Anotace Annotation

ÚAI FSI VUT 

DIPLOMOVÁ PRÁCE 

Radek Lošťák 

Strana 

5 

Anotace 

V této diplomové práci je provedena analýza a srovnání několika přístupů 

k výpočtu optimálních, časově invariantních výrobních dávek v systémech se síťovou 

strukturou a periodickou výrobou s užitím principů dynamického programování a 

stochastické heuristické metody. Tato práce je zaměřena na vícevýrobkové systémy, 

v jejichž struktuře se vyskytují kružnice, a v nichž každý stupeň zpracovává právě jeden 

druh komponenty finálních výrobků. 

Cílem práce je vytvořit dodatek k existujícímu programovému systému, který 

bude schopen provést výpočet tohoto problému pomocí popsaných metod. První část 

pojednává o možných přístupech k řešení naznačeného problému. Druhá část se zabývá 

popisem samotného programu. Diplomová práce pak končí srovnáním použitých 

přístupů. 

Annotation 

In this final thesis, an analysis and comparison of several approaches to optimal, 

time-invariant lot sizes determination in net-structured systems with a periodical 

manufacturing process is completed, using the principles of dynamic programming and 

a stochastic heuristic technique. This work is focused on multi-product multi-stage 

systems, in which structure circuits are included and each stage processes just one kind 

of component of final products. 

The aim of this work is to create an additional plug-in to the existing application 

which will be capable of computing this problem by means of the described techniques. 

First part of this paper deals with possible approaches to solving the problem mentioned 

above. Second part describes the application itself. Finally, the work compares the 

approaches that have been used.

Strana 

6 

ÚAI FSI VUT 


Radek Lošťák

ÚAI FSI VUT 



Strana 

7 

Poděkování 

Mé díky náleží vedoucímu této práce RNDr. Jiřímu Dvořákovi, CSc. za velmi 

fundované vedení, vhodné a cenné připomínky, projevenou vstřícnost a za čas, který mi 

při tvorbě této práce věnoval. Zároveň děkuji všem, kteří mi svými cennými radami 

pomáhali při řešení problémů s touto prací spojených.

Strana 

8 

ÚAI FSI VUT 


Radek Lošťák

ÚAI FSI VUT 



Strana 

9 

OBSAH 

ANOTACE .............................................................................................................. 5 

1 ÚVOD ............................................................................................................... 13 

2 ROZBOR PROBLÉMU..................................................................................... 15 

2.1 Systém s desarborescentní strukturou................................................................................................18 

2.1.1 Struktura výrobního systému ..........................................................................................................18 

2.1.2 Popis výroby výrobními funkcemi..................................................................................................20 

2.1.3 Náklady na výrobní proces..............................................................................................................21 

2.1.4 Formulace problému optimalizace výrobních dávek ......................................................................21 

2.1.5 Výpočet přesného řešení .................................................................................................................22 

2.1.6 Dolní hranice optimálních nákladů .................................................................................................23 

2.1.7 Horní hranice optimálních nákladů .................................................................................................24 

2.1.8 Heuristická metoda řešení problému...............................................................................................25 

2.2 Systém se strukturou bez kružnic.......................................................................................................25 

2.2.1 Struktura výrobního systému ..........................................................................................................25 

2.2.2 Popis výroby výrobními funkcemi..................................................................................................26 

2.2.3 Náklady na výrobní proces..............................................................................................................27 

2.2.4 Formulace problému optimalizace výrobních dávek ......................................................................27 

2.2.5 Výpočet přesného řešení .................................................................................................................28 

2.2.6 Heuristické metody řešení problému...............................................................................................29 

2.2.7 Transformace na světvující se strukturu..........................................................................................30 

2.3 Obecný (síťový) výrobní systém..........................................................................................................31 

2.3.1 Struktura obecného výrobního systému ..........................................................................................32 

2.3.2 Formulace problému .......................................................................................................................32 

3 NÁVRH ŘEŠENÍ............................................................................................... 35 

3.1 Metody řešení obecného výrobního systému......................................................................................35 

3.1.1 Nástin řešení pomocí simulovaného žíhání.....................................................................................36 

3.1.2 Nástin řešení pomocí genetického algoritmu ..................................................................................36 

3.2 Transformace problému s kružnicemi na problém bez kružnic ......................................................37 

3.3 Řešení transformovaného problému pomocí dynamického programování ....................................40 

3.4 Vyjádření problému pro metody HM1 a HM2..................................................................................41 

4 STOCHASTICKÉ HEURISTICKÉ METODY.................................................... 43 

4.1 Metoda simulovaného žíhání...............................................................................................................44 

4.2 Genetický algoritmus ...........................................................................................................................46 

5 POPIS PROGRAMŮ ........................................................................................ 49 

5.1 Uživatelské prostředí programu OVD................................................................................................49 

5.1.1 Hlavní okno.....................................................................................................................................49 

5.1.2 Editační okno ..................................................................................................................................50

Strana 

10 

ÚAI FSI VUT 



5.1.3 Okno pro volbu výpočetních metod a nastavení parametrů pro stochastické heuristické metody...50 

5.2 Formát vstupního souboru ..................................................................................................................51 

5.3 Program OVD z hlediska programátora ............................................................................................53 

5.3.1 Struktura programu..........................................................................................................................53 

5.3.2 Objekty a datové typy......................................................................................................................53 

5.4 Program pro generování dat................................................................................................................57 

5.4.1 Uživatelské rozhraní........................................................................................................................57 

5.4.2 Vstupní data.....................................................................................................................................58 

5.4.3 Generování procesů.........................................................................................................................59 

5.4.4 Generování struktury.......................................................................................................................59 

5.4.5 Generování dat ................................................................................................................................61 

5.4.6 Výstup programu.............................................................................................................................62 

6 EXPERIMENTY A JEJICH VYHODNOCENÍ ................................................... 63 

6.1 Experimenty s optimalizací pomocí simulovaného žíhání.................................................................63 

6.2 Experiment s více procesy v jedné dávce............................................................................................68 

7 ZÁVĚR.............................................................................................................. 71 

8 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY .................................................................. 73

ÚAI FSI VUT 



Strana 

11 

Přehled nejdůležitějších symbolů 

a i 

dolní mez výrobní dávky, vyjádřená v jednotkách finálního výrobku 

a(i) množina indexů všech bezprostředních následníků stupně F i 

b i 

horní mez výrobní dávky, vyjádřená v jednotkách finálního výrobku 

b(i) množina indexů všech bezprostředních předchůdců stupně F i 

C 1i 

náklady na přípravu výroby jedné dávky (seřizovací náklady) 

C 2i náklady na skladování jednoho ekvivalentu jednotky finálního výrobku 

po dobu jednotky času (skladovací náklady) 

E optimální hodnota nákladů, daná přesnou strategií 

E D 

dolní hranice optimálních nákladů 

E GA hodnota nákladů získaná pomocí genetického algoritmu 

E H 

horní hranice optimálních nákladů 

E HM hodnota nákladů získaná heuristickou metodou 

e i,j 

F i 

ekvivalent jednotky komponenty j-tého stupně 

označení i-tého výrobního stupně 

k i ki = xi / xa( i) 

N 

počet výrobních stupňů 

s i (x i ) množina přípustných hodnot k i pro dané x i 

X 

x i 

množina přípustných hodnot výrobní dávky x i 

velikost výrobní dávky na stupni F i , vyjádřená v ekvivalentech jednotky 

finálního výrobku 

x′ 

i 

perioda výrobního stupně i 

y i 

z i 

∆ 

výrobní rychlost stupně F i , vyjádřená v ekvivalentech jednotky finálního 

výrobku za jednotku času 

rychlost odběru finálního výrobku ze stupně F i , vyjádřená v jednotkách 

finálního výrobku za jednotku času 

elementární přírůstek výrobní dávky, vyjádřený v jednotkách finálního 

výrobku

Strana 

12 

ÚAI FSI VUT 


Radek Lošťák

ÚAI FSI VUT 



Strana 

13 

1 Úvod 

Předmětem zkoumání této diplomové práce je problém optimalizace časově 

invariantních výrobních dávek vícestupňových procesů ve výrobním systému se 

síťovou strukturou, která může obsahovat kružnice a jejich shluky, a periodickou 

výrobou, jenž může mít více vstupních i výstupních stupňů. Jeden druh komponenty 

finálních výrobků je zpracováván právě jedním stupňem struktury. K řešení problému 

je použito dynamické programování s tím, že kritériem optimality se uvažuje součet 

středních hodnot seřizovacích a skladovacích nákladů. Výpočet je proveden za pomoci 

metody přesného výpočtu a některé ze stochastických heuristických metod. 

Práce je především zaměřena na úpravu stávajícího programového systému, který 

pak umožní zpracování síťové struktury popsané v této práci, rozvětvující se struktury 

podle [3] a stromové struktury popsané v [4]. Další úkol je pak návrh metody řešení 

tohoto problému pomocí některé ze stochastických heuristických metod a její následná 

implementace do programového systému. 

Výpočty uvedených metod uvažují nekonečný plánovací horizont, odběry 

výrobků s konstantní rychlostí na výstupech ze systému, konečné konstantní rychlosti 

práce ostatních stupňů, časově invariantní výrobní dávky, pevné seřizovací náklady a 

proporcionální skladovací náklady. Předpokládá se, že pro každý stupeň, jenž není 

výstupní, se časové intervaly jeho činnosti a nečinnosti střídají periodicky. Dále se 

předpokládá, že kružnice a jejich shluky (shluk je struktura, ve které dvě kružnice mají 

alespoň jeden společný uzel) ve struktuře jsou agregovány na uzly představující stupně 

struktury. Každý stupeň provádí pouze jedinou operaci na jediném druhu výrobku nebo 

komponenty. 

V kapitole druhé tato práce definuje základní pojmy a vztahy, které se úzce týkají 

řešení daného problému. Kapitola dále obsahuje analýzu problému a je zde proveden 

popis světvující se a stromové struktury výrobního systému a jsou zde formulovány 

metody řešení pro uvedenou strukturu. Dále se tato kapitola zmiňuje o obecné struktuře, 

kde každý stupeň může mít několik předchůdců a několik následníků. U této struktury 

se předpokládádá, že může mít několik počátečních a několik koncových stupňů a při 

zanedbání orientace hran nebude obsahovat kružnice [6]. Posledním zmiňovaným 

typem struktury je struktura síťová, která je také předmětem zkoumání této práce. Tato 

struktura už existenci kružnic a jejich shluků uvažuje.

Strana 

14 

ÚAI FSI VUT 



Ve třetí kapitole se zabýváme návrhem metod a řešení obecného výrobního 

systému. Konkrétně se jedná o řešení problému pomocí simulovaného žíhání a 

genetického algoritmu. Následuje otázka transformace (agregace) shluků v síťové 

struktuře na problém bez kružnic (shluků) pro řešení problému pomocí dynamického 

programování. 

Kapitola čtvrtá stručně seznamuje s problematikou stochastických heuristických 

metod, podrobněji popsaných v [8] a [9]. Jedná se o simulované žíhání a genetický 

algoritmus, které jsou použity jako jedny z metod řešení optimalizace výrobních dávek. 

Program a jeho stručný popis lze nalézt v kapitole číslo pět. Náhled na daný 

problém je jak z hlediska uživatele tak programátora. Podkapitola o uživatelském 

prostředí pojednává o funkcích, které jsou programem pro výpočet optimálních dávek 

nabízeny. Dále je popisován program pro generování výrobních struktur a jejích 

parametrů. 

Kapitola s číslem šest je pak srovnáním jednotlivých implemetovaných metod na 

základě provedených výpočtů. Jsou zde také uvedeny parametry, s jakými byly výpočty 

prováděny. Dále je popsán způsob hodnocení jednotlivých metod včetně jejich 

finálního zhodnocení. 

A konečně závěrečná, sedmá kapitola zahrnuje dosažené závěry v této diplomové 

práci. 

Program pro výpočet optimálních výrobních nákladů, jeho zdrojový kód, program 

pro generování výrobních struktur a další programové části nutné pro hladký běh 

programu jsou k dispozici na přiloženém CD.

ÚAI FSI VUT 



Strana 

15 

2 Rozbor problému 

Prvním pojmem důležitým pro další porozumění je výrobní dávka. Je definována 

jako množství výrobku vyráběné na témže zařízení s jednorázovými náklady 

vynaloženými na přípravu výrobní dávky. Při přípravě výroby každé dávky se tyto 

náklady zvyšují a jejich úhrn se za dané období s klesajícím rozsahem dávky zvyšuje. 

Hlavní složkou těchto nákladů jsou náklady seřizovací (náklady na seřízení strojů). 

Často se upozorňuje na nepřesnost toho termínu z důvodu možnosti započítání dalších 

nákladů do seřizovacích nákladů, proto se v různých pracech zmiňuje pojem náklady 

pořizovací. V rámci této práce se autor nadále přiklání k termínu seřizovací náklady. 

Náklady zásobovací také úzce souvisí s problematikou výrobních dávek, protože 

zvyšují-li se výrobní dávky, narůstá i úroveň zásob rozpracované výroby, tedy náklady 

na udržování zásob. 

Mění-li se velikosti výrobní dávky v rámci jednotlivých period, mluví se o 

takzvané dynamické výrobní dávce. Pokud je ale velikost výrobní dávky neměnná 

(konstantní), nazývá se tato výrobní dávka časově invariantní. Předpokládá se u ní 

nekonečný plánovací horizont. 

U optimalizace výrobních dávek je obvykle základním kritériem výše nákladů, 

které je možno ovlivnit právě velikostí dávek. Pokud se čtenář vrátí o kousek zpět, bude 

zřejmé, že tyto náklady jsou sestaveny z nákladů seřizovacích, které jsou vlastně 

náklady spojenými s přípravou výroby dané dávky, a zásobovacích nákladů (náklady na 

udržování zásob). Výrobní dávka je tehdy optimální, když zaručí minimální 

ovlivnitelné náklady. 

Pokud jde o klasifikaci modelů rozvrhování výroby, pak jedno z hledisek může 

být struktura výrobního systému, která je reprezentovatelná jako souvislý graf 

s orientovanými hranami. Přičemž vrcholy grafu V znázorňují jednotlivé výrobní 

stupně, což jsou vlastně pracoviště, kde se provádí výroba, a hrany H, které slouží 

k přenosu hmotných toků mezi výrobními stupni. Posloupnost vrcholů a hran v 0 , h 1 , v 1 , 

..., h n , v n taková, že hrana e i pro i=1, 2, ... má koncové vrcholy v i-1 , v i , se nazývá sled. 

Tahem se pak rozumí sled, kde se žádná hrana nevyskytuje víc než jednou a cesta je 

chápána jako sled, kde se žádný vrchol nevyskytuje víc než jednou. Cyklus se nazývá 

cesta, ve které je první vrchol stejný jako vrchol výchozí. Bavíme-li se o grafu 

neorientovaném, je pojem cyklus nahrazen pojmem kružnice. Graf neobsahující cyklus

Strana 

16 

ÚAI FSI VUT 



pojmenujeme grafem acyklickým. Pokud je takový graf zároveň i souvislý, mluví se o 

grafu se stromovou strukturou. 

Pokud by se uvažovaly jednotlivé struktury podle složitosti, pak by byl zřejmě 

jako nejjednodušší případ zvolen jednostupňový model. 

Vícestupňový model v nejjednodušším sestavení je systém sériový, kde jednotlivé 

výrobní stupně následují jeden druhý v sérii. Podrobnější popis problému je k naleznutí 

v pracech [2] a [7]. 

F 1 F 2 F 3 F 4 

Obr. 1 Sériová struktura výrobně-montážního systému. 

Má-li výrobně-montážní systém takovou strukturu, že každý stupeň má nanejvýš 

jednoho následníka, ale jednoho nebo více předchůdců, definujeme tento systém jako 

desarborescentní. Z obr. 2 je zřejmé, že tato struktura má několik vstupních stupňů a 

jeden stupeň výstupní. Viz. [5] a [7]. 

F 1 

F 4 

F 6 F 7 

F 2 

F 5 

F 3 

Obr. 2 Desarborescentní struktura výrobního systému. 

Čtenáři je zajisté jasné, že existuje i opačný případ, tedy rozvětvující se struktura 

(tzv. arborescentní sktruktura), která na každém stupni má nanejvýš jednoho 

předchůdce, ale naopak zase může mít každý stupeň více následníků. Více možných 

následníků implikuje fakt, že arborescentní struktura může končit více výstupními 

stupni (viz. obr. 3). Bližší popis čtenář nalezne v [3].

ÚAI FSI VUT 



Strana 

17 

F 1 

F 2 

F 4 F 7 

F 5 F 8 

F 3 

F 6 

F 9 

Obr. 3 Arborescentní struktura výrobně-distribučního systému. 

Už složitější případ je obecná struktura, kde stupně mohou mít více předchůdců i 

následníků, která je zobrazena na následujícím obrázku a popsána v [4]. U obecné 

struktury je možné mít více vstupů i výstupů. 

F 1 

F 2 

F 3 

F 6 

F 8 F 10 F 13 

F 5 F 7 

F 9 

F 11 

F 12 

F 4 

Obr. 4. Obecná struktura výrobně-montážního systému bez kružnic. 

Hlavním předmětem zkoumání této práce je ale struktura síťová. V této struktuře 

se mohou vyskytovat jak kružnice, tak i jejich shluky. Shluk obsahuje alespoň dvě 

kružnice, které mají společný alespoň jeden vrchol. Kružnice a shluky bude nutno 

detekovat a případně je pak agregovat do jednotlivých uzlů. Počet vstupů i výstupů

Strana 

18 

ÚAI FSI VUT 



může být – stejně jako u obecné struktury – více než jeden. Výrobní stupně mohou být 

předcházeny a následovány stupni s počtem vyšším než 1. 

F 14 

F 1 

F 5 F 8 F 11 

F 2 

F 3 

F 6 

F 7 

F 9 

F 10 

F 12 

F 13 

F 15 

F 16 

F 4 

Obr. 5 Síťová struktura výrobně-montážního systému s kružnicemi a shlukem. 

Doposud se problematice optimalizace výrobních dávek v systémech 

s arborescentní, desarborescentní a obecnou strukturou bez kružnic věnovali ve svých 

diplomových pracích T. Crhák a J. Adam. Konkrétně se jedná o práce [5] a [6], které 

byly použity jako podklady pro tuto práci, spolu s existujícím zdrojovým kódem 

aplikace OVD. 

V práci Crhák, T. Optimalizace výrobních dávek se autor zabýval 

desarborescentní strukturou výrobního systému. J. Adam se zaměřil na řešení 

Optimalizace výrobních dávek v periodické výrobě se strukturou bez kružnic. 

2.1 Systém s desarborescentní strukturou 

Jak již bylo řečeno dříve, v systému se světvující se strukturou (tzv. 

desarborescentní) může každý stupeň—s výjimkou výstupního—mít více předchůdců, 

ale pouze jednoho následníka. 

2.1.1 Struktura výrobního systému 

Je dán výrobně montážní systém s N stupni očíslovanými od 1 do N. Výrobní 

systém se skládá z výrobních stupňů F 1 , F 2 , ..., F N-1 (N ≥ 2), kde každý stupeň je 

samostatnou výrobní jednotkou F i (i = 1, 2, ..., N-1) schopnou provádět jen jediný

ÚAI FSI VUT 



Strana 

19 

specializovaný výrobně-montážní úkon, závislý na technologii výroby. Do stupně 

označeného F i přicházejí prvotní vstupy (např. materiál, polotovary, nebo suroviny) 

nebo výstupy ze všech bezprostředních předchůdců F j (j ∈ {1, 2, …, N-1}, j ≠ i) stupně 

F i . Bezprostřední předchůdce stupně F i , tedy stupně F j , se budou dále nazývat 

predecesory. Množina b(i) nechť je pak množinou indexů všech predecesorů stupně F i . 

Platí-li b(i) = ∅, stupeň F i nemá predecesory a vstupy jsou prvotní. Výstup z F i slouží 

podle předepsaného technologického postupu jako vstup do stupně F k (k ∈ {1, 2, …, 

N}, k ≠ i), který se nazývá sukcesor stupně F i . Každý výrobní stupeň má právě jeden 

sukcesor. Index sukcesoru F i se v této práci bude značit jako a(i). 

Stupeň F N slouží jen k výstupu výrobku ze systému. 

S konstantní rychlostí y N (0 < y N < ∝) je finální výrobek odebírán ze stupně F N . 

Je-li stupeň F i (i = 1, 2, ..., N-1) v akci, pracuje s konečnou konstantní výrobní rychlostí 

y i (y N ≤ y i < ∝), která se vyjadřuje v ekvivalentech jednotky finálního výrobku za 

jednotku času. Výroba na stupni F i (i = 1, 2, ..., N-1) probíhá periodicky v opakujících 

se výrobních dávkách, přičemž průměrná výrobní rychlost stupně F i za jednu periodu 

výrobního procesu (doba prostoje je také započítána) je rovna rychlosti na výstupu y N . 

Pozn. 1 Předpokládá se i nadále, že číslování stupňů F i je i = 1, 2, ..., N-1 a platí 

pro něj 

( ) 

i < a i . (1) 

Stupeň F i (i = 1, 2, ..., N-1) lze tedy definovat jen tehdy, když jeho všechny nejen 

bezprostřední predecesory byly již definovány. 

Def. 1 Množina R N je definována jako množina všech vektorů x N = [x1, x2, ..., x N ] 

takových, že pro dané a i , b i , ∆ (0 < a i < a i < ∝, 0 < ∆ 

{ } ( ) 

x ∈ X = a , b ∩ ∆, 2 ∆,3 ∆ ,... i = 1, 2,..., N (2) 

i i i 

kde pak 

přičemž je 

xa( i) = Kixi 

( i = 1,2,..., N ), 

(3) 

K ∈ S ∩ P (4) 

i 

i 

⎧ 1 1 1 ⎫ 

S = ⎨1, 2,3,...; , , ,... ⎬ 

(5) 

⎩ 2 3 4 ⎭

Strana 

20 

ÚAI FSI VUT 



a = ( 0, ∞ ) ( = 1,2,..., − 2 ), = { 1} 

P i N P . 

i 

N −1 

Vektor x N ∈ R N se bude nadále nazývat přípustnou strategií výrobních dávek. 

Pozn. 2 a i je minimální, b i maximální a ∆ je elementární výrobní dávka (dáno 

technologií výroby). 

2.1.2 Popis výroby výrobními funkcemi 

Průběh výrobního procesu na jednotlivých stupních je popsán pomocí výrobních 

funkcí V i (t) (i = 1, 2, ..., N). 

Def. 2 Pro každé x N = [x1, x2, ..., x N ] ∈ R N , t ∈ (-∝, +∝) se definuje posloupnost 

funkcí { i } 

i 1 

V ( t ) N 

vztahem 

= 

yN 

kde pak pi = ( t + τ 

i 

) , ⎢⎣ 

pi 

⎥⎦ 

x 

znamená začátek aktivity stupně i. 

⎧⎪ 

⎛ ⎢ x ⎥ ⎞⎫ 

i ⎪ 

Vi ( t) = ⎢⎣ pi ⎥⎦ xi + min ⎨xi , t − ⎢ p + τ ⎥ 

⎬, 

⎜ 

i i 

yi 

⎟ 

⎪⎩ 

⎝ ⎣ zi 

⎦ ⎠⎪⎭ 

i 

(6) 

je největší celé číslo menší nebo rovné p i , -τ i 

V i (t) jsou definovány tak, aby byly splněny následující podmínky: 

• v průběhu časového intervalu t, t + a pro a ≥ 0, t ∈ (-∝, +∝) vystoupí ze 

stupně F i (i = 1, 2, ..., N-1) tolik finálního výrobku (komponenty) jako 

i 

( ) - ( ) 

V t + a V t , 

i 

• v čase t je v meziskladu za stupněm F i (i = 1, 2, ..., N-1) množství 

i 

( ) - ( ) 

V t V t konečného výrobku, popřípadě jeho komponenty. 

a( i) 

Pro lepší představu je výrobní funkce vykreslena na obr. 6. 

Obr. 6 Průběh výrobní funkce V i (t)

ÚAI FSI VUT 



Strana 

21 

Pozn. 3 Funkce V i (t) – V a(i) (t), která definuje velikost zásoby za stupněm F i (i = 1, 

2, ..., N-1), se opakuje s periodou 

1 

T = max { x , x 

( )} 

. 

y 

i i a i 

N 

Perioda zásoby T za každým stupněm F i (i = 1, 2, ..., N-1) je pak dána 

(7) 

T = 1 max { x , ,..., 1 

x2 

x } . N 

(8) 

y 

N 

2.1.3 Náklady na výrobní proces 

Pro začátek výroby každé výrobní dávky na stupni F i je třeba vynaložit seřizovací 

náklady C 1i . Přítomnost jednoho ekvivalentu jednotky finálního výrobku v meziskladu 

za stupněm F i po dobu jednotky času žádá o vynaložení skladovacích nákladů C 2i . 

Předpokládejme, že C 1i a C 2i jsou danými konečnými konstantami, kdy 

a 

1i 

≥ 0 

C (9) 

( ) 

C2 a( i) ≥ C2i 

≥ 0 i = 1,2,..., N −1 . 

(10) 

2.1.4 Formulace problému optimalizace výrobních dávek 

Optimální strategie výrobních dávek pro uvažovaný výrobně-montážní proces 

nalezneme řešením 

min F 

xN 

∈RN 

( ) 

x (11) 

s kriteriální funkcí 

N −1 

t+ 

T 

⎡ y 

⎤ 

2 

( ) = ∑ ⎢ 1 

+ ∫ i 

N 

C 

i 

F x N 

C 

i ( Vi ( τ ) −Va ( i) 

( τ )) 

dτ 

⎥. 

i= 

1 ⎢⎣ 

xi T 

(12) 

i t 

⎥⎦ 

Minimalizaci střední hodnoty ovlivnitelných nákladů, vztažené na jednotku času, 

pomocí volby výrobních dávek, nalezneme v (11). Jako optimální hodnotu těchto 

nákladů označíme E: 

E = min F 

xN 

∈RN 

N 

( x ) 

Ke zjednodušení (12) zavedením funkce G i (x i , x a(i) ) pro x i , x a(i) ∈(0, ∝), i = 1, 2, ..., 

N–1 tak, že 

C1 

( ( ) ) = i + 

2 

+ 

( ) ( ) 

− 

a i a i a i a( i) 

N 

( { }) 

Gi xi , x C 

i 

Bi xi B x M 

i.min xi 

, x , 

x 

i 

(13)

Strana 

22 

ÚAI FSI VUT 



kde 

1 ⎛ 1 1 ⎞ 

Bi 

= ⎜ − ⎟ , 

(14) 

2 ⎝ yN 

yi 

⎠ 

{ ( )} 

M = 2min B , B . 

(15) 

i i a i 

Střední hodnotu seřizovacích a skladovacích nákladů vztaženou na jednotku času 

( ) 

pro stupeň F i (i = 1, 2, ..., N-1) odvodíme jako yNGi xi , x 

a( i) 

. Kriteriální funkce (11) je 

( ) 

−1 

= ∑ N 

F x y G x , x . 

(16) 

( N ) N i i a( i) 

Kriteriální funkce ve tvaru (12) umožní nalezení metody řešení ve větě 1. 

i= 

1 

Věta 1 Mějme E jako minimální hodnotu funkce F(x N ) pro x N ∈ R N a F(x N ) danou 

vztahem dle (16). Potom bude platit, že 

( ) 

E = y min Φ x , 

(17) 

N N N 

xN 

∈X 

kde jsou funkce Φ i (x i ) (i = 1, 2, ..., N; x i ∈ X) definovány rekurentně podle 

kdy 

( x ) 

∑ 

j i i 

( ) ( ) 

( ) ⎣ j i j j j i 

( ( ) ) 

⎧ min ⎡h x , k + Φ k x ⎤ ≠ ∅ 

⎪ k ∈s x 

⎦ 

b i 

Φ = 

j∈b ( i) 

i i ⎨ 

⎪ b i = ∅ 

( ( ) ) 

⎩ 

0 , 

( ( )), ( , ) ( , ) 

j 

j j i j j j i i 

xi 

(18) 

x 

k = i = a j h x k = G k x x 

(19) 

za Q i dosadíme 

Q 

a ⎧ 2 3 ⎫ 

i 

bi 

∆ ∆ ∆ 

si ( xi ) = S ∩Qi 

∩ ; ∩ ⎨ , , ,... ⎬, 

(20) 

xi xi ⎩ xi xi xi 

⎭ 

i 

{ 1 } ( i N ) 

( 0, ∞) ( i ≠ N ) 

⎪⎧ = 

= ⎨ 

⎪⎩ 

a za S viz (5) a za G j (x j , x i ) podle (13). 

2.1.5 Výpočet přesného řešení 

Obecné řešení problému (11) dynamickým programováním popsala věta 1. 

Výpočet bude probíhat tak, že se pro i = 1, 2, ..., N a každé x i ∈ X řeší rovnice(18). 

0 

Vytváří se tabulka hodnot Φ i (x i ) a také tabulky optimálních hodnot ( ) 

k x (j ∈ b(i)), 

j 

i

ÚAI FSI VUT 



Strana 

23 

kdy b i ≠ ∅. E a 

0 

x 

N 

se spočtou podle(17). Pro i = N – 1, N – 2, ..., 1 jsou další optimální 

( ) ( ) 

0 0 0 0 

výrobní dávky xi = ki x 

( ) 

. x . 

a i a i 

2.1.6 Dolní hranice optimálních nákladů 

Dolní hranice optimálních nákladů se počítá tím způsobem, že modely (17) a (18) 

se řeší na spojitém oboru—intervaly nahradí diskrétní množiny stavových a 

rozhodovacích proměnných (viz [7]). 

K usnadnění zápisu vzorců jsou zavedeny pomocné veličiny. Nejdříve je pro i = 

1, 2, ...,N – 1 definováno 

α 

β 

( 1) ( 2) 

i 

= C2iBi , αi = C2i ( Bi − 2 min { Bi , B 

( )}), 

a i 

( 1) 

( 2) 

i 

= C2i ( Ba( i) − { Bi Ba( i) 

}) βi = C2iBa( i) 

2 min , , . 

Dolní hranici optimálních nákladů definuje následujícího vztah 

( 1) ( 1) 

( − − ) 

E y A B (21) 

. 

D 

= 

N N 1 

+ 

N 1 

Počítá se pro i = 1, 2, ..., N–1; v ∈ {1, 2} a minimalizuje funkce ϑ i (v) (x) a počítá se 

Dále platí, že 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

v v v v v 

i i i i i 

x∈[ ai , bi ] 

x∈[ ai , bi 

] 

( ) 

( ) 

( ) 

A + B = min ϑ x a γ = arg min ϑ x . (22) 

( v) 

( v) 

ξi 

( v) ( v 

A = + η γ 

) i 

, 

( v) 

i i 

(23) 

γ 

i 

γ 

( ) 

⎧ ⎛ ( v) 

ξ 

⎞ 

⎪ ⎜ 

i 

( v) 

a 

< ∧ η > 0⎟ 

i 

a 

( v) 

i i 

⎪ ⎜ η 

⎟ 

⎝ 

i 

⎪ 

⎠ 

( v) 

( ) 

ξ ⎛ v 

⎪ 

ξ ⎞ 

= ⎨ ⎜ a ≤ ≤ b ⎟ 

( v) 

( v) 

⎪ η ⎜ η ⎟ 

i ⎝ i ⎠ 

⎪ 

⎛ 

( v 

⎪ 

) 

ξ 

⎞ 

i 

⎜ 

( v) 

⎪b 

< ∨η 

≤ 0 ⎟ 

i 

bi . 

⎜ 

( v) 

i 

⎪ η 

⎟ 

⎩ ⎝ 

i 

⎠ 

v i i 

i i i 

(24) 

Nyní se definuje množina na i = 1, 2, ..., N – 1 

( v) 

( 1) ( 2) 

( 1) ( 2) 

{ γ ( ) { } γ γ } γ γ γ γ 

j∈b i 

Γ 

i 

= { ai , bi } ∪ 

j 

j ∈b i ∧ v ∈ 1, 2 ∧ 

j 

≠ 

j 

∪ ∪ ∈Γ 

j j 

< < 

j 

, (25) 

kde Γ i = {γ i,0 , γ i,1 , ..., γ i,m(i) + 1 } a γ i,r < γ i,r + 1 . 

Pro x ∈ 〈γ i,r , γ i,r + 1 〉 a r = 0, 1, ..., n(i) se vyjádří 

( ){ }

Strana 

24 

ÚAI FSI VUT 



kde ( ) = Γ − 2 

n i . 

i 

( v ) ξi, 

r ( v) 

ϑ 

i ( x) = + µ 

i, r 

x + Bi , r 

, 

x 

Koeficienty ξ i , r 

, 

( ) 

η v 

, i, 

r i, 

r 

B se zjišťují podle [7]. 

V [7] byla dokázána spojitost a konvexnost funkce ϑ (v) i (x) v intervalu 〈a i , b i 〉, 

proto také tato funkce zde nabývá minima. Minimum se objevuje buď v bodě, nebo na 

subintervalu x ∈ 〈γ i,r , γ i,r + 1 〉. 

Optimální strategie stavových a rozhodovacích proměnných ( * * * 

1 

, 

2,..., N ) 

se týkají dolní hranice E D , se určí tak, že 

kam se dosadí 

( 1) 

* * * * * * 

N N −1 N −1 i i a i a i 

( ( ) ) ( ) ( ) 

x x x , které 

x = x = γ , x = k x x i = N − 2, N − 3,...,1 , (26) 

( 1) 

( 1) 

( x 

( ) 

< γ 

a i i ) 

⎧ γ 

i 

⎪ 

⎪ xa( i) 

⎪ 

k ( x 

( ) ) = 1 

≤ x < 

a i 

⎪ 

( 2) 

⎪γ 

i 

( 2) 

⎪ ( γ 

i 

≤ x 

( ) ). 

a i 

x 

⎩ a( i) 

( 1) 

( 2) 

( γ 

( ) 

γ 

a i ) 

* * 

i ⎨ 

i i 

2.1.7 Horní hranice optimálních nákladů 

Horní hranice optimálních nákladů byla určena jednoduchým přístupem 

s předpokladem, že horní hranice E H vychází ze vztahu 

* 

x∈X 

( ) 

E ≤ E = min Φ x , 

kde funkci Φ(x) definujeme tak, že 

⎛ ξ ⎞ 

Φ ( x) = yN 

⎜ + η x⎟ 

⎝ x ⎠ , 

kde 

H 

(27) 

a 

N −1 

ξ = ∑ C 

i= 

1 

1i 

Množina X * se vypočte podle vztahu 

N −1 

∑ C2i Bi Ba( i) 

. 

η = − 

i= 

1

ÚAI FSI VUT 



Strana 

25 

X 

* 

⎧⎢ γ ⎥ ⎛ ⎢ γ ⎥ ⎞ ⎫ 

= ⎨⎢ ⎥ ∆ , ⎜ ⎢ ⎥ + 1 ⎟ ∆⎬ 

∩ ai 

, bi 

⎩⎣ ∆ ⎦ ⎝ ⎣ ∆ ⎦ ⎠ ⎭ 

. 

2.1.8 Heuristická metoda řešení problému 

Těžiště této heuristické metody spočívá v nahrazení množin s(i) z (20), použitých 

∗ 

v rekurentním vztahu (18), redukovanými množinami 

j ( i ) ( ∈ ( ) ≠ ∅) 

počet rozhodovacích proměnných. 

kam se dosadí 

s x j b i — omezí se 

⎧ ( 1) 

{ 1, u 

j ( xi ), u 

j ( xi ) + 1} ∩ si ( xi ) ( xi < γ 

j ) 

⎪ 

∗ ⎪ 

( 1) ( 2) 

j ( i ) = ⎨{ 1} 

( γ 

j 

≤ 

i 

< γ 

j ) 

s x x 

⎪ 

( 2) 

⎪{ ν 

j ( xi ), wj ( xi ),1} ( γ 

j 

≤ xi 

), 

⎩ 

ν 

( i) 

( ) ⎢γ 

u x = ⎥ ⎣ 

x ⎦ 

, 

j i j i 

( 2) 

j ( xi ) = max { k 

j 

∈ si ( xi ) k 

j 

< γ 

j 

xi} 

, 

( 2) 

j ( i ) = min { j 

∈ 

i ( i ) j 

≥ γ 

j i} 

. 

w x k s x k x 

( ) 

( ) 

ν 

Vztah (20) určí množinu s i (x i ) a veličiny γ 

j 

j = 1, 2, ..., N − 1; ν = 1, 2 vycházejí 

ze zápisu (24). 

∗ 

Časová redukce spočívá v omezení počtu prvků množiny s ( x ) 

j 

i 

(28) 

(29) 

na maximálně tři 

prvky. Výsledkem je E HM (výrobní náklady jako řešení (11) heuristickou metodou). 

2.2 Systém se strukturou bez kružnic 

V této podkapitole je uvažován výrobně-montážní systém s více stupni, kde každý 

ze stupňů může mít několik bezprostředních predecesorů a několik bezprostředních 

sukcesorů. Celý systém může obsahovat více vstupů i výstupů. Po zanedbání orientace 

hran struktura systému neobsahuje kružnice. 

2.2.1 Struktura výrobního systému 

Bude se uvažovat N-stupňový výrobní systém se stupni očíslovanými od 1 do N 

podle obr. 4. Tedy: 

a(i) = množina bezprostředních sukcesorů stupně i, i = 1, 2, ... , N; 

b(i) = množina bezprostředních predecesorů stupně i, i = 1, 2, ... , N; Je-li 

a( i ) = ∅ , mělo by platit |b(i)| = 1.

Strana 

26 

ÚAI FSI VUT 



a(i) = ∅; 

C 1 ,i = pevné seřizovací náklady na stupni i, i = 1, 2, ... , N; C 

1,i 

= 0 pro a(i) = ∅; 

C 

2,i 

= skladovací náklady za jednotku času na stupni i, i = 1, 2, ... , N; C 

2,i 

e i , j 

= 0 pro 

= ekvivalent jednotky komponenty j-tého stupně, j ∈ a(i) (je to počet jednotek 

i-té komponenty vstupujících do jedné jednotky j-té komponenty); 

z i = rychlost odběru ze stupně i když a(i) = ∅; průměrná výrobní rychlost na 

stupni i, když a(i) ≠ ∅, 

y 

i 

≥ 

z = ∑ e z ; 

i i, 

j j 

j∈a i 

( ) 

y 

i 

= výrobní rychlost na stupni i, když stupeň i je aktivní; y 

i 

= z i pro a(i) = ∅; 

z 

i 

pro a(i) ≠ ∅; 

x 

i 

= výrobní dávka na stupni i, i = 1, 2, ... , N; x 

i 

∈ [ a i 

, b 

i 

], kde a 

i 

, b 

i 

jsou dané 

meze výrobní dávky na stupni i (0 < a 

i 



< ∞); 

[ ]{ } 

x ∈ a , b z , 2 z , ... . 

(30) 

i i i i i 

Struktura výrobního systému může být vyjádřena orientovaným acyklickým 

 

= , 

V = 1,2,..., N , a W představuje 

grafem G ( V W ) , kde je V množinou stupňů, { } 

množinu orientovaných hran ⊂ × 

{ } 

W V V , W ( i, j) i V , j a ( i) 

= ∈ ∈ . 

Hrana (i, j) existuje jen tehdy, když stupeň i zásobuje stupeň j. Stupně jsou 

očíslovány tak, že pro každou hranu ( i j) 

, ∈W platí i > j. Dále se předpokládá, že 

výstupy ze systému jsou číslovány 1,...,m . Neorientovaný graf G neobsahuje kružnice. 

2.2.2 Popis výroby výrobními funkcemi 

Funkce V i (t) charakterizuje všechny stupně v systému pro t ∈ (−∞, +∞). Pro 

výstupy i = 1, ... , m funkce V i (t) představuje kumulovanou poptávku 

( ) ( ) 

V t = z t − τ . 

i i i 

Ve vztahu k ostatním stupňům funkce V i (t) vyjadřuje kumulovanou výrobu a platí, 

že 

kde 

⎧⎪ 

⎛ x ⎞ ⎫ 

i ⎪ 

Vi ( t) = ⎢⎣ pi ⎥⎦ xi + min ⎨xi , ⎜t − ⎢⎣ pi ⎥⎦ 

−τ 

i ⎟ yi 

⎬, 

⎪⎩ 

⎝ zi 

⎠ ⎪⎭ 

( τ ) 

p = t − z x , 

i i i i

ÚAI FSI VUT 



Strana 

27 

τ i označuje bod na časové ose, pro které je V i (τ i ) = 0. Pro všechna (i, j) ∈ W a 

všechna t musí platit, že V i (t) ≥ V j (t). 

Kooperace stupně i s jeho bezprostředními sukcesory j ∈ a(i) se modeluje tak, 

jakoby byl stupeň i složen z ⎪a(i)⎪ paralelně pracujících podstupňů. Nechť x i,j je 

výrobní dávka na j-tém podstupni stupně i určená pro stupeň j ∈ a(i). Platí 

e z e x z x ⎧ 1 1 ⎫ 

xi, 

j 

= x , = ∈ S = ⎨1, 2, ...; , , ... ⎬ 

⎩ 2 3 ⎭ . 

i, j j i, 

j j i j 

i 

zi xi, 

j 

z 

j 

xi 

Předpokládá se, že stupeň i začíná činnost s minimálním předstihem oproti stupni 

j ∈ a(i) (tento předstih je určen pouze stupni i a j a je roven τ 

j 

− τ 

i 

). Symbol V i,j (t) bude 

značit kumulovanou výrobu j-tého podstupně stupně i. Pak 

e z 

V t V t 

, 

( ) = i j j 

( ) 

i, j 

i 

. 

zi 

V čase t je množství i-té komponenty ve skladu na hraně (i, j) rovno 

Vi, j ( t) 

− ei, 

jV 

j ( t) 

. Funkce Vi, j ( t) 

− ei, 

jV 

j ( t) 

je periodická s periodou 

2.2.3 Náklady na výrobní proces 

1 

⎧⎪ 

x x ⎫ 

i j ⎪ 

Ti , j 

= max { xi, j 

, ei , j 

x 

j} 

= max ⎨ , ⎬ . 

ei , j 

z 

j ⎪⎩ 

zi z 

j ⎪⎭ 

Průměrné skladovací náklady na hraně (i, j) za jednotku času určuje funkce 

t+ 

T i j 

C 

g x x = V τ − e V τ dτ 

= 

, 

2, i 

( , ) ∫ ( ( ) ( )) 

i, j i j i, j i, 

j j 

Ti , j t 

( { } { }) 

= C e z B x + B x − 2 min B z , B z min x / z , x / z , 

2, i i, 

j j i i j j i i j j i i j j 

(31) 

kde 

1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 ⎞ 

Bi 

= ⎜ − ⎟, 

Bj 

= − 

. 

2 zi yi 2 ⎜ z 

j 

y ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ j ⎠ 

Průměrné seřizovací náklady na i-tém stupni za jednotku času určuje výraz 

C z 

1,i i 

x 

i 

(32) 

2.2.4 Formulace problému optimalizace výrobních dávek 

problému 

Optimální strategie výrobních dávek se dosáhne řešením minimalizačního

Strana 

28 

ÚAI FSI VUT 



s podmínkami 

C z 

F x x x g x x 

x 

N 

1, i i 

( 1, 2 

, ..., 

N ) = ∑ + ∑ i, 

j ( i, 

j ) 

i= 1 i ( i, 

j) 

∈W 

[ ] { } 

(33) 

x ∈ a , b ∩ z ,2 z ,... i = 1,..., N , (34) 

i i i i i 

kde 

S 

z 

jxi 

∈ S ∩ H 

j ( i, 

j) 

∈W 

, (35) 

z x 

i 

j 

( ) 

( ) 

( 0, ) a( j) 

{ } a ( i) 

⎧ 1 1 ⎫ 

⎧ 

⎪ ∞ ≠ ∅ 

= ⎨1, 2, ...; , , ... ⎬, 

H 

j 

= ⎨ 

. 

⎩ 2 3 ⎭ ⎪⎩ 

1 = ∅ 

2.2.5 Výpočet přesného řešení 

Graf struktury systému neobsahuje kružnice a je tudíž možno stupně přečíslovat a 

uspořádat do stromové výpočetní struktury, ve které každý stupeň s výjimkou 

posledního má právě jeden bezprostřední sukcesor. Jeho nové číslo je větší nebo rovné 

číslu tohoto stupně. Nechť je n(i) novým číslem stupně i, pak bude ã ( i) 

sukcesor 

stupně i a b̃ ( i) 

bude množina predecesorů stupně i v novém uspořádání. 

Nové uspořádání má následující vlastnosti: 

• pro stupeň s číslem n(i) = N je a(i) = ∅; ã ( i) 

není definováno, 

b̃ ( i) 

= b(i) a pro j ∈ b̃ ( i) 

je ã ( j) 

= i; 

• pro stupeň s číslem n(i) < N musí být n(i) < n( ã ( i) 

); 

b̃ ( i) 

= b(i) ∪ a(i) − { ã ( i) 

} a pro j ∈ b̃ ( i) 

je ã ( j) 

= i. 

Nechť je nová proměnná x′ = x / z , i = 1,..., N reprezentací periody stupně i. 

i i i 

Bellmanovým principem optimality lze daný problém (33) – (35) transformovat do 

( ′ ) 

min Φ x , 

′ ∈ ⎡ ′, 

′ ⎤ 

i i 

x a b 

i ⎣ i i ⎦ 

kde n(i) = N a funkce Φ ( x′ ) pro n(i) = N, N−1, ... , 1 jsou dány soustavou 

rekurentních rovnic 

( x′ 

) 

i 

i 

( ) 

⎧ 

min 

⎡ 

, 

⎤ 

⎪ 

+ Φ ≠ ∅ 

k ∈s x ⎣ ⎦ 

( ′ ) ( ′) ( ) 

( ′) ⎢h ̃ 

j 

xi k 

j j 

k 

j 

x 

i ⎥ b i 

j j 

Φ = j∈b ⎨ 

( i) 

i 

i i 

⎪ b̃ 

i = ∅ 

⎩ 

∑̃ 

( ( ) ) 

0 , 

(36) 

(37)

ÚAI FSI VUT 



Strana 

29 

kde 

( ) 

h 

⎧ C 

( ′, 

′) ( ) 

1, j 

⎪ 

j, 

i j j i i i 

⎪k ′ 

j 

xi 

( ′ 

j 

xi , k 

j ) = ⎨ 

⎪ C1, 

j 

′ ′ 

i, 

j i i j j i 

⎪ k ′ 

j 

xi 

⎩ 

+ g z k x z x i ∈ a j 

( ) ( ) 

+ g z x , z k x i ∈b j , 

s ′ ⎡ ′ / ′ , ′ / ′ ⎤ , ′ / ′, ′ / , ′ 

j 

xi = S ∩ ⎣a j 

xi bj xi ⎦ k 

j 

= x 

j 

xi a 

j 

= a 

j 

z 

j 

bj = bj / z 

j. 

h x′ , k ) je střední hodnota seřizovacích a skladovacích nákladů na j-tém stupni. 

j ( i j 

Dvojí vyjádření této funkce reprezentuje případy, kdy se při transformaci struktury 

změnila nebo nezměnila orientace hrany (i, j). 

Problém (36) – (37) lze řešit enumerační metodou pro každý jednodimenzionální 

podproblém, když platí 

[ , ] ∩{ 1, 2,... } 

x′ ∈ a′ b ′ 

i i i 

a ∆ > 0 je vhodná konstanta. Rovnice (37) se řeší sekvenčně pro n(i) = 1, 2, ..., N 

 

a odpovídající optimální hodnoty k ( x′ ) 

j 

i 

se vkládají do tabulek. Řešením problému (36) 

se určí optimální náklady E a optimální perioda x′ i 

pro n(i) = N. Ostatní optimální 

periody pro n(i) = N – 1, N −2, ... , 1 se určí podle vzorce 

x′ k x′ x′ 

 

i 

= 

i 

( 

ã ( i) ) 

ã ( i) 

. 

2.2.6 Heuristické metody řešení problému 

Model dynamického programování pro případ výrobně-montážního systému s 

totožnou strukturou jako problém (36) − (37), je možno efektivně řešit také 

heuristickými metodami, které jsou založeny na užití vzorců pro výpočet dolní hranice 

optimálních nákladů. 

Řešením problému dynamického programování (36) − (37) lze určit dolní hranici 

E L optimálních nákladů E pro x′ ∈ [ a′ , b′ 

] a k ∈ [ a′ / x′ , b′ / x′ 

] . 

i i i 

j j i j i 

Analytické řešení tohoto problému bylo nalezeno za podmínek, že střední hodnota 

nákladů na stupni j se dá vyjádřit tvarem 

kde platí i = ã ( j) 

, C1, ≥ 0 a α 

Funkce hj ( xi , k 

j ) 

C 

h ( x′ , k ) = + α k x′ + α − α min k ,1 x′ + β x′ 

, (38) 

( ) { } 

1, j (1) (2) (1) (2) 

j i j j j i j j j i j i 

k 

j 

x′ 

i 

j 

≥ α . 

(1) (2) 

j j 

′ jde vyjádřit ve tvaru (38), kde pro i a ( j) 

∈ jsou

Strana 

30 

ÚAI FSI VUT 

α 

β 

a pro i b( j) 



, α 

( 2 min { , }) 

( 2 min { , }), 

β 

= C e z B z = C e z B z − B z B z 

(1) (2) 

j 2, j j, i i j j j 2, j j, 

i i j j j j i i 

= C e z B z − B z B z = C e z B z 

(1) (2) 

j 2, j j, i i i i j j i i j 2, j j, 

i i i i 

∈ jsou 

α 

β 

, α 

( 2 min { , }) 

( 2 min { , }), 

β 

. 

= C e z B z = C e z B z − B z B z 

(1) (2) 

j 2, i i, j j j j j 2, i i, 

j j j j i i j j 

= C e z B z − B z B z = C e z B z 

(1) (2) 

j 2, i i, j j i i i i j j j 2, i i, 

j j i i 

Uvedené podmínky splněny, a tedy že je možné použít vzorce pro výpočet dolní 

hranice, odvozené pro případ výrobně-montážního systému, a na nich založené 

heuristické metody HM1 a HM2. 

2.2.7 Transformace na světvující se strukturu 

Algoritmus transformace na světvující se strukturu a následný algoritmus 

přečíslování byl popsán v [6]. Pro lepší porozumění problému zde bude na příkladu 

(obr. 7) graficky znázorněno, jak dané algoritmy pracují v praxi. Transformace na 

světvující se strukturu umožňuje aplikaci výpočtu pomocí dynamického programování i 

na případ síťového výrobního systému, který po agregaci shluků neobsahuje kružnice. 

Jednotlivé kroky příkladu postupují „po řádcích“ a jsou okomentovány pod 

aktuálním obrázkem.

ÚAI FSI VUT 



Strana 

31 

1 

4 

7 

9 

1 

4 

7 

i 3 

9 

2 

5 

8 

10 

2 

5 

8 

10 

i 2 

i 1 

i 2 

3 

6 

11 

Nalezení stupně i 2 V N , kde existuje 

hrana (j, i 2 ) a j V O ; otočení hrany; 

vložení do V O ; odstranění z V N . 

i 1 

3 

6 

11 

Nalezení stupně i 3 V N , kde existuje 

hrana (j, i 3 ) a j V O ; otočení hrany; 

vložení do V O ; odstranění z V N vč. 

předchůdců. 

Obr 7. Grafické znázornění algoritmu transformace na světvující se strukturu a 

algoritmus přečíslování. 

2.3 Obecný (síťový) výrobní systém 

Náplní této práce je zkoumání vícevýrobkového vícestupňového výrobněmontážního 

systému se síťovou (obecnou) strukturou, kde každý stupeň (zařízení) 

může být zásobován několika bezprostředními předchůdci a jeho výstup může sloužit 

jako vstupy pro několik bezprostředních následníků.

Strana 

32 

ÚAI FSI VUT 



2.3.1 Struktura obecného výrobního systému 

obr 5. 

Uvažuje se N-stupňový výrobní systém se stupni očíslovanými od 1 do N podle 

Nechť 

A(i) = množina všech následníků stupně i; 

B(i) = množina všech předchůdců stupně i; 

Spolupráce stupně i s jeho bezprostředními následníky j a ( i) 

totožně jako v předcházející podkapitole. Definují se nové proměnné 

x′ = x / z , i = 1,..., N . 

i i i 

x′ 

i 

je reprezentací periody stupně i. Platí ai xi bi 

Potom tedy Ti , j 

max { x′ i, 

x′ 

j} 

′ < ′ < ′ , kde pak 

[ ] { } 

a′ = a / z , b′ = b / z , x′ ∈ a′ , b′ 

∩ 1, 2, ... . 

i i i i i i i i i 

∈ je modelována 

= a pro celý proces je perioda { x′ x′ x′ 

} 

Předpokládá se, že každý stupeň začne svoji aktivitu co nejdříve. 

max 

1, 2, , 

N 

… . 

ν 

ij 

= ideální nejmenší možný předstih stupně i oproti stupni j určený pouze těmito 

stupni bez vlivu ostatních stupňů; 

µ 

ij 

= skutečný nejmenší možný předstih stupně i oproti stupni j; je zřejmé, že 

µ i, j závisí nejen na x′a i 

x′ , ale také na x , s A( i) 

j 

′ ∈ . 

S 

Pak 

{ } { } 

ν 

i, j 

= 2B j 

z 

j 

x′ j 

− 2 min Bi zi, Bj z 

j 

min x′ i, 

x′ 

j 

, (39) 

µ = τ − τ . (40) 

i, 

j j i 

A musí platit µ 

i, j 

≥ ν 

i, 

j 

. 

Pro koncové stupně mohou být zadány hodnoty τ i (např. mohou být nulové). Pro 

ostatní stupně ( i m 1, m 2,..., N ) 

= + + je lze určit: 

( , ) 

τ = min τ − ν . 

i j i j 

j∈a ( i) 

2.3.2 Formulace problému 

Nechť 

C , i 

1 jsou pevné seřizovací náklady na stupni i a C 2 , i skladovací náklady za 

jednotku času na stupni i. Průměrné seřizovací náklady na i-tém stupni za jednotku času 

se určí jako

ÚAI FSI VUT 



Strana 

33 

C 

1, i 

x′ 

i 

. 

Funkce 

t+ 

T i j 

C 

g x V τ e V τ dτ 

, 

2, i 

( ′, x ′ ) = ∫ ( ( ) − ( )) 

i, j i A, i i, j i, 

j j 

Ti , j t 

určí průměrné skladovací náklady na hraně (i, j) ∈ W za jednotku času, kde 

Platí, že 

( xs 

s A( i) 

) 

x ′ = ′ ∈ . 

A, i 

; 

( ′, 

′ ) = ( µ + ′ − ′ ) 

g x x C e z B z x B z x . (41) 

i, j i A, i 2, i i, j j i, 

j i i i j j j 

Celkový součet průměrných seřizovacích a skladovacích nákladů udává funkce 

Problém lze formulovat jako: 

za podmínek, že 

N 

C 

F( x′ , x′ , ... , x′ ) = + g x′ , ′ 

′ 

1, i 

∑ ∑ ( x ) 

(42) 

1 2 N i, j i A, 

i 

i= 1 xi 

( i, j) 

∈W 

minimalizaci F ( x x x ) 

[ a , b ] { 1, 2,... } 

i i i 

′ 

1, ′ 

2, ... , ′ 

N 

(43) 

x′ ∈ ′ ′ ∩ pro i = 1,..., N , (44) 

′ ′ ∈ ∩ pro ( i, 

j) 

xi x 

j 

S H 

j 

kde S a H j jsou definovány v podkapitole 2.2.4. 

∈ W , (45)

Strana 

34 

ÚAI FSI VUT 


Radek Lošťák

ÚAI FSI VUT 



Strana 

35 

3 Návrh řešení 

V této kapitole bude na základě práce [10] vysvětlen postup pro řešení obecného 

výrobního systému se síťovou strukturou. 

3.1 Metody řešení obecného výrobního systému 

Přístup, který byl popsán v 2.3.2, lze aplikovat za předpokladu, že graf struktury 

výrobního systému neobsahuje kružnice. Jestliže tento předpoklad neplatí, problém se 

komplikuje tak, že: 

• předstih stupně i před stupněm j na hraně ( i, 

j ) není určen pouze stupni i a 

j a proto funkce 

g , závisí na více než dvou proměnných, 

i j 

• stavové a rozhodovací proměnné v úloze dynamického programování 

mohou být vektory, což zvyšuje časovou složitost, 

• je nemožné bezprostřední použití heuristických metod HM1 a HM2. 

Existují-li kružnice ve struktuře výrobního systému, lze zmíněné metody použít za 

podmínky, že na vazbách mezi stupni nacházejícími se v kružnici se výrobní dávky 

nebudou měnit, tzn. že xi 

= x pro vazbu ( i, 

j ) . Aby byla tato podmínka splněna, je 

j 

možné upravit strukturu systému tak, že ve výpočtu se každý shluk kružnic (tj. množina 

kružnic majících neprázdný průnik) nahradí jedním agregovaným stupněm. Tímto se 

dosáhne struktury bez kružnic, pro niž po vhodném přečíslování uzlů, lze použít dříve 

zmíněné heuristické metody. E U použijeme pro označení hodnoty nákladů určených 

tímto přístupem symbolem. E U je pak horní mezí optimálních nákladů E. 

Podstatně hrubší horní hranici optimálních nákladů lze získat řešením 

N 

⎧ 

⎫ 

min ⎨ f ( x′ ) = F ( x′ , x′ , ..., x′ ) x′ ∈∩ [ a′ i, 

b′ 

i ] ⎬ . 

⎩ 

i= 

1 ⎭ 

V případě selhání klasických přístupů je třeba se pokusit o konstrukci problémově 

specifické účinné heuristiky nebo použít nějakou moderní obecnou heuristickou 

metodu, kupříkladu genetické algoritmy, simulované žíhání nebo zakázané hledání. 

V následující podkapitole budou zkoumány možnosti použití genetických algoritmů a 

simulovaného žíhání.

Strana 

36 

ÚAI FSI VUT 



3.1.1 Nástin řešení pomocí simulovaného žíhání 

Řeší se problém (43) − (45). Podmínky (44) − (45) určují prostor řešení S tohoto 

problému. Pro redukci výpočtů hodnot nákladové funkce F se zdá vhodné definovat 

sousedství aktuálního řešení jako množinu přípustných řešení, které se liší od 

aktuálního řešení pouze v jedné složce. Změna hodnoty x ′ 

i 

může působit na následující 

části nákladové funkce: členy odpovídající stupni i, členy odpovídající hranám ( i, 

j ) a 

( l, 

i ) pro j ∈ a ( i) 

, l ∈ a ( i) 

a členy odpovídající hranám ( r, 

s ) , kde r B( i) 

a ( r ) > 1 a s ∈ a ( r) 

. Na intervalu [ ] 

∈ , 

0,1 může být sousední řešení vybráno pomocí 

rovnoměrného rozdělení ve dvou krocích. Nejprve je vybrán stupeň i a pak se generuje 

hodnota x ′ 

i 

, jenž splňuje podmínky (44) − (45). 

Komplikacím spojeným s podmínkou (36) se lze vyhnout tak, že se rozšíří prostor 

řešení odstraněním této podmínky (poznamenejme, že to neznamená porušení 

požadavku periodicity procesu). Předstihy v 

i, 

j 

ze (45) jsou pak určeny vzorcem 

{ } ( ) 

ν 

, 

= 2 ⎡ ′ − min , gcd ′, 

′ ⎤ 

i j ⎣ 

B 

j 

x 

j 

z 

j 

Bi zi B 

j 

z 

j 

xi x 

j ⎦ 

, 

kde gcd je největší společný dělitel. Z důvodu redukce výpočetního času se musí 

tabelovat hodnoty gcd před zahájením algoritmu simulovaného žíhání. 

3.1.2 Nástin řešení pomocí genetického algoritmu 

Během návrhu genetického algoritmu pro řešení nějakého problému musí být 

určeno schéma kódování prostoru řešení, zkonstruována funkce fitness, vybrány resp. 

zkonstruovány vhodné genetické operátory a nalezen způsob zohlednění omezujících 

podmínek. 

Základním kódovacím schématem v genetických algoritmech je binární kódování. 

Pro problém (43) − (45) bude však vhodnější nebinární kódování. Chromozóm 

reprezentuje vektor 

( x x x ) 

x ′ = ′ 

1, ′ 

2, ... , ′ 

N 

. 

Použije-li se ruletová selekce, funkce fitness pak bude 

( ′) ( ′) 

fit x = E − F x + ε , 

P

ÚAI FSI VUT 



Strana 

37 

kde je ε kladná konstanta a 

turnajové selekci může být fit ( x ′) = F( x′ 

) 

nejmenší. 

E P je maximální hodnota nákladů v populaci. Při 

, s tím, že nejlepší hodnota fitness je ta 

Hlavní obtíže při návrhu genetického algoritmu pro problém (43) − (45) způsobují 

omezující podmínky (45). Tyto lze obejít takovým způsobem, že se rozšíří množina 

přípustných řešení nahrazením množiny S množinou Q racionálních čísel. Vzorcem 

s periodou 

se pak určí předstihy 

{ } ( ) 

ν 

i, j 

= 2 ⎡B j 

x′ j 

z 

j 

min Bi zi, B 

j 

z 

j 

gcd x′ i, 

x′ 

⎤ 

⎣ 

− 

j ⎦ 

ν . Funkce zásob V ( τ ) e V ( τ ) 

i, j 

( ′ ′ ) 

Ti , j 

= lcm xi , x 

j 

. 

− je periodická 

i, j i, 

j j 

gcd je největší společný dělitel a lcm je nejmenší společný násobek. Před 

zahájením genetického algoritmu je nutné tabelovat hodnoty gcd, aby se redukoval 

výpočetní čas. 

3.2 Transformace problému s kružnicemi na problém bez kružnic 

Aby bylo možno řešit problém s kružnicemi, je nutné, aby byl převeden na 

problém bez kružnic. Transformace bude popsána v této kapitole. 

 

Z grafu původní struktury G = ( V , W ) vytvoříme následujícím způsobem graf 

⌢ ⌢ ⌢ 

G = ( V , W ) , tedy strukturu, která kružnice neobsahuje. 

⌢ 

⌢ 

Množina uzlů v transformované struktuře je V = { 1, ... , M} 

. Každému uzlu i ∈ V 

odpovídá právě jedna množina v(i) ⊂ V. Množina v(i) může být buď jednoprvková 

(obsahuje uzel původního grafu neležící v žádné kružnici) nebo víceprvková (prvky 

vytvářejí shluk, což je kružnice nebo sjednocení kružnic s neprázdným průnikem). Pro 

zjednodušení bude jednoprvková množina uvažována jako zvláštní případ shluku. 

Sjednocením množin v(i) vznikne množina V. Množiny v(i) jsou tedy navzájem 

disjunktní. 

⌢ 

⌢ 

Množina hran transformovaná W = {( i, 

j) 

| i, 

j ∈V 

, ∃k 

∈ v( 

i), 

l ∈ v( 

j) 

: ( k, 

l) 

∈W} 

. 

Tedy hrana (i, j) je spojnicí uzlů (shluků) i a j právě tehdy, existují-li uzly k ∈ v(i), 

l ∈ v(j) takové, že existuje hrana (k, l) v původní struktuře. Tato hrana z původní 

struktury bude označena symbolem e(i, j), její počáteční uzel k symbolem p(i, j) a její 

koncový uzel l symbolem q(i, j). Mezi dvěma shluky může existovat nejvýše jedna

Strana 

38 

ÚAI FSI VUT 



hrana (v případě více hran by to znamenalo, že existuje kružnice, která prochází oběma 

shluky, což je spor). 

a ⌢ (i) = množina bezprostředních následníků stupně i v grafu G ⌢ , i = 1, 2, ... , M; 

b ⌢ (i) = množina bezprostředních předchůdců stupně i v grafu G ⌢ , i = 1, 2, ... , M. 

Pro každý shluk v(i) se předpokládá, že všechny jeho uzly k ∈ v(i) mají stejnou 

výrobní periodu 

x k′ = Xi′ 

. Kriteriální funkce pak bude vyjádřena jako: 

⌢ 

⌢ M ⎛ C ⌢ ⎞ 

1, i 

⌢ 

F( X ′ 

1, X ′ 

2 

,..., X ′ 

M 

) = ∑ 

+ Di X ′ 

i 

+ gi, 

j 

X ′ 

i, 

X ′ 

⎜ 

j 

i= 1 X ′ ⎟ ∑ ⌢ 

⎝ i ⎠ ( i, j) 

∈W 

⌢ 

C1, i 

= ∑ C1, 

k 

k∈v ( i) 

( ) 

⌢ ⎧0 (množina v( i) je jednoprvková) 

⎪ 

Di 

= ⎨ C2, k 

ek , l 

zl ( µ 

k , l 

+ Bk zk − Bl zl 

) ( jinak) 

⎪⎩ 

∑ 

⌢ 

( k , l ) ∈w( i) 

w(i) = množina hran původního grafu, patřících do i-tého shluku. 

kde 

⌢ τ 

k 

a ⌢ τ 

l 

( ) = {( , ) | , ∈ ( ),( , ) ∈ } 

w i k l k l v i k l W 

⌢ ⌢ ⌢ 

µ = τ −τ 

, 

k , l l k 

jsou termíny uzlů relativní vhledem k termínu koncového uzlu 

příslušného shluku při jednotkové velikosti výrobní periody. 

⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ 

X ′, X ′ = C B X ′ + B X ′ − 2 min B , B min X ′, 

X ′ 

( i j ) 2, i, j ( 1, i, j i 2, i, j j { 1, i, j 2, i, 

j} { i j}) 

Postup výpočtu termínů 

⌢ τ k 

⌢ 

C = C e z 

⌢ 

B1, i, j 

= Bp( i, j) z 

p( i, j) 

⌢ 

B = B z 

2, i, j 2, p( i, j ) p( i, j), q( i, j ) q( i, j) 

2, i, j q( i, j) q( i, j) 

očíslovány tak, že pro libibovolnou hranu (k, l) platí k > l): 

(nutno poznamenat, že uzly původního grafu jsou 

ω(i) = číslo koncového uzlu i-tého shluku (uzel bez následníků v rámci shluku; 

takový uzel je právě jeden) 

⌢ 

τ : 0 ( i) = 

ω 

pro k = ω(i) + 1, ... , N proveď: 

⌢ 

τ = min 

⌢ ⌢ 

je-li k ∈ v(i), pak ( τ −ν 

) 

kde 

k l k l 

l∈a( 

k) 

∩v( 

i) 

, 

,

problém: 

ÚAI FSI VUT 


⌢ 

ν 

, 

= 2 − min , 

( B z { B z B z }) 

k l l l k k l l 


. 

Strana 

39 

Pro nalezení optimální strategie výrobních dávek se musí řešit následující 

Minimalizace 

⌢ 

⌢ ⎛ C ⌢ ⎞ ⌢ 

F( X , X ,..., X ) D X g X , X 

⎝ ⎠ 

s podmínkami 

kde 

A′ = max a′ 

a 

i 

k∈v ( i) 

S 

k 

( ) 

M 

1, i 

′ ′ ′ 

1 2 M 

= ∑ 

+ ′ 

i i 

+ 

′ ′ 

⎜ 

i, 

j i j 

i= 1 X ′ ⎟ ∑ ⌢ 

i 

( i, j) 

∈W 

[ ] { } 

X ′ ∈ A′ , B′ 

∩ 1, 2, ... , i = 1, ... , M , 

i i i 

B′ = min b′ 

. 

i 

k 

k∈v ( i) 

X ′ ⌢ 

i ∈ S ∩ H 

j 

, ( i, j) ∈ W , 

X ′ 

j 

⌢ 

⎧ 1 1 ⎫ ⎧(0, ∞) ( a( j) ≠ ∅) 

= ⎨1, 2, ...; , , ... ⎬, 

H 

j 

= ⎨ ⌢ 

⎩ 2 3 ⎭ ⎩{1} ( a( j) = ∅) 

Zjednodušeně graficky je možné transformaci problému s kružnicemi na problém 

bez kružnic provést tak, jak je znázorněno níže na obr. 8. Pod jednotlivými kroky 

příkladu se nachází stručný popis řešené situace. 

9 

9 

T 

10 

3 T 

10 

3 

Stupně ve shluku agregovány do 

jednoho stupně T. 

11 

11 

i1 

Výběr stupně i 1 bez následníků a s 

maximálním počtem všech předchůdců; 

vložení do množiny označených uzlů V O ; 

odstranění z V N vč. předchůdců.

Strana 

40 

ÚAI FSI VUT 



i 3 

1 

9 

3 

10 T 11 

i1 

i 2 

2 4 5 

3 

Výsledná světvující se struktura s 

upravenými orientacemi hran před 

přečíslováním. 

Výsledná světvující se struktura s 

upravenými orientacemi hran po 

přečíslování. 

Obr 7. Grafické znázornění algoritmu transformace systému se shluky na 

světvující se strukturu bez shluků a algoritmus přečíslování. 

3.3 Řešení transformovaného problému pomocí dynamického 

programování 

Agregace shluků převede původní strukturu s kružnicemi na novou strukturu, 

která už neobsahuje žádnou kružnici. Pak je tedy možné stupně přečíslovat a uspořádat 

do stromové výpočetní struktury, ve které každý stupeň s výjimkou posledního má 

právě jednoho bezprostředního následníka jehož nové číslo je větší nebo rovné číslu 

tohoto stupně. Závádí se: 

n(i) = nové číslo stupně i (tato čísla určují pořadí zpracování stupňů při výpočtu), 

ã 

( i) 

= bezprostřední „následník“ i-tého stupně v novém uspořádání, 

b̃ 

( i) 

= množina bezprostředních „předchůdců“ i-tého stupně v novém uspořádání. 

Nová struktura má následující vlastnosti: 

• pro stupeň s číslem n(i) = M je a ⌢ (i) 

= ∅; ã ( i) 

není definováno, 

b̃ ( i) 

= b ⌢ (i) 

a pro j ∈ b̃ ( i) 

je ã ( j) 

= i;

ÚAI FSI VUT 



Strana 

41 

• pro stupeň s číslem n(i) < M musí být n(i) < n( ã ( i) 

); 

b̃ ( i) 

= b ⌢ (i) 

∪ a ⌢ (i) 

− { ã ( i) 

} a pro j ∈ b̃ ( i) 

je ã ( j) 

= i. 

Po uspořádání do stromové struktury a přečíslování uzlů lze tento problém 

aplikací Bellmanova principu optimality transformovat do tvaru 

min Φ ( X ′ ) , 

X i′ ∈[ Ai′ , Bi′ 

] 

M M M 

kde n(i M ) = M a funkce Φ ( x ′) 

pro n(i) = M, M−1, ... , 1 jsou dány soustavou 

rekurentních rovnic 

přičemž 

i 

i 

iM 

⎧ 

⌢ 

min ⎡h ( X , K ) ( K X ) ⎤ 

⎣ 

′ + Φ ′ 

⎦ b( i) 

≠ ∅ 

⎪ 

iM 

( ̃ ) 

j i j j j i 

K j∈s j ( X i′ 

) 

( ) 

j b( i) 

i 

X 

∈ 

∑̃ 

Φ ′ 

i 

= ⎨ 

⎪ = ∅ 

⎩ 

( b̃ 

i ) 

0 ( ) , 

⌢ ⌢ ⌢ 

+ D K X ′ + g ( K X ′, X ′) i ∈ a( j) 

1, j 

⎪ 

j j i j, 

i j i i 

⎪ K 

j 

X ′ 

i 

j 

( ′ 

i, j 

) = ⎨ ⌢ 

⎪ C ⌢ 

1, j 

⌢ 

⎪ 

′ ′ ′ 

j j i i, 

j i j i 

K 

j 

X ′ 

i 

⌢ 

h X K 

⌢ 

⎧ C 

⎩ 

( ) 

⌢ 

+ D K X + g ( X , K X ,) i ∈b( j) , 

s ( X ′) = S ∩[ A′ / X ′ , B′ / X ′] 

∩ H , 

j i j i j i j 

K 

j 

X ′ 

j 

= 

X ′ , 

i 

( ) 

⌢ ⌢ 

⎧ 1 1 ⎫ ⎧⎪ { 1 } ( a( j) = ∅ ∨ a( i) 

= ∅) 

S = ⎨1, 2, ...; , , ... ⎬, 

H 

j 

= ⎨ 

⎩ 2 3 ⎭ ⎪⎩ ( 0, ∞) ( jinak) 

⌢ 

Dvě vyjádření funkce h X ′, 

K ) odpovídají případům, kdy při transformaci 

j( i j 

⌢ 

⌢ 

struktury nedošlo ( i ∈ a( j) 

) resp. došlo ( i ∈ b( j) 

) ke změně orientace hrany (j, i). 

3.4 Vyjádření problému pro metody HM1 a HM2 

Pro i ∈ a ⌢ ( j) 

je 

⌢ 

⌢ 

C ⌢ 

h X K = + D K X + 

1, j 

( ′, ) 

′ 

j i j j j i 

K ′ 

j 

X 

i 

⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ 

+ C B K X + B X − B B X K X = 

( ′ ′ 2 min { , } min { ′, 

′}) 

2, j, i 1, j, i j i 2, j, i i 1, j, i 2, j, 

i i j i

Strana 

42 


ÚAI FSI VUT 


⌢ 

C 

⌢ 

( 2, , 1, , ) 2 

2, , 

min { 1, , 

, 

2, , } min{ 1, } 

1, j 

= + C 

j iB j i 

+ Dj K 

j 

X 

i 

− C 

j i 

B 

j i 

B 

j i 

K 

j 

X 

i 

+ 

K ′ 

j 

X 

i 

⌢ ⌢ 

+ C B X ′ 

2, j, i 2, j, 

i i 

⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ 

′ ′ 

Pro i ∈ b ⌢ 

( j) 

je 

⌢ 

⌢ 

C ⌢ 

h ( X ′, K ) = + D K X ′ + 

1, j 

j i j j j i 

K 

j 

X ′ 

i 

⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ 

+ C B X + B K X − B B X K X = 

⌢ 

C 

j ( i j 

( ′ ′ 2 min { , } min { ′, 

′}) 

2, i, j 1, i, j i 2, i, j j i 1, i, j 2, i, 

j i j i 

⌢ 

( 2, , 2, , ) 2 

2, , 

min { 1, , 

, 

2, , } min{ 1, } 

1, j 

= + C 

i jB i j 

+ Dj K 

j 

Xi − C 

i j 

B 

i j 

B 

i j 

K 

j 

Xi 

+ 

K 

j 

X ′ 

i 

⌢ ⌢ 

+ C B X ′ 

2, i, j 1, i, 

j i 

⌢ 

Funkci h X ′, 

K ) pak lze vyjádřit ve tvaru 

kde i = a ~ ( j ) ; 

pro i ∈ ( j) 

a pro i ∈ ( j) 

Platí, že 

⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ 

′ ′ 

⌢ 

⌢ 

C 

h ( X ′, K ) = + α K X ′ + α − α min K ,1 X ′ + β X ′ 

( ) { } 

1, j (1) (2) (1) (2) 

j i j j j i j j j i j i 

K 

j 

X ′ 

i 

a ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ 

(1) 

α 

j 

= C2, j, iB1, j, 

i 

+ Dj 

(2) 

α 

2, , ( 1, , 

2min { 1, , 

, 

2, , }) 

⌢ ⌢ ⌢ ⌢ 

(1) 

β 

j 

= C2, j, i ( B2, j, i 

− 2 min { B1, j, i, 

B2, j, 

i} 

) 

β 

⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ 

= C B − B B + D 

j j i j i j i j i j 

⌢ 

= C 

⌢ 

B 

(2) 

j 2, j, i 2, j, 

i 

b ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ 

(1) 

α 

j 

= C2, i, jB2, i, 

j 

+ Dj 

(2) 

α 

2, , ( 2, , 

2min { 1, , 

, 

2, , }) 

⌢ ⌢ ⌢ ⌢ 

(1) 

β 

j 

= C2, i, j ( B1, i, j 

− 2min { B1, i, j 

, B2, i, 

j} 

) 

β 

⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ 

= C B − B B + D 

j i j i j i j i j j 

⌢ 

= C 

⌢ 

B 

(2) 

j 2, i, j 1, i, 

j 

. 

C ⌢ 0 , 

1, 

j ≥ 

HM1 a HM2. 

(1) (2) 

j α j 

α ≥ a 

(1) 

j 

(1) 

j 

(2) 

j 

(2) 

j 

α + β = α + β , proto je možno použít metody

ÚAI FSI VUT 



Strana 

43 

4 Stochastické heuristické metody 

Teprve s rozmachem počítačů byly vyvinuty a jsou rozvíjeny heuristické metody 

pro řešení složitých optimalizačních problémů. Heuristické metody sice nezaručují 

nalezení globálně optimálního řešení, ale jsou schopny v přiměřené době poskytnout 

řešení, jenž je uspokojivé. Heuristické optimalizační metody se používají pro 

optimalizaci mnohaparametrových funkcí s divokým průběhem, tj. s mnoha extrémy 

nebo neznámým gradientem. Takovými funkcemi je i většina účelových funkcí 

problémů rozvrhování výroby. 

Standardní gradientové metody (např. nejprudšího spádu, sdružených gradientů, 

proměnné metriky) nebo negradientové metody (např. simplexová) nejsou vhodnými 

přístupy, protože je požadováno nalezení globálního extrému funkce s mnoha lokálními 

extrémy. Tyto metody obvykle konvergují jen k extrému blízko startovního bodu a 

tento extrém už nejsou schopné opustit. Tento nedostatek lze odstranit jejich 

randomizací tak, že se opakovaně spustí z různého počátečního řešení a za výsledné 

optimum se vezme nejlepší výsledek. Stochastičnost tohoto postupu spočívá pouze v 

náhodném výběru počátečního řešení, ale následovně použitý optimalizační algoritmus 

je striktně deterministický. 

Tato práce se dále bude soustředit pouze na tzv. stochastické heuristické 

optimalizační metody, které si svoji stochastičnost zachovávají v celém průběhu 

optimalizačního procesu a ne jen ve výběru počátečního řešení. Programová 

implementace heuristických metod je poměrně jednoduchá. Stochastické heuristické 

optimalizační metody však mají i své zásadní výhody: jsou velmi obecně formulované a 

tedy aplikovatelné na širokou množinu problémů a mají schopnost se dostat z lokálního 

extrému. 

Proces prohledávání prostoru potenciálních řešení vyžaduje rovnováhu dvou cílů: 

1. co nejrychleji najít nejbližší (většinou lokální) optimum v okolí výchozího 

bodu, 

2. co nejlépe prohledat prostor všech řešení. 

Tato práce si klade za úkol zabývat se stochastickou heuristickou metodou 

simulované žíhání pro řešení optimalizace časově invariantních výrobních dávek 

vícestupňových procesů ve výrobním systému se síťovou strukturou. Tato metoda bude 

i popsána v následující podkapitolách spolu s metodou genetický algoritmus.

Strana 

44 

ÚAI FSI VUT 



4.1 Metoda simulovaného žíhání 

Simulované žíhání (simulated annealing) je variantou horolezeckého algoritmu, 

v němž heuristické kroky směřující k horšímu řešení jsou řízeny určitou 

pravděpodobností. Přístup simulovaného žíhání je založen na simulování fyzikálních 

procesů probíhajících při odstraňování defektů krystalické mřížky. Krystal se zahřeje na 

určitou (vysokou) teplotu a potom se pomalu ochlazuje (žíhá). Defekty krystalické 

mřížky mají při vysoké teplotě vysokou pravděpodobnost zániku. Pomalé ochlazování 

systému zabezpečí, že pravděpodobnost vzniku nových defektů klesá. Při žíhání se 

soustava snaží dostat do takového stavu, ve kterém je její energie minimální – tj. krystal 

bez defektů. Existuje určitá analogie tohoto přírodního procesu s procesem řešení 

optimalizačních problémů. 

V aplikaci na řešení minimalizačního problému je krystal reprezentován nějakým 

přípustným řešením x tohoto problému. Každému přípustnému řešení lze přiřadit 

„energii krystalu“ – funkční hodnotu f(x). Důležitý je rovněž parametr T, který je 

formální analogií teploty krystalu. 

Aktuální řešení x je přeměněno náhodnou transformací t ∈ S na nové řešení x' z 

okolí U(x). Vzhledem k tomu, že nyní nepotřebujeme prohledávat celé sousedství, 

může být sousedství definováno více ze široka, než tomu bylo třeba u horolezeckého 

algoritmu. Původní řešení se nahradí novým x' v následném procesu simulovaného 

žíhání s pravděpodobností dle Metropolisova vzorce: 

f ( x′ ) − f ( x) 

⎧ − ⎫ 

T 

Pravděpodobnost ( x → x′ 

) = min ⎨1, 

e ⎬ 

(46) 

⎩ ⎭ 

Jestliže funkční hodnota nového řešení x' je stejná nebo lepší než funkční hodnota 

původního řešení x, f ( x') 

≤ f ( x) 

, pravděpodobnost nahrazení je rovna jedné. V tomto 

případě je nové řešení automaticky akceptováno do dalšího procesu simulovaného 

žíhání. V případě, že funkční hodnota nového řešení x' není lepší než funkční hodnota 

původního řešení x, f ( x') 

> f ( x) 

, pravděpodobnost akceptování je menší než 

jednotková, ale i v tomto případě má nové řešení šanci pokračovat v simulovaném 

žíhání.

ÚAI FSI VUT 



Strana 

45 

Algoritmus simulovaného žíhání má následující jednoduchou formu: 

x:=náhodně vygenerované řešení; 

T:=T max ;x * :=x;k:=1; 

while (T>T min and k>0) do 

begin t:=0;k:=0; 

while(t

Strana 

46 

ÚAI FSI VUT 



Reálná proměnná random je náhodně generované číslo z intervalu (0,1). 

Proměnná x * zaznamenává nejlepší řešení v průběhu provádění celého algoritmu. Ve 

všeobecnosti proměnná x nemusí po skončení simulovaného žíhání obsahovat nejlepší 

řešení. 

4.2 Genetický algoritmus 

Genetické algoritmy (genetic algorithms) jsou inspirovány Darwinovými zákony 

přirozeného výběru. V evolučním vývoji nebo při šlechtění rostlin či živočichů se 

prosazují jedinci, kteří mají jisté žádoucí charakteristiky, které jsou na genetické úrovni 

determinovány kombinací rodičovských chromozómů. U zrodu genetických algoritmů 

stála myšlenka, že při hledání lepších řešení složitých problémů by bylo možno 

obdobným způsobem kombinovat části existujících řešení. 

Ačkoli genetické algoritmy nemají již prakticky s biologií nic společného, udržují 

si biologickou terminologii. Evolucí jsou míněny postupné změny proměnných vedoucí 

k nalezení extrému funkce. Soubor proměnných vstupních veličin funkce tvoří jedince 

(někdy je formálně jedinec nazýván chromozómem). Není zde však tak důležitý 

samotný jedinec, jako postupný vývoj, kooperace a fungování populace - souboru 

jedinců. Neúspěšní jedinci vymírají, úspěšní přežívají a množí se. Při aplikaci 

genetických algoritmů na problémy operačního výzkumu každý jedinec v algoritmu 

nějakým způsobem kóduje jedno řešení x problému. V případě rozvrhování výroby 

bude jedincem zřejmě jeden přípustný rozvrh. Hodnota zdatnosti (fitness) jedince 

odpovídá hodnotě účelové funkce f(x) v tomto řešení. 

Pro manipulace s chromozómy se používají genetické operátory selekce 

(selection), křížení (crossover) a mutace (mutation). Při selekci se jedná o výběr jedinců 

z celkové populace, kteří se stanou rodiči. Důležitým hlediskem, jenž se přímo či 

nepřímo uplatňuje při výběru alespoň jednoho z rodičů, je právě jeho zdatnost.. Hybnou 

silou změn jsou křížení (výměna genetické informace mezi jedinci) a mutace (velmi 

málo pravděpodobné provedení náhodné změny chromozómu, zabraňující 

zdegenerování populace). 

Genetické algoritmy pracují tím způsobem, že nejprve se vytvoří počáteční 

populace o velikosti p jedinců a pak se tato populace mění pomocí genetických 

operátorů tak dlouho, dokud není splněna nějaká podmínka ukončení. 

Volně lze kostru genetického algoritmu definovat takto:

ÚAI FSI VUT 



Strana 

47 

P:=počáteční_populace_chromozómů(p); 

REPEAT 

R:=selekce(P); 

Q:=křížení(R); 

Q:=mutace(Q); 

P:=vytvořit_novou_populaci(P,Q); 

UNTIL (podmínka_ukončení); 

Počáteční populace se většinou získá náhodným generováním. Byly provedeny 

také pokusy nasadit do počáteční populace kvalitní řešení, získaná jinými heuristickými 

metodami, ale při tomto způsobu se ukázalo nebezpečí předčasné konvergence do 

nějakého ještě ne dost dobrého lokálního optima. Pokud jde o velikost p populace, je 

jasné, že příliš malá populace může zavinit špatné pokrytí prostoru řešení, zatímco 

velká populace zvyšuje výpočetní náročnost. Zkušenosti ukazují, že pro většinu 

problémů je dostačující populace o velikosti 50 až 200 jedinců. 

Selekcí je třeba z populace vybrat zdatné jedince (s dobrou hodnotou fitness), 

kteří se potom stanou rodiči. Rodiče se vybírají pseudonáhodně. Zdatnější jedinci mají 

větší šanci být vybráni než méně zdatní jedinci. Čím je jedinec zdatnější (čím má lepší 

hodnotu fitness), tím je pravděpodobnost jeho výběru ke křížení větší. Pokud se výběr 

uskutečňuje v souladu s rozdělením pravděpodobnosti, počítané jako podíl hodnoty 

fitness chromozómu k celkové hodnotě fitness populace, označujeme tento způsob 

výběru jako „ruleta“. Jiným způsobem selekce je například soutěžení (tournament). 

Soutěže se účastní jen část populace a její vítěz, nejzdatnější účastník soutěže, se pak 

stane rodičem. 

Křížení se pro vybranou skupinu rodičovských chromozómů může uskutečňovat 

několika způsoby. Například pro případ, kdy je jedinec reprezentován sekvencí čísel 

úloh, představuje nejjednodušší přístup tzv. jednobodové křížení, při němž se zvolí 

náhodně nějaký bod, dělící oba rodičovské chromozómy na dvě části. Jeden potomek 

pak zdědí levou část z prvního rodiče a na zbývající pozice se mu doplní chybějící 

prvky v tom pořadí, v jakém se vyskytují ve druhém rodiči, druhý potomek vznikne 

analogicky s obráceným pořadím rodičů. Např. jestliže řetězce BACDEF a DCABEF 

jsou rodičovské chromozómy a dělící bod se nachází za druhou pozicí, pak dostaneme 

potomky BADCEF a DCBAEF. 

Mutace je v obecnosti malá náhodná změna jedné, či několika proměnných (prvků 

chromozómu), která ovlivní řešení, ať už kladně nebo záporně. Pravděpodobnost 

uskutečnění mutace je nízká (obvykle menší než 1%). Mutace je nutná k tomu, aby se

Strana 

48 

ÚAI FSI VUT 



zamezilo přílišné specializaci - zapadnutí celé populace do jednoho lokálního minima; 

aby vždy byla možnost vytvoření zásadně nových chromozómů odpovídajících lepšímu 

řešení. Mutace přinášejí do chromozómů novou genetickou informaci. Pro mutaci 

mohou být použity stejné operátory, jakými lze generovat sousední řešení 

v předchozích popsaných metodách. 

Jednou z možností změny p-členné populace je vygenerovat pomocí křížení a 

mutace novou generaci p potomků a nahradit jí rodičovskou generaci en bloc. Jiné 

způsoby umožňují nějaké překrývání populace rodičů a potomků a populaci tedy mění 

inkrementálně. Např. vygenerovaný potomek nahrazuje pseudonáhodně vybraného 

slabého příslušníka aktuální populace.

ÚAI FSI VUT 



Strana 

49 

5 Popis programů 

Stávající program OVD byl upraven tak, aby byla ponechána stávající 

funkcionalita a byl rozšířen o výpočet optimálních výrobních dávek a optimálních 

výrobních nákladů pro vícestupňový výrobní systém, který má po agregaci shluků 

stromovou strukturu a neobsahuje kružnice. Výpočet probíhá dvěma způsoby: přesnou 

metodou a pomocí simulovaného žíhání. V případě simulovaného žíhání se počítá ve 

struktuře, která obsahuje kružnice, se shluky. Program navíc umožňuje měřit dobu 

výpočtu jednotlivých způsobů výpočtu, generovat zprávu o výsledcích do souboru. Pro 

realizaci programového systému bylo zvoleno vývojové prostředí Delphi 2006 od firmy 

Borland. 

5.1 Uživatelské prostředí programu OVD 

Program byl navržen s ohledem na standardy aplikací provozovaných v prostředí 

Microsoft Windows. Oproti předchozím verzím z prací [5] a [6] nedoznalo GUI 

(graphical user interface) zásadních změn. 

5.1.1 Hlavní okno 

Hlavní okno je tvořeno čtyřmi základními komponentami: 

• Menu, 

• Nástrojová lišta, 

• Seznam procesů, 

• Stavová lišta. 

Náhled aplikace pro lepší představu čtenáře je na obr. 9. 

Obr. 9 Hlavní okno programu OVD.

Strana 

50 

ÚAI FSI VUT 



Seznam procesů se zobrazuje v pořadí, v jakém byly procesy načteny ze 

vstupního souboru. Je-li okno prázdné, nebyl ještě načten žádný soubor s projektem. Po 

volbě procesu a stisku klávesy Enter (příp. poklepání myší) se zobrazí editační okno. 

V menu Proces – Hromadné zpracování lze spustit výpočet nad označenými procesy. 

Výsledky se ukládají přímo do pracovního sešitu aplikace Microsoft Excel, kterou tato 

funkce vyžaduje pro svůj chod. 

5.1.2 Editační okno 

Okno se vyvolá při editaci procesu (viz obr. 10). V horní části se editují a 

zobrazují parametry společné pro celý výrobní proces, konkrétně minimální, maximální 

a elementární výrobní dávka. Dolní část slouží k zobrazení výsledků výpočtů: optimální 

náklady vypočítané jednotlivými metodami a časy výpočtů. 

Obr. 10 Editační okno programu OVD. 

Detailní popis způsobu práce s editačním oknem je popsán v [6]. Ovládání je 

jednoduché, přehledné a intuitivní. 

5.1.3 Okno pro volbu výpočetních metod a nastavení parametrů pro 

stochastické heuristické metody 

Nastavení parametrů pro výpočet optimálních dávek pomocí simulovaného žíhání 

zásadně ovlivňuje výsledky výpočtů. Po klepnutí na ikonu pro spuštění výpočtu se

ÚAI FSI VUT 



Strana 

51 

zobrazí okno (obr. 11) pro volbu metod, které mají být při výpočtu použity. V případě, 

že uživatel zatrhne CheckBox simulované žíhání nebo genetický algoritmus, aktivuje se 

pravá část okna, ve které je možné nastavit konkrétní parametry. 

Obr. 11 Okno pro volbu metody výpočtu a jejích parametrů. 

5.2 Formát vstupního souboru 

Všechny procesy, které jsou zobrazené v seznamu procesů v hlavním okně 

programu, lze uložit do souboru s příponou .STG. Soubor byl navržen jako textový, 

aby jej bylo možno editovat v prakticky jakémkoli konvenčním textovém editoru 

(Poznámkový blok apod.). Je však nutno dodržovat danou šablonu pro zápis, aby byl 

čitelný pro aplikaci OVD. Účelem souboru je pouze poskytování vstupních dat, 

výstupní data (výsledky výpočtu) mohou být exportována do textového souboru 

s příponou .TXT. 

Soubor se vstupními daty musí začínat řetězcem „OVD file“, z čehož program 

indikuje kompatibilní soubor. Do souboru lze vkládat komentáře ve formě textových 

poznámek, které jsou na řádku uvozeny znakem středníku „ ; “. Uloží-li uživatel 

změny do otevřeného projektu s komentáři, dojde ke ztrátě těchto komentářů. 

V hranatých závorkách jsou názvy jednotlivých procesů, za kterými následují 

minimální výrobní dávka ve tvaru „a=číslo“, maximální výrobní dávka „b=číslo“ a 

elementární výrobní dávka „d=číslo“. 

Dále jsou definovány jednotlivé výrobní stupně, kde každý stupeň obsahuje 

následující položky: 

od. od. od. od. 

od. od. od. 

od. , od. je libovolný

Strana 

52 

ÚAI FSI VUT 



počet oddělovacích znaků „mezera“ nebo „tabulátor“. Pokud má výrobní stupeň více 

následníků, je nutné jejich čísla také oddělit mezerou nebo tabulátorem. Za 

oddělovačem po uvedení skladovacích nákladů jsou uvedeny ekvivalenty jednotky 

komponenty j-tého stupně, j ∈ a ( i) 

, což je počet jednotek i-té komponenty 

vstupujících do jedné jednotky j-té komponenty. Jednotlivé ekvivalenty jsou opět 

odděleny oddělovačem. Pořadí jednotlivých údajů je nutno dodržet. 

Výstupní stupně bez sukcesoru mají položku nastavenu na 

„OUT“. U těchto stupňů je také rychlost odběru z rovna položce výrobní rychlost. 

Reálná čísla je možné zadávat jak v klasickém formátu, tak v semilogaritmickém 

tvaru, počítá se prvních patnáct platných číslic za desetinnou tečkou. 

Příklad výpisu ze vstupního souboru: 

OVD file 

; úvodní řádek zde musí být 

; poznámky ... 

; ... 

;název prvního procesu 

[Proces XXX] 

;minimální výrobní dávka 

A=1 

;maximální výrobní dávka 

B=100 

;elementární výrobní dávka 

D=1 

;parametry jednotlivých výrobních stupňů 

1 2 5 : 20.45 150.78 7.7534E-3 2 20 1 1 

2 3 7 : 17.38 240.92 0.0096403 3 30 1 1 

. 

. 

. 

39 OUT : 2 0 0 2 20 

40 OUT : 2 0 0 3 20

ÚAI FSI VUT 



Strana 

53 

5.3 Program OVD z hlediska programátora 

Vývoj a odladění programu bylo provedeno ve vývojovém prostředí Borland 

Delphi 2006. Při vývoji systému bylo také nutné vyřešit otázku reprezentace stromové 

struktury za účelem nalezení kružnic a shluků ve strukturách. Vzhledem k metodě, 

kterou je test kružnic proveden, bylo potřeba použít i reprezentaci struktury pomocí 

matic. Pro tyto účely byla vytvořena knihovna Matrix nahrazující v předchozích verzích 

použitý produkt SDL Component Suite for Delphi 6.0 od vývojářské firmy Epina. 

5.3.1 Struktura programu 

Program byl navržen objektově. Každý proces je v programu chápán jako objekt, 

což znamená, že všechny operace s jeho daty jsou prováděny prostřednictvím metod 

objektu (např. výpočet přesnou metodou, simulovaným žíháním, … jsou metodami 

objektu), vlastnosti výrobního procesu a , b , … a vypočtené hodnoty jsou vlastnostmi 

i 

tohoto objektu. 

Při tvorbě jakéhokoliv software je nutné volit kompromis mezi dvěma dvěma 

krajními stavy, maximální rychlostí a minimální délkou kompilovaného kódu. Program 

byl navržen tak, aby byla zachována především dobrá čitelnost zdrojového kódu. 

5.3.2 Objekty a datové typy 

Základním stavebním kamenem programu, ve kterém jsou uchovávána všechna 

data, je objekt TList, patřící do standardního vybavení Delphi. Tento objekt bude dále 

nazýván kolekce (dle podobného objektu TCollection). 

TList je v podstatě seznam, který je schopen v sobě uchovávat ukazatele na 

libovolné struktury (objekty, záznamy, řetězce aj.). Tento objekt je vybaven metodami 

pro přístup k libovolným položkám, k jejich přidávání, mazání apod., z čehož plyne, že 

je zajištěna pohodlná manipulace s nimi. 

Specifikaci problému v kapitole 2 přímo vybízí k využití kolekce jako vhodného 

prostředku k vnitřní datové reprezentaci. Při navrhování struktury programu byl 

vytvořen potomek typu TList, který byl nazván TCelyProces. Tento objekt reprezentuje 

jeden proces a má následující stavbu: 

TCelyProces = class(TList) 

private 

MainName: string; {název procesu} 

Change: boolean; {indikátor změny} 

i

Strana 

54 

ÚAI FSI VUT 



Actual: boolean; {aktuálnost hodnot} 

FVystStupen: word; 

{doba trvání výpočtu jednotlivých metod} 

ElapsedExactTime: longint; 

ElapsedHeurTime: longint; 

ElapsedGenTime: longint; 

public 

ShlukyKruznic: array of TIntVector; {pole shluků} 

ShlukyKruznic_count: integer; {počet shluků} 

A, B, Delt: longint; {charakteristiky procesu} 

ym: double; 

Ee, Eh1, Eh2, EGA: double; {optimální výr. nákl.} 

EL, EH: double; {dolní a horní hranice} 

MaticeEkviv: TMatrix; {matice ekvivalentů} 

{matice s daty agregované struktury} 

C2ijMatrix, Bij1Matrix, Bij2Matrix: TMatrix; 

PrecislInd: TIntVector; {vektor pro přečíslování} 

DefinZ: boolean; {indikátor defin. rychl. odběru} 

procedure KontrolaKruznic(var aNeobsahujeKruznice: Boolean); 

end; 

Protože program umožňuje zpracovat více než jeden výrobní proces, jsou 

jednotlivé ukazatele na instance objektů TCelyProces uloženy ve zvláštní tabulce. 

Spustí-li uživatel akci editace dat, je z této tabulky editačnímu oknu předán ukazatel na 

příslušnou instanci, čímž okno získá možnost přístupu ke všem datům konkrétního 

procesu. 

V instanci objektu TCelyProces jsou uloženy ukazatele na instance objektu 

TJedenStupen nebo TJedenShluk, které definují jeden výrobní stupeň resp. shluk. 

TJedenStupen ve zdrojovém kódu pak vypadá následovně: 

TJedenStupen = class(TObject) 

private 

VZaklStromu: boolean; 

public 

{charakteristiky výrobního stupně} 

shluk_id: integer; {identifikátor shluku} 

v_kruznici: boolean; {příznak je/není v kružnici} 

Z_calculated: boolean; {příznak spočítání z} 

{výrobní rychlost, seřizovací a skladovací nákl.} 

y, C1, C2: double; 

tau: double; {termín uzlu}

ÚAI FSI VUT 



Strana 

55 

z: longint; {rychlost odběru} 

xe, xh, xga: longint; {vypočtené výrobní dávky} 

Name: string; {název stupně} 

Sukc: TIntVector; {tabulka následníků} 

Ai, Bi, B1, B2: longint; {výrobní dávka max a min} 

end; 

A TJedenShluk jako potomek třídy TJedenStupen má tvar: 

TJedenShluk = class(TJedenStupen) 

public 

{seznam původních stupňů shluku} 

puvodni_stupne: TIntVector; 

D: double; 

end; 

Při výpočtech bylo nutné uchovávat tabulky hodnot, které byly třeba pro výpočet 

(např. tabulka hodnot Φ ( x ), k , atd.). Tabulky hodnot mohou být reprezentovány 

i i i 

vektory, které musí být schopny dynamicky měnit svůj rozsah, protože jejich velikost je 

známá až při běhu programu. Pro takové účely byly použity objekty TIntVector, 

TdoubleVector a TMatrix, které dynamickou změnu rozsahu umožňují. Pro snadnější 

manipulaci s objekty při výpočtech jsou stupně označovány číselně. Každý stupeň lze 

identifikovat pomocí jeho pořadí v kolekci TCelyProces. 

V načteném procesu obsahujícím seznam instancí třídy TJedenStupen jsou 

nejprve zjištěny kružnice a z nich vytvořeny shluky (je volána procedura 

KontrolaKruznic). Následuje vytvoření druhé instance třídy TJedenProces, který 

obsahuje seznam instancí třídy TJedenShluk (volá se funkce AggregateFrom) 

reprezentující agregovanou strukturu bez kružnic. Poté je takto nově vytvořený proces 

převeden do objektu pro výpočet (TStages, TOneStage), kde je přečíslován a jsou 

volány metody objektu SetSuc, SetPred. Pokud byl vybrán přesný výpočet, je 

volána metoda Calculate. 

Pro výpočet výrobních nákladů v neagregované obecné struktuře byla vytvořena 

nová třída TGeneralStruct obsahující seznam stupňů třídy TStage. TGeneralStruct je ve 

zdrojovém kódu definována následovně: 

TGeneralStruct = class 

private 

Stages: array of TStage; {pole výrobních stupňů} 

EkvivMatrix: TMatrix; {matice ekvivalentů}

Strana 

56 

ÚAI FSI VUT 



{matice největších společných dělitelů} 

GCDMatrix: TMatrix; 

{matice vij a uij} 

vijMatrix, uijMatrix: TMatrix; 

{výpočet ideálního min možného předstihu} 

function v_ij(i,j: integer): double; 

{největší společný dělitel} 

function GCD(i,j:integer): integer; 

public 

{celková suma průměrných seřiz. a sklad. nákladů} 

function F(periodVect: TIntVector): double; 

end; 

Pro metodu simulovaného žíhání byla vytvořena třída TSAProcessor: 

TSAProcessor = class 

private 

alpha: double; {koef. pro snižování teploty} 

{teplota, teplota minimální a maximální} 

Temperature, Temp_min, Temp_max: double; 

{fční hodnota původ. řeš., nová fční hodnota, nejlepší řeš.} 

F_x, F_newx, F_Opt: double; 

{max. počet pokusů pro dané T, max. počet úspěšných pokusů} 

tmax, kmax: integer; 

StagesCount: integer; {počet stupňů} 

Process: TGeneralStruct; {struktura pro výpočet nákladů} 

OutsVect, Ai_vect, Bi_vect, x_in, x, x_out, x_opt: 

TIntVector; 

procedure InitialState(stat:TIntVector); {výchozí dávky st.} 

{nastaví aktuálnímu stupni novou dávku} 

procedure ModifyState(origState, newState: TIntVector); 

{vnitřní cyklus SA; metropolisův vzorec} 

procedure Metropolis(input,output: TIntVector); 

public 

procedure SetParameters(TemperatureMin, TemperatureMax, 

alfa: double; t_max, k_max: integer); {vstupní parametry SA} 

procedure RunSA; {vnější cyklus SA} 

function ResultState(): TIntVector; {nejlepší řešení SA} 

end; 

Instance objektu TSAProcessor se vytvoří na základě už načtené a vytvořené 

struktury v instanci objektu TCelyProces. Parametry žíhání se nastaví procedurou 

SetParameters a pak se spustí procedurou RunSA. Samotné žíhaní pak běží

ÚAI FSI VUT 



Strana 

57 

nezávisle na tomto objektu, jen se zde po skončení uloží výsledky, které se pak zobrazí 

ve formuláři. Funkce ResultState vrací vektor period. Implementace žíhání je 

zobrazena v diagramu na obr. 12. 

TCelyProces 

TSAProcessor 

Soubor 

*.STG 

Vstupní 

data 

Stupně 

Zjištění kružnic a 

shluků 

Proces, 

kružnice 

Simulované žíhání 

TGeneralStruct 

Výpočet 

nákladů F 

Rychlosti na 

stupních 

Výstupní 

data 

Formulář, tabulka... 

Obr. 12 Diagram implementace simulovaného žíhání. 

5.4 Program pro generování dat 

Součástí této práce bylo i vytvořit generátor procesů pro snadnější vytváření 

procesů, které pak budou použity pro experimenty. 

Program pro generování dat se nazývá „Generátor procesů“ a nachází se na 

přiloženém CD jako soubor ProcessGenerator.exe. Tento program byl vytvořen pro 

generování výrobních procesů s obecnou (síťovou) strukturou v neomezeném počtu 

s možnostmi rozsáhlého nastavení parametrů generovaných procesů. Omezením jsou 

ale nároky programu OVD při výpočtu, proto je nutné generovat procesy s ohledem na 

možnosti počítače a programu OVD. 

5.4.1 Uživatelské rozhraní 

Po spuštění se objeví okno aplikace s editovatelnými položkami pro nastavení 

parametrů generovaných procesů (ty jsou již předvyplněny vzorovými implicitními 

parametry) a s tlačítky pro jednotlivé akce (viz obr. 13). 

Parametry lze nastavovat libovolně v rámci omezení danými matematickým 

modelem procesu. Parametry lze také uložit do souboru pro pozdější použití. Program 

umožňuje vygenerovat soubor s nastaveným počtem procesů, nebo přidávat po 

jednotlivých procesech do souboru, kdy pro každý takto vygenerovaný proces lze

Strana 

58 

ÚAI FSI VUT 



upravovat parametry. Obsah výsledného souboru se zobrazuje v pravé straně okna 

generátoru. Text je možné měnit a tím si upravovat procesy podle potřeby. Validita 

takto upraveného procesu již ale není kontrolována. Obsah editoru lze uložit do souboru 

pomocí tlačítka „Uložit jako“. Implicitně se ukláda do souboru s příponou .stg, se 

kterou pracuje program OVD. 

Do programu byla implementována i funkčnost pro zjednodušené zobrazování 

vygenerovaného procesu. Tato funkcionalita je dostupná pouze v případě generování 

jednoho procesu – „Generuj jeden“ – a je dostupná po kliknutí na tlačítko „“ 

v pravém horním rohu aplikace při dvojitém poklepání do zobrazovací části programu 

vpravo. Opakovaným „double-clickem“ se zobrazování vrací do textového módu. 

Obr. 13 Okno programu Generátor procesů. 

5.4.2 Vstupní data 

Pro vygenerování procesu jsou použity následující vstupy, z nichž většinu je 

možné nechat náhodně zvolit v určeném intervalu přípustných hodnot: 

• počet vstupních stupňů I min , I max (generováno v rozsahu) 

• počet mezivrstev L min , L max (generováno v rozsahu) 

• počet stupňů v mezivrstvách S min , S max (generováno v rozsahu) 

• počet výstupních stupňů O min , O max (generováno v rozsahu) 

• maximální výrobní dávka B min , B max (násobek z)

ÚAI FSI VUT 



Strana 

59 

• ekvivalent jednotky komponenty j-tého stupně E min , E max (generováno 

v rozsahu) 

• výstupní rychlosti Y min , Y max (generováno v rozsahu) 

• pevné seřizovací náklady C1 min , C1 max (generováno v rozsahu) 

• skladovací náklady za jednotku času C2 min , C2 max (generováno v rozsahu; 

pouze u výstupních stupňů, pro ostatní se dopočítává) 

• pokles skladovacích nákladů D min , D max 

• počet generovaných procesů 

• semínko pro náhodný generátor 

5.4.3 Generování procesů 

Generování struktury i dat probíhá s využitím generátoru pseudonáhodných čísel 

z knihovny System.pas dodávané s vývojovým prostředím Delphi, ve kterém je 

generátor vytvořen. Aby bylo možné opakovat generování se stejnými parametry a 

zároveň stejným výsledkem, je zde možnost nastavení parametru Randomize Seed, 

který generátor pseudonáhodných čísel využívá jako inicializační proměnou. Celý 

soubor takto vygenerovaných dat je pak určen výhradně vstupními parametry. 

V případě že není hodnota Random Seed nastavena, generátor pseudonáhodných čísel 

použije jako Random Seed aktuální hodnotu interního časovače. 

V programu je struktura grafu reprezentována objektem třídy TNet. Ten obsahuje 

pole s jednotlivými stupni (třída TNode) a všechny potřebné struktury a metody pro 

manipulaci s nimi. 

Pro vygenerování několika procesů najednou je zde nastavení počtu procesů a 

tlačítko „Vygenerovat“. Random Seed se nastaví před samotným generováním procesů. 

Pro přidání jednoho procesu do souboru je zde tlačítko „Vygenerovat jeden“. Random 

Seed se nastaví před každým vygenerováním. 

5.4.4 Generování struktury 

Algoritmus byl vytvořen tak, aby generoval obecnou výrobní strukturu, tzn. 

vícevýrobkový vícestupňový výrobně-montážní systém s obecnou síťovou strukturou, 

ve které každý stupeň může být zásobován několika bezprostředními předchůdci a jeho 

výstup může sloužit jako vstupy pro několik bezprostředních následníků. 

Struktura je rozdělena do vrstev obsahujících stupně, které jsou propojeny jen se 

stupni z předchozí a následující vrstvy. Na začátku se vygeneruje vstupní a výstupní

Strana 

60 

ÚAI FSI VUT 



vrstva s nastaveným nebo z nastavení vygenerovaným počtem stupňů v těchto vrstvách. 

Následuje vytvoření mezivrstev a vytvoření stupňů pro tyto vrstvy. 

Propojení mezi jednotlivými stupni je rozděleno do 3 fází. V první se pomocí 

rekurze náhodně vytvoří cesty z jednotlivých vstupů směrem k výstupům. V druhé fázi 

se zkontroluje propojení na předchůdce. V případě že neexistuje žádné propojení, 

náhodně se propojí se stupněm v předchazející vrstvě (upřednostní se stupně které 

nemají následníka). V poslední fázi dochází ke kontrole následníků. Jestliže stupeň 

žádného nemá, je mu náhodně přidělen z následující vrstvy. 

Graficky znázorněné generovaní obecné struktury pomocí programu Generátor 

procesů by mohlo vypadat například takto: 

Obr. 13 Příklad generování výrobní struktury pomocí programu Generátor procesů.

ÚAI FSI VUT 



Strana 

61 

5.4.5 Generování dat 

Data byla generována podle následujících algoritmů: 

Počet vstupních stupňů 

I = I min + R I , kde R I je celé náhodné číslo v intervalu 

Počet výstupních stupňů 

O = O min + R O , kde R O je celé náhodné číslo v intervalu 

Počet vrstev 

L = L min + R L , kde R L je celé náhodné číslo v intervalu 

Počet stupňů ve vrstvě 

S = S min + R S , kde R S je celé náhodné číslo v intervalu 

Ekvivalent 

E i,j = E min + R E , kde R E je celé náhodné číslo v intervalu . 

Seřizovací náklady 

C 1i = C1 min + R(C1 max – C1 min ) 

Rychlost na výstupních stupních 

y i = Y min + R Y , kde R Y je celé náhodné číslo v intervalu 

Minimální výrobní dávka 

a i = z i 

Maximální výrobní dávka 

b i = z i R b , kde R b je celé náhodné číslo v intervalu . 

Hodnota z i je po nastavení rychlostí na výstupních stupních dopočítána pro ostatní 

stupně a je použita pro nastavení minimálních a maximálních výrobních dávek. 

Pro generování skladovacích nákladů bylo nutné použít složitějšího přístupu: 

Skladovací náklady (pouze na výstupních stupních)

Strana 

62 

ÚAI FSI VUT 



C 2i = C1 min + R(C1 max – C1 min ), kde R je náhodné reálné číslo z intervalu . 

2 

Pro ostatní stupně 

j 

( 

C 2, j 

) p 

C 

i 

C2 = 1− kR , přičemž i jsou všechny nevýstupní 

stupně, j ∈ b( i) 

, b( i) 

≠ ∅ , p je počet prvků množiny b(i) a k je číslo vyjadřující 

percentuálně povolený pokles hodnoty C 2j a platí k = D min + R(D max – D min ) 

5.4.6 Výstup programu 

Výstupem programu je soubor ve formátu .stg čitelném v programu OVD. Mohou 

nastat případy, kdy vygenerovaný proces nepůjde programem OVD zpracovat, a to 

z důvodu vysoké výpočetní náročnosti, nebo nesplnění některé z podmínek validního 

procesu.

ÚAI FSI VUT 



Strana 

63 

6 Experimenty a jejich vyhodnocení 

Aby bylo možné porovnat přesnosti a časové náročnosti výpočtů optimalizace 

výrobních nákladů, je třeba provést dostatečný počet experimentů na dostatečném 

vzorku dat. Srovnány budou přístupy pro optimalizaci výrobních nákladů, které jsou 

náplní této práce. Konkrétně se jedná o přesnou metodu s transformovanými 

(agregovanými) shluky a simulované žíhání aplikované na systém se shluky. Měření 

proběhnou v programu OVD. 

6.1 Experimenty s optimalizací pomocí simulovaného žíhání 

U simulovaného žíhání lze nastavit několik parametrů, které ovlivňují chod a 

konečný výsledek výpočtu. Vhodné nastavení parametrů není předem dáno a závisí na 

daném optimalizačním problému. Tento experiment se zaměřil na prozkoumání chování 

simulovaného žíhání v závislosti na jeho parametrech v určitém rozsahu. Parametry 

kromě právě zkoumaného byly nastaveny takto: 

T min = 1 

T max = 1000 

α = 0,95 

k max = 400 

t max = 200 

Byly zkoumány závislosti výrobních nákladů F a doby běhu simulovaného žíhání 

na právě měněném parametru. Výsledné charakteristiky jsou prezentovány 

v následujících grafech. 

1200 

1000 

800 

F 

600 

400 

200 

0 

0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 

alfa 

Obr. 14 Závislost výrobních nákladů F na parametru α.

Strana 

64 

ÚAI FSI VUT 



20000 

18000 

16000 

14000 

12000 

t[ms] 

10000 

8000 

6000 

4000 

2000 

0 

0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 

alfa 

Obr. 15 Závislost času t na parametru α. 

300 

250 

200 

F 

150 

100 

50 

0 

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 

Tmin 

Obr. 16 Závislost výrobních nákladů F na parametru T min . 

7000 

6000 

5000 

t[ms] 

4000 

3000 

2000 

1000 

0 

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 

Tmin 

Obr. 17 Závislost času t na parametru T min .

ÚAI FSI VUT 



Strana 

65 

400 

350 

300 

250 

F 

200 

150 

100 

50 

0 

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 

Tmax 

Obr. 18 Závislost výrobních nákladů F na parametru T max . 

4500 

4000 

3500 

3000 

t[ms] 

2500 

2000 

1500 

1000 

500 

0 

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 

Tmin 

Obr. 19 Závislost času t na parametru T max . 

1000 

900 

800 

700 

600 

F 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 

kmax 

Obr. 20 Závislost výrobních nákladů F na parametru k max .

Strana 

66 

ÚAI FSI VUT 



4000 

3500 

3000 

2500 

t[ms] 

2000 

1500 

1000 

500 

0 

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 

kmax 

Obr. 21 Závislost času t na parametru k max . 

1200 

1000 

800 

F 

600 

400 

200 

0 

0 50 100 150 200 250 

tmax 

Obr. 22 Závislost výrobních nákladů F na parametru t max . 

5000 

4500 

4000 

3500 

3000 

t[ms] 

2500 

2000 

1500 

1000 

500 

0 

0 50 100 150 200 250 

tmax 

Obr. 23 Závislost času t na parametru t max .

ÚAI FSI VUT 



Strana 

67 

350 

300 

250 

náklady F 

200 

150 

100 

50 

0 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 

pořadí opakování 

Obr. 24 Závislost výrobních nákladů F na pořadí opakování. 

3760 

3740 

3720 

čas běhu t[ms] 

3700 

3680 

3660 

3640 

3620 

3600 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 

pořadí opakování 

Obr. 25 Závislost času běhu na pořadí opakování. 

Z předchozích grafů je zřejmá souvislost mezi nastavením parametrů a výsledky 

resp. dobou běhu simulovaného žíhání. U parametru α prudce narůstá čas běhu 

algoritmu nad hodnotou 0,95. Pro T min < 0,1 také výrazně narůstá čas. Je tedy vhodné 

tyto parametry nastavovat pod resp. nad tyto hodnoty. V případě T max nebyl v měřeném 

rozsahu zaznamenán výrazný vliv na výsledek simulovaného žíhání a proto se 

doporučuje vybírat T max co nejmenší s ohledem na časovou náročnost algoritmu. 

Z charakteristiky t max se jeví jako vhodné volit hodnoty v intervalu . U 

parametru k max je na první pohled viditelné omezení parametrem t max na 

hranicit max 

= 200. Zdá se být výhodné volit k max v intervalu . 

Z grafu opakovaného pouštění bylo zjištěno, že výsledky se pohybují v rozptylu 

přibližně ±40% od střední hodnoty.

Strana 

68 

ÚAI FSI VUT 



6.2 Experiment s více procesy v jedné dávce 

V aplikaci Generátor procesů bylo vygenerováno 64 procesů. 

Pro každý proces, který byl vygenerován, byly v rámci experimentu vypočteny 

hodnoty optimálních výrobních dávek, optimálních nákladů E. Náklady vypočtené 

s pomocí simulovaného žíhání E SZ byly dosaženy s nastavením parametrů: 

T min = 0,1 

T max = 500 

α = 0,97 

k max = 500 

t max = 250 

Měřící stanice, na které byly experimenty provedeny, je PC s procesorem AMD 

Athlon 2200MHz (cache 512kB), operační pamětí velikosti 1024MB a operačním 

systémem Microsoft Windows XP Professional s opravným balíkem SP2. 

Výsledky experimentu jsou v následující tabulce: 

Náklady Čas přesná Náklady Čas žíhání Chyba proti přesné 

přesná [ms] žíhání [ms] [%] 

Proces1 281 46 388 10250 38 

Proces2 395 19 495 5672 26 

Proces3 208 170 246 8079 18 

Proces4 348 197 726 12609 109 

Proces5 477 139 766 6891 61 

Proces6 218 29 663 5203 204 

Proces7 644 9 1081 12688 68 

Proces8 262 126 1233 7687 371 

Proces9 140 25 250 5188 79 

Proces10 160 177 333 3297 109 

Proces11 180 181 284 3750 58 

Proces12 128 101 523 4250 308 

Proces13 205 147 354 4203 72 

Proces14 397 72 575 4313 45 

Proces15 557 24 827 6188 48 

Proces16 473 172 3054 5797 546 

Proces17 2414 4 2864 6750 19 

Proces18 682 158 1851 5656 171 

Proces19 715 88 1632 6218 128 

Proces20 172 146 497 4890 189 

Proces21 394 133 836 7437 112 

Proces22 941 189 1659 8922 76 

Proces23 112 30 265 5297 136 

Proces24 376 156 944 8203 151 

Proces25 484 173 1706 5188 253 

Proces26 199 143 310 5829 55 

Proces27 340 20 758 9000 123

ÚAI FSI VUT 



Strana 

69 

Proces28 2243 102 4495 10125 100 

Proces29 603 57 851 6844 41 

Proces30 612 56 1941 6875 217 

Proces31 255 53 482 5203 89 

Proces32 700 136 1923 7484 175 

Proces33 203 183 547 4609 169 

Proces34 170 71 302 4578 78 

Proces35 303 99 796 4796 163 

Proces36 224 178 627 4734 180 

Proces37 471 28 1138 6532 142 

Proces38 2806 54 5640 6265 101 

Proces39 767 45 1289 7422 68 

Proces40 1245 86 1695 7531 36 

Proces41 342 170 1504 7625 340 

Proces42 881 90 1230 8828 40 

Proces43 837 94 3139 9000 275 

Proces44 502 84 1339 7359 167 

Proces45 572 175 1377 4265 141 

Proces46 98 81 149 3750 52 

Proces47 708 138 869 4109 23 

Proces48 899 11 1250 7422 39 

Proces49 279 174 697 12016 150 

Proces50 490 18 745 7437 52 

Proces51 303 194 471 14609 56 

Proces52 596 18 765 14281 28 

Proces53 375 139 1006 8375 168 

Proces54 392 7 877 11765 124 

Proces55 600 52 1762 10156 194 

Proces56 63 63 67 10906 5 

Proces57 56 32 56 12390 0 

Proces58 99 31 100 9484 1 

Proces59 139 31 138 11641 -1 

Proces60 150 47 150 12453 0 

Proces61 92 109 102 10047 12 

Proces62 154 234 186 14969 21 

Proces63 97 46 114 10125 18 

Proces64 139 47 148 13312 7 

Střední hodnoty 490 95 1017 7793 110 

Celkový čas 6104 498777 

Tab. 1 Výsledky experimentu. 

Pro srovnávání bylo provedeno i měření času z hlediska časové náročnosti přesné 

metody a metody simulovaného žíhání. Pro obě zmiňované metody se měří čas při 

výpočtu každého z 64 procesů. U simulovaného žíhání byl měřen čas, za který daná 

metoda dosáhla hodnoty optimálních nákladů, která byla získána přesným řešením. 

Jako časově nejnáročnější metoda pro výpočet výrobních nákladů se projevila metoda 

simulovaného žíhání. Proto je počítána střední časová úspora pro přesnou metodu 

vzhledem k výpočtu pomocí simulovaného žíhání.

Strana 

70 

ÚAI FSI VUT 


Radek Lošťák

ÚAI FSI VUT 



Strana 

71 

7 Závěr 

V této diplomové práci je řešen problém minimalizace výrobních nákladů. Daný 

problém je řešen pro časově invariantní výrobní dávky v systémech se síťovou 

strukturou a periodickou výrobou, ve které každý stupeň může mít několik předchůdců, 

následníků a několik vstupních a výstupních výrobních stupňů. Předpokládá se, že po 

zanedbání orientace hran může struktura obsahovat kružnice a jejich shluky. 

Na základě poznatků získaných ze zadané literatury byly v druhé a třetí kapitole 

popsány metody, které umožňují stanovit přesnou hodnotu a hranice optimálních 

nákladů. V další kapitole je uveden popis genetických algoritmů a simulovaného žíhání. 

Následuje návrh jejich použití pro řešení problému optimalizace výrobních nákladů. 

Pro řešení daného problému na počítači byl na základě jednotlivých metod 

upraven stávající program, který byl rozšířen o metody z kapitoly třetí a čtvrté (bylo 

použito simulované žíhání). Realizuje nejen tyto výpočty, ale umožňuje také spravovat 

data výrobních procesů a exportovat výsledky výpočtů do programu Microsoft Excel. 

Dále byl proveden výpočetní experiment, který umožnil porovnat obě použité 

metody. Při porovnání byla hodnocena nejenom přesnost metody, ale také její 

náročnost na spotřebu strojového času. 

Z rozboru výsledků získaných výpočetním experimentem bylo zjištěno, že 

simulované žíhání nedává dostatečně přesné výsledky v přijatelně krátkém čase 

v porovnání s přesnou metodou. 

Dále byl rozebrán vliv parametrů simulovaného žíhání na výsledky a 

spotřebovaný výpočetní čas. 

Využití algoritmu simulovaného žíhání má však ale výhodu v nastavování 

rychlosti výroby na jednotlivých výrobních stupních i ve shlucích. Nevýhodou 

simulovaného žíhání je mnoho nastavitelných parametrů a tedy mnoho stupňů volnosti, 

což vyžaduje expertní znalost problémů při jejich nastavování. V některých případech 

je možno dosáhnout lepších výsledků s využitím genetických algoritmů, které určité 

parametry řídí samy.

Strana 

72 

ÚAI FSI VUT 


Radek Lošťák

ÚAI FSI VUT 



Strana 

73 

8 Seznam použité literatury 

[1] Kuik, R., Salomon, M. and van Wassenhove, L. N. Batching Decisions: 

Structure and Models. European Journal of Operational Research, Vol. 75, 

1994, pp. 243-263. 

[2] Karimi, I. A.: Optimal Cycle Times in Multistage Serial Systems with Setup 

and Inventory Costs. Management Science, Vol. 38, No. 10, 1992, 

pp. 1467-1481. 

[3] Dvořák, J.: Lot Size Determination in Arborescent Production-Inventory 

Systems. In Proceedings of 7th International DAAAM Symposium, Vienna, 

Austria, 1996, pp. 111-112. 

[4] Dvořák, J.: Modelling Production-Inventory Processes for Optimal Lot 

Sizes Determination. In Proceedings of the 31st Spring International 

Conference MOSIS`97. Hradec nad Moravicí, 1997, Vol. 2, pp. 127-132. 

[5] Crhák, T. Optimalizace výrobních dávek. [Diplomová práce.] Brno, 1997, 

ÚAI FSI VUT. 

[6] Adam, J. Optimalizace výrobních dávek v periodické výrobě. [Diplomová 

práce.] Brno, 2004, ÚAI FSI VUT. 

[7] Dvořák, J.: Optimalizace výrobních dávek výrobně-montážního procesu. 

[Kandidátská disertační práce.] Brno, 1988. 

[8] Kvasnička, V., Pospíchal, J., Tiňo, P.: Evolučné algoritmy. 1. vydanie, 

Bratislava, Vydavatelstvo STU 2000. 

[9] Majer, P.: Moderní metody rozvrhování výroby. [Kandidátská disertační 

práce.], Brno, 2004, ÚAI FSI VUT, http://majer.czweb.org/scheduling/. 

[10] Dvořák, J.: Koncept habilitační práce 

[11] Swan, T.: Mistrovství v Delphi 4: kompletní průvodce pro tvorbu aplikací. 

1. vyd. Brno. Computer Press, 1999. xxvi, 830. Programování. ISBN 80- 

7226-173-8.

Anotace Annotation

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?