vysoké učení technické v brně l-systémy a systémy iterovaných funkcí

KAPITOLA 4. SYSTÉMY ITEROVANÝCH FUNKCÍ
4.2 Teorie systémů iterovaných funkcí
4.2.1 Afinní transformace
Afinní transformaci lze vyjádřit (viz [06]) vztahem:
w ( X ) = AX+
B , (3)
kde A je transformační matice a B je vektor posunu. Koeficienty matice A se
uplatňují při rotaci, zkosení a změně měřítka. Koeficienty matice B při translaci
(posunutí). Vztah (3) může být zapsán [06] ve tvaru:
kde x
i
a y
i
jsou souřadnice iterovaného bodu.
⎛ x2
⎞ ⎛ a11
a12
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
× x1
b1
w ⎜
⎟ =
⎜ ⎟
⎜
⎟ +
⎜
⎟ , (4)
⎝ y2
⎠ ⎝a21
a22
⎠ ⎝ y1
⎠ ⎝b2
⎠
Transformační matici A a vektor posunu B lze sloučit (viz [07]) do jediné
matice transformace M , jejíž velikost se však zvětší. Půjde o matici s 3× 3 prvky (v
prostoru by se jednalo o matici s 4× 4 prvky). Získá se vztah:
⎛ x2
⎞ ⎛ a
⎜ ⎟ ⎜
⎜ y2
⎟ = ⎜a
⎜ ⎟ ⎜
⎝ 1 ⎠ ⎝ 0
11
21
a
a
12
22
0
b1
⎞ ⎛ x1
⎞
⎟ ⎜ ⎟
b2
⎟ × ⎜ y1
⎟
1 ⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ 1 ⎠
(5)
Poslední řádek matice M obsahuje hodnoty [0,0,1], tj. v operační paměti je při
praktické implementaci nutné ukládat o jeden řádek číselných hodnot méně, což je
užitečné jak z hlediska paměťových nároků (zejména při fraktální kompresi), tak i kvůli
redukci počtu aritmetických operací násobení a sčítání. Prakticky to znamená, že
v rovině je transformace popsána pomocí šesti číselných hodnot a v prostoru pomocí
čísel dvanácti.
V literatuře bývá vztah (4) často zapisován v podobě:
⎛ x
w
⎜
⎝ y
2
2
⎞ ⎛a
⎟ =
⎜
⎠ ⎝ c
b ⎞ ⎛
× x
⎟
⎜
d ⎠ ⎝ y
1
1
⎞ ⎛ e ⎞
⎟ +
⎜
⎟
⎠ ⎝ f ⎠
(6)
Afinní transformace musí splňovat následující podmínku: musí být kontrakcemi
(viz [07]). To znamená, že po aplikaci transformace na libovolné dva body, bude nová
vzdálenost bodů menší než původní vzdálenost bodů. Tato vlastnost mimo jiné
zaručuje, že atraktorem množiny IFS nikdy nebude nekonečno. Pojmem atraktor se
označuje konečný stav systému.
32