vysoké učení technické v brně l-systémy a systémy iterovaných funkcí

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ
ÚSTAV AUTOMATIZACE A INFORMATIKY
FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING
INSTITUTE OF AUTOMATION AND COMPUTER SCIENCE
L-SYSTÉMY A SYSTÉMY ITEROVANÝCH FUNKCÍ
– POPIS A REALIZACE V PROSTREDÍ MATLAB
L-SYSTEMS AND ITERATED FUNCTION SYSTEM – DESCRIPTION AND APPLICATION IN
MATLAB ENVIRONMENT
BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
BACHELOR'S THESIS
AUTOR PRÁCE
AUTHOR
VEDOUCÍ PRÁCE
SUPERVISOR
Mgr. ROBERT ZÁLEŠÁK
Ing. RADOMIL MATOUŠEK, Ph.D.
BRNO 2007

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství
Ústav automatizace a informatiky
Akademický rok: 2006/07
ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE
student: Zálešák Robert, Mgr.
který studuje v bakalářském studijním programu
obor: Aplikovaná informatika a řízení (3902R001)
Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č. 111/1998 o vysokých školách a se
Studijním a zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma bakalářské práce:
L-systémy a systémy iterovaných funkcí – popis a realizace v prostředí Matlab
v anglickém jazyce:
L-systems and Iterated Function System – Description and Application in
Matlab Enverioment
Stručná charakteristika problematiky úkolu:
Bakalářská práce bude stručně popisovat a prakticky realizovat vybrané třídy
fraktálních objektů označovaných jako Lindenmayerovy systémy a systémy iterovaných
funkcí. Tyto dvě kategorie zcela odlišně definovaných fraktálů, kterých je možno užít
k procedurálnímu modelování rozličných těles (objektů), budou stručně popsány a dále
prakticky realizovány v prostředí Matlab.
Cíle bakalářské práce:
1. Stručný popis problematiky s ohledem na přiměřenou rešerši dostupných zdrojů.
2. Praktickou realizaci v prostředí Matlab. Realizace bude zahrnovat: modulární řešení
(funkce) pro výpočet a vizualizaci L-systémů a IFS, včetně importu a exportu dat
prostředky Matlabu.
3. Pokus o pokročilou vizualizaci realizované třídy fraktálů.

Seznam odborné literatury:
Mařík, V. a kol.: Umělá inteligence (3), Academia, Praha 2002, ISBN 80-200-0504-8
Vedoucí bakalářské práce: Ing. Radomil Matoušek, Ph.D.
Termín odevzdání bakalářské práce je stanoven časovým plánem akademického roku
2006/07.
V Brně dne 15.12.2006
L.S.
doc. RNDr. Ing. Miloš Šeda, Ph.D.
Ředitel ústavu
doc. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc.
Děkan fakulty

1. Pan/paní
LICENČNÍ SMLOUVA
POSKYTOVANÁ K VÝKONU PRÁVA UŽÍT ŠKOLNÍ DÍLO
uzavřená mezi smluvními stranami:
Jméno a příjmení: Robert Zálešák
Bytem: Kupkova 15, Brno, 638 00
Narozen/a (datum a místo): 9.4.1981, Brno
(dále jen „autor“)
2. Vysoké učení technické v Brně
Fakulta strojního inženýrství
se sídlem Technická 2896/2, 616 69 Brno
a
jejímž jménem jedná na základě písemného pověření děkanem fakulty:
Doc. RNDr. Ing. Miloš Šeda, Ph.D., ředitel ÚAI
(dále jen „nabyvatel“)
Čl. 1
Specifikace školního díla
1. Předmětem této smlouvy je vysokoškolská kvalifikační práce (VŠKP):
□ disertační práce
□ diplomová práce
□ bakalářská práce
□ jiná práce, jejíž druh je specifikován jako
.......................................................
(dále jen VŠKP nebo dílo)
Název VŠKP:
Vedoucí/ školitel VŠKP:
Ústav:
Datum obhajoby VŠKP:
L-systémy a systémy iterovaných funkcí – popis a
realizace v prostředí Matlab
Ing. Radomil Matoušek, Ph.D.
Ústav automatizace a informatiky
VŠKP odevzdal autor nabyvateli v * :
□ tištěné formě – počet exemplářů …2……………..
□ elektronické formě – počet exemplářů …3……………..
*
hodící se zaškrtněte

2. Autor prohlašuje, že vytvořil samostatnou vlastní tvůrčí činností dílo shora popsané
a specifikované. Autor dále prohlašuje, že při zpracovávání díla se sám nedostal do
rozporu s autorským zákonem a předpisy souvisejícími a že je dílo dílem původním.
3. Dílo je chráněno jako dílo dle autorského zákona v platném znění.
4. Autor potvrzuje, že listinná a elektronická verze díla je identická.
Článek 2
Udělení licenčního oprávnění
1. Autor touto smlouvou poskytuje nabyvateli oprávnění (licenci) k výkonu práva
uvedené dílo nevýdělečně užít, archivovat a zpřístupnit ke studijním, výukovým a
výzkumným účelům včetně pořizovaní výpisů, opisů a rozmnoženin.
2. Licence je poskytována celosvětově, pro celou dobu trvání autorských a
majetkových práv k dílu.
3. Autor souhlasí se zveřejněním díla v databázi přístupné v mezinárodní síti
□ ihned po uzavření této smlouvy
□ 1 rok po uzavření této smlouvy
□ 3 roky po uzavření této smlouvy
□ 5 let po uzavření této smlouvy
□ 10 let po uzavření této smlouvy
(z důvodu utajení v něm obsažených informací)
4. Nevýdělečné zveřejňování díla nabyvatelem v souladu s ustanovením § 47b zákona
č. 111/ 1998 Sb., v platném znění, nevyžaduje licenci a nabyvatel je k němu povinen
a oprávněn ze zákona.
Článek 3
Závěrečná ustanovení
1. Smlouva je sepsána ve třech vyhotoveních s platností originálu, přičemž po jednom
vyhotovení obdrží autor a nabyvatel, další vyhotovení je vloženo do VŠKP.
2. Vztahy mezi smluvními stranami vzniklé a neupravené touto smlouvou se řídí
autorským zákonem, občanským zákoníkem, vysokoškolským zákonem, zákonem o
archivnictví, v platném znění a popř. dalšími právními předpisy.
3. Licenční smlouva byla uzavřena na základě svobodné a pravé vůle smluvních stran,
s plným porozuměním jejímu textu i důsledkům, nikoliv v tísni a za nápadně
nevýhodných podmínek.
4. Licenční smlouva nabývá platnosti a účinnosti dnem jejího podpisu oběma
smluvními stranami.
V Brně dne: …………………………………….
………………………………………..
Nabyvatel
..…………………………………
Autor

ABSTRAKT
Práce se zabývá dvěma třídami fraktálních objektů označovaných jako L-
systémy a systémy iterovaných funkcí. Je proveden jejich stručný popis včetně rešerše
týkající se základních pojmů z oblasti fraktálů. Dále je provedena jejich praktická
realizace s využitím matematického softwaru Matlab. Pro geometrickou interpretaci
fraktálů vytvořených pomocí L-systémů je využito tzv. želví grafiky. IFS fraktály jsou
vytvářeny s využitím algoritmu náhodné procházky. Na závěr je provedena pokročilá
vizualizace a to s využitím programu POV-Ray.
ABSTRACT
Thesis deals with two classes of fractal objects known as L-systems and iterated
function systems (IFS). Brief description is made including insight into basic definitions
in fractals area. Then their practical realization is performed using mathematical
software Matlab. For geometrical interpretation of fractals created by L-systems "turtle
graphics" is used. IFS fractals are created using random walk algorithm. Finally
advanced visualization is made using software POV-Ray.
KLÍČOVÁ SLOVA
Fraktály, Lindenmayerovy sytémy (L-systémy), systémy iterovaných funkcí
(IFS), želví grafika, algoritmus náhodné procházky (RWA)
KEYWORDS
Fractals, Lindenmayer systems (L-systems), iterated function systems (IFS),
turtle graphics, random walk algorithm (RWA)
7

Děkuji Ing. Radomilu Matouškovi, Ph.D. za odborné vedení a za poskytnuté
konzultace, které mi pomohly vypracovat tuto bakalářskou práci.
9

OBSAH
ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE ............................................................................3
LICENČNÍ SMLOUVA..............................................................................................5
ABSTRAKT, KLÍČOVÁ SLOVA..............................................................................7
1 ÚVOD.................................................................................................................13
2 FRAKTÁLY ......................................................................................................15
2.1 HISTORICKÝ VÝVOJ FRAKTÁLŮ......................................................................15
2.2 DEFINICE FRAKTÁLŮ, VYMEZENÍ POJMŮ.........................................................16
2.2.1 Definice fraktálů ......................................................................................16
2.2.2 Soběpodobnost a soběpříbuznost..............................................................17
2.2.3 Fraktální dimenze.....................................................................................17
2.3 DĚLENÍ FRAKTÁLŮ........................................................................................18
2.4 VYUŽITÍ FRAKTÁLŮ ......................................................................................19
3 L – SYSTÉMY...................................................................................................21
3.1 ÚVOD DO L-SYSTÉMŮ ...................................................................................21
3.2 ŽELVÍ GRAFIKA.............................................................................................22
3.3 FRAKTÁLY VYTVOŘENÉ POMOCÍ DETERMINISTICKÝCH L-SYSTÉMŮ ................22
3.3.1 Kochova křivka a Kochova vločka ...........................................................22
3.3.2 Sierpinského trojúhelník...........................................................................24
3.3.3 Hilbertova, Peano-Gosperova a dračí křivka.............................................25
3.3.4 Použití zásobníku pro větvící se struktury ................................................26
3.4 STOCHASTICKÉ L-SYSTÉMY ..........................................................................29
4 SYSTÉMY ITEROVANÝCH FUNKCÍ ...........................................................31
4.1 ÚVOD DO SYSTÉMŮ ITEROVANÝCH FUNKCÍ....................................................31
4.2 TEORIE SYSTÉMŮ ITEROVANÝCH FUNKCÍ .......................................................32
4.2.1 Afinní transformace .................................................................................32
4.2.2 Algoritmus náhodné procházky................................................................33
4.3 FRAKTÁLY VYTVOŘENÉ POMOCÍ IFS .............................................................33
4.3.1 Kochova křivka........................................................................................33
4.3.2 Sierpinského trojúhelník...........................................................................34
4.3.3 Barnsleyovo kapradí.................................................................................35
4.3.4 Sierpinského kobereček............................................................................36
4.3.5 Některé další známé příklady IFS fraktálů................................................37
5 REALIZACE FRAKTÁLŮ V PROSTŘEDÍ MATLAB..................................39
5.1 SCHÉMA REALIZACE......................................................................................39
5.2 REALIZACE L-SYSTÉMŮ ................................................................................40
5.3 REALIZACE IFS FRAKTÁLŮ............................................................................41
6 POKROČILÁ VIZUALIZACE ........................................................................45
11

OBSAH
6.1 ÚVOD DO PROGRAMU POV-RAY .................................................................. 45
6.2 EXPORT DAT Z MATLABU A VYTVÁŘENÍ SCÉN V PROGRAMU POV-RAY......... 46
6.3 UKÁZKY VIZUALIZACE S VYUŽITÍM PROGRAMU POV-RAY............................ 47
6.4 ANIMACE..................................................................................................... 49
7 ZÁVĚR.............................................................................................................. 51
LITERATURA ......................................................................................................... 53
PŘÍLOHY................................................................................................................. 55
PŘEHLED FRAKTÁLŮ VYTVOŘENÝCH POMOCÍ L-SYSTÉMŮ......................................... 55
PŘEHLED FRAKTÁLŮ VYTVOŘENÝCH POMOCÍ IFS..................................................... 59
CD NOSIČ................................................................................................................ 63
12

1 ÚVOD
Tato práce se zabývá dvěma třídami fraktálů (fraktálních objektů) označovaných
jako Lindenmayerovy systémy (zkráceně L-systémy) a systémy iterovaných funkcí
(zkráceně IFS). Mezi cíle této práce patří stručná rešerše týkající se vymezení a
vysvětlení základních pojmů z oblasti fraktálů a fraktální geometrie s detailnějším
zaměřením na L-systémy a systémy iterovaných funkcí. Další cíle představují provedení
praktické realizace těchto tříd fraktálů v prostředí Matlab a pokus o pokročilou
vizualizaci.
Kapitola 2 stručně shrnuje historický vývoj fraktálů, zabývá se definicí pojmu
fraktál a vysvětluje další pojmy, které s fraktály úzce souvisí, jako jsou soběpodobnost,
fraktální (nebo též Hausdorffova) dimenze apod. Je v ní také provedeno rozdělení a
využití fraktálů.
Kapitola 3 se zaměřuje na L-systémy. Jsou v ní vysvětleny základní pojmy týkající
se L-systémů včetně pojmu želví grafika, pomocí které jsou fraktály vytvořené L-
systémy zobrazovány. Podstatná část této kapitoly je také věnována popisům a
konstrukcím fraktálů vytvářených pomocí deterministických i stochastických L-
systémů. Konkrétně se jedná o Kochovu křivku, Kochovu vločku, Sierpinského
trojúhelník, Hilbertovu křivku, různé rostliny vytvářené deterministicky i stochasticky
a další.
Kapitola 4, která pojednává o systémech iterovaných funkcí, se mimo jiné zabývá
afinními transformacemi, pomocí kterých IFS generují fraktály. Jedna z podkapitol této
kapitoly je také věnována algoritmu náhodné procházky (zkráceně RWA), který je
využit při vytváření fraktálů, které jsou součástí této kapitoly. Patří mezi ně Kochova
křivka, Sierpinského trojúhelník, Barnsleyovo kapradí, Sierpinského kobereček,
sněhová vločka a další.
V kapitole 5 je nejprve obecně popsán postup, podle kterého byly v prostředí
Matlab prakticky realizovány dvě výše zmíněné třídy fraktálů. Další části se zabývají
konkrétními způsoby realizace L-systémů a IFS fraktálů.
Kapitola 6 se zabývá pokročilou vizualizací fraktálů generovaných v matematickém
softwaru Matlab. K této vizualizaci je použit program POV-Ray, do kterého jsou data
získaná pomocí Matlabu importována. V další části této kapitoly jsou uvedeny
konkrétní ukázky vizualizace s využitím programu POV-Ray. Kapitola končí zmínkou o
možnosti vytváření animací v programu POV-Ray.
V příloze se nachází přehledy fraktálů, které byly v rámci této práce pomocí L-
systémů a systémů iterovaných funkcí vytvořeny.
13

2 FRAKTÁLY
V této kapitole je nejprve stručně shrnut historický vývoj fraktálů. Další část se
zabývá definováním pojmu fraktál a vymezením dalších pojmů, které s fraktály úzce
souvisí. Dále je provedeno rozdělení fraktálů a závěr této kapitoly je věnován využití
fraktálů.
2.1 Historický vývoj fraktálů
Matematické konstrukce podivných útvarů, které se značně lišily od geometricky
„ideálních“ objektů, se začaly objevovat na přelomu 19. a 20. století [02].
Mezi takové konstrukce patřila spojitá funkce, která nemá v žádném bodě
derivaci, objevená Karlem Weierstrassem v roce 1872. Tato funkce se chová jako
fraktál, neboť zvětšené části grafu a původní graf jsou podobné (pojmem soběpodobnost
se bude zabývat kapitola 2.2.2. Soběpodobnost a soběpříbuznost). Roku 1884 Georg
Cantor přišel s diskontinuem. Cantorovo diskontinuum (viz [13]) představuje množinu
(tzv. Cantorovu množinu), která je konstruována v iteračních krocích, kdy na počátku je
dán uzavřený interval [0,1] a v každém kroku je vynechána druhá třetina tohoto
intervalu a všech dalších, které zbyly z předchozích iterací. Cantorova množina je
znázorněna na obr. 1 (převzato z [13]). Následně v roce 1904 sestrojil Helge von Koch
nekonečně dlouhou křivku, která ohraničuje konečnou plochu. Tzv. Kochova křivka
bude podrobně popsána v pozdějších kapitolách. V roce 1918 Gaston Maurice Julia a
Pierre Fatou popsali konstrukci tzv. Juliových množin a roku 1919 podal Felix
Hausdorff definici Hausdorffovy (nebo také fraktální) dimenze, která pro mnohé
objekty vychází neceločíselná. Hausdorffovou dimenzí se bude zabývat kapitola 2.2.3
Fraktální dimenze.
Obr. 1 Cantorova množina po čtyřech iteracích.
Vědní disciplína zabývající se fraktály se nazývá fraktální geometrie a je
intenzivně rozvíjena od šedesátých let minulého století [06]. Za jejího zakladatele je
považován vědec polského původu Benoid B. Mandelbrot.
15

KAPITOLA 2. FRAKTÁLY
Pojem fractal se poprvé objevuje až v roce 1975 v publikaci, jejímž autorem je B.
B. Mandelbrot. Tento pojem pochází z latinského slova fractus značící zlomený,
rozbitý, apod. (viz [02]).
2.2 Definice fraktálů, vymezení pojmů
2.2.1 Definice fraktálů
Všeobecně platná definice fraktálu prozatím neexistuje (viz [07]). Například
Mandelbrot označil za fraktál množinu, jejíž hodnota Hausdorffovy dimenze je větší
než hodnota dimenze topologické [05] (bude vysvětleno v kapitole 2.2.3 Fraktální
dimenze).
Fraktál lze také charakterizovat jako nekonečně členitý útvar [07], i když se tak
na první pohled nemusí jevit, což je způsobeno nedokonalou rozlišovací schopností
pozorujícího objektu (lidského oka nebo technického zařízení jako je například
obrazovka nebo tiskárna). Neboli co se z dálky může jevit jako objekt jednoduchého
tvaru (například čtverec), může po přiblížení (tedy po změně měřítka) vypadat poněkud
složitěji (obr. 2). Na obr. 2 je zobrazena Hilbertova křivka, která bude zmíněna ještě
v kapitole 3 s názvem L-systémy.
Obr. 2 Hilbertova křivka pozorovaná při změně měřítka (při postupném přibližování).
Za fraktály lze považovat (viz [01]) geometrické objekty, které mají následující
vlastnosti:
• jsou soběpodobné nebo soběpříbuzné
• mají neceločíselnou dimenzi
• mají na první pohled složitý tvar, ale jsou generovány jednoduchými
pravidly
16

KAPITOLA 2. FRAKTÁLY
2.2.2 Soběpodobnost a soběpříbuznost
Soběpodobnost lze definovat [07] jako invarianci (neměnnost) vůči změně
měřítka (obr. 3). Ať je daný soběpodobný útvar pozorován v jakémkoli měřítku,
vykazuje stále stejný charakteristický tvar. Dalo by se tedy říci, že soběpodobnost
znamená opakování sebe sama při určité transformaci, jako je například změna měřítka,
rotace, translace nebo zkosení. Kromě lineárních transformací se může jednat i o
transformace nelineární, vždy to však musí být transformace kontrahující, což znamená,
že vzdálenost dvou libovolných nestejnolehlých bodů se po aplikaci transformace musí
zmenšit.
Obr. 3 Ukázka soběpodobnosti krystalu pomocí změny měřítka.
Soběpříbuznost je určité zobecnění soběpodobnosti. Vyskytuje se u fraktálů,
které jsou generovány stochasticky, tj. pomocí více pravidel, kde každé má přiřazenu
hodnotu pravděpodobnosti výběru. Mezi soběpříbuzné fraktály patří i Mandelbrotova a
Juliovy množiny, i když jsou generovány deterministickými algoritmy (viz [02]).
2.2.3 Fraktální dimenze
Pro základní geometrické útvary a tělesa (jako například čtverec nebo krychli)
jsou známy vzorce a vztahy, díky nimž lze vypočítat jejich geometrické charakteristiky
jako například obvod, obsah nebo objem, a přitom změnou měřítka se tyto
charakteristiky nemění (výsledek je vždy stejný). Například čtverec s danou délkou
strany bude mít při libovolném přibližování (změně měřítka) vždy stejný obvod.
Takovéto útvary nazýváme geometricky hladké [06]. Veličiny jako například obvod,
obsah nebo objem mohou být spočítány i pro poněkud složitější útvary, které vzniknou
kombinací konečného počtu elementárních útvarů, ale výsledky jsou opět nezávislé na
použitém měřítku.
Každému geometricky hladkému útvaru může být přiřazeno jisté celé číslo,
které nazýváme počet rozměrů nebo také (topologická) dimenze daného útvaru (viz
[06]). Hodnota této dimenze udává, jaký je počet parametrů nutných k určení pozice
bodu, který přísluší danému objektu. Například úsečka, přímka či jiná křivka (parabola
nebo sinusová křivka apod.) má dimenzi rovnu 1.
Reálný svět si však s geometricky hladkými útvary nevystačí, protože například
kameny nebo mraky nejsou koule, hory nejsou kužely apod.
17

KAPITOLA 2. FRAKTÁLY
Problém může nastat i při měření délky pobřeží [02] (což je křivka
s topologickou dimenzí rovnou jedné): při zmenšování měřítka se naměřená hodnota
postupně stává nekonečně velkou (při zmenšení měřítka jsou vidět i detaily pobřeží,
které nebyly například na mapě s větším měřítkem viditelné). Pobřeží tedy v rovině
zabírá více místa než hladká křivka. Nezabírá však všechno místo, protože nevyplňuje
celou rovinu. Jeho „skutečná“ dimenze je tedy větší než topologická dimenze křivky (ta
je rovna jedné) a zároveň je menší než topologická dimenze roviny (ta je rovna dvěma).
Toto necelé číslo se nazývá fraktální, Hausdorffova, případně Hausdorffova-
Besicovicova dimenze (viz [02]).
Hodnota fraktální dimenze udává, s jakou rychlostí při zmenšování měřítka roste
do nekonečna například délka fraktálních útvarů. Jestliže se Hausdorffova dimenze a
topologická dimenze budou lišit velmi málo, bude takový objekt málo členitý a naopak.
2.3 Dělení fraktálů
Fraktály lze rozdělit [07] do několika skupin, přičemž fraktály ze stejné skupiny
mají shodné své nejvýznamnější charakteristiky. Mezi základní skupiny fraktálů patří:
4.
• L-systémy
• Systémy iterovaných funkcí
• Dynamické systémy s fraktální strukturou
• Náhodné fraktály
L-systémy a Systémy iterovaných funkcí se budou podrobně zabývat kapitoly 3 a
Dynamickými systémy se označují (viz [06]) matematické modely, které jsou
závislé na nějaké proměnné (nejčastěji to bývá na čase). Systém je většinou popsán
soustavou diferenciálních rovnic a může nabývat různých stavů. Přitom u některých
dynamických systémů tento stavový prostor tvoří fraktál (dynamické systémy s fraktální
strukturou). Většinou je nelze použít pro zkoumání přírodních objektů, protože vytváří
sice abstraktní, zato často fascinující obrazce. Mezi nejznámější představitele
dynamických systémů patří Mandelbrotova množina (obr. 4, převzato z [06]) a Juliovy
množiny.
18

KAPITOLA 2. FRAKTÁLY
Obr. 4 Mandelbrotova množina.
Náhodné fraktály (viz [06]) umožňují nejreálnější popis přírodních objektů.
Zatímco při generování například stromu klasickým L-systémem nebo systémem
iterovaných funkcí získáme strom symetrický případně „do jisté míry“ symetrický (viz
kapitola 2.2.2 Soběpodobnost a soběpříbuznost), skutečný strom v přírodě vypadá
poněkud odlišně: má nepravidelné délky a tloušťky větví, úhel růstu větví je různý,
strom rostoucí v lese bude mít jiný tvar než tentýž druh stromu rostoucí osamoceně
apod. Náhodné fraktály mohou být vytvářeny např. pomocí:
- Brownova pohybu: bod se náhodně přesouvá v rovině nebo v prostoru a zanechává
za sebou stopu. Tato metoda se používá například při generování toků řek.
- Metody přesouvání středního bodu: často se používá v počítačové grafice
k vygenerování a následné vizualizaci přírodní krajiny.
2.4 Využití fraktálů
Fraktály nalezly uplatnění (viz [06]) v nejrůznějších oblastech. Mohou být využity
ve fyzice, biologii nebo medicíně. Například při zkoumání vlastností krve se měří
Hausdorffova dimenze. Dále se například zkoumá, zda má nějakou souvislost
Hausdorffova dimenze povrchu mozku a inteligence člověka či jeho paměťové
schopnosti (povrch mozku je tvořen mozkovými závity, které svým počtem a členitostí
určují různé schopnosti mozku, například paměť či inteligenci).
19

KAPITOLA 2. FRAKTÁLY
Další uplatnění fraktálů je v počítačové grafice, například při modelování
přírodních útvarů (jako jsou stromy, rostliny, mraky, hory, kameny apod.) nebo při
generování textur, kde je výhodou fraktálů jejich paměťová nenáročnost. Ta je využita i
při fraktálové kompresi.
Oblastí využití fraktálů je také výtvarné umění (obr. 5, převzato z [07]).
Obr. 5 Juliova množina v hyperkomplexním prostoru.
Je vhodné poznamenat, že pro vytvoření celého fraktálu je zapotřebí nekonečné
množství iterací, které tedy budou spočítány v nekonečném čase. V praktických
realizacích se proto provádí pouze konečný počet iterací, jejichž výsledkem je pouze
přibližný tvar fraktálu (viz [06]).
20

3 L – SYSTÉMY
Začátek této kapitoly obecně pojednává o L-systémech a vysvětluje některé
základní pojmy týkající se L-systémů. Další část je věnovaná popisům a konstrukcím
některých známých fraktálů vytvořených pomocí deterministických L-systémů.
Kapitolu uzavírají stochastické L-systémy.
3.1 Úvod do L-systémů
L-systémy neboli Lindenmayerovy systémy získaly svůj název podle maďarského
biologa Aristida Lindenmayera, který v 60. letech minulého století rozvinul formální
popis vývoje biologických systémů určený pro simulace na počítačích. Základní
myšlenka spočívala v tom, že na vývoj organismu může být nahlíženo jako na
vykonávání určitého programu, který je uložen v oplodněném vajíčku (viz [02]).
L-systémy generují řetězce znaků, které jsou v jednotlivých iteračních krocích
přepisovány podle určitých přepisovacích pravidel. Každému symbolu v řetězci je
přiřazen jistý geometrický význam jako například posun vpřed o zadanou délku, otočení
o určitý úhel apod.
L-systém bývá označovaný [01] jako bezkontextový L-systém (neboli 0L-systém),
jestliže je výběr použitelného pravidla závislý pouze na právě nahrazovaném symbolu a
nikoliv na jeho kontextu (tedy na symbolech před a za ním). Některé simulace (např.
šíření různých látek v těle rostlin) vyžadují vzít v úvahu právě naznačené kontexty.
Bezkontextový L-systém je tvořen:
• výchozím řetězcem (axiomem)
• množinou přepisovacích pravidel
• množinou symbolů, které se mohou vyskytovat v řetězci (tzv. abecedou)
Tato trojice se také nazývá gramatika L-systému (viz [07]). Výchozí řetězec je tvořen
neprázdným slovem (slovo je řetězec symbolů). Přepisovací pravidlo určuje, jaký
symbol bude nahrazen jakým slovem a abeceda je tvořena terminálními a
neterminálními symboly. Neterminální symbol je takový, který může být přepsán,
naopak terminální být přepsán nemůže.
L-systémy mohou být rozděleny na deterministické a stochastické (viz [01]).
Deterministický L-systém je takový, ve kterém je každému neterminálnímu symbolu
přiřazeno pouze jedno přepisovací pravidlo. Deterministický L-systém generuje při
stejném počtu opakování (iterací) vždy stejný obrazec, protože výsledný řetězec je
pokaždé stejný. U stochastických L-systémů tomu tak není, protože jednotlivým
21

KAPITOLA 3. L-SYSTÉMY
neterminálním symbolům může být přiřazeno více přepisovacích pravidel (existuje více
pravidel pro náhradu jednoho symbolu).
Pomocí L-systémů mohou být generovány fraktály, které se podobají rostlinám,
stromům a dalším přírodním útvarům. L-systémy jsou také využívány
v geologii, biologii a dalších přírodních vědách.
3.2 Želví grafika
L-systémy generují řetězce znaků. Pro geometrickou interpretaci takto
vytvořených řetězců se používá tzv. želví grafika (viz např. [01], [07]), která je známá
z programovacího jazyka LOGO, ve kterém se pomocí jednoduchých příkazů daly
pomocí želvy kreslit různé obrazce. Jednotlivé symboly řetězce se chápou jako příkazy
pro řízení pohybu želvy. Želva sekvenčně čte vygenerovaný řetězec a jednotlivé
symboly interpretuje jako příkazy (posun vpřed o zadanou délku apod.).
Mezi základní příkazy patří:
• F = posun želvy vpřed o zadanou délku, želva za sebou zanechává stopu ve
formě úsečky
• f = posun želvy vpřed o zadanou délku bez zanechání stopy
• + = želva se na místě otočí doleva o zadaný úhel α
• - = želva se na místě otočí doprava o zadaný úhel α
• | = želva změní svůj směr na opačný
Dalšími příkazy mohou být příkazy pro zapamatování pozice a orientace želvy apod.
3.3 Fraktály vytvořené pomocí deterministických L-systémů
3.3.1 Kochova křivka a Kochova vločka
Niels Fabian Helge von Koch byl švédský matematik, který v roce 1904
představil křivku, která po něm nese jméno. Vytváření Kochovy křivky (viz [07])
spočívá v provedení následujících kroků:
1. nejprve je zadán počáteční řetězec v podobě úsečky zadané délky.
2. úsečka je rozdělena na třetiny, prostřední úsečka se vyjme a nahradí se rameny
rovnoramenného trojúhelníku. Z původní úsečky tedy vznikne obrazec, který
představuje lomená úsečka, jejíž délka je rovna 3
4 délky původní úsečky (lomenou
úsečku tvoří 4 úsečky, každá s délkou, která je rovna 3
1 délky původní úsečky).
22

KAPITOLA 3. L-SYSTÉMY
3. na vzniklý obrazec se opakovaně aplikuje pravidlo uvedené v předchozím bodě.
Pro zobrazení Kochovy křivky v programu Matlab jsou využity 3 symboly: F, +,
-. Geometrická interpretace těchto symbolů je uvedena v kapitole 3.2 Želví grafika.
Přepisovací pravidlo uvedené v bodě 2. má pak následující podobu:
F → F + F − −F
+ F (symbol nacházející se vlevo od matematického symbolu „ → “ je
nahrazen řetězcem symbolů, které se od „→ “ nachází vpravo) a úhel α = 60°
. Pomocí
Matlabu je nejdříve vytvořen (vypočten) řetězec, který je poté opět s využitím programu
Matlab vykreslen. Několik prvních iterací takto vytvořené Kochovy křivky je zobrazeno
na obr. 6.
Obr. 6 Prvních 6 iterací Kochovy křivky.
Při výpočtu fraktální dimenze Kochovy křivky (viz [02]) se vyjde ze
skutečnosti, že při každé iteraci se délka každé hrany zmenší na 3
1 své původní hodnoty
a počet soběpodobných úseků vzroste čtyřikrát (neboli při trojnásobném zjemnění se
délka Kochovy křivky zvětší čtyřikrát). Fraktální (Hausdorffova) dimenze Kochovy
křivky se získá ze vztahu:
log N
D H
= , (1)
1
log
ε
1
kde N označuje faktor změny délky a faktor změny měřítka. Po dosazení N = 4 a
ε
1
ε = má fraktální dimenze Kochovy křivky po zaokrouhlení hodnotu: D
H= 1, 262 .
3
Kochova vločka je vytvořena stejným způsobem jako Kochova křivka, změna
nastává pouze v počátečním řetězci, který tvoří trojúhelník a který je pro potřeby želví
grafiky zapsán následovně: F − −F
− −F
. Na obr. 7 je znázorněno několik prvních
iterací Kochovy vločky.
23

KAPITOLA 3. L-SYSTÉMY
Obr. 7 Prvních 6 iterací Kochovy vločky.
3.3.2 Sierpinského trojúhelník
Autorem dalšího klasického fraktálu je polský matematik Waclaw Franciszek
Sierpinski, který jej publikoval v roce 1916. Při konstrukci Kochovy křivky a vločky
bylo použito pouze jedno přepisovací pravidlo, u Sierpinského trojúhelníku (viz [01]) to
jsou již přepisovací pravidla dvě. Počátečním řetězcem (axiomem) je obvykle
rovnoramenný trojúhelník ( axiom = FGF + + FF + + FF ). Symbol G představuje
pomocný, tzv. negrafický prvek, který želví grafika jednoduše ignoruje. Sierpinského
trojúhelník vzniká odstraněním trojúhelníku s vrcholy ve středech stran původního
trojúhelníku. V dalších iteracích se odstraňují analogicky středy zůstávajících
trojúhelníků. α = 60°
a přepisovací pravidla mají následující podobu: F → FF ,
G → + + FGF − −FGF
− −FGF
+ + . Popsaná konstrukce je patrná z prvních iterací
Sierpinského trojúhelníku, které jsou zobrazeny na obr. 8.
1
V první iteraci se získá N = 3 pokrývacích útvarů s měřítkem ε = (jeden
2
trojúhelník je nahrazen třemi trojúhelníky s poloviční délkou stran). Ve druhé iteraci
1 1 1
n
pak N = 3 × 3 = 9 útvarů s měřítkem ε = × = . Tedy obecně v n -té iteraci N=
3
2 2 4
a ε
⎛ 1 ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
n
. Fraktální dimenze Sierpinského trojúhelníku (viz [02]) je pak:
D
H
log N
= lim
ε →0
1
log
ε
log 3
= lim
n→∞
log 2
n
n
nlog 3
= lim =
n→∞
n log 2
log3
log 2
= 1,585
(2)
24

KAPITOLA 3. L-SYSTÉMY
Obr. 8 Prvních 6 iterací Sierpinského trojúhelníku.
3.3.3 Hilbertova, Peano-Gosperova a dračí křivka
Dalšími známými fraktály, které lze vytvořit pomocí L-systémů, jsou Hilbertova
křivka [07] a Peano-Gosperova křivka [14], které jsou zajímavé především tím, že
zatímco jejich topologická dimenze je rovna jedné, hodnota jejich fraktální dimenze je
rovna dvěma, tedy i když jsou vytvořeny pomocí na sebe navazujících úseček, vyplňují
současně celou plochu. Gramatiky těchto dvou křivek lze nalézt v příloze této
bakalářské práce. Jsou zobrazeny na obr. 9, Hilbertova křivka po 6. iteraci a Peano-
Gosperova křivka po 4. iteraci.
Obr. 9 Hilbertova a Peano-Gosperova křivka.
25

KAPITOLA 3. L-SYSTÉMY
Tzv. dračí křivka [07] (obr. 10) je dalším příkladem fraktálního objektu, který je
vytvořen pomocí L-systémů a má také fraktální dimenzi rovnu dvěma. Její počáteční
řetězec tvoří úsečka, která je v prvním iteračním kroku ohnuta o pravý úhel doleva, tedy
vzniknou dvě úsečky navzájem svírající úhel 90 ° . Ve druhém iteračním kroku jsou tyto
dvě úsečky opět ohnuty: první o pravý úhel doleva, druhá o pravý úhel doprava.
Výsledkem pak je čtveřice úseček, které tvoří lomenou čáru. V dalších iteracích probíhá
ohyb úseček podle stejného principu. Gramatika dračí křivky je k nalezení v příloze této
práce.
Obr. 10 Dračí křivka po 16 iteracích.
3.3.4 Použití zásobníku pro větvící se struktury
Všechny předchozí fraktály vyobrazené na obr. 6 až 10 mají mimo jiné
společnou tu vlastnost, že byly vytvořeny jedním tahem (nepřerušovaným pohybem
želvy), tedy netvořily a ani nemohly tvořit rozvětvující se struktury. To je zapříčiněno
tím, že želva, která fraktály na základě vytvořeného řetězce vykreslovala, neměla
k dispozici žádnou paměť, do které by si ukládala svůj předchozí stav (stavy), tedy svou
pozici a orientaci. Pro strukturu rostlin jsou ale typická větvení, tedy želva se musí vrátit
po nakreslení jedné větve bez nakreslení čáry. Pro takovýto posun bez zanechání stopy
bývá definován symbol f . Větvení rostlin ale mají obvykle rekurzivní charakter a pro
tento účel se hodí použití zásobníku (viz [01]). Do něj se v místě větvení uloží stav či
více stavů želvy. Při vybrání ze zásobníku se želva vrátí na zapamatované místo a
obnoví přitom i svoji orientaci. Obvykle se pro operace vkládání do zásobníku a výběr
ze zásobníku používají otvírací a zavírací hranaté závorky. Ty nebyly vybrány náhodně,
protože mezi znaky [ a ] jsou vkládány relativně samostatné sekvence příkazů, které ve
výsledku neovlivní stav želvy (želva se po interpretaci řetězce uloženého mezi těmito
závorkami vrátí zpět do původní pozice). L-systémy rozšířené o výše uvedenou dvojici
terminálních symbolů bývají označovány jako závorkové L-systémy (viz [07]).
26

KAPITOLA 3. L-SYSTÉMY
Jednoduchá virtuální rostlina generovaná L-systémem s přepisovacím pravidlem
ve tvaru F → FF + [ + F − F − F]
− [ −F
+ F + F]
(viz [01]), počátečním řetězcem
+ +++F a úhlem α = 22, 5°
je zobrazena na obr. 11.
Obr. 11 Rostlina po 4 iteracích.
Nejrůznějších rostlin může být pomocí L-systémů vygenerováno libovolně velké
množství. Na ukázku jsou na obr. 12 znázorněny 2 rostliny, na kterých je zajímavé to,
že jejich přepisovací pravidlo se od přepisovacího pravidla rostliny zobrazené na obr.
11 liší pouze v jediném znaku. Rostlina umístěná vlevo na obr. 12 má přepisovací
pravidlo ve tvaru:
F → FF + [ + F − F − F]
−[
−F
+ F − F]
, rostlina umístěná vpravo:
F → FF + [ + F − F − F]
−[
−F
− F + F]
.
27

KAPITOLA 3. L-SYSTÉMY
Obr. 12 2 rostliny po 4 iteracích.
Na obr. 13 jsou další dvě rostliny vytvořené L-systémem, které mají stejný
počáteční řetězec + + + + G , také stejné přepisovací pravidlo F → FF i stejný úhel
α = 22, 5° . Liší se nepatrně pouze ve druhém přepisovacím pravidle (viz [05]), přesto
tyto rostliny vypadají vzájemně značně odlišně. Rostlina vlevo má toto pravidlo ve
tvaru: G → F[ + G][
−G]
FG , rostlina vpravo: G → F[ + G]
F[
−G]
+ G .
Obr. 13 2 rostliny po 7 iteracích.
28

KAPITOLA 3. L-SYSTÉMY
3.4 Stochastické L-systémy
Všechny doposud uvedené příklady L-systémů byly vytvořeny deterministicky,
tedy tak, kdy při stejném počtu iterací je daný L-systém vygenerován vždy stejně.
Pokud by byly tímto způsobem vytvářeny i přírodní objekty jako jsou stromy a keře,
bude patrné, že se od skutečných přírodních objektů liší. To je způsobeno tím, že reálné
přírodní objekty nejsou zcela pravidelné, ale obsahují jisté náhodné prvky (které však
nemění celkový geometrický ani topologický tvar objektu). Z tohoto důvodu se pro
lepší simulaci reality používají tzv. stochastické L-systémy (viz [01] a [07]), kde na
rozdíl od deterministických L-systémů existuje více přepisovacích pravidel pro náhradu
jednoho symbolu.
Na obr. 14 jsou zobrazeny 4 rostliny, které byly vytvořeny pomocí totožného
stochastického L-systému, jehož výpočet byl 4x proveden v programu Matlab a jak je
z obrázku patrné, pokaždé se vykreslila jiná rostlina. Gramatika tohoto L-systému se
třemi přepisovacími pravidly pro jeden symbol je opět k nalezení v příloze této práce.
Obr. 14 Stochastické rostliny.
Výsledná podoba stochastického L-systému může být ovlivněna nejen náhodou,
ale i prioritami, které jsou přiřazeny jednotlivým přepisovacím pravidlům, které slouží k
nahrazování stejného symbolu. V předchozím příkladu, kde byl jeden symbol
nahrazován pomocí trojice přepisovacích pravidel, byla každému z těchto pravidel
přiřazena hodnota pravděpodobnosti výběru 3
1 . Pokud se u tohoto L-systému tyto
1 1 1
pravděpodobnosti změní na hodnoty , a , dojde k jistým odlišnostem
2 3 6
v charakteru vykreslované rostliny, které jsou patrné z obr. 15.
29

KAPITOLA 3. L-SYSTÉMY
Obr. 15 Stochastické rostliny 2.
30

4 SYSTÉMY ITEROVANÝCH FUNKCÍ
V této kapitole jsou nejprve podány základní informace o systémech iterovaných
funkcí a afinních transformacích, které s IFS úzce souvisí. Dále je popsána jedna
z metod, jakou lze fraktály konstruované pomocí IFS generovat a závěr kapitoly se
věnuje konkrétním ukázkám fraktálů, které lze pomocí IFS vytvořit.
4.1 Úvod do systémů iterovaných funkcí
Systémy iterovaných funkcí bývají často označovány zkratkou IFS z anglického
Iterated Function Systems (viz [07]). První publikace týkající se systémů iterovaných
funkcí se objevují v 80. letech minulého století. Známá je například publikace s názvem
Fractals Everywhere autora Michaela Barnsleyho vydaná v roce 1988.
Systémy iterovaných funkcí generují fraktály pomocí afinních transformací (viz
[07]). Afinní transformace jsou lineární, to znamená, že například při aplikaci takové
transformace na úsečku, resp. množinu bodů ležících na přímce, bude výsledkem
transformace rovněž úsečka (resp. množina bodů ležící na přímce). Afinní transformace
provádí s daným objektem několik operací, jako jsou translace, rotace, změna měřítka
apod. Jinak řečeno, afinní transformace vzniká složením několika lineárních
transformací. V některých případech se však používají i transformace nelineární (ohyb,
zkrut, zborcení apod.). K vybudování fraktálního objektu obvykle nestačí jen jedna
afinní transformace, ale je jich potřeba několik.
Systém iterovaných funkcí je tvořen množinou afinních transformací a k nim
přiřazenými pravděpodobnostmi. Větší pravděpodobnost je přiřazena těm afinním
transformacím, které mají větší míru kontrakce (pojem kontrakce bude vysvětlen
v kapitole 4.2.1 Afinní transformace).
IFS je generativní metoda vytváření fraktálů, která se řadí mezi deterministické.
Algoritmus pro generování IFS fraktálů však může být jak deterministický, tak
nedeterministický [06].
IFS mohou být využity (viz [06]) při generování textur, např. v počítačových
hrách. Metoda IFS se ukázala také výhodná pro kompresi dat, jelikož jedna
transformace je v tomto případě zapsána pouze pomocí osmi čísel (šest čísel na zapsání
transformace a dvě čísla na změnu kontrastu a jasu). Metodu IFS využívá mimo jiné i
grafický formát FIF. Další možnosti využití, kde lze systémy iterovaných funkcí použít
v počítačové grafice, jsou tvorby například stromů, rostlin apod. s následnou možností
jejich vizualizace nebo animace.
31

KAPITOLA 4. SYSTÉMY ITEROVANÝCH FUNKCÍ
4.2 Teorie systémů iterovaných funkcí
4.2.1 Afinní transformace
Afinní transformaci lze vyjádřit (viz [06]) vztahem:
w ( X ) = AX+
B , (3)
kde A je transformační matice a B je vektor posunu. Koeficienty matice A se
uplatňují při rotaci, zkosení a změně měřítka. Koeficienty matice B při translaci
(posunutí). Vztah (3) může být zapsán [06] ve tvaru:
kde x
i
a y
i
jsou souřadnice iterovaného bodu.
⎛ x2
⎞ ⎛ a11
a12
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
× x1
b1
w ⎜
⎟ =
⎜ ⎟
⎜
⎟ +
⎜
⎟ , (4)
⎝ y2
⎠ ⎝a21
a22
⎠ ⎝ y1
⎠ ⎝b2
⎠
Transformační matici A a vektor posunu B lze sloučit (viz [07]) do jediné
matice transformace M , jejíž velikost se však zvětší. Půjde o matici s 3× 3 prvky (v
prostoru by se jednalo o matici s 4× 4 prvky). Získá se vztah:
⎛ x2
⎞ ⎛ a
⎜ ⎟ ⎜
⎜ y2
⎟ = ⎜a
⎜ ⎟ ⎜
⎝ 1 ⎠ ⎝ 0
11
21
a
a
12
22
0
b1
⎞ ⎛ x1
⎞
⎟ ⎜ ⎟
b2
⎟ × ⎜ y1
⎟
1 ⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ 1 ⎠
(5)
Poslední řádek matice M obsahuje hodnoty [0,0,1], tj. v operační paměti je při
praktické implementaci nutné ukládat o jeden řádek číselných hodnot méně, což je
užitečné jak z hlediska paměťových nároků (zejména při fraktální kompresi), tak i kvůli
redukci počtu aritmetických operací násobení a sčítání. Prakticky to znamená, že
v rovině je transformace popsána pomocí šesti číselných hodnot a v prostoru pomocí
čísel dvanácti.
V literatuře bývá vztah (4) často zapisován v podobě:
⎛ x
w
⎜
⎝ y
2
2
⎞ ⎛a
⎟ =
⎜
⎠ ⎝ c
b ⎞ ⎛
× x
⎟
⎜
d ⎠ ⎝ y
1
1
⎞ ⎛ e ⎞
⎟ +
⎜
⎟
⎠ ⎝ f ⎠
(6)
Afinní transformace musí splňovat následující podmínku: musí být kontrakcemi
(viz [07]). To znamená, že po aplikaci transformace na libovolné dva body, bude nová
vzdálenost bodů menší než původní vzdálenost bodů. Tato vlastnost mimo jiné
zaručuje, že atraktorem množiny IFS nikdy nebude nekonečno. Pojmem atraktor se
označuje konečný stav systému.
32

KAPITOLA 4. SYSTÉMY ITEROVANÝCH FUNKCÍ
4.2.2 Algoritmus náhodné procházky
Pro generování IFS koláží existují různé metody, mezi které patří i algoritmus
náhodné procházky [06] (neboli RWA z angl. Random Walk Algorithm). Jeho výhodou
je jednoduchost a malá paměťová náročnost. Jeho nevýhodou je, že některé části
fraktálu se generují vícekrát, zatímco některé jen jednou, a proto bývá pomalejší
(náročnější na čas).
Generování IFS fraktálu začíná tak, že je zvolen náhodný bod v rovině,
nejčastěji bod [0,0]. Poloha tohoto bodu neovlivní konečný výsledek, protože
kontrahující afinní transformace zajišťují směřování systému do svého atraktoru.
Protože ale tento startovací bod nemusí nezbytně ležet v atraktoru IFS, je vhodné
několik prvních iterací nezobrazovat, protože do atraktoru se systém může dostat až po
několika iteracích.
Afinní transformace IFS, která se bude poté na tento bod aplikovat, bude vybrána
náhodně, nicméně je při tomto výběru nutné zohlednit pravděpodobnosti jednotlivých
afinních transformací. Jinak řečeno, afinní transformace se vybírají náhodně
s pravděpodobností p . Takto se pokračuje až do dosažení zvoleného počtu iterací.
Takováto konstrukce fraktálů pomocí systémů iterovaných funkcí a náhodných
procesů je nazývána hra chaosu [01] (z angl. chaos game).
Právě pomocí algoritmu náhodné procházky budou generovány fraktály uvedené
v následující kapitole.
4.3 Fraktály vytvořené pomocí IFS
4.3.1 Kochova křivka
Kochova křivka, o které byla již řeč v kapitole 3.3.1 Kochova křivka a Kochova
vločka, je pomocí IFS vytvářena čtyřmi afinními transformacemi. Tyto afinní
transformace mají následující podobu (viz [10]):
a b c d e f p
1/3 0 0 1/3 0 0 1/4
× cos( / 3) − 1/
3×
sin( π / 3)
1/
3× sin( π / 3)
1/
3× cos( π / 3)
1/3 0 1/4
× cos( / 3) 1/
3× sin( π / 3)
− 1/
3×
sin( π / 3)
1/
3× cos( π / 3)
1/2 3 / 6 1/4
1/3 0 0 1/3 2/3 0 1/4
1/
3 π
1/
3 π
Parametry a , b,
c,
d,
e,
f představují koeficienty afinní transformace popsané vztahem
(6), parametr p je pravděpodobnost přiřazená afinní transformaci.
Obr. 16 zobrazuje 3 Kochovy křivky vytvořené pomocí 100, 1000 a 10 000
iterací, tedy jsou tvořeny 100, 1000 a 10 000 body. Jak bylo uvedeno v kapitole 4.2.2 s
33

KAPITOLA 4. SYSTÉMY ITEROVANÝCH FUNKCÍ
názvem Algoritmus náhodné procházky: startovací bod nemusí nezbytně ležet
v atraktoru IFS (viz [06]). A proto je v tomto příkladě (a také ve všech dalších
příkladech této kapitoly) několik prvních iterací nezobrazeno. Dále v této kapitole bylo
zmíněno také to, že některé body se mohou vygenerovat vícekrát, neboli může být
vytvořeno více bodů, které budou mít stejné souřadnice. Proto i když je fraktál vytvořen
pomocí například 1000 iterací, nemusí být „vidět“ všech 1000 bodů, ale o něco méně.
Obr. 16 Kochovy křivky tvořené zleva 100, 1000 a 10 000 body.
4.3.2 Sierpinského trojúhelník
Podobně jako Kochova křivka může být i Sierpinského trojúhelník (obr. 17)
vytvořen pomocí IFS, a to konkrétně pomocí těchto tří afinních transformací (viz např.
[02]):
a b c d e f p
0,5 0 0 0,5 0,25 0 1/3
0,5 0 0 0,5 0 0,5 1/3
0,5 0 0 0,5 0,5 0,5 1/3
Obr. 17 Sierpinského trojúhelníky tvořené zleva 1000, 10 000, 100 000 body.
Drobnými úpravami v afinních transformacích lze získat Sierpinského
trojúhelníky jiných tvarů. Na obr. 18 Sierpinského trojúhelníky vlevo a uprostřed
vznikly jedinou změnou v afinních transformacích Sierpinského trojúhelníku z obr. 17.
Parametr v 1. afinní transformaci je změněn z hodnoty e = 0. 25 na hodnotu e = 0 , resp.
e = 0.5 . Sierpinského trojúhelník vpravo na obr. 18 je vytvořen těmito afinními
transformacemi (viz [12]):
34

KAPITOLA 4. SYSTÉMY ITEROVANÝCH FUNKCÍ
a b c d e f p
0,5 0 0 0,5 0 0 1/3
0,5 0 0 0,5 1 0 1/3
0,5 0 0 0,5 0,5 3 / 2 1/3
Obr. 18 Sierpinského trojúhelníky tvořené 200 000 body.
4.3.3 Barnsleyovo kapradí
Tzv. Barnsleyovo kapradí je vytvářeno pomocí čtyř afinních transformací (viz
např. [01]):
a b c d e f p
0 0 0 0,16 0 0 0,01
0,2 -0,26 0,23 0,22 0 1,6 0,07
-0,15 0,28 0,26 0,24 0 0,44 0,07
0,85 0,04 -0,04 0,85 0 1,6 0,85
Na obr. 19 jsou dvě Barnsleyova kapradí, která se obě skládají z 50 000 bodů,
přesto vypadají výrazně odlišně. V kapitole 4.2.2 Alogoritmus náhodné procházky bylo
řečeno, že při jednotlivých iteracích je sice afinní transformace vybírána náhodně,
přesto je potřeba při tomto výběru zohlednit pravděpodobnosti p příslušející
jednotlivým afinním transformacím. U kapradí, které je umístěno v levé části obr. 19,
byly tyto pravděpodobnosti výběru příslušející Barnsleyovu kapradí dodrženy, ale u
kapradí, které se na tomto obrázku nachází v pravé části, byly jednotlivé afinní
transformace vybírány náhodně s pravděpodobností p = 0. 25 . U kapradí vpravo je
proto mnoho bodů kresleno „přes sebe“, a proto by vygenerování Barnsleyova kapradí
tímto způsobem trvalo neúměrně dlouho (pokud bychom ho chtěli získat v podobě
kapradí, které je na obr. 19 umístěno v levé části).
35

KAPITOLA 4. SYSTÉMY ITEROVANÝCH FUNKCÍ
Obr. 19 2 Barnsleyova kapradí tvořená 50 000 body.
4.3.4 Sierpinského kobereček
Konstrukce Sierpinského koberečku (viz [11]) vychází ze čtverce, který je
rozdělen na 9 stejných čtverců. Délka strany každého z těchto 9 čtverců se rovná 3
1
délky strany, kterou měl původní čtverec. Prostřední čtverec se vyjme a na zbývajících
8 čtverců se aplikuje stejné pravidlo.
1
V 1. iteraci tedy vzniká N = 8 pokrývacích útvarů s měřítkem ε = (jeden
3
čtverec je nahrazen osmi čtverci s třetinovou délkou stran). S využitím vztahu (1) se
fraktální dimenze Sierpinského koberečku vypočítá následovně:
log N log8
D H
= = = 1,893
(7)
1 log3
log
ε
Na obr. 20 je vidět, že Sierpinského kobereček vyplňuje téměř celou plochu, a
proto se jeho fraktální dimenze blíží hodnotě 2. Sierpinského kobereček je vytvořen
pomocí osmi afinních transformací (viz [11]) a jejich výpis se nachází v příloze této
práce.
36

KAPITOLA 4. SYSTÉMY ITEROVANÝCH FUNKCÍ
Obr. 20 Sierpinského kobereček tvořený 500 000 body.
4.3.5 Některé další známé příklady IFS fraktálů
Všechny afinní transformace, pomocí kterých jsou vytvořeny fraktály
vyobrazené v této kapitole, se nachází v příloze.
Obr. 21 Spirála a dračí křivka, obě tvořené 300 000 body.
37

KAPITOLA 4. SYSTÉMY ITEROVANÝCH FUNKCÍ
Obr. 22 Krystal a sněhová vločka tvořené 100 000 body.
Dva stromy na obr. 23 jsou vytvořeny pomocí pěti stejných afinních
transformací (viz [02]), liší se pouze v pravděpodobnostech výběru těchto pravidel (viz
příloha). Strom umístěný na obr. 23 vlevo je tvořen 50 000 body, strom umístěný na
tomto obrázku v pravé části je tvořen 100 000 body.
Obr. 23 2 stromy.
38

5 REALIZACE FRAKTÁLŮ V PROSTŘEDÍ MATLAB
V této kapitole je nejprve obecně popsán zvolený postup při praktické realizaci
fraktálů v prostředí Matlab. Další části se zabývají konkrétní realizací L-systémů a IFS
fraktálů.
5.1 Schéma realizace
Při praktické realizaci dvou tříd fraktálů, kterými se zabývaly kapitoly 3 a 4, se
postupovalo podle schématu, které je znázorněné na obr. 24. Slovní popis tohoto
schématu je uveden v následujících odstavcích.
soubor.m
export dat
vygenerovaného
fraktálu
*.txt/*.pov
POV-Ray
Obr. 24 Schéma realizace.
Nejdříve se vytvořil „soubor.m“ (neboli m-soubor, m-file), tedy soubor
s příponou .m. Jedná se o textový soubor, který obsahuje posloupnost příkazů a povelů
pro program Matlab, které se po spuštění tohoto souboru z prostředí Matlab provedou.
Soubor.m může být script nebo funkce (viz [04]). M-soubory vytvořené v rámci této
práce představují většinou funkce s jedním vstupním parametrem.
Spuštění m-souboru se provede zápisem a potvrzením jména m-souboru (bez
přípony) z příkazového okna Matlabu. Za jméno souboru je ještě potřeba do kulatých
závorek dopsat zvolenou hodnotu vstupního parametru. To je potřeba udělat z toho
důvodu, protože, jak již bylo řečeno, většina m-souborů, které jsou součástí této práce,
jsou funkce s jedním vstupním parametrem. Tedy například pro spuštění m-souboru
s názvem kochovakrivka.m stačí (po zvolení příslušného adresáře, v jakém se tento
soubor nachází) do příkazového okna Matlabu zapsat (a poté potvrdit)
39

KAPITOLA 5. REALIZACE FRAKTÁLŮ V PROSTŘEDÍ MATLAB
kochovakrivka(6) a dojde k vygenerovaní a také vykreslení Kochovy křivky v tomto
případě pomocí 6 iterací.
Doplnění vhodných příkazů do m-souboru umožní vizualizovat Matlabem
vygenerovaný fraktál i jiným způsobem než pomocí Matlabu. Vygenerovaný fraktál lze
exportovat do nového textového souboru (například s názvem kochovakrivka.pov, ale
mohl by mít i název kochovakrivka.txt apod.), který bude spustitelný v programu POV-
Ray a který příslušnou vizualizaci provede. Tímto tématem se zabývá kapitola 6
s názvem Pokročilá vizualizace.
Součástí každého m-souboru, který se nachází na přiloženém médiu, je i stručný
help a také okomentování jednotlivých sekvencí příkazů.
5.2 Realizace L-systémů
M-soubory vytvořené pro generování a zobrazení fraktálů, které vznikají pomocí
L-systémů, jsou tvořeny následujícími částmi:
• stručným „helpem“
• definováním přepisovacího pravidla, počátečního řetězce a příslušných
rozměrů (úhlu α , délky základní úsečky)
• algoritmem pro výpočet řetězce
• inicializací (nastavením počátečních hodnot) a příkazy pro vykreslení
fraktálu z řetězce, který byl vytvořen v předchozí části
• příkazy pro úpravu vzhledu grafického okna (obrázku)
Takto vytvořené m-soubory, které generují fraktály pomocí L-systémů, se nachází
na přiloženém médiu. Všechny obrázky uvedené v kapitole 3 L-systémy vznikly právě
pomocí těchto m-souborů.
Ucelený přehled tímto způsobem vytvořených fraktálů se nachází v příloze této
práce. U každého fraktálu je uveden jeho název, gramatika, příslušný obrázek a graf
doby výpočtu fraktálu v závislosti na počtu iterací.
Tato závislost doby výpočtu na počtu iterací je nelineární (viz obr. 25). Hodnoty
v jednotlivých grafech byly získány pomocí matlabovských funkcí tic a toc. Protože
tyto hodnoty závisí na výkonu počítače, slouží grafy spíše ke sledování zmíněné
nelinearity (případně k porovnávání časové náročnosti výpočtu mezi jednotlivými
fraktály), než ke sledování naměřených absolutních hodnot. Výpočty byly prováděny na
počítači s procesorem AMD Athlon XP 2600+ (1,92 GHz) a 1 GB RAM paměti.
40

KAPITOLA 5. REALIZACE FRAKTÁLŮ V PROSTŘEDÍ MATLAB
Kochova křivka
60
50
Čas [s]
40
30
20
10
0
1 2 3 4 5 6 7 8
Počet iterací
Obr. 25 Graf zobrazující dobu výpočtu Kochovy křivky v závislosti na počtu iterací.
5.3 Realizace IFS fraktálů
M-soubory vytvořené pro generování a zobrazení fraktálů, které vznikají pomocí
systémů iterovaných funkcí, jsou tvořeny následujícími částmi:
• stručným „helpem“
• definováním afinních transformací
• algoritmem pro výpočet pozic bodů generovaného fraktálu (algoritmus při
výpočtu zohledňuje pravděpodobnosti jednotlivých afinních transformací)
• příkazem pro zobrazení fraktálu
• příkazy pro úpravu vzhledu grafického okna (obrázku)
Takto vytvořené m-soubory se nachází na přiloženém médiu. Všechny obrázky
uvedené v kapitole 4 Systémy iterovaných funkcí vznikly právě pomocí těchto m-
souborů.
Ucelený přehled tímto způsobem vytvořených fraktálů se opět nachází v příloze
této práce. U každého fraktálu je uveden jeho název, jeho afinní transformace
s příslušnými pravděpodobnostmi a obrázek tohoto fraktálu. Graf doby výpočtu fraktálu
v závislosti na počtu iterací není potřeba u IFS fraktálů uvádět, protože počtem iterací se
v tomto případě rozumí počet bodů, které tvoří fraktál, a tedy tato závislost bude mít
lineární průběh (viz obr. 26).
41

KAPITOLA 5. REALIZACE FRAKTÁLŮ V PROSTŘEDÍ MATLAB
25
20
Kochova křivka
Čas [s]
15
10
5
0
0 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000
Počet bodů
Obr. 26 Graf zobrazující dobu výpočtu Kochovy křivky v závislosti na počtu iterací.
Body, pomocí kterých je IFS fraktál zobrazován, mohou mít různou velikost.
Z obr. 27 je patrné, že menší body umožňují detailnější zobrazení fraktálu, jeho výpočet
pak ale bude probíhat delší bodu. To je způsobeno tím, že pro zobrazení fraktálu
s menšími body je potřeba vykreslit více bodů, aby bylo dosaženo stejné „hustoty“
(vyplnění plochy), jaké dosahuje fraktál s většími vykreslovanými body. Kapradí na
obr. 27 umístěné vlevo je tvořeno 50 000 body, kapradí umístěné ve střední části tohoto
obrázku je tvořeno menšími body, kterých je 500 000.
Obr. 27 3 Barnsleyova kapradí.
42

KAPITOLA 5. REALIZACE FRAKTÁLŮ V PROSTŘEDÍ MATLAB
Kromě různé velikosti mohou mít tyto body i jinou barvu než černou, nebo i
různým bodům jednoho fraktálu může být přiřazena různá barva (viz pravá část obr.
27).
Vykreslovanými body nemusí teoreticky být přímo „body“ (v Matlabu nazývané
point), ale například i kruhy, trojúhelníky, různé symboly jako + , ∗ , × apod., nicméně
to nemá u fraktálů velké uplatnění, protože při zobrazování fraktálů je naopak užitečné
tyto jednotlivé body, kterými je fraktál tvořen, „nevidět“.
43

6 POKROČILÁ VIZUALIZACE
Tato kapitola nejprve obecně pojednává o programu POV-Ray. Poté se zabývá
exportováním dat z Matlabu a vytvářením scén v programu POV-Ray. Další část se
věnuje konkrétním ukázkám vizualizace fraktálů a na závěr kapitoly je zmíněna
možnost vytváření animací.
6.1 Úvod do programu POV-Ray
Pro pokročilou vizualizaci fraktálů generovaných v prostředí Matlab je využit
freewarový program POV-Ray (Persistance Of Vision Raytracer) ve verzi 3.6 [15].
Důvody k vybrání právě tohoto programu jsou, že je volně šířitelný (tedy zdarma), má
snadno pochopitelnou syntaxi a v neposlední řadě také to, že součástí tohoto programu
je i velké množství předvytvořených příkladů, textur, barev apod., které je možné využít
při vytváření vlastních scén.
Jiným způsobem, jak provést tuto vizualizaci, by mohlo být, že data budou
z Matlabu exportována do souborů *.wrl, tedy souborů psaných v jazyce VRML
(Virtual Reality Markup Language). Soubory tohoto typu je poté možné importovat do
programů jako jsou Bryce, Blender apod. a v nich provádět tuto vizualizaci.
POV-Ray je, jak název tohoto programu napovídá, raytracer (raytracingový
program). Tento název pochází z angl. ray tracing (tzv. metoda sledování paprsku, viz
např. [16]). V reálném světě paprsky světla vychází ze světelného zdroje, lámou se a
odráží od objektů (překážek), až se některé střetnou s okem pozorovatele. U techniky
sledování paprsku paprsky naopak vycházejí z kamery (oka) a poté jsou opět sledovány
při průchodu scénou až ke světelným zdrojům, které osvětlují scénu.
Ray tracing představuje jednu z metod renderování (z angl. rendering). Rendering
označuje tvorbu reálného obrazu na základě počítačového modelu (viz [17]).
Vstupem programu POV-Ray je textový soubor, který obsahuje popis
zobrazované scény (její zdrojový text). Vlastnosti scény jsou ve zdrojovém textu
popsány pomocí jazyka, který je podobný jazykům programovacím (viz [18]). Protože
ale existují modelovací programy, které exportují kód pro POV-Ray, není znalost tohoto
programovacího jazyka nezbytná (viz [19]).
45

KAPITOLA 6. POKROČILÁ VIZUALIZACE
6.2 Export dat z Matlabu a vytváření scén v programu POV-Ray
Některé m-soubory vytvořené pro potřeby kapitol 3 a 4 byly rozšířeny o povely a
příkazy, které umožňují export dat (tedy pozic bodů vypočítaného fraktálu). Takto
rozšířené soubory mají názvy jako například kochovakrivkapov.m apod. Po spuštění
takového souboru se nejen pomocí Matlabu vypočítá a zobrazí příslušný fraktál, ale
dojde navíc k vytvoření nového textového souboru s příponou .pov (například
kochovakrivka.pov), který bude obsahovat vypočítané souřadnice bodů, kterými je
fraktál tvořen. Tento soubor se bude nacházet ve stejném adresáři jako spouštěný m-
soubor.
Takto rozšířené m-soubory obsahují také příkazy, které do nově vytvářeného
souboru *.pov navíc přidají informace o „předvytvořené“ scéně pro program POV-Ray.
Tato předvytvořená scéna přidává k souřadnicím bodů, které vytvářejí fraktál, zvolený
rozměr, barvu (nebo případně texturu) a tvar (nejčastěji v podobě koule). Součástí
předvytvořené scény jsou také informace o pozici a natočení kamery, o zdrojích světla,
pozadí apod.
Tedy po spuštění například souboru s názvem kochovakrivkapov.m dojde
k zobrazení této křivky pomocí Matlabu (viz obr. 16) a dále bude vytvořen nový soubor
kochovakrivka.pov. Po spuštění tohoto nově vytvořeného souboru v programu POV-Ray
dojde k vytvoření a zobrazení nového obrázku (viz obr. 28).
Obr. 28 Kochova křivka zobrazená pomocí programu POV-Ray.
46

KAPITOLA 6. POKROČILÁ VIZUALIZACE
Scény, které jsou součástí m-souborů, jsou pouze ukázkové a lze je libovolně
upravovat a doplňovat přímo v textovém editoru programu POV-Ray a poté jimi i
případně nahradit „předvytvořené“ scény v m-souborech. Návody na vytváření scén
v programu POV-Ray lze nalézt např. v [20].
6.3 Ukázky vizualizace s využitím programu POV-Ray
Obr. 29 Scéna se třemi stromy.
Obr. 30 Strom.
47

KAPITOLA 6. POKROČILÁ VIZUALIZACE
Obr. 31 Sierpinského trojúhelník.
Obr. 32 Barnsleyovo kapradí.
48

KAPITOLA 6. POKROČILÁ VIZUALIZACE
Obr. 33 Les.
6.4 Animace
Přímo animace POV-Ray vytvářet sice neumí, ale umí vytvořit sekvenci snímků
(viz např. [21]), z kterých lze poté animace jednoduše sestavit. Pro spojení POV-Rayem
vytvořené sekvence snímků, a tedy pro vytvoření animace, byl použit freewarový
program Rostrum Camera [22]. Ukázky takto vytvořených animací se nachází na
médiu, které je součástí této práce.
Vytvoření animace se provede tímto způsobem: spustí se soubor např. s názvem
kochovakrivkapovanim.m (ten byl již doplněn o příkazy nutné pro vytváření sekvence
snímků v programu POV-Ray). Dojde k vytvoření souboru s názvem
kochovakrivkaanim.pov. Volba počtu vykreslených snímků se provede pomocí úprav v
souboru QUICKRES.INI, který se nachází v podadresáři renderer nainstalovaného
programu POV-Ray. Způsob, jak provádět tyto úpravy, je popsán např. v [21] a také ve
vytvořeném helpu, který se nachází na přiloženém médiu. Po spuštění souboru
kochovakrivkaanim.pov dojde k vytvoření zvoleného počtu snímků, které se pak
jednoduše spojí do animace v programu Rostrum Camera.
49

7 ZÁVĚR
Začátek této bakalářské práce se obecně věnoval fraktálům, jejich historii, využití,
rozdělení apod. Byly zde také vysvětleny pojmy z oblasti fraktálů, jejichž znalost je
nejen užitečná, ale v některých případech i nezbytná pro správné pochopení dalších
částí této práce, a proto je nebylo možné opomenout. K objasnění těchto pojmů se
snažily přispět i některé obrázky fraktálů uveřejněné v této části bakalářské práce, které
byly právě pro tento účel s využitím programu Matlab vytvořeny.
Ze stejného důvodu se i části kapitol pojednávající o L-systémech a IFS nejprve
věnovaly základním pojmům z oblastí L-systémů a IFS. Obě tyto kapitoly obsahovaly
také množství příkladů fraktálů, které lze pomocí L-systémů a systémů iterovaných
funkcí vytvořit. Každý z těchto příkladů byl doplněn o obrázek příslušného fraktálu,
který byl vytvořen v matematickém softwaru Matlab. Některé z těchto příkladů
obsahovaly takových obrázků víc a to z toho důvodu, aby bylo umožněno naznačit
různé podoby a variace na daný příklad fraktálu, kterých lze dosáhnout. Z důvodu větší
přehlednosti byly také vytvořeny dva přehledy fraktálů, které byly postupně uveřejněny
v této práci. Tyto přehledy obsahují základní informace o těchto fraktálech a nachází se
v příloze této práce.
Pro pokročilou vizualizaci fraktálů generovaných v prostředí Matlab byl použit
raytracingový program s názvem POV-Ray. Mezi důvody, proč byl vybrán právě tento
program, mimo jiné patří, že je to volně šířitelný program, má relativně jednoduchou
syntaxi a také například to, že to je poměrně hojně rozšířený program. Scény s fraktály,
které byly vytvořené pro účely této práce, jsou pouze ukázkové a tedy jen naznačují
možnosti programu POV-Ray v této oblasti. Totéž platí i pro vytvořené animace, které
se nachází na přiloženém médiu, které je součástí této práce.
Při snaze o výpočet fraktálů s větším počtem iterací (u L-systémů) nebo bodů (u
IFS) se začíná projevovat nevýhoda generování fraktálů pomocí Matlabu a tou je velká
výpočtová náročnost. To je způsobeno tím, že každý bod (u IFS) a každá změna polohy
„želvy“ (u L-systémů) je vypočítávána zvlášť. Výpočtová náročnost by mohla být u IFS
snížena využitím jiného algoritmu namísto algoritmu náhodné procházky.
Velká výpočtová náročnost je patrná i při následné vizualizaci fraktálů
v programu POV-Ray, a to zejména při vytváření animací. Mohlo by být zajímavé
porovnat tyto hodnoty s hodnotami získanými při jiným způsobem prováděné
vizualizaci. Data by mohla být exportována z Matlabu do souborů *.wrl, tedy souborů
psaných v jazyce VRML, které je možné importovat do programů jako jsou například
Bryce, Blender a další, a zde by následně byla vizualizace prováděna.
Tato práce by mohla posloužit i k budoucím rozšířením. Jedním z nich by mohlo
být rozšíření vytvářených L-systémů i IFS o další rozměr. Tomu by mohlo napomoci
také to, že na přiloženém médiu jsou všechny m-soubory doplněny kromě stručného
helpu také o okomentování jednotlivých sekvencí příkazů. To by mělo uživatelům, kteří
s programem Matlab prozatím nemají velké zkušenosti, napomoci k pochopení, jakým
způsobem byly fraktály s využitím Matlabu v této práci vytvářeny.
51

LITERATURA
[01] MAŘÍK, Vladimír; ŠTĚPÁNKOVÁ, Olga; LAŽANSKÝ, Jiří; a kolektiv. Umělá
inteligence (3). Praha: ACADEMIA, 2001. ISBN 80-200-0472-6.
[02] ZELINKA, Ivan; VČELAŘ, František; ČANDÍK, Marek. Fraktální geometrie -
principy a aplikace. Praha: BEN, 2006. ISBN 80-7300-193-4.
[03] ZAPLATÍLEK, Karel; DOŇAR, Bohuslav. MATLAB pro začátečníky. 2. vyd.
Praha: 2005, BEN. ISBN 80-7300-175-6.
[04] ZAPLATÍLEK, Karel; DOŇAR, Bohuslav. MATLAB tvorba uživatelských
aplikací. Praha: 2004, BEN. ISBN 80-7300-133-0.
[05] PRUSINKIEWICZ, Premyslaw; LINDENMAYER, Aristid. The Algorithmic
Beauty of Plants. [PDF dokument]. New York: 1990, Springer-Verlag. Dostupné z:
< algorithmicbotany.org/papers/abop/abop.lowquality.pdf>
[06] TIŠNOVSKÝ, Pavel. Fraktály [online]. 1999,2000 [cit. 2007-5-10]. Dostupné z:
< http://www.fit.vutbr.cz/~tisnovpa/fract/clanky/0.htm>
[07] TIŠNOVSKÝ, Pavel. Seriál Fraktály v počítačové grafice [online]. 2005-2007 [cit.
2007-5-10]. Dostupné z:
[08] KOŽÁR, Martin; ORAJA, Tomáš; a další. Lindenmayerove systémy [online].
1998-2006 [cit. 2007-5-10]. Dostupné z:
[09] KOČAN, Peter; KANDRA, Rastislav; a další. IFS - systém iterovaných funkcií
[online]. 1999-2006 [cit. 2007-5-10]. Dostupné z:
.
[10] Matlab Databaze: Fractals [databáze online]. Universität Stuttgart, 2002-2006.
Dostupné z:
[11] RIDDLE, Lawrence. Classic Iterated Function Systems [online]. 1998-2006, 5th of
May 2006 [cit. 2007-5-10]. Dostupné z:
[12] RUSTAD, James. Regular Point Fractals with Iterated Function Systems [online].
[cit. 2007-5-10]. Dostupné z:
53

LITERATURA
[13] Cantorovo diskontinuum [online]. 2007 [cit. 2007-5-10]. Dostupné z:
[14] STEINBAUER, Petr. Interpret deterministických bezkontextových L-systémů
[online]. 2002 [cit. 2007-5-10]. Dostupné z:
[15] POV-Ray [online]. Dostupné z:
[16] DOLEŽAL, Jiří. Počítačová grafika pro geodety [online]. [cit. 2007-5-10].
Dostupné z:
[17] Rendering [online]. 2007 [cit. 2007-5-10]. Dostupné z:
[18] POLÁCH, Eduard. Povray 2.2 [online]. 1999 [cit. 2007-5-10]. Dostupné z:
[19] ČERNOHOUS, Pavel. POV-Ray - freewareový zázrak [online]. 2002 [cit. 2007-5-
10]. Dostupné z:
[20] LOHMÜLLER, Andrea; LOHMÜLLER, Friedrich. 3D Computer Graphics,
Raytracing [online]. 1999-2007, 1st of May 2007 [cit. 2007-5-10]. Dostupné z:
[21] MORAVEC, Tomáš. Animace molekul proteinů. [online]. 1999-2001 [cit. 2007-5-
10]. Dostupné z:
[22] Rostrum Camera [online]. Dostupné z:
54

PŘÍLOHY
Přehled fraktálů vytvořených pomocí L-systémů
U každého fraktálu vytvořeného pomocí L-systémů je uveden jeho počáteční
řetězec, úhel α a přepisovací pravidla. Dále pak jeho podoba (obrázek) a graf závislosti
doby výpočtu na počtu iterací.
Název fraktálu a jeho
podoba
Počáteční řetězec
Úhel α
Přepisovací pravidla
Graf závislosti doby
výpočtu (osa y ) v [s] na
počtu iterací (osa x )
F
60 °
F → F + F − −F
+ F
60
50
40
30
20
10
0
1 2 3 4 5 6 7 8
F − −F
− −
60 °
40
35
F
30
25
20
15
10
5
→ 0
F F + F − −F
+ F
1 2 3 4 5 6 7
55

PŘÍLOHA Přehled fraktálů vytvořených pomocí L-systémů
FGF + + FF+
+ FF
60 °
F → FF
G → + + FGF - -FGF - -FGF
+ +
30
25
20
15
10
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8
G
90 °
G → -HF + GFG + FH -
→ + GF - HFH - FG +
100
H 0
80
60
40
20
1 2 3 4 5 6 7 8
FG
60 °
200
150
100
50
0
1 2 3 4 5 6
G → G + HF + + HF - FG - -FGFG - HF +
H → -FG + HFHF + + HF + FG - -FG - H
FG
90 °
G → G + HF +
→ -FG - H
60
50
40
30
20
10
H 0
1 3 5 7 9 11 13 15
56

PŘÍLOHA Přehled fraktálů vytvořených pomocí L-systémů
+ +++F
22 ,5°
F → FF + [ + F - F - F] -[-F + F + F] 0
25
20
15
10
5
1 2 3 4 5
+ +++F
22 ,5°
F → FF + [ + F - F - F] -[-F + F − F]
25
20
15
10
5
0
1 2 3 4 5
+ +++F
22 ,5°
F → FF + [ + F - F - F] -[-F − F + F]
25
20
15
10
5
0
1 2 3 4 5
40
+ + + +G
35
30
25
22 ,5°
20
15
10
F → FF
5
G → F[+G][-G]FG
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
+ + + +G
22 ,5°
F → FF
G → F[ + G]F[-G] + G
50
40
30
20
10
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
57

PŘÍLOHA Přehled fraktálů vytvořených pomocí L-systémů
+ +++F
22 ,5°
F → [+F]F[-F]F ,
1
p =
3
F → F[+F]F[-F][-F] ,
1
p =
3
F → FF -[-F+
F + F] + [ + F - F + F] ,
Doba výpočtu při stejném
počtu iterací výrazně kolísá,
což je způsobeno náhodou,
která ovlivňuje výběr
pravidla (a to i přesto, že
pravděpodobnost výběru je
vždy 3
1 ).
1
p =
3
+ +++F
22 ,5°
Doba výpočtu při stejném
počtu iterací výrazně kolísá,
což je způsobeno náhodou,
která ovlivňuje výběr
pravidla.
F → [+F]F[-F]F ,
1
p =
2
F → F[+F]F[-F][-F] ,
1
p =
6
F → FF -[-F+
F + F] + [ + F - F + F] ,
1
p =
3
58

Přehled fraktálů vytvořených pomocí IFS
U každého fraktálu vytvořeného pomocí IFS je uveden jeho název, obrázek a
afinní transformace včetně jejich pravděpodobností p .
a b c d e f p
1/3 0 0 1/3 0 0 1/4
1/
3× cos( π / 3) − 1/
3×
sin( π / 3)
1/
3× sin( π / 3)
1/
3× cos( π / 3)
1/3 0 1/4
1/
3× cos( π / 3) 1/
3× sin( π / 3)
− 1/
3×
sin( π / 3)
1/
3× cos( π / 3)
1/2 3 / 6 1/4
1/3 0 0 1/3 2/3 0 1/4
a b c d e f p
0,5 0 0 0,5 0,25 0 1/3
0,5 0 0 0,5 0 0,5 1/3
0,5 0 0 0,5 0,5 0,5 1/3
a b c d e f p
0,5 0 0 0,5 0 0 1/3
0,5 0 0 0,5 0 0,5 1/3
0,5 0 0 0,5 0,5 0,5 1/3
59

PŘÍLOHA Přehled fraktálů vytvořených pomocí IFS
a b c d e f p
0,5 0 0 0,5 0,5 0 1/3
0,5 0 0 0,5 0 0,5 1/3
0,5 0 0 0,5 0,5 0,5 1/3
a b c d e f p
0,5 0 0 0,5 0 0 1/3
0,5 0 0 0,5 1 0 1/3
0,5 0 0 0,5 0,5 3 / 2 1/3
a b c d e f p
0 0 0 0,16 0 0 0,01
0,2 -0,26 0,23 0,22 0 1,6 0,07
-0,15 0,28 0,26 0,24 0 0,44 0,07
0,85 0,04 -0,04 0,85 0 1,6 0,85
60

PŘÍLOHA Přehled fraktálů vytvořených pomocí IFS
a b c d e f p
1/3 0 0 1/3 0 0 0,125
1/3 0 0 1/3 0 1/3 0,125
1/3 0 0 1/3 0 2/3 0,125
1/3 0 0 1/3 1/3 0 0,125
1/3 0 0 1/3 1/3 2/3 0,125
1/3 0 0 1/3 2/3 0 0,125
1/3 0 0 1/3 2/3 1/3 0,125
1/3 0 0 1/3 2/3 2/3 0,125
a b c d e f p
0,382 0 0 0,382 0,3072 0,619 0,2
0,382 0 0 0,382 0,6033 0,4044 0,2
0,382 0 0 0,382 0,0139 0,4044 0,2
0,382 0 0 0,382 0,1253 0,0595 0,2
0,382 0 0 0,382 0,492 0,0595 0,2
a b c d e f p
0,255 0 0 0,255 0,3726 0,6714 0,1
0,255 0 0 0,255 0,1146 0,2232 0,1
0,255 0 0 0,255 0,6306 0,2232 0,1
0,37 -0,642 0,642 0,37 0,6356 -0,0061 0,7
61

PŘÍLOHA Přehled fraktálů vytvořených pomocí IFS
a b c d e f p
-0,121212 0,257576 0,151515 0,255 -6,721654 1,377236 0,05
0,181818 -0,136364 0,090909 0,255 6,086107 1,568035 0,05
0,787879 -0,424242 0,242424 0,255 1,758647 1,408065 0,9
a b c d e f p
0,088272 0,520988 -0,463889 -0,377778 0,78536 8,095795 0,2
0,824074 0,281428 -0,212346 0,864198 -1,88229 -0,110607 0,8
a b c d e f p
0,195 -0,488 0,344 0,443 0,4331 0,2452 0,35
0,462 0,414 -0,252 0,361 0,2511 0,5692 0,35
-0,058 -0,07 0,453 -0,111 0,5976 0,0969 0,05
-0,035 0,07 -0,469 -0,022 0,4884 0,5069 0,05
-0,637 0 0 0,501 0,8562 0,2513 0,2
Afinní pravidla jsou stejná jako u
předcházejícího stromu. Jejich
pravděpodobnosti jsou nyní ale
stejné: p = 0, 2
62

CD nosič
Na přiloženém médiu, které je nedílnou součástí této bakalářské práce, se kromě
elektronické verze této práce ve formátu .pdf nachází tyto adresáře:
• PRG – obsahuje vytvořené m-soubory a el. verzi této práce ve formátu .doc
• DOC – obsahuje soubory s doplňkovými materiály a dokumenty: grafy
výpočtové náročnosti, vytvořené animace, několik ukázkových souborů ve
formátu .pov, několik ukázkových obrázků, stručný help
• APL – obsahuje aplikace využívané v této práci: POV-Ray, Rostrum Camera
63