polinoma P ( x)<br />
= 10x<br />
− 6x<br />
+ 4x<br />
− 3x<br />
−1<br />
u točkama 2 ± 2i<br />
koristeći Hornerovu shemu.<br />
Linearni spline<br />
3<br />
x
15. Izračunajte f (3.11)<br />
i f (4.7)<br />
primjenom linearnog splinea<br />
x 0 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6<br />
y 0 2.9 3.5 3.8 3.5 3.5 3.5 2.6 0<br />
16. Koristeći linearni spline odredite vrijednost funkcije f(x)=sinx na intervalu [ ,π ]<br />
0 u<br />
x=2.5 gdje je h=0.1.<br />
Kubični spline<br />
17. Primjenom kubičnog splinea izračunajte S(2.33) i S(4.21)<br />
x i 1 2 3 4 5<br />
S(x i ) 1 0.5 0.3333 0.25 0.2<br />
S'(x i ) -0.5 -0.25 -0.1111 -0.0625 -0.04<br />
18. Zadana je sljedeća tablica:<br />
x i 0,1 0,2 0,4 0,7 1 1,2 1,5<br />
S(x i ) -3,29758926 -2,58950449 -1,83735 -1,12152 -0,5403 -0,18004 0,334728<br />
S''(x i ) 0 M1 M2 M3 M4 M5 0<br />
Izračunajte S(0.5) i S(1.42)<br />
19. Zadana je sljedeća tablica<br />
x i 0,1 0,2 0,3 0,5 0,8 1 2,718282<br />
S(x i ) -2,30259 -1,60944 -1,20397 -0,69315 -0,22314 0 1<br />
S'(x i ) 10 5 3,333333 2 1,25 1 0,367879<br />
S''(x i ) -100 -25 -11,1111 -4 -1,5625 -1 -0,13534<br />
S''(x i ) 2000 250 74,07407 16 3,90625 2 0,099574<br />
Izračunajte S(0.45) i S(1.5).<br />
20. Zadana je funkcija f(x)=cosx na [0, π]. Izračunajte f(2.1) i f(0.7) primjenom kubičnog<br />
spline-a na čvorovima 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, π.<br />
21. Zadana je sljedeća tablica:<br />
x i 1 2 3 4 5<br />
S(x i ) 1 0,5 0,3333 0,25 0,2<br />
S'(x i ) -0,5 -0,25 -0,1111 -0,0625 -0,04<br />
Primjenom kubičnog splinea izračunajte S(2,33) i S(4,21).<br />
Metoda bisekcije<br />
22. Pomoću metode bisekcije odredite prvo pozitivno rješenje:<br />
cos 2x<br />
− ln x = 0<br />
4<br />
uz točnost na 10 − .<br />
23. Pomoću metode bisekcije odredite jedno od negativnih rješenja:<br />
cos 2x<br />
− ln | x + 1| = 0<br />
4<br />
uz točnost na 10 − .<br />
24. Pomoću metode bisekcije odreedite prvo pozitivno rješenje:<br />
3<br />
x + x −1=<br />
0<br />
−4<br />
uz točnost na 0.5⋅ 10 .<br />
Metoda iteracije<br />
25. Pomoću metode iteracije odredite jedno od negativnih rješenja:<br />
3<br />
x − x + 1 = 0<br />
4<br />
uz točnost na 10 − .<br />
26. Pomoću metode iteracije odredite jedno od negativnih rješenja:<br />
x = sin x<br />
4<br />
uz točnost na 10 − .<br />
Metoda tangente
27. Pomoću metode tangente odredite prvo pozitivno rješenje:<br />
2<br />
sin 2x<br />
− x −1<br />
= 0<br />
4<br />
uz točnost na 10 − .<br />
28. Pomoću metode tangente odredite negativno rješenje najbliže nuli:<br />
e x − cos x = 0<br />
4<br />
uz točnost na 10 − .<br />
29. Pomoću metode tangente riješite sljedeću jednadžbu:<br />
3<br />
x − cos x −1<br />
= 0<br />
4<br />
uz točnost na 10 − .<br />
Metoda sekante<br />
30. Pomoću metode sekante odredite prvo pozitivno rješenje:<br />
x<br />
3 − 2x<br />
2 − 2x<br />
− 5 = 0<br />
−4<br />
uz točnost na 0.5⋅ 10 .<br />
31. Pomoću metode sekante odredite prvo negativno rješenje:<br />
2<br />
x = −sin<br />
3x<br />
4<br />
uz točnost na 10 − .<br />
Metoda regula falsi<br />
32. Pomoću metode regula falsi odredite prvo pozitivno rješenje:<br />
3<br />
x + x − 8 = 0<br />
−5<br />
uz točnost na 2.5⋅ 10 .<br />
33. Pomoću metode regula falsi odredite prvo pozitivno rješenje:<br />
2<br />
ln x + 3x<br />
− 2x<br />
= 0<br />
−5<br />
uz točnost na 1.5⋅ 10 .<br />
34. Pomoću metode regula falsi riješite sljedeću jednadžbu:<br />
ln x − e<br />
x + 5 = 0<br />
−4<br />
uz točnost na 3.5⋅ 10 .<br />
Algebarske jednadžbe<br />
35. Pomoću kriterija obrađenih na satu odredite područje rješenja jednadžbe<br />
4 3 2<br />
x −10x<br />
+ 35x<br />
− 50x<br />
+ 24 = 0<br />
te riješite jednadžbu pomoću Lobačevski-Graffe metode.<br />
36. Pomoću kriterija obrađenih na satu odredite područje rješenja jednadžbe<br />
5 4 3 2<br />
x − 3x<br />
− 23x<br />
+ 87x<br />
−14x<br />
−120<br />
= 0<br />
te riješite jednadžbu pomoću Lobačevski-Graffe metode.<br />
Trapezna formula<br />
37. Riješite sljedeći <strong>za</strong>datak pomoću produljene trapezne formule:<br />
2<br />
∫<br />
1<br />
( e<br />
x<br />
−1)<br />
Neka je h = 0. 1. Osim rezultata izračunajte i grešku R T koju dobijemo pomoću podjele<br />
početnog intervala na <strong>za</strong>dani broj dijelova.<br />
38. Riješite sljedeći <strong>za</strong>datak pomoću produljene trapezne formule:<br />
3<br />
1 x<br />
∫ + log<br />
dx<br />
x<br />
1<br />
Neka je x = 0. 4 . Osim rezultata izračunajte i grešku R T koju dobijemo pomoću podjele<br />
početnog intervala na <strong>za</strong>dani broj dijelova.<br />
39. Riješite sljedeći <strong>za</strong>datak pomoću produljene trapezne formule:<br />
4<br />
e<br />
x<br />
dx
π<br />
∫ 2 0<br />
x cos xdx<br />
Podijelite početni interval na 8 dijelova. Osim rezultata izračunajte i grešku R T koju<br />
dobijemo pomoću podjele početnog intervala na <strong>za</strong>dani broj dijelova<br />
Simpsonova formula<br />
40. Riješite sljedeći <strong>za</strong>datak Simpsonove produljene formule pomoću :<br />
3<br />
dx<br />
∫<br />
1<br />
x 1+<br />
ln x<br />
Početni interval podijelite na 6 jednakih dijelova. Odredite grešku <strong>za</strong> dobiveno rješenje.<br />
41. Riješite sljedeći <strong>za</strong>datak pomoću Simpsonove produljene formule:<br />
∫ 3 2<br />
x ln xdx<br />
−4<br />
uz točnost ε = 5⋅10<br />
42. Riješite sljedeći <strong>za</strong>datak pomoću Simpsonove produljene formule:<br />
uz točnost<br />
ε =10 −4<br />
1<br />
∫<br />
0<br />
( e<br />
x<br />
−1)<br />
Popisi <strong>za</strong>dataka <strong>za</strong> studente:<br />
Prezime Ime Zadatak1 Zadatak2<br />
Matijević Andrej 12 34<br />
Kraljević Dino 8 31<br />
Švaglić Andrea 26 35<br />
Beliga Slobodan 13 23<br />
Lukin Irena 27 41<br />
Šimac Ivan 22 38<br />
Bašković Antonia 29 39<br />
Barković Nikola 14 30<br />
Prikaski Marjan 9 42<br />
Vignjević Tea 2 20<br />
Fak Iva 3 18<br />
Muškardin Marin 11 28<br />
Maržić Sanjin 4 19<br />
Unuk Luka 36 40<br />
Čeko Goran 25 37<br />
Lipovac Dijana 21 33<br />
Jakšić Dejan 6 17<br />
Munjas Siniša 10 24<br />
Pupovac Petra 1 15<br />
Malec Mateo 5 32<br />
Bukvič Antonio 7 16<br />
4<br />
e<br />
x<br />
dx