vysoké učení technické v brně l-systémy a systémy iterovaných funkcí

KAPITOLA 3. L-SYSTÉMY
Obr. 7 Prvních 6 iterací Kochovy vločky.
3.3.2 Sierpinského trojúhelník
Autorem dalšího klasického fraktálu je polský matematik Waclaw Franciszek
Sierpinski, který jej publikoval v roce 1916. Při konstrukci Kochovy křivky a vločky
bylo použito pouze jedno přepisovací pravidlo, u Sierpinského trojúhelníku (viz [01]) to
jsou již přepisovací pravidla dvě. Počátečním řetězcem (axiomem) je obvykle
rovnoramenný trojúhelník ( axiom = FGF + + FF + + FF ). Symbol G představuje
pomocný, tzv. negrafický prvek, který želví grafika jednoduše ignoruje. Sierpinského
trojúhelník vzniká odstraněním trojúhelníku s vrcholy ve středech stran původního
trojúhelníku. V dalších iteracích se odstraňují analogicky středy zůstávajících
trojúhelníků. α = 60°
a přepisovací pravidla mají následující podobu: F → FF ,
G → + + FGF − −FGF
− −FGF
+ + . Popsaná konstrukce je patrná z prvních iterací
Sierpinského trojúhelníku, které jsou zobrazeny na obr. 8.
1
V první iteraci se získá N = 3 pokrývacích útvarů s měřítkem ε = (jeden
2
trojúhelník je nahrazen třemi trojúhelníky s poloviční délkou stran). Ve druhé iteraci
1 1 1
n
pak N = 3 × 3 = 9 útvarů s měřítkem ε = × = . Tedy obecně v n -té iteraci N=
3
2 2 4
a ε
⎛ 1 ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
n
. Fraktální dimenze Sierpinského trojúhelníku (viz [02]) je pak:
D
H
log N
= lim
ε →0
1
log
ε
log 3
= lim
n→∞
log 2
n
n
nlog 3
= lim =
n→∞
n log 2
log3
log 2
= 1,585
(2)
24