Diplomová práce - Ãstav automatizace a informatiky - Vysoké uÄenà ...
Diplomová práce - Ãstav automatizace a informatiky - Vysoké uÄenà ...
Diplomová práce - Ãstav automatizace a informatiky - Vysoké uÄenà ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Diplomová práce<br />
Použití frekvenčních charakteristik při<br />
analýze a syntéze regulačních obvodů<br />
Vypracoval:<br />
Vedoucí práce:<br />
Obor:<br />
Specializace:<br />
2006<br />
Miroslav Kij<br />
Ing. Olga Davidová, Ph. D<br />
Inženýrská informatika a <strong>automatizace</strong><br />
Automatizace
Strana 3<br />
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství<br />
Ústav: Automatizace a informatika<br />
Akademický rok 2005/2006<br />
ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE<br />
pro:<br />
Miroslava KIJE<br />
který/která studuje v magisterském studijním programu<br />
obor: M3917 Inženýrská informatika a <strong>automatizace</strong><br />
Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách a se Studijním a<br />
zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma diplomové práce:<br />
POUŽITÍ FREKVENČNÍCH CHARAKTERISTIK PŘI ANALÝZE A SYNTÉZE<br />
REGULAČNÍCH OBVODŮ<br />
a anglickém jazyce:<br />
Analysis and synthesis of control systems using frequency characteristic<br />
Stručná charakteristika problematiky úkolu diplomové práce:<br />
K řešení analýzy a syntézy regulačních obvodů lze použít také metody, které využívají<br />
frekvenční charakteristiky. Cílem diplomové práce je provést jednak ucelený přehled<br />
těchto metod a jednak je aplikovat na příkladech.<br />
Doporučená osnova práce:<br />
1. Popsat frekvenční charakteristiky spojitých a diskrétních systémů<br />
2. Zpracovat metody stability regulačních obvodů využívající frekvenční charakteristiky<br />
3. Zpracovat metody syntézy regulačních obvodů využívající frekvenční charakteristiky<br />
4. Vybrané metody uvést na příkladech
Strana 4<br />
Rozsah grafických prací: ---<br />
Rozsah průvodní zprávy: cca 60 stran<br />
Seznam odborné literatury:<br />
Balátě, J. Automatické řízení. Praha : Nakladatelství BEN-technická literatura, 2003.<br />
664s. ISBN 80-7300-020-2.<br />
Kachaňák, A. Teória automatického riadenia II. Bratislava : Edičné středisko SVŠT v<br />
Bratislavě, 1987. 334s.<br />
Kubík, S., Kotek, Z., Strejc, V. & štacha, J. Teorie automatického řízení I - Lineární a<br />
nelineární systémy. Praha : SNTL Praha, 1982. 528s.<br />
Švarc, I. Teorie automatického řízení I. Brno : Vysoké učení technické v Brně, 1992.<br />
210s. ISBN 80-214-0516-3.<br />
Švarc, I. Teorie automatického řízení II. Brno : Vysoké učení technické v Brně, 1993.<br />
231s. ISBN 80-214-0550-3.<br />
Švarc, I. Automatizace - Automatické řízení. Brno : Vysoké učení technické v Brně, 2005.<br />
262s. ISBN 80-214-2943-7.<br />
Švec, J. Šiška, I. & Vavřín, P. Teorie řízení I - Lineární systémy. Brno : Vysoké učení<br />
technické v Brně, 1982. 208s.<br />
Zítek, P., Hofreiter, M. & Hlava, J. Automatické řízení. Praha : ČVUT Praha, 2001.<br />
148s. ISBN 80-01-02044-4.<br />
Vedoucí diplomové práce: Ing. Olga Davidová, PhD.<br />
Termín odevzdání diplomové práce je stanoven časovým plánem akademického roku<br />
2005/2006.<br />
V Brně dne 21. listopadu 2005<br />
L.S.<br />
Doc. RNDr. Ing. Miloš Šeda, PhD.<br />
ředitel ústavu<br />
Prof. Ing. Josef Vačkář, CSc.<br />
děkan
Strana 5<br />
ANOTACE<br />
Diplomová práce je zaměřena na analýzu a syntézu regulačních obvodů s využitím<br />
frekvenčních charakteristik. Zabývá se zjišťováním stability spojitých a diskrétních<br />
regulačních obvodů a rovněž návrhem optimálních parametrů regulátoru z hlediska kvality<br />
regulace, a to vše za pomocí frekvenčních charakteristik.<br />
ANNOTATION<br />
The diploma work is focused on the analysis and synthesis of control systems using<br />
frequency characteristic. It is dealt with pinpoint stability of the uninterrupted and<br />
unobtrusive control systems and also the proposition of the optimum parameters of the<br />
regulator from the aspect of the regulation quality, and that all by means of the frequency<br />
characteristics.
Strana 7<br />
PODĚKOVÁNÍ<br />
Na úvod mé diplomové práce bych rád poděkoval mé vedoucí práce Ing. Olze<br />
Davidové, Ph.D, za poskytnutí studijních podkladů, absolvování přínosných konzultací s<br />
cennými radami a připomínkami, čímž mě vytvořila optimální podmínky pro její<br />
vypracování.
Strana 9<br />
PROHLÁŠENÍ<br />
Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně dle rad a pokynů<br />
vedoucího diplomové práce, s použitím odborné literatury a článků uvedených na<br />
internetových stránkách.<br />
23.5.2006 ………………………………………...
Strana 11<br />
OBSAH<br />
Seznam použitých symbolů .........................................................................................13<br />
1 Úvod .....................................................................................................................15<br />
2 Analýza a syntéza................................................................................................17<br />
3 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů ...............................21<br />
3.1 Frekvenční popis spojitých systémů ............................................................21<br />
3.1.1 Frekvenční přenos............................................................................21<br />
3.1.2 Frekvenční charakteristika v komplexní rovině ..............................22<br />
3.1.3 Logaritmické frekvenční charakteristiky.........................................24<br />
3.2 Analýza spojitých systémů frekvenčními metodami...................................26<br />
3.2.1 Stabilita regulačních obvodů ...........................................................26<br />
3.2.2 Michajlov-Leonhardovo kritérium ..................................................27<br />
3.2.3 Nyquistovo kritérium.......................................................................29<br />
3.3 Syntéza spojitých systémů frekvenčními metodami....................................36<br />
3.3.1 Ukazatele kvality regulace...............................................................36<br />
3.3.2 Frekvenční metody syntézy.............................................................41<br />
3.3.2.1 Volba zesílení rozpojeného regulačního obvodu....................41<br />
3.3.2.2 Sériové korekční členy ...........................................................42<br />
3.3.2.3 Metoda typizované logaritmické frekvenční charakteristiky .42<br />
4 Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů ...........................45<br />
4.1 Frekvenční popis diskrétních systémů.........................................................45<br />
4.1.1 Frekvenční přenos............................................................................45<br />
4.1.2 Frekvenční charakteristika v komplexní rovině ..............................46<br />
4.1.3 Logaritmická frekvenční charakteristika .........................................46<br />
4.2 Analýza diskrétních systému frekvenčními metodami................................47<br />
4.2.1 Stabilita regulačních obvodů ...........................................................47<br />
4.2.2 Michajlov-Leonhardovo kritérium ..................................................49<br />
4.2.3 Nyquistovo kritérium.......................................................................51<br />
4.3 Syntéza diskrétních systémů frekvenčními metodami.................................51<br />
4.3.1 Typizovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika .52<br />
4.3.2 Metoda transformovaných frekvenčních charakteristik ..................55<br />
5 Použití vybraných metod na příkladech...........................................................59<br />
5.1 Příklady pro spojité regulační obvody.........................................................59<br />
5.1.1 Michajlov-Leonhardovo kritérium ..................................................59<br />
5.1.2 Nyquistovo kritérium.......................................................................61<br />
5.2 Příklady pro diskrétní regulační obvody......................................................62<br />
5.2.1 Michajlov-Leonhardovo kritérium ..................................................62<br />
5.2.2 Nyquistovo kritérium.......................................................................64<br />
5.2.3 Metoda transformovaných frekvenčních charakteristik ..................66<br />
6 Závěr ....................................................................................................................69<br />
Seznam použité literatury............................................................................................71
Strana 13<br />
SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ<br />
a 0 činitel autoregulace<br />
a i koeficient jmenovatele přenosu<br />
A w modul (amplituda) kmitočtového přenosu řízení uzavřeného regulačního obvodu<br />
A r rezonanční převýšení<br />
A amplituda<br />
e regulační odchylka<br />
e T (t) trvalá regulační odchylka<br />
G 0 přenos rozpojeného regulačního obvodu<br />
G R přenos regulátoru<br />
G S přenos regulované soustavy<br />
k 0 zesílení rozpojeného regulačního obvodu<br />
k 0opt optimální zesílení rozpojeného regulačního obvodu<br />
n stupeň charakteristického polynomu zavřeného regulačního obvodu<br />
r 0 proporcionální složka regulátoru<br />
r 1 derivační složka regulátoru<br />
r -1 integrační složka regulátoru<br />
t r doba regulace<br />
t max čas<br />
T perioda kmitů přechodové charakteristiky<br />
T 95 doba, za kterou přechodová charakteristika regulované soustavy dosáhne 95%<br />
ustálené hodnoty<br />
T d dopravní zpoždění<br />
T D derivační časová konstanta<br />
T I integrační časová konstanta<br />
v poruchová veličina<br />
w řídicí veličina<br />
y regulovaná veličina<br />
y hom homogenní rovnice<br />
y max maximální překmit<br />
y part partikulární integrálγ fázová bezpečnost<br />
δ amplitudová bezpečnost<br />
ϕ fáze frekvenčního přenosu<br />
ω úhlová frekvence používaná pro spojité systémy<br />
ω d šířka pásma používaná pro spojité systémy<br />
ω Td fázové zpoždění<br />
ω ř úhlová frekvence řezu používaná pro spojité systémy<br />
ω r rezonanční frekvence používaná pro spojité systémy<br />
ω h šířka pásma propustnosti používaná pro spojité systémy<br />
Ω úhlová frekvence používaná pro diskrétní systémy<br />
frekvence řezu používaná pro diskrétní systémy<br />
Ω ř
Strana 15<br />
1 ÚVOD<br />
Bavíme-li se o regulačních obvodech, pak nedílnou součástí se stává posuzování<br />
(analýza) jejich stability, tj. schopnosti obvodu ustálit se a vykazovat tak správnou funkci.<br />
Pro zjišťování této stability využíváme několika metod. V této práci se zaměřím na metody<br />
využívající frekvenční charakteristiky. Aby byla jasná podstata, je nejprve potřeba rozebrat<br />
frekvenční charakteristiky pro spojité i diskrétní systémy a teprve poté se zaměřit na<br />
jednotlivé metody. Rovněž zde uvedu, jakým způsobem se nastavují parametry regulátoru<br />
(syntéza).<br />
Pro analýzu regulačního obvodu je vypracována řada metod, díky kterým lze<br />
snadno určit stabilitu regulačního obvodu, aniž bychom museli provádět složité výpočty,<br />
na které v dnešní době využíváme téměř výhradě výpočetní techniku.<br />
Pro návrh regulačního obvodu nejsou prozatím vypracovány exaktní metody, které<br />
by jednoznačně vedly k cíli. Stále zde tedy hraje důležitou roli intuice plynoucí ze<br />
zkušenosti a citu navrhovatele. V drtivé většině spočívá metoda návrhu v přímé extrapolaci<br />
nebo interpolaci z již realizovaných a vyzkoušených řešení.<br />
V oblasti syntézy je však zpracována celá řada dobře využitelných metod.<br />
Rozhodující je, aby bylo dosaženo převedení požadavků na regulační obvod, které<br />
formuluje provozovatel, konstruktér a projektant regulovaného projektu na matematickou<br />
formulaci požadavků, kritérií a cílů, vhodných pro další zpracování. Dosud v praxi<br />
převládají jednoduché metody syntézy bez velkých matematických nároků.<br />
V poslední době se rozvíjejí metody syntézy regulačních obvodů, u kterých<br />
určování vlastností řízeného systému a jeho řízení probíhá podle jediného algoritmu, nebo<br />
se vyvíjejí algoritmy řízení, které nevyžadují výchozí přesnou identifikaci řízeného<br />
systému a tyto způsoby řízení označujeme jako adaptivní řízení.<br />
Náplní této diplomové práce je využití frekvenčních charakteristik při analýze a<br />
syntéze regulačních obvodů. Vybrané metody analýzy a syntézy pak budou aplikovány na<br />
příkladech, kde jednak bude zkontrolována stabilita regulačního obvodu a také budou<br />
navrženy parametry jednotlivých regulátorů (P, I, PI, PD, PID). Výsledky budou<br />
prezentovány formou tabulek a grafů a následně vysvětlujícím textem se závěrem o<br />
stabilitě či nestabilitě regulačního obvodu a s výsledkem návrhu parametrů regulátoru.
Strana 17<br />
2 ANALÝZA A SYNTÉZA<br />
I přesto, že je v úvodu (kap. 1) naznačen popis pojmů analýza a syntéza, zdá se být<br />
na místě uvést podrobnější popis, který nás hlouběji vtáhne do problematiky a pomůže nám<br />
pochopit níže popsané skutečnosti.<br />
Analýza a syntéza patří mezi základní a nejčastěji užívané vědecké metody.<br />
Původní význam řeckého slova analýza znamenalo rozložení nějakého komplexu na části a<br />
syntéza měla význam spojení rozmanitostí k jednotě v celku. Z metodologického hlediska<br />
jsou tato slova používána ve smyslu metod k získávání nových poznatků, nebo ve smyslu<br />
metody výkladu poznatků. Syntéza je proti analýze proces opačný, nebo doplňující. Jde o<br />
sjednocování, složení nějakého předmětu, jevu či procesu z jeho základních prvků ať již<br />
myšlenkově, či fakticky v nějaký celek. Toto sjednocování nemusí být jen u jednotlivých<br />
částí, které byly předtím vyděleny analýzou. Syntéza má však jako metodologický princip<br />
analýzu vždy doplňovat. Tím syntéza umožňuje poznání předmětu v jeho úplnosti. Pomocí<br />
syntézy nalézáme vztahy nějakého jevu k jiným jevům, zařazujeme jev, nebo proces do<br />
většího celku a objasňujeme vztahy a mechanismus funkcí u tohoto jevu. Syntézou lze<br />
rozumět také takový proces, při němž hledáme spojováním části v celek takovou strukturu,<br />
která by měla námi předem požadované chování. V tomto případě syntéza není pouhou<br />
skladbou jednotlivých jevů čí procesů, ale je to zároveň kreace nových celků, případně<br />
jejich proměna. Syntéza tedy může být hledáním nejvhodnější varianty dosahované<br />
kombinací jednotlivých prvků a jejich vlastností. Jednoduše řečeno pojmem "syntéza"<br />
rozumíme stanovení takové struktury a parametrů regulačního obvodu, aby byly splněny<br />
požadavky, které klademe na regulační pochod.<br />
Syntéza je první etapou návrhu regulačního obvodu. Dalšími etapami návrhu<br />
regulačního obvodu je volba jednotlivých členů regulačního obvodu. Při návrhu<br />
regulačního obvodu vycházíme z provozních podmínek, kladených na regulační obvod. Do<br />
provozních podmínek zahrnujeme např. požadavky na rozměry a hmotnost zařízení<br />
(zvláště u létajících objektů - letadel, družic apod.), dále požadavky na pracovní prostředí<br />
(vlhkost, agresivita, nevýbušnost), režim provozu (dlouhodobý, krátkodobý), požadavky na<br />
typizaci s ohledem na jednoduchost údržby celého zařízení a také požadavky, zda<br />
regulační obvod má být složen z přístrojů elektrických, pneumatických nebo<br />
hydraulických.<br />
Pro tyto fáze návrhu nejsou zatím vypracovány žádné exaktní metody, které by<br />
jednoznačně vedly k cíli. Zde stále ještě hraje důležitou roli intuice, zkušenost a<br />
konstruktérský cit navrhovatele. V praxi metoda návrhu spočívá především v tom, že<br />
přímo extrapolujeme z již realizovaných a vyzkoušených řešení.<br />
V otázkách syntézy regulačního obvodu se však můžeme opřít o řadu dobře<br />
vypracovaných metod, kterými se zde budeme zabývat.<br />
Při syntéze regulačního obvodu je velmi důležité převést požadavky na regulační<br />
obvod, které formuluje provozovatel regulovaného objektu (technolog u technologického<br />
procesu, pilot letounu apod.), na matematickou formulaci požadavků, kritérií a cílů,<br />
vhodnou pro další zpracování. Dosud v praxi převládají jednoduché metody syntézy bez<br />
velkých matematických nároků.<br />
Výchozí předpoklady pro syntézu mohou být zadány různě:<br />
1. Můžeme volit libovolně strukturu i parametry regulačního obvodu a jsme<br />
omezeni jen splněním podmínek fyzikální realizovatelnosti.
Strana 18<br />
Analýza a syntéza<br />
2. Je zadána část struktury i část parametrů regulačního obvodu<br />
3. Je plně zadána struktura a jsou zadány některé parametry regulačního obvodu<br />
S případem 1 se v praxi setkáváme zřídka. Vyskytuje se např. při syntéze filtrů.<br />
Prakticky všechny úlohy syntézy regulačního obvodu lze zahrnout pod body 2 a 3.<br />
Pod bod 3 patří velké množství průmyslových regulací, u kterých lze regulační<br />
obvod rozdělit na regulátor a regulovaný systém. Regulátory pro průmyslové regulace se<br />
vyrábějí jako univerzální regulátory s pevnou strukturou - obvykle spojitý regulátor PID.<br />
Úloha syntézy se zde redukuje pouze na určení nastavitelných parametrů regulátoru.<br />
Vhodnost správné volby typu regulátoru ověříme po provedené syntéze regulačního<br />
obvodu jeho simulací na matematickém modelu regulačního obvodu a později provozními<br />
zkouškami na regulovaném objektu přímo v provozu.<br />
Pod bod 2 patří regulační obvody, u kterých neprovádíme rozdělení na regulátor a<br />
řízený systém. Jsou to např. servomechanismy, což jsou regulační obvody sloužící k vlečné<br />
regulaci polohy nebo jejích derivací. U těchto regulačních obvodů navrhujeme jak jejich<br />
strukturu, tak i jejich parametry.<br />
ϕ 1<br />
+<br />
ϕ<br />
ovladač<br />
servomotor<br />
ϕ 2<br />
−<br />
ϕ 2<br />
Obr. 2.1 - Polohový servomechanismus<br />
Servomechanismus je tedy regulační obvod, který je tvořen tzv. ovládačem a<br />
servomotorem s převodovkou (obr. 2.1). Ovladač působící na servomotor je tvořen<br />
výkonovým zesilovačem, předzesilovačem s korekcemi a měřícím členem.<br />
Při návrhu servomechanismu navrhujeme všechny jeho členy. Servomotor a jeho<br />
převodovku navrhujeme podle výkonu požadovaného na výstupní hřídeli. Typem<br />
servomotoru je určen výkonový zesilovač, kterým u elektrických servomotorů bývá<br />
obvykle tyristorový měnič. Volba měřícího členu je ovlivněna požadovanou přesností<br />
servomechanismu. Předzesilovač s jeho korekčními členy navrhujeme podle požadavků na<br />
dynamické vlastnosti servomechanismu.<br />
Při syntéze servomechanismu vycházíme obvykle z daných vlastností výkonového<br />
zesilovače, servomotoru s převodovkou a měřícího členu a určujeme vlastnosti<br />
předzesilovače s korekcemi.<br />
Při syntéze regulačního obvodu potřebujeme znát<br />
1. vlastnosti regulovaného objektu,<br />
2. předpokládaný průběh řídicí veličiny,<br />
3. předpokládané průběhy poruchových veličin a místa jejich vstupu do řízeného<br />
systému,<br />
4. omezení akčních veličin,<br />
5. požadavky na kvalitu regulace.<br />
Vlastnosti regulovaného objektu určujeme buď analýzou objektu, nebo rozborem<br />
experimentálně získaných průběhů veličin v objektu. Obě tyto metody identifikace vedou<br />
na sestavení matematického modulu - řízeného systému. Přitom se ukazuje, že některá
Analýza a syntéza Strana 19<br />
zjednodušení, která provádíme při analýze vlastností objektu, se v uzavřeném regulačním<br />
obvodu nepříznivě projeví tím, že model a reálný objekt se v uzavřeném regulačním<br />
obvodu chovají odlišně. Proto jsou výhodné ty metody identifikace, při kterých je<br />
identifikovaný objekt zapojen přímo v regulačním obvodu (např. identifikace pomocí<br />
adaptivního modelu).<br />
Uvedené potíže vedly k tomu, že se v poslední době rozvíjejí syntézy regulačního<br />
obvodu, u kterých určování vlastností objektu a jeho řízení probíhá současně podle<br />
jediného algoritmu, nebo se vyvíjejí algoritmy řízení, které nevyžadují přesnou identifikaci<br />
objektu. Tyto způsoby řízení označujeme jako adaptivní řízení.<br />
Rozborem fyzikálních jevů, které nastanou během regulačního pochodu, určíme<br />
podstatu regulované veličiny i případných poruchových veličin a odhadneme jejich průběh<br />
v čase. Fyzikální podstata regulované veličiny bude ovlivňovat volbu čidla, které převádí<br />
regulovanou veličinu na signál vhodný k dalšímu zpracování. Časová funkce, podle které<br />
se bude měnit regulovaná veličina, bude především ovlivňovat požadavky na kvalitu a<br />
přesnost regulace, tj. požadavky na dynamiku regulačního pochodu.<br />
Někdy požadujeme, aby regulovaná veličina přesně sledovala řídicí veličinu. Např.<br />
u polohových servomechanismů (obr. 2.1) požadujeme, aby výstupní poloha ϕ 2 hřídele<br />
servomechanismu co nejvěrněji sledovala průběh žádané hodnoty ϕ 1 a vliv poruchových<br />
veličin (zatěžovacích momentů) často ani neuvažujeme. Naopak při regulaci teploty,<br />
napětí, síťového kmitočtu apod. je často žádaná hodnota trvale konstantní a úkolem<br />
regulace je kompenzovat poruchy vstupující do regulovaného objektu.<br />
Ve skutečnosti můžou mít žádané hodnoty regulovaných veličin i poruchy<br />
vstupující do regulovaného objektu zcela obecný průběh. Pro zjednodušení výpočtu<br />
uvažujeme jako vstupní veličiny tzv. typizované funkce, jejichž matematické vyjádření je<br />
snadné a z odezvy regulačního obvodu na tyto funkce můžeme soudit na přesnost a kvalitu<br />
regulace. Nejčastěji používané typizované funkce jsou jednotkový skok, Diracův impuls,<br />
skok rychlosti a zrychlení vstupního průběhu a harmonický průběh.<br />
Akční veličina je výstupní veličinou regulátoru a zároveň vstupní veličinou<br />
řízeného systému. Velikost akční veličiny je vždy omezena. Omezení akční veličiny je<br />
způsobeno jednak tím, že výstupní signál z regulátoru nemůže nabývat libovolně velké<br />
hodnoty, a jednak tím, že vstupní signál do regulovaného objektu se může měnit pouze v<br />
dovoleném rozsahu, který je dán fyzikální podstatou objektu i ekonomickými omezeními.<br />
Omezení jsou v podstatě dvojího druhu. Pro názornost je označíme jako omezení<br />
typu "skála" a "propast". Omezení typu "skála" je omezení na dorazech; toto omezení<br />
nemůžeme nikdy přesáhnout. Např. regulační ventil má krajní polohy, kdy je plně otevřen<br />
nebo uzavřen. Omezení typu "propast" je omezení, jehož překročení může způsobit<br />
poruchu zařízení. Proto musíme zajistit, abychom hodnotu tohoto omezení nikdy<br />
nepřekročili. Např. napětí nebo proud kotvy motoru nesmí nikdy přesáhnout velikost<br />
plynoucí z izolační pevnosti vinutí, popř. jeho přípustného oteplení.,<br />
Respektování omezení veličin značně komplikuje úlohu syntézy. Proto nejčastěji<br />
provádíme syntézu regulačního obvodu bez respektování omezení a potom kontrolujeme,<br />
zda při dané velikosti řídicích a poruchových veličin nastane omezení signálů a jak se<br />
omezení projeví na dynamických vlastnostech celého regulačního obvodu. [Kubík, 1982]<br />
Jak již jsme uvedli výše, syntéza regulačního obvodu ve frekvenční oblasti vychází<br />
ze struktury regulačního obvodu, kde není možné respektovat místo a tvar vstupující<br />
poruchové veličiny, ale je možno dosáhnout pouze požadovaných frekvenčních vlastností<br />
obvodu.
Strana 21<br />
3 POUŽITÍ FREKVENČNÍCH CHARAKTERISTIK U<br />
SPOJITÝCH SYSTÉMŮ<br />
K řízení reálných objektů se rozvíjí metody automatické regulace. Aby tyto metody<br />
byly použitelné pro širokou třídu reálných objektů, jsou vytvořeny abstraktní modely<br />
reálných objektů, které se nazývají systémy. Abstrakcí velmi široké třídy reálných modelů<br />
vznikly spojité systémy, u nichž jsou všechny veličiny funkcemi času t. [Kubík, 1982]<br />
3.1 Frekvenční popis spojitých systémů<br />
V této části třetí kapitoly se budu zabývat frekvenčním popisem spojitých<br />
regulačních obvodů. Vysvětlím zde, které pojmy a výpočtové vztahy využiji při analýze a<br />
syntéze regulačních obvodů. Důležité rovněž bude ukázat si postup při konstrukci<br />
frekvenčních charakteristik.<br />
3.1.1 Frekvenční přenos<br />
Frekvenční přenos se získá tak, že je na vstup systému přiveden harmonický signál.<br />
Typickým harmonickým signálem je sinusový průběh<br />
u t)<br />
= u sin ωt<br />
(<br />
0<br />
(3.1)<br />
amplituda vstupního<br />
signálu<br />
úhlová<br />
frekvence<br />
Na výstupu systému se dostane podle obr. 3.1 (po odeznění přechodového jevu)<br />
opět sinusový signál ovšem s jinou amplitudou, stejnou úhlovou frekvencí a fázově proti<br />
vstupnímu signálu posunutý<br />
u(t)<br />
y(t)<br />
y<br />
( t) = y sin( ω t + ϕ )<br />
0<br />
(3.2)<br />
T<br />
u 0<br />
t<br />
ϕ<br />
T<br />
y 0<br />
t<br />
Lépe se ale jeví vyjádřit vstupní i<br />
výstupní funkci v komplexním tvaru<br />
jωt<br />
( t) = u e ;<br />
0<br />
u(t)<br />
S<br />
y(t)<br />
j ( ω t +ϕ )<br />
( )<br />
t = y0e<br />
(3.3)<br />
Obr. 3.1
Strana 22<br />
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů<br />
To jsou v komplexní rovině vektory, které se otáčí úhlovou rychlostí ω. Poměr<br />
těchto vektorů nám definuje frekvenční přenos<br />
j(<br />
ωt+<br />
ϕ )<br />
( t)<br />
y0e<br />
G( jω)<br />
= = =<br />
jωt<br />
( t)<br />
u e<br />
0<br />
y<br />
u<br />
0<br />
0<br />
e<br />
jϕ<br />
(3.4)<br />
kde<br />
y<br />
u<br />
0<br />
0<br />
je poměr amplitud a ϕ je fázové posunutí.<br />
<br />
Základem všeho je důležitý vzorec pro výpočet přenosu z diferenciální rovnice<br />
bms<br />
G(<br />
s)<br />
=<br />
a s<br />
n<br />
m<br />
n<br />
+ ... + b s + b<br />
1<br />
+ ... + a s + a<br />
1<br />
0<br />
0<br />
(3.5)<br />
Pro výpočet frekvenčního přenosu z koeficientů diferenciální rovnice lze odvodit<br />
následující vztah<br />
b<br />
G(<br />
jω)<br />
=<br />
a<br />
m<br />
n<br />
( jω)<br />
( jω)<br />
m<br />
n<br />
+ ... + b1<br />
jω<br />
+ b<br />
+ ... + a jω<br />
+ a<br />
1<br />
0<br />
0<br />
(3.6)<br />
Vztah je formálně stejný jako vztah (3.5) pro přenos G(s), pouze místo komplexní<br />
proměnné s v něm figuruje výraz jω. Tím je zároveň dána relace mezi přenosem a<br />
frekvenčním přenosem, která spočívá ve formální záměně s za jω eventuálně naopak<br />
G ( jω)<br />
= G(<br />
s)<br />
G ( s)<br />
= G(<br />
jω)<br />
s=<br />
jω;<br />
jω<br />
= s;<br />
(3.7)<br />
Zavedení frekvenčního přenosu má velký praktický význam pro řešení regulačních<br />
problémů. Frekvenční přenos je základem pro používání frekvenčních metod. Znázornění<br />
frekvenčního přenosu ve tvaru frekvenčních charakteristik umožní řešit otázky stability<br />
regulačních obvodů, kvalitu regulace i syntézu regulačních obvodů. Také je možno<br />
používat experimentálně zjištěné a naměřené frekvenční charakteristiky.<br />
3.1.2 Frekvenční charakteristika v komplexní rovině<br />
Použití frekvenčních charakteristik v komplexní rovině se dá považovat za<br />
nejčastější způsob při určování stability regulačních obvodů.<br />
Frekvenční charakteristika je grafické vyjádření frekvenčního přenosu G(jω)<br />
v komplexní rovině, když se za úhlovou frekvenci ω dosazují hodnoty 0 až ∞. [Švarc,<br />
2002]
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 23<br />
Při praktickém sestrojování frekvenční charakteristiky si frekvenční přenos G(jω)<br />
ještě v obecném tvaru (před dosazením hodnot ω) upravím na složkový tvar komplexního<br />
čísla (rozšířením zlomku číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli).<br />
[ G(<br />
jω)<br />
] j Im[ G(<br />
j )]<br />
G ( jω)<br />
= Re + ω<br />
Při pohledu na obr. 3.2a je možné vidět sestrojení frekvenční charakteristiky ( jω)<br />
(3.8)<br />
G podle<br />
(3.8), kde za ω byla dosazena zvolená čísla.<br />
Druhým způsobem, jak lze sestrojit frekvenční charakteristiku v komplexní rovině<br />
je z exponenciálního tvaru komplexního čísla (obr. 3.2b). Číslo a + jb se vyjádří ve<br />
složkovém, goniometrickém nebo exponenciálním tvaru. Po úpravách díky Eulerova<br />
vztahu [Švarc, 2002] pro převod goniometrického tvaru na exponenciální se dostaneme<br />
vztah<br />
G(<br />
jω)<br />
=<br />
A(<br />
ω)<br />
⋅ e<br />
jϕ (ω )<br />
.<br />
(3.9)<br />
Odvozování Eulerových vztahů zde uvádět nebudu. Uvedu zde pouze dva vztahy.<br />
První (3.10) v podstatě vyplývá z Pythagorovy věty a slouží k určení velikosti<br />
amplitudy A . Druhým vzorcem (3.11) zjistím fázi ϕ . Oba údaje se uvádí do tabulky při<br />
sestrojování frekvenční charakteristiky v komplexní rovině.<br />
2<br />
A = a +<br />
b<br />
b<br />
ϕ = arctg<br />
a<br />
2<br />
(3.10)<br />
(3.11)<br />
a) Im<br />
b)<br />
Im<br />
ω = ∞<br />
ω = 20<br />
ω = 5<br />
ω = 2<br />
a = Acosα<br />
b = Asinα<br />
ω =1<br />
Re<br />
ω = 0<br />
ω = 20<br />
ω = 0,5<br />
ω = 5<br />
ω = ∞<br />
G ( jω)<br />
G( jω)<br />
ω = 2<br />
A<br />
ϕ<br />
ω =1<br />
Re<br />
ω = 0<br />
ω = 0,5<br />
a + jb<br />
Obr. 3.2 - Frekvenční charakteristika v komplexní rovině<br />
Pro názornost takovou tabulku uvedu a k ní pak sestrojím frekvenční<br />
charakteristiku v komplexní rovině. Ke zvoleným hodnotám ω na kalkulačce dopočítám<br />
hodnoty Re a Im a výsledky doplním do tabulky 3.1.
Strana 24<br />
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů<br />
Tabulka 3.1<br />
ω Re(ω) Im(ω) A(ω) ϕ(ω)<br />
0 1,5 0 1,5 0°<br />
0,1 1.39 -0,43 1,46 -17°01'<br />
0,2 1,14 -0,74 1,37 -33°07'<br />
0,3 0,83 -0,91 1,23 -47°40'<br />
0,4 0,54 -0,95 1,09 -60°28'<br />
0,5 0,3 -0,90 0,95 -71°34'<br />
0,7 0,01 -0,71 0,71 -89°27'<br />
0,8 -0,07 -0,62 0,62 -96°49'<br />
1,0 -0,15 -0,45 0,47 -108°26'<br />
1,5 -0,16 -0,21 0,26 -127°52'<br />
2 -0,12 -0,11 0,16 -139°24'<br />
10 -0,01 -0,01 0,1 -171°33'<br />
ω 0 0 0 -180°<br />
Podle této tabulky pak frekvenční charakteristiku zkonstruuji. Hodnoty ω jsem<br />
dosazoval do rovnice, kterou zde neuvádím, ale pro názornost je dobré si ukázat, jak<br />
taková tabulka vypadá a hlavně jak vypadá frekvenční charakteristika (obr. 3.3) sestrojená<br />
z těchto hodnot.<br />
Im<br />
2<br />
1,5<br />
1<br />
0,8<br />
ω = ∞<br />
G( jω)<br />
Re<br />
ω = 0<br />
0,1<br />
0,2<br />
0,3<br />
0,5<br />
0,4<br />
Obr. 3.3 - Frekvenční charakteristika v komplexní rovině sestrojená podle tabulky 3.1<br />
3.1.3 Logaritmické frekvenční charakteristiky<br />
Frekvenční charakteristiku v komplexní rovině se také někdy nazývá amplitudofázovou<br />
frekvenční charakteristikou. Z jednoho bodu této charakteristiky se pro danou<br />
frekvenci odečte amplitudu A i fázi ϕ frekvenčního přenosu (3.9)
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 25<br />
G(<br />
jω)<br />
=<br />
A(<br />
ω)<br />
⋅ e<br />
jϕ<br />
( ω )<br />
Tím pádem je možno tuto charakteristiku rozdělit na dvě charakteristiky, amplitudovou<br />
A=A (ω) a fázovou ϕ=ϕ (ω), jak je ukázáno na obr. 3.4.<br />
Vhledem k úzkému frekvenčnímu pásmu se lineární souřadnice, uvedené na obr.<br />
3.4, příliš nepoužívají. Pokud bych chtěl toto pásmo rozšířit, pak nejdůležitější část<br />
charakteristiky s podstatnou změnou amplitudy by byla nahuštěna v úzkém rozsahu<br />
frekvencí [Švarc, 2002]. Také pracnost konstrukce těchto charakteristik je poměrně velká<br />
(stejně jako předchozích charakteristik v komplexní rovině).<br />
amplitudo-fázová<br />
frekvenční charakteristika<br />
v komplexní rovině<br />
Im<br />
Re<br />
A<br />
ϕ<br />
ω = 0,15<br />
A<br />
[–]<br />
ϕ<br />
[°]<br />
amplitudová v lineárních<br />
souřadnicích A<br />
20<br />
[dB]<br />
10<br />
0 0,1 0,2 0,3<br />
-20°<br />
-40°<br />
-60°<br />
ω[1/s]<br />
fázová v lineárních<br />
souřadnicích<br />
ϕ<br />
[°]<br />
0<br />
-45°<br />
-90°<br />
-135°<br />
-180°<br />
amplitudová v<br />
logaritmických<br />
souřadnicích<br />
0,1 1 10 100<br />
ω[1/s]<br />
fázová<br />
v logaritmických<br />
souřadnicích<br />
Obr. 3.4 - Frekvenční charakteristiky v amplitudových a fázových souřadnicích<br />
Proto se začalo upřednostňovat použití těchto charakteristik v logaritmických<br />
souřadnicích. Na vodorovné ose obou charakteristik, amplitudové i fázové, je vynesena<br />
frekvence v logaritmickém měřítku. Tím se dosáhne velkého rozmezí frekvencí ω.<br />
U amplitudové frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích se na<br />
svislou osu vynáší amplituda frekvenčního přenosu G(jω) a to v jednotkách decibel [dB.]<br />
A(<br />
ω)<br />
=<br />
G(<br />
jω)<br />
=<br />
y<br />
u<br />
0<br />
0<br />
e<br />
jϕ<br />
=<br />
y<br />
u<br />
0<br />
0<br />
(3.12)<br />
Decibel je dvacetinásobek dekadického logaritmu zesílení. Amplituda A je podíl amplitud<br />
výstupního a vstupního sinusového signálu y 0 /u 0 tedy zesílení označené A[dB] vyjádřené<br />
vzorcem<br />
y<br />
(3.13)<br />
0<br />
A [ dB]<br />
= 20log A[<br />
−]<br />
= 20log<br />
u<br />
U fázových frekvenčních logaritmických charakteristik je fáze vynášena na svislou osu v<br />
lineárním měřítku (ve stupních nebo radiánech).<br />
0
Strana 26<br />
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů<br />
3.2 Analýza spojitých systémů frekvenčními metodami<br />
V této kapitole budou analyzovány vlastnosti spojitých řízených systémů. Budou<br />
analyzovány různé popisy řízených systémů a uvedu zde některé metody určení vlastností<br />
a stability systému. Nejprve zde vysvětlím pojem stabilita regulačního obvodu a poté se<br />
zaměřím na jednotlivá kritéria stability.<br />
3.2.1 Stabilita regulačních obvodů<br />
Stabilita je jedním ze základních požadavků, které se kladou na regulační obvod.<br />
Regulační obvod je stabilní, jestliže po vychýlení regulačního obvodu z rovnovážného<br />
stavu a odeznění vnějších sil, které tuto odchylku způsobily, se regulační obvod během<br />
času znovu vrátí do původního rovnovážného stavu. Jinak řečeno je stabilita vlastnost<br />
regulačního obvodu udržet se v okolí rovnovážného stavu nebo se do něj vrátit po<br />
odeznění vnějších působících sil.<br />
Z hlediska stability se regulační obvod rozlišuje na stabilní, na mezi stability a<br />
nestabilní (obr. 3.5). Regulační obvod na mezi stability se obecně považuje za stabilní a<br />
vždy se vyžaduje, aby regulační obvod byl za všech okolností stabilní. Zatímco parametry<br />
a dynamické vlastnosti regulované soustavy jsou dány konstrukcí soustavy,<br />
technologickým procesem apod. a nemůžeme je tudíž měnit, můžeme měnit dynamické<br />
vlastnosti regulátoru nastavováním volitelných parametrů regulátoru. Tím lze dosáhnout<br />
stability (a dalších vlastností) regulačního obvodu.<br />
y hom<br />
( t)<br />
y hom<br />
( t)<br />
( t)<br />
a) b) c)<br />
y hom<br />
t<br />
t<br />
t<br />
stabilní obvod<br />
obvod na hranici<br />
stability<br />
nestabilní obvod<br />
Obr. 3.5 - Určení stability regulačního obvodu<br />
Jak je uvedeno v [Balátě, 2004], nutnou a postačující podmínkou pro stabilitu<br />
uzavřeného lineárního regulačního obvodu je, aby všechny kořeny charakteristické<br />
rovnice obvodu měly zápornou reálnou část. Z této definice jasně vyplývá, že aby byl<br />
regulační uzavřený lineární obvod stabilní, musí všechny kořeny charakteristické rovnice<br />
ležet v levé polorovině komplexní roviny "s" (obr. 3.6).<br />
Vzhledem ke skutečnosti, že samotné určení stability je pracné i s použitím<br />
výpočetní techniky, protože je zapotřebí vyčíslení kořenů charakteristické rovnice vyššího
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 27<br />
než druhého stupně, byla sestavena<br />
matematická kritéria, tzv. kritéria stability,<br />
která umožňují z charakteristické rovnice<br />
určit, zdali jsou její kořeny se zápornou<br />
reálnou částí nebo ne, a tím stabilitu<br />
obvodu, aniž by se musela daná rovnice<br />
řešit.<br />
Kritéria stability lze rozdělit na<br />
algebraická a frekvenční. Vzhledem k<br />
tématu mé práce se budu věnovat jen<br />
frekvenčním, mezi něž patří dvě<br />
nejpoužívanější, a to Michajlov-<br />
Leonhardovo kritérium a Nyquistovo<br />
kritérium.<br />
nestabilní<br />
oblast<br />
Im<br />
Obr. 3.6<br />
stabilní<br />
oblast<br />
Re<br />
hranice<br />
stability<br />
3.2.2 Michajlov-Leonhardovo kritérium<br />
Jedná se o frekvenční kritérium, které vychází z charakteristické rovnice<br />
uzavřeného regulačního obvodu<br />
a s<br />
n ... 0<br />
(3.14)<br />
n<br />
+ + a1 s + a0<br />
=<br />
Pro označení Michajlov-Leonhardovy křivky se používají symboly N nebo H. V<br />
této práci budu používat symbol H.<br />
Kritérium hodnotí stabilitu podle křivky, kterou opíše koncový bod<br />
charakteristického vektoru H(jω) v komplexní rovině při změně frekvence ω od 0 do ω.<br />
Vektor H(jω) vznikne z charakteristické funkce dosazením s = jω<br />
H<br />
n<br />
( jω)<br />
= an ( jω) + ... + a1( jω) + a0<br />
(3.15)<br />
Tato křivka se nazývá křivkou H(jω) nebo také Michajlovov-Leonhardovou<br />
křivkou. (A.V. Michajlov, ruský matematik, jeho práce uveřejněna v roce 1938; A.<br />
Leonhard, německý technik, práce uveřejněna v roce 1943).<br />
Křivku H(jω) není nutné vždy kreslit celou, postačí jen vypočítat polohu jejich<br />
průsečíků se souřadnými osami. V tom případě se reálná a imaginární část výrazu H(jω)<br />
položí rovna nule a z toho se vypočítají frekvence zmíněných průsečíků. Z frekvencí se<br />
pak určí jejich poloha a z polohy snadno určíme průběh celé charakteristiky. [Švarc, 2002]<br />
Definice Michajlov-Leonhardova kritéria stability:<br />
Uzavřený regulační obvod je stabilní tehdy a jen tehdy, když Michajlova<br />
charakteristika H(jω) začíná na kladné reálné poloose [H(0) = a 0 > 0] a při změně<br />
úhlového kmitočtu ω od 0 do ∞ postupně v kladném smyslu (tj. proti směru pohybu<br />
hodinových ručiček) projde n kvadranty (ke n je stupeň charakteristického polynomu<br />
zavřeného regulačního obvodu).
Strana 28<br />
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů<br />
Začíná-li Michajlovova charakteristika H(jω) v počátku souřadnic, pak<br />
charakteristický mnohočlen uzavřeného regulačního obvodu H(s) má nejméně jeden<br />
nulový kořen a regulační obvod je na nekmitavé mezi stability. Na obr. 3.7 je uveden<br />
případ, kdy n = 3 . Zde je možné pozorovat průběh křivky H ( jω)<br />
pro stabilní či nestabilní<br />
obvod nebo pro obvod na hranici stability.<br />
Im<br />
a) b)<br />
Im<br />
ω = ∞<br />
H ( jω)<br />
ω = 0<br />
Re<br />
ω = ∞<br />
H ( jω)<br />
ω = 0<br />
Re<br />
c)<br />
Im<br />
d)<br />
ω = ∞<br />
H ( jω)<br />
Im<br />
H ( jω)<br />
ω = 0<br />
Re<br />
ω = 0<br />
Re<br />
ω = ∞<br />
e)<br />
ω = ∞<br />
H ( jω)<br />
Im<br />
ω = 0<br />
Re<br />
Obr. 3.7 - a) stabilní obvod; b) obvod na hranici stability; c), d), e) nestabilní obvod
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 29<br />
3.2.3 Nyquistovo kritérium<br />
Budu-li rozebírat toto kritériu, je na úvod potřeba říci, že mezi jeho výhody patří to,<br />
že není třeba znát přenos nebo diferenciální rovnici rozpojeného regulačního obvodu, ale<br />
stačí vycházet z experimentálně zjištěné frekvenční charakteristiky rozpojeného<br />
regulačního obvodu. Na rozdíl od algebraických kritérií, kde se zkoumá regulační obvod<br />
pouze z pohledu stability, lze za pomoci Nyquistova kritéria určit také kvalitu regulačního<br />
obvodu, jednoduše řečeno jak moc je obvod stabilní.<br />
Na základě frekvenční charakteristiky rozpojeného regulačního obvodu umožňuje<br />
Nyquistovo kritérium stability ověřovat stabilitu uzavřeného regulačního obvodu.<br />
Frekvenční charakteristika může být k dispozici i v podobě grafu či tabulky získané<br />
experimentálně.<br />
Nyquistovo kritérium vychází z přenosu rozpojeného regulačního obvodu, který si<br />
vyjádřím ve tvaru podílu polynomů<br />
G<br />
0<br />
( s) = G ( s) G ( s)<br />
S R<br />
=<br />
(3.16)<br />
Na obr. 3.8a je ukázka rozpojeného regulačního obvodu. Pokud se na některém<br />
místě obvod fiktivně rozpojí, získají se tím samostatné dva regulační členy a také člen s<br />
otáčením znaménka v sériovém zapojení. Na vstup se přivede sinusový signál. Na výstupu<br />
lze pozorovat stejný signál, který má ovšem jinou amplitudu A a je fázově posunut o<br />
hodnotu ϕ. Pokud se fiktivně rozpojený obvod opět spojí, pak kmity, které byly poslány na<br />
vstup, se udrží a to i bez opětovného přivedení sinusového signálu. A právě teď se<br />
rozhoduje o stabilitě regulačního obvodu. Pokud se totiž tyto kmity po určité době zmírní,<br />
jedná se o stabilní regulační obvod. Pokud se naopak zesílí, jedná se o nestabilní regulační<br />
obvod. Rozhodujícím případem je posouzení regulačního obvodu na hranici jeho stability.<br />
Tento případ nastane, pokud je na vstup fiktivně rozpojeného regulačního obvodu přiveden<br />
sinusový signál a na výstupu se objeví přesně ten stejný. Jak je vidět na obr. 3.8b, regulační<br />
obvod je v sériovém zapojení s G 0 (s) a s členem otáčejícím znaménko. Na výstupu z G 0 (s)<br />
je sinusový signál stejný jako na vstupu, se stejnou amplitudou, ale fázově posunutý o<br />
180°. Poté je signál přiveden do členu otáčejícího znaménko, kde je znovu posunut o 180°<br />
a tím pádem je na výstupu totožný, a to co se týče amplitudy i fázového posunu.<br />
Budu-li uvažovat regulační obvod bez členu otáčejícího znaménko a vstupní i<br />
výstupní signál bude mít stejnou amplitudu o fázové posunutí o 180°, pak frekvenční<br />
charakteristika G 0 (s) musí procházet tzv. kritickým bodem [-1, 0].<br />
Jestliže frekvenční charakteristika rozpojeného regulačního obvodu prochází<br />
kritickým bodem [-1, 0], pak se tedy jedná o obvod na hranici stability. Jestliže při<br />
frekvenci, kde je na výstupu signál posunut o 180° oproti vstupu a amplituda výstupních<br />
kmitů je větší než vstupních, pak nedochází ke zmírnění signálu a obvod je nestabilní.<br />
M<br />
N<br />
( s)<br />
( s)
Strana 30<br />
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů<br />
a)<br />
v=0 y<br />
G R (s)<br />
G S (s)<br />
w=0<br />
m 1 m 2<br />
b)<br />
m 1<br />
G S (s)<br />
G R (s)<br />
y -y<br />
m 2<br />
G 0 (s)<br />
Obr. 3.8 - a) rozpojený regulační obvod; b) regulační obvod v sériovém zapojení s<br />
G 0 (s) a s členem otáčejícím znaménko<br />
Im<br />
ω = ∞<br />
ω = 0<br />
Re<br />
nestabilní<br />
−1<br />
0<br />
1<br />
na hranici stability<br />
stabilní<br />
( ) jω G 0<br />
Obr. 3.9 - Průběhy amplitudo-fázové frekvenční charakteristiky rozpojeného<br />
regulačního obvodu G 0 (jω)
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 31<br />
Pro stabilní rozpojený regulační obvod lze již nyní zformulovat Nyquistovo<br />
kritérium stability:<br />
Aby byl rozpojený regulační obvod stabilní, pak jeho frekvenční<br />
charakteristika G 0 (jω) musí ležet vlevo od kritického bodu [-1, 0], a to pro frekvence<br />
ω od 0 do ∞ (obr. 3.9).<br />
Toto kritérium pojaté pro rozpojený regulační obvod se může použít pouze pro<br />
stabilní obvod.<br />
U uzavřeného regulačního obvodu nastává určité omezení použitelnosti Nyquistova<br />
kritéria. Jmenovatel přenosu N(s) nesmí obsahovat kladné kořeny (kořeny v pravé<br />
komplexní polorovině [Švarc, 2002]). Pak je možné napsat, že je-li rozpojený regulační<br />
obvod nestabilní, uzavřený regulační obvod stabilní být může. Tuto stabilitu lze vyšetřit<br />
jen zobecněným Nyquistovým kritériem.<br />
Řešení stability obvodu s dopravní zpožděním použitím zjednodušeného Nyquistova<br />
kritéria<br />
Beru-li v úvahu obvody s dopravním zpožděním, je dobré si stručně vysvětli<br />
charakter těchto obvodů. Existují situace, kdy na vstup regulačního obvodu přivedu nějaký<br />
signál, ale na výstupu se nic neobjeví. Teprve až po uplynutí určité doby se začne výstupní<br />
veličina měnit. Tomuto jevu se říká dopravní zpoždění T d .<br />
Charakteristická rovnice uzavřeného regulačního obvodu s dopravním zpožděním<br />
má tvar<br />
− sTd<br />
1 + G0 ( s)<br />
e = 0.<br />
(3.17)<br />
Dopravní zpoždění způsobuje fázové zpoždění o úhel ω Td . Modul G 0 (s) se nemění,<br />
s = . Vyjádřím-li si frekvenční přenos rozpojeného regulačního<br />
GT<br />
d<br />
protože modul ( ) 1<br />
obvodu (3.20) ve smyslu rovnic (3.18 a 3.19)<br />
( jω) = Re[ G( jω)<br />
] j G( jω)<br />
G +<br />
0<br />
jϕ<br />
(<br />
( ) ( ) ) 0 ω<br />
jω<br />
A ω e ,<br />
G =<br />
0<br />
Im[ ],<br />
j ( )<br />
( ) ( ) ϕ ω<br />
j arg G( jω<br />
jω<br />
A ω e G( jω) e<br />
) ,<br />
G =<br />
(3.18)<br />
(3.19)<br />
(3.20)<br />
potom frekvenční proces rozpojeného regulačního obvodu s dopravním zpožděním bude<br />
G<br />
T<br />
0<br />
d<br />
[ ] .<br />
j ϕ ( ω ) ϕ ( ω )<br />
( ω) ( ω) ( ω) ( ω) 1<br />
O + T d<br />
j = G j G j = A ⋅ ⋅ e<br />
0<br />
Td<br />
(3.21)<br />
Pro zjednodušené Nyquistovo kritérium je podmínkou stability uzavřeného<br />
regulačního obvodu bez dopravního zpoždění splnění podmínky<br />
0
Strana 32<br />
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů<br />
(3.22a)<br />
(3.22b)<br />
Z podmínky (3.22b) se určí úhlová frekvence ω (obr. 3.10), při které amplitudová a<br />
fázová frekvenční charakteristika G 0 (jω) protínají reálnou osu roviny "G 0 (jω)".<br />
Při výskytu dopravního zpoždění v regulačním obvodu se vztahy (3.22) změní<br />
analogicky na<br />
(3.23)<br />
Při určitém dopravním zpoždění projde frekvenční charakteristika G T ( jω)<br />
d<br />
0<br />
kritickým bodem [-1, 0] a uzavřený obvod bude na hranici stability, jak je naznačeno na<br />
obr. 3.10.<br />
Při dalším zvětšování T d je obvod již nestabilní, frekvenční charakteristika<br />
neponechává bod [-1, 0] vlevo od svého průběhu. Hodnoty ω a T d , při kterých frekvenční<br />
charakteristika G T ( jω)<br />
d<br />
Re<br />
Im<br />
Re<br />
Im<br />
[ G0( jω)<br />
] > −1,<br />
[ G ( jω)<br />
] = 0 ⇒ ω.<br />
0<br />
− jωTd<br />
[ GR<br />
( jω) GS<br />
( jω)<br />
e ]<br />
− jωTd<br />
G ( jω) G ( jω)<br />
e<br />
> −1,<br />
[ ] = 0 ⇒ ω.<br />
R<br />
S<br />
0<br />
prochází kritickým bodem [-1, 0], se nazývá kritickými hodnotami<br />
s označením ω k a T dk .<br />
Obr. 3.10 - K řešení stability uzavřeného regulačního obvodu s dopravním<br />
zpožděním zjednodušeným Nyquistovým kritériem<br />
Kritický modul má tedy vztah<br />
A ≡ 1 =<br />
k<br />
Re<br />
2<br />
2<br />
[ G ( jω )] + Im G ( jω<br />
)<br />
o<br />
k<br />
[ ],<br />
o<br />
k<br />
(3.24)<br />
a pro kritickou fázi platí: − π = ϕ ( ω ) + ϕ ( ),<br />
k k T<br />
ω<br />
d k
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 33<br />
Im<br />
− π = arctg<br />
Re<br />
[ G0<br />
( jωk<br />
)]<br />
[ G ( jω<br />
)]<br />
0<br />
k<br />
− ω T<br />
k<br />
dk<br />
.<br />
(3.25)<br />
Ze vztahu (3.24) vypočítám kritickou úhlovou frekvenci ω k a z kritické fáze<br />
ϕ (3.25) kritické dopravní zpoždění T dk .<br />
( )<br />
k<br />
ω k<br />
Jak už jsem uvedl v kapitole 3.1.3, při zjišťování stability regulačních obvodů<br />
využívám i frekvenčních charakteristik v logaritmických souřadnicích. Tím se zabývá i<br />
Nyquistovo kritérium, které zde uvedu nyní, ale ve zjednodušené formě.<br />
Zjednodušené Nyquistovo kritérium v logaritmických souřadnicích<br />
Verzi zjednodušeného Nyquistova kritéria zde uvedu v logaritmických<br />
souřadnicích. Předpokladem je, že přenos rozpojeného regulačního obvodu nemá žádný<br />
pól v pravé polorovině roviny kořenů "s".<br />
Je-li přenos rozpojeného regulačního obvodu ve tvaru<br />
1<br />
1<br />
tj. s<br />
1<br />
= − < 0,<br />
s<br />
2<br />
= − < 0,<br />
s = 0 3<br />
,<br />
T<br />
T<br />
1<br />
G<br />
o<br />
( s)<br />
2<br />
=<br />
s<br />
k<br />
O<br />
( T s + )( T s 1) ,<br />
1<br />
1 2<br />
+<br />
(3.26)<br />
(nulový pól je zahrnut do levé poloroviny), přitom lze uvažovat relaci koeficientů přenosu<br />
(zesílení) k o1 < k o3 < k o2 .<br />
Amplitudové a fázové frekvenční charakteristiky přenosu (3.26) jsou zobrazeny v<br />
části obr. 3.10a. Pro zesílení k 01 přenosu rozpojeného regulačního obvodu je uzavřený<br />
regulační obvod stabilní, pro k 03 je na mezi stability a pro k O2 je uzavřený regulační obvod<br />
nestabilní. Rozhodl jsme tak podle polohy bodu [-1, 0] vzhledem k průběhu jednotlivých<br />
amplitudových a fázových frekvenčních charakteristik rozpojeného regulačního obvodu.<br />
Z obr. 3.11 vyplývá souvislost průběhů frekvenčních charakteristik rozpojeného<br />
regulačního obvodu v komplexní rovině a v logaritmických souřadnicích. V části obr.<br />
3.11b je amplitudová logaritmická frekvenční charakteristika, v části obr. 3.11c je<br />
zakreslena fázová logaritmická frekvenční charakteristika.<br />
Frekvenčním bodem pro rozhodování o stabilitě zjednodušeným Nyquistovým<br />
kritériem v komplexní rovině byl bod [-1, 0]. V tomto bodě modul frekvenčního přenosu<br />
rozpojeného regulačního obvodu má hodnotu<br />
G O<br />
( jω) = 1,<br />
(3.27)<br />
a fáze má hodnotu ϕ ( ω) = −180° .<br />
V logaritmických souřadnicích si zobrazím odpovídající kritický bod výpočtem<br />
[ ] = 20 log1 = 0.<br />
A dB<br />
(3.28)
Strana 34<br />
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů<br />
Jednotková kružnice v komplexní rovině se tedy zobrazí do přímky s hodnotou 0<br />
dB (viz obr. 3.11b).<br />
Fáze má hodnotu stejnou, zůstává nezměněna. Kritickým bodem pro rozhodování o<br />
stabilitě zjednodušeným Nyquistovým kritériem v logaritmických souřadnicích je bod v<br />
amplitudové logaritmické frekvenční charakteristice s amplitudou A[dB] = 0 a nazývá se<br />
úhlovým kmitočtem řezu ω ř .<br />
Při praktické aplikaci teorie automatického řízení je možné narazit na systémy, u<br />
kterých je splněna silná podmínka fyzikální realizovatelnosti, tj. n > m. Z toho plyne, že<br />
stupeň jmenovatele přenosu rozpojeného regulačního obvodu je vyšší než stupeň čitatele a<br />
tedy fáze ϕ má zápornou hodnotu. To je případ i přenosu (3.26), který představuje<br />
integrační člen se setrvačností 2. řádu. Jeho fázová logaritmická frekvenční charakteristika<br />
je zobrazena na obr. 3.11c. Porovnáním hodnot fáze kritického bodu v částech obr. 3.11c a<br />
obr. 3.11a je vidět, že je možné fázi kritického bodu stanovit na hodnotu<br />
ϕ<br />
( ω) = −180° .<br />
(3.29)<br />
Potom pro ( ω) > −180°<br />
pro ( ω) < −180°<br />
ϕ (tj. např. pro − 160° , …) bude uzavřený obvod stabilní a naopak<br />
ϕ (tj. např. pro − 200 ° , …) bude uzavřený regulační obvod nestabilní.<br />
Definice stability podle zjednodušeného Nyquistova kritéria v logaritmických<br />
souřadnicích<br />
Uzavřený regulační obvod je stabilní, jestliže pro úhlovou frekvenci řezu ω ř , při<br />
které; amplitudová logaritmická frekvenční charakteristika rozpojeného regulačního<br />
obvodu protíná osu 0 dB, bude ϕ ( ω) > −180°<br />
. Důsledkem je, že amplitudová logaritmická<br />
frekvenční charakteristika protíná osu 0 dB vlevo od úhlové frekvence, při němž má fáze<br />
hodnotu ϕ ( ω) = −180°<br />
(viz obr. 3.11).<br />
Z uvedeného je zřejmá výhoda používání frekvenčních charakteristik v<br />
logaritmických souřadnicích. Jestliže vím, že místa lomu amplitudové charakteristiky jsou<br />
definována převrácenou hodnotou časových konstant přenosu, snadno poznám, kterou z<br />
časových konstant přenosu rozpojeného regulačního obvodu musím změnit, aby uzavřený<br />
regulační obvod byl stabilní.
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 35<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
Obr. 3.11 - Souvislost zjednodušeného Nyquistova kritéria v komplexní rovině a<br />
v logaritmických souřadnicích: a) v komplexní rovině; b) amplitudová<br />
logaritmická frekvenční charakteristika; c) fázová logaritmická<br />
frekvenční charakteristika
Strana 36<br />
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů<br />
3.3 Syntéza spojitých systémů frekvenčními metodami<br />
Byla vypracována celá řada metod syntézy regulačního obvodu. Jedny z metod<br />
tvoří klasické metody syntézy pomocí frekvenčních charakteristik. Tyto metody se<br />
používají pro syntézu struktury i parametrů regulátorů v regulačních obvodech.<br />
Při syntéze regulačního obvodu pomocí frekvenčních charakteristik se vychází z<br />
dané frekvenční charakteristiky rozpojeného regulačního obvodu nebo jeho části. Syntéza<br />
se provádí v komplexní rovině nebo v logaritmických souřadnicích.<br />
Frekvenční metody syntézy v podstatě využívají toho, že nevhodné póly i nuly<br />
přenosu rozpojené smyčky se kompenzují nulami a póly přenosu korekčních členů<br />
(korekčními členy bývají nejčastěji standardní lineární regulátory typu P, PI, PD, PID<br />
apod.).<br />
3.3.1 Ukazatele kvality regulace<br />
Kvalitu regulace je možné posuzovat podle ukazatelů v časové, frekvenční nebo<br />
obrazové oblasti [Davidová, 2004]. Z průběhu přechodové charakteristiky se kvalita<br />
regulace v časové oblasti určuje z odezvy regulačního obvodu na skokový signál. Právě z<br />
této přechodové charakteristiky se určí kvantitativní ukazatele, díky kterým lze hodnotit<br />
chování regulačního obvodu. Mezi kvantitativní ukazatele patří maximální překmit y max<br />
regulované veličiny, doba regulace t<br />
r<br />
, trvalá regulační odchylka e<br />
T<br />
a perioda kmitů<br />
T přechodové charakteristiky. Pro určení kvality regulace v obrazové oblasti je zásadní<br />
poloha pólů uzavřeného regulačního obvodu v komplexní rovině.<br />
Kvantitativní ukazatele, které jsem zmínili výše, jsou zobrazeny na obr. 3.12 a ve<br />
stručnosti si zde uvedeme jejich popis.<br />
• maximální překmit y max regulované veličiny = maximální hodnota, kterou<br />
dosáhne regulovaná veličina<br />
• doba regulace t r = doba, za kterou trvale klesne regulační odchylka pod 5%<br />
ustálené hodnoty<br />
• trvalá regulační odchylka e T (t) = rozdíl mezi požadovanou a skutečnou hodnotou<br />
regulované veličiny<br />
• perioda kmitů T přechodové charakteristiky.<br />
Někdy se také používají další ukazatele kvality regulace, jako např.:<br />
• čas t max = doba, kdy dochází k největšímu překmitu<br />
• počet kmitů.<br />
Tyto ukazatelé kvality dávají přímou informaci o časovém průběhu regulačního<br />
pochodu, což je jejich výhodou, ale zároveň platí podmínka, že přechodová charakteristika<br />
musí mít kmitavý průběh, nikoliv aperiodický, jinak maximální překmit ani periodu kmitů<br />
nelze určit.
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 37<br />
y(t)<br />
+5% y(∞)<br />
y(∞)<br />
y max<br />
T<br />
–5% y(∞)<br />
t max<br />
t<br />
t r<br />
Obr. 3.12 - Ukazatele kvality regulace na přechodové charakteristice<br />
Pro kvalitu regulace v obrazové oblasti je zásadní poloha pólů uzavřeného<br />
regulačního obvodu v komplexní rovině. Mezi všemi uvedenými ukazateli kvality existuje<br />
jednoznačná souvislost.<br />
Především jsou důležité dvě hodnoty, a to maximální překmit y max regulované<br />
soustavy a doba regulace t r . Je dobré si představit, že jsou regulovány např. otáčky<br />
nějakého točivého stroje, pak y max je hodnotou, na kterou musí být stroj ještě pevnostně<br />
dimenzován a otáčky y max nesmí např. padnout do kritických otáček stroje. Dalším<br />
požadavkem je, aby doba regulace t r nebyla příliš dlouhá a perioda kmitů T také někdy<br />
nesmí padnout do určitého pásma.<br />
Při regulačním pochodu v podstatě dochází k výměně energie. V oblasti<br />
podregulování má regulovaná soustava nedostatek energie a je zapotřebí jí energii dodávat,<br />
aby se hodnota regulované veličiny zvýšila na požadovanou hodnotu. V oblasti<br />
přeregulování má naopak přebytek energie a tu předává okolí, aby se hodnota regulované<br />
veličiny snížila na požadovanou hodnotu. To pochopitelně není možné vzhledem např. k<br />
setrvačným hmotám apod., tedy je alespoň požadováno, aby výměna energie byla co<br />
nejmenší – aby regulační plocha byla minimální.<br />
Regulační plocha, zmíněná v předešlém odstavci, je podle obr. 3.13 vyšrafovaná<br />
plocha nad a nebo pod průběhem regulované veličiny.<br />
Minimum regulační plochy znamená také kompromis mezi protichůdnými<br />
požadavky na minimální y max a minimální t r . Tam se totiž ukazují protiklady požadavků na<br />
tyto dvě hodnoty. Čím větší je např. zesílení regulátoru r 0 , tím kratší je sice doba regulace,<br />
ale tím větší je maximální překmitnutí. Optimum mezi těmito dvěma protichůdnými<br />
požadavky je minimum regulační plochy. V praxi se kvalita regulace hodnotí podle<br />
charakteristických parametrů regulačního pochodu (viz obr. 3.13).
Strana 38<br />
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů<br />
y(t)<br />
y(∞)<br />
+ +<br />
– –<br />
t<br />
Obr. 3.13 - Ukázka regulační plochy<br />
Vzhledem k tématu mé diplomové práce, ve které se zabývám frekvenčními<br />
metodami, bude dále má pozornost upřena na ukazatele kvality regulace ve frekvenční<br />
oblasti.<br />
Ukazatelé kvality regulace ve frekvenční oblasti<br />
Pro hodnocení kvality řízení budu na frekvenční charakteristice uzavřené smyčky<br />
definovat následující míry:<br />
• rezonanční převýšení A r = maximální hodnota zesílení (maximální hodnota<br />
amplitudy frekvenčního přenosu). Velké rezonanční převýšení znamená velký<br />
překmit na přechodové charakteristice.<br />
• rezonanční frekvence ω r = frekvence, při níž frekvenční charakteristika dosahuje<br />
hodnoty rezonančního převýšení A r a rozhoduje o relativní stabilitě uzavřeného<br />
obvodu<br />
• šířka pásma propustnosti ω h = frekvence, na níž poklesne zesílení o 3 dB oproti<br />
zesílení na nízkých frekvencích. Širší propustné pásmo znamená rychlejší odezvu<br />
systému, tj. kratší dobu náběhu přechodové charakteristiky (dobu, za kterou přejde<br />
výstup z 10% na 90% ustálené hodnoty). Na druhou stranu vyšší mezní frekvence<br />
však znamená, že systém může reagovat i na vysokofrekvenční rušení zpravidla<br />
přítomné na vstupech systému.<br />
Tyto ukazatele kvality jsou zobrazeny na obr. 3.14, kde je vynesena typická<br />
frekvenční charakteristika uzavřeného regulačního obvodu.
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 39<br />
Existuje souvislost mezi rezonančním převýšením A r amplitudové charakteristiky a<br />
maximálním překmitem y max na přechodové charakteristice. I přes to, že platí čím větší je<br />
rezonanční převýšení, tím větší je maximální překmit, tak většina regulačních obvodů se v<br />
praxi navrhuje tak, aby A<br />
r<br />
∈ ( 1.1,1.5 ), resp. A rdB<br />
∈ ( 1dB,<br />
3dB)<br />
, a to z důvodu urychlení<br />
odezvy. Stejně tak existuje souvislost mezi dobou regulace t r a šířkou pásma propustnosti<br />
ω h , kde platí nepřímá úměrnost. Čím větší je šířka pásma propustnosti, tím rychlejší je<br />
přechodový děj a tím pádem je kratší doba regulace. Doba regulace je omezena vztahem,<br />
neboli nerovností<br />
π 4π<br />
< t<br />
r<br />
< .<br />
ω ω<br />
(3.30)<br />
ř<br />
Pro připomenutí ω ř je úhlová frekvence řezu, při níž je absolutní hodnota<br />
frekvenčního přenosu rovna jedné.<br />
ř<br />
A<br />
[dB]<br />
A r<br />
ω r<br />
ω h<br />
3dB<br />
ω<br />
Obr. 3.14 - Ukazatele kvality regulace z frekvenční charakteristiky<br />
uzavřeného regulačního obvodu<br />
Pro frekvenční návrh uzavřeného regulačního obvodu jsou na frekvenční<br />
charakteristice rozpojeného regulačního obvodu definovány ukazatele kvality regulace<br />
uvedené v [Davidová, 2004]. Jsou to tyto:<br />
• amplitudová bezpečnost δ říká, kolikrát se ještě může zvětšit zesílení v rozpojené<br />
smyčce, než se zpětnovazební systém dostane na mez stability<br />
• fázová bezpečnost γ je dána úhlem frekvenční charakteristiky γ otevřeného<br />
regulačního obvodu při frekvenci ω ř , při kterém se amplituda frekvenční<br />
charakteristiky rovná jedné. Fázová bezpečnost je záporně vzatá změna fáze<br />
otevřeného obvodu, která přivede uzavřený regulační obvod na hranici stability.<br />
Tyto ukazatele kvality regulace jsou znázorněny na obr. 3.15, kde je vyobrazena<br />
frekvenční charakteristika rozpojeného regulačního obvodu.
Strana 40<br />
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů<br />
γ<br />
a) b)<br />
Im<br />
A<br />
[dB]<br />
1/δ<br />
–1<br />
0<br />
0<br />
–20<br />
Re<br />
–40<br />
( ) jω G 0<br />
ωř<br />
–120°<br />
–150°<br />
–180°<br />
–210°<br />
γ<br />
ωř<br />
δ<br />
ω<br />
f<br />
ω<br />
ω<br />
ϕ<br />
[°]<br />
Obr. 3.15 - a) frekvenční charakteristika v komplexní rovině; b) amplitudová a<br />
fázová charakteristika v logaritmických souřadnicích<br />
A<br />
[dB]<br />
–40 dB/dek<br />
–20 dB/dek<br />
∆L<br />
ω 1<br />
–20 dB/dek<br />
ω ř<br />
ω 2<br />
∆L<br />
ω<br />
–40 dB/dek<br />
–60 dB/dek<br />
Obr. 3.16 - Logaritmická frekvenční charakteristika ve formě asymptot<br />
Na obr. 3.16 je vyobrazena logaritmická frekvenční charakteristika ve formě<br />
asymptot. V této formě je to nejčastěji používaná logaritmická charakteristika, protože její<br />
konstrukce je jednoduchá a rychlá. Frekvence ω 1 a ω 2 se nazývají lomové frekvence, tvoří<br />
průsečíky asymptot a jsou na frekvencích, které jsou převrácenými hodnotami časových<br />
konstant regulátoru nebo regulované soustavy.
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 41<br />
3.3.2 Frekvenční metody syntézy<br />
U syntézy uzavřeného regulačního obvodu se upravuje frekvenční charakteristika<br />
rozpojeného obvodu tak, aby výsledná frekvenční charakteristika uzavřené smyčky měla<br />
požadovaný průběh, tedy aby byly splněny ukazatele kvality regulace. Frekvenční<br />
charakteristiku rozpojeného regulačního obvodu můžeme upravovat dvojím způsobem:<br />
• Volbou zesílení rozpojeného regulačního obvodu. Tím vlastně určím konstantu<br />
proporcionálního regulátoru (kap. 3.3.2.1).<br />
• Sériovými korekčními členy. Ideálním sériovým korekčním členem jsou vlastně<br />
regulátory P, PD, PI, popř. PID (kap. 3.3.2.2).<br />
3.3.2.1 Volba zesílení rozpojeného regulačního obvodu<br />
Pro zvolené rezonanční převýšení A r frekvenčního přenosu uzavřeného regulačního<br />
obvodu můžu určit odpovídající zesílení rozpojeného regulačního obvodu. V komplexní<br />
rovině provedu jednoduchou konstrukci (Brown - Campbellova konstrukce).<br />
Brown - Campbellova konstrukce je zobrazena na obr. 3.17. Nakreslím frekvenční<br />
charakteristiku rozpojeného regulačního obvodu se zvoleným zesílením k o . Z počátku vedu<br />
tečnu ke kružnici zvoleného rezonančního převýšení A r . Pak snadno odvodím, že pro úhel<br />
α se zápornou reálnou poloosou platí<br />
1<br />
α = arcsin , . ≥ 1<br />
(3.31)<br />
A r<br />
A r<br />
Sestrojím kružnici se středem na záporné reálné ose tak, aby se dotýkala v jednom bodě<br />
nakreslené frekvenční charakteristiky (bod A) a měla tečnu sestrojenou v bodě B. V bodě<br />
dotyku kružnice a tečny (bod B) vedu kolmici na reálnou osu, přečtu její vzdálenost od<br />
počátku, označím ji x a zesílení přenosu rozpojeného obvodu vyjádřím vztahem<br />
k<br />
oopt<br />
= k<br />
o<br />
1<br />
x<br />
. (3.32)<br />
Im<br />
S<br />
x<br />
A<br />
–1<br />
α<br />
0<br />
Re<br />
B<br />
( ) jω G 0<br />
Obr. 3.17 - Brown - Campbellova konstrukce
Strana 42<br />
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů<br />
Ještě snadněji určím zesílení rozpojené smyčky v logaritmických souřadnicích.<br />
Sestrojím frekvenční charakteristiku rozpojeného regulačního obvodu pro zvolené zesílení<br />
k v logaritmických souřadnicích. Tuto charakteristiku přenesu do Nicholsova diagramu.<br />
Frekvenční charakteristiku kreslím na průsvitku položenou na Nicholsův diagram. Poté<br />
posunu průsvitku s nakreslenou charakteristikou ve směru osy, na nichž je vynesena<br />
amplituda v decibelech přenosu rozpojené smyčky tak, až se v Nicholsově diagramu<br />
dotkne izoplety s hodnotou A rdB . Stejně jako v předchozím případě velikost posunu<br />
označím x [dB]. Optimální zesílení přenosu rozpojené smyčky je<br />
nebo<br />
( k<br />
opt<br />
) = k<br />
dB<br />
+ xdB<br />
dB<br />
k opt<br />
= kx<br />
(3.33)<br />
(3.34)<br />
Zde se hodí uvést také zjednodušený postup. Vyhovující hodnotu zesílení rozpojené<br />
smyčky určím přibližně také tak, že zajistím, aby amplitudová logaritmická frekvenční<br />
charakteristika rozpojené smyčky procházela osou 0 dB při fázi ϕ = −135°<br />
. Tím zajistím<br />
fázovou bezpečnost 45° a hodnota rezonančního převýšení tak bude kolem 1,3. Při tomto<br />
zjednodušení nemusím ani používat Nicholsův diagram. Posun o x decibelů provedu přímo<br />
v logaritmických amplitudových souřadnicích rozpojeného regulačního obvodu.<br />
3.3.2.2 Sériové korekční členy<br />
Jak jsem již zmínil v kapitole 3.3.2, sériovým korekčním členem jsou regulátory P,<br />
PD, PI, popř. PID nebo jimi také mohou být obecné korekční členy nahrazující tyto<br />
regulátory. Jsou to členy, které jsou zapojeny v sérii s ostatními členy a tvoří přímou větev<br />
regulačního obvodu. Syntéza regulačního obvodu ve frekvenční oblasti využívá vlastností<br />
typizované logaritmických amplitudových frekvenční charakteristik (TLAFCH),<br />
především však skutečnosti, že výsledná (TLAFCH) je dána geometrickým součtem<br />
(TLAFCH) jednotlivých členů zařazených do série. Tato skutečnost nám umožňuje snadné<br />
určení korekčního členu.<br />
3.3.2.3 Metoda typizované logaritmické frekvenční charakteristiky<br />
Vlastnosti uzavřeného regulačního obvodu jsou plně určeny frekvenčními<br />
charakteristikami jeho rozpojeného obvodu [Davidová, 2004]. Při návrhu regulačního<br />
obvodu se bere často v úvahu metody využívající frekvenční charakteristiky v<br />
logaritmických souřadnicích, díky kterým je k dispozici lepší náhled na chování systému v<br />
případě, že se některý z jeho parametrů bude měnit. Nevýhodou této i ostatních<br />
frekvenčních metod je fakt, že na časové závislosti (přechodová charakteristika apod.) lze<br />
usuzovat pouze podle nepřímých ukazatelů a k získání odezev je nutné volit zdlouhavý<br />
postup [Suchna, 2005].<br />
Nyní zkusím uvést stručný popis metody. Základem je tzv. žádaná logaritmická<br />
amplitudová frekvenční charakteristika rozpojeného obvodu, která předem splňuje<br />
stanovené požadavky na přesnost a kvalitu regulačního obvodu.
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 43<br />
Podle pravidel, která uvedu dále, můžu sestrojit logaritmickou amplitudovou<br />
charakteristiku rozpojeného obvodu G 0 (jω) dB . Ta splňuje dané požadavky na regulaci (obr.<br />
3.18).<br />
Vezmu-li v úvahu přenos rozpojeného regulačního obvodu G 0 (jω), pro který platí<br />
vztah<br />
a z toho<br />
G<br />
0<br />
( jω) = G ( jω) G ( jω)<br />
G<br />
R<br />
( jω)<br />
R<br />
G<br />
=<br />
G<br />
0<br />
S<br />
S<br />
( )<br />
( )<br />
(3.35)<br />
jω<br />
. (3.36)<br />
jω<br />
Pak pro logaritmické souřadnice platí vztahy<br />
G<br />
R<br />
( jω) = G ( jω) − G ( jω) ,<br />
dB<br />
ϕ<br />
0 dB S dB<br />
ϕ<br />
R<br />
= 0<br />
−ϕ S<br />
(3.37)<br />
(3.38)<br />
Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika se tedy stanoví z rozdílů těchto<br />
charakteristik pro rozpojený regulační obvod a regulovanou soustavu.<br />
Metoda typizované logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky je<br />
vhodným příkladem toho, jak lze frekvenční charakteristiku využít pro návrh spojitého<br />
regulačního obvodu.<br />
A<br />
[dB]<br />
–20 dB/dek<br />
G 0 (jω)<br />
0 dB/dek<br />
–40 dB/dek<br />
ω 1<br />
–20 dB/dek<br />
–20 dB/dek<br />
G S (jω)<br />
ω2<br />
ω3<br />
ω<br />
–20 dB/dek<br />
G R (jω)<br />
0 dB/dek<br />
ω ř<br />
+20 dB/dek<br />
–20 dB/dek<br />
–40 dB/dek<br />
–60 dB/dek<br />
Jak je znázorněno na obr. 3.19, typizovanou logaritmickou amplitudovou<br />
frekvenční charakteristiku lze rozdělit na tři oblasti, a to nízkofrekvenční, středofrekvenční<br />
a vysokofrekvenční.<br />
Nízkofrekvenční oblast je úsek v rozsahu úhlových frekvencí ω ∈< 0,<br />
ω1<br />
> , kde<br />
ω = 1 T je první zlom frekvenční charakteristiky. Tato část je v logaritmických<br />
1<br />
/<br />
Obr. 3.18 - Typizovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika<br />
max
Strana 44<br />
Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů<br />
souřadnicích kreslena se sklony 0 dB/dek, –20 dB/dek, –40 dB/dek. Asymptota<br />
nízkofrekvenční části charakteristiky musí procházet hodnotou 20 log k 0 při frekvenci<br />
ω = 1, kde k 0 je zesílení rozpojeného regulačního obvodu. Tato část charakteristiky určuje<br />
typ regulačního obvodu a mé vliv na přesnost regulačního obvodu v ustáleném stavu.<br />
Středofrekvenční oblast určuje kvalitu přechodového děje. Je to úsek v okolí<br />
průsečíku amplitudové frekvenční charakteristiky rozpojeného regulačního obvodu s osou<br />
0 dB při úhlové frekvenci ω<br />
ř<br />
. Na obr. 3.18 je šířka této části omezena úhlovými<br />
frekvencemi ω ∈< ω ,ω 2 3<br />
> . Z důvodu optimálního průběhu přechodové charakteristiky<br />
uzavřeného regulačního obvodu, je požadovaný skon charakteristiky v okolí úhlové<br />
frekvence ω –20 dB/dek. Úhlovou frekvenci ω stanovíme přibližně podle vztahu<br />
ř<br />
4π<br />
ω , (3.39)<br />
ř<br />
=<br />
tr<br />
kde t r je požadovaná doba regulace.<br />
Šířka středofrekvenční oblasti se volí v rozsahu 0,5 až 0,9 dekády. Čím je šířka oblasti<br />
větší, tím je regulační obvod více tlumen a zároveň je větší i jeho fázová bezpečnost γ.<br />
Vysokofrekvenční oblast začíná pro úhlové frekvence ω = (6 až 8)ω ř . Tato část<br />
nemá podstatný vliv na průběh přechodového děje uzavřeného regulačního obvodu. Její<br />
sklon bývá obvykle –40 dB/dek nebo –60 dB/dek.<br />
Spojení nízkofrekvenční a středofrekvenční oblasti bývá se sklonem asymptoty –40<br />
dB/dek až –60 dB/dek. Stejně tak spojení středofrekvenční a vysokofrekvenční části mívá<br />
sklon asymptot –40 dB/dek až –60 dB/dek.<br />
Metoda typizované amplitudové logaritmické frekvenční charakteristiky<br />
rozpojeného regulačního obvodu se spíše aplikuje při návrhu servomechanismů než u<br />
klasických regulačních obvodů složených z dvojice regulátor - regulovaná soustava. V<br />
tomto případě je totiž struktura obvodu plně dána a volba typu regulátoru a jeho parametrů<br />
je omezen.<br />
ř<br />
A<br />
[dB]<br />
–40 dB/dek<br />
–20 dB/dek<br />
0 dB/dek –40 dB/dek<br />
∆L<br />
ω 1<br />
ω 2<br />
–20 dB/dek<br />
ω ř<br />
ω 3<br />
ω 4<br />
∆L<br />
–40 dB/dek<br />
ω<br />
nízkofrekvenční<br />
oblast<br />
středofrekvenční<br />
oblast<br />
–60 dB/dek<br />
vysokofrekvenční<br />
oblast<br />
Obr. 3.19 - Typizovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika
Strana 45<br />
4 POUŽITÍ FREKVENČNÍCH CHARAKTERISTIK U<br />
DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ<br />
Diskrétní regulační obvody jsou takové, v nichž alespoň jeden člen pracuje<br />
diskrétně, tj. informaci přijímá nebo vydává, eventuálně obojí, v diskrétních časových<br />
okamžicích (zpravidla rovnoměrných - ekvidistantních). Jinými slovy, alespoň jedna<br />
veličina obvodu má tvar posloupnosti diskrétních hodnot. [Švarc, 2002]<br />
Při analýze a syntéze diskrétních regulačních obvodů se zpravidla pracuje s<br />
diskrétními modely spojitých částí regulačních obvodů.<br />
4.1 Frekvenční popis diskrétních systémů<br />
V této části čtvrté kapitoly se budu zabývat frekvenčním popisem diskrétních<br />
regulačních obvodů. Vysvětlím, které pojmy a výpočtové vztahy využiji při analýze a<br />
syntéze regulačních obvodů. Důležité rovněž bude ukázat si postup při konstrukci<br />
frekvenčních charakteristik.<br />
4.1.1 Frekvenční přenos<br />
Nejprve je vhodné uvažovat lineární diskrétní systém, jehož Z - přenos má tvar s<br />
kladnými mocninami z<br />
G<br />
( z)<br />
bm<br />
z<br />
=<br />
a z<br />
+ ... + b1<br />
z + b<br />
+ ... + a z + a<br />
Frekvenční přenos diskrétního systému se potom definuje vztahem<br />
G<br />
n<br />
m<br />
n<br />
Y<br />
ω =<br />
U<br />
( j T )<br />
(4.1)<br />
(4.2)<br />
což je podíl Fourierova obrazu výstupní a Fourierova vstupní funkce. Tento frekvenční<br />
přenos je komplexní funkce bezrozměrné frekvence ωT. Získáme ho ze Z - přenosu G(z)<br />
dosazením<br />
jωT<br />
z = e<br />
(4.3)<br />
tedy<br />
G j T = G z<br />
(4.4)<br />
Frekvenční přenos diskrétního systému je (na rozdíl od frekvenčního přenosu<br />
spojitého systému) periodická funkce frekvence ωT s periodou 2π<br />
1<br />
( jωT<br />
)<br />
( jωT<br />
)<br />
( ) ( ) jωT<br />
ω<br />
z=<br />
e<br />
( jωT<br />
) = G[ j( ωT<br />
+ kπ<br />
)]<br />
G 2<br />
0<br />
0<br />
(4.5)
Strana 46<br />
Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů<br />
4.1.2 Frekvenční charakteristika v komplexní rovině<br />
Frekvenční charakteristika diskrétního systému v komplexní rovině je grafické<br />
znázornění frekvenčního přenosu G(jωT) v závislosti na bezrozměrné frekvenci ωT, která<br />
se mění obecně od 0 do 2π (z důvodu toho, že se jedná o periodickou funkci, její průběh by<br />
se opakoval) a znázorňuje se v komplexní rovině. Snadno lze zjistit, že frekvenční<br />
charakteristika je souměrná podle reálné osy [Švarc, 2002]. Vzhledem k této souměrnosti a<br />
k periodičnosti G(jωT) ji stačí znázorňovat a počítat v rozsahu<br />
0 ≤ ωT<br />
≤ π<br />
(4.6)<br />
Na obr. 4.1 je právě znázorněn příklad zobrazení frekvenční charakteristiky v<br />
komplexní rovině diskrétního regulačního obvodu.<br />
a) b)<br />
Im<br />
Im<br />
ωT=π/2<br />
ωT=2<br />
Re<br />
ωT=π/2<br />
ωT=0<br />
Re<br />
ωT=π<br />
Obr. 4.1 - Frekvenční charakteristika v komplexní rovině<br />
4.1.3 Logaritmická frekvenční charakteristika<br />
Jak je uvedeno v [Davidová, 2002], k sestrojení amplitudové a fázové frekvenční<br />
charakteristiky v logaritmických souřadnicích se využívá vztah<br />
pak<br />
G<br />
1+<br />
jΩ<br />
z =<br />
, (4.7)<br />
1−<br />
jΩ<br />
( jΩ) = G( z)<br />
1+<br />
jΩ<br />
z=<br />
1−<br />
jΩ<br />
Pro vyjádření amplitudové části frekvenční charakteristiky G( jΩ ) dB<br />
lze použít asymptot<br />
jako u spojitých systémů, protože<br />
(4.8)
Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů Strana 47<br />
Ω = tg ωT<br />
2<br />
(4.9)<br />
a frekvenčnímu rozsahu ω T ∈< 0,<br />
π > odpovídá frekvenční rozsah modifikované<br />
frekvence Ω ∈< 0 , ∞ > .<br />
4.2 Analýza diskrétních systémů frekvenčními metodami<br />
V této kapitole budou analyzovány vlastnosti diskrétních systémů. Stejně jako u<br />
spojitých sytému, analýza diskrétních systémů se orientuje na stabilitu regulačního obvodu.<br />
Budou analyzovány různé popisy řízených systémů a uvedu zde některé metody určení<br />
vlastností a stability systému.<br />
4.2.1 Stabilita regulačních obvodů<br />
Pro diskrétní systémy platí stejná definice stability jako pro každý lineární systém:<br />
Systém je stabilní, jestliže se po odeznění budicího signálu vrátí do rovnovážného<br />
stavu. Názorně zobrazeno je to na obr. 4.2 a matematicky zapsáno (už pro diskrétní<br />
systémy)<br />
( k ) 0<br />
lim y hom<br />
=<br />
k →∞<br />
(4.10)<br />
y hom (k)<br />
k<br />
Obr. 4.2<br />
Tato definice bývá pro diskrétní systémy často uváděna v trochu odlišné formě, a to:<br />
Obvod je stabilní, jestliže odezva na omezenou (konečnou) vstupní veličinu je opět<br />
omezená (konečná) výstupní veličina.<br />
Vezmu-li v úvahu diskrétní regulační obvod podle obr 4.3., jeho přenos řízení je dán<br />
vztahem
Strana 48<br />
Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů<br />
Gw<br />
( z)<br />
Y<br />
=<br />
U<br />
( z)<br />
( z)<br />
GR<br />
=<br />
1+<br />
G<br />
( z) GS<br />
( z)<br />
( z) G ( z)<br />
R<br />
S<br />
(4.11)<br />
T<br />
y(k)<br />
T<br />
T<br />
w(t) e(t) G G S (s)<br />
y(t)<br />
R (z)<br />
Obr. 4.3<br />
Tento vztah je možné si vyjádřit jako podíl polynomů s kladnými mocninami z<br />
G<br />
w<br />
( z)<br />
Y<br />
=<br />
U<br />
( z)<br />
( z)<br />
m<br />
( z) GS<br />
( z)<br />
bm<br />
z + ... + b1<br />
z +<br />
=<br />
n<br />
R<br />
( z) GS<br />
( z) anz<br />
+ ... a1z<br />
+<br />
0<br />
GR<br />
b<br />
=<br />
1+<br />
G<br />
a<br />
0<br />
(4.12)<br />
Pro odvození obecné podmínky stability, převedu Z - přenos řízení (4.12) na diferenční<br />
rovnici řízení<br />
a<br />
y<br />
( k + n) + ... + a y( k + 1) + a y( k ) = b w( k + m) + ... + b w( k + ) + b w( k )<br />
n 1 0<br />
m<br />
1<br />
1<br />
0<br />
(4.13)<br />
Na základě této rovnice mohu stanovit průběh regulované veličiny y(k) při různých<br />
změnách řídicí veličiny eventuálně poruchy. Přechodný děj při těchto změnách je dán<br />
řešením této rovnice a toto řešení má tvar<br />
( k ) y ( k ) + y ( k )<br />
kde y hom<br />
( k)<br />
je řešení homogenní rovnice a ( k)<br />
y<br />
= hom<br />
(4.14)<br />
y part<br />
je partikulární integrál daný pravou<br />
stranou rovnice (4.13). Partikulární integrál závisí čistě na vstupující řídicí nebo poruchové<br />
veličině a na stabilitu nemá vliv, protože stabilita je posuzována až po skončení působení<br />
vzruchu, který vyvedl regulační obvod z rovnovážného stavu. Důležitá je tedy pouze první<br />
část řešení diferenční rovnice a to je y hom<br />
( k)<br />
. Řeším tedy homogenní rovnici k rovnici<br />
(4.13)<br />
part<br />
a n<br />
0<br />
y<br />
( k + n) + + a y( k + 1) + a y( k) 0<br />
...<br />
0<br />
1<br />
=<br />
(4.15)<br />
K získání tohoto řešení nejprve sestavím charakteristickou rovnici k dané diferenční<br />
rovnici (budu zde používat symbol z)<br />
a<br />
n<br />
z<br />
n<br />
+ ... + a z + a0<br />
1<br />
=<br />
(4.16)
Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů Strana 49<br />
a určím kořeny z 1 , z 2 , … z n .<br />
Charakteristická rovnice (4.13) respektive její levá strana se objevuje ve<br />
jmenovateli přenosu řízení (4.12) a proto je charakteristická rovnice také<br />
( z) G ( ) 0<br />
1 + G z =<br />
R<br />
S<br />
(4.17)<br />
Jsou-li kořeny charakteristické rovnice všechny různé (násobné kořeny), je řešení<br />
homogenní diferenční rovnice (4.15) dáno rovnicí<br />
k k<br />
k<br />
( k ) = C z + C z + ... C z<br />
y +<br />
hom<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
n<br />
n<br />
(4.18)<br />
Vztah pro limitu tohoto řešení je<br />
lim y hom<br />
k =<br />
Aby byla splněna podmínka stability ( ) 0<br />
rovnice<br />
k →∞<br />
k<br />
k<br />
k<br />
( k ) = C lim z + C lim z + ... + C lim z<br />
lim yhom<br />
1<br />
2<br />
1<br />
k →∞<br />
k→∞<br />
2<br />
k→∞<br />
n<br />
k→∞<br />
n<br />
(4.19)<br />
, musí být kořeny charakteristické<br />
z i<br />
< 1<br />
pro i = 1, 2, … n (4.20)<br />
Určením kořenů z1 , z2 , … zn. je možné<br />
vyslovit obecnou podmínku stability<br />
diskrétních regulačních obvodů, která se<br />
trochu liší od obecné podmínky stability<br />
spojitých obvodů a je uvedena v [Švarc,<br />
2003]: Diskrétní obvod je stabilní, ležíli<br />
kořeny charakteristické rovnice<br />
1 + G R (z)G S (z) = 0 uvnitř jednotkové<br />
kružnice. Tato definice je graficky<br />
znázorněna na obr. 4.4<br />
nestabilní<br />
oblast<br />
–1<br />
j<br />
Im<br />
stabilní<br />
oblast<br />
na hranici<br />
stability<br />
1<br />
Re<br />
–j<br />
Obr. 4.4<br />
4.2.2 Michajlov-Leonhardovo kritérium<br />
Michajlov - Leonhardovo kritérium pro diskrétní regulační obvod se také někdy<br />
označuje jako křivkové kritérium. Stejně jako u spojitých systému je z charakteristické<br />
rovnice (4.16) sestavena charakteristická funkce diskrétního regulačního obvodu<br />
H<br />
n<br />
( z) = a z + ... + a1z<br />
a0<br />
n<br />
+<br />
(4.21)
Strana 50<br />
Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů<br />
U Michajlov-Leonhardova kritéria pro spojité obvody se do charakteristické funkce<br />
n<br />
H ( s) = an s + ... + a0<br />
spojitého obvodu za proměnnou s dosadí s = jω, tj. mez stability.<br />
Podobně je tomu u charakteristické funkce H(z) diskrétního obvodu, kdy se za proměnnou<br />
z příslušné hranice stability dosazuje jednotková kružnice, jak je uvedeno v (4.22)<br />
z = e<br />
sT<br />
= e<br />
jωT<br />
= cos ωT<br />
+<br />
j sin ωT<br />
(4.22)<br />
Touto substitucí lze dostat funkce bezrozměrné proměnné ωT<br />
H<br />
+<br />
nωT<br />
nωT<br />
j<br />
j<br />
( jωT<br />
) = ane<br />
+ ... + a1e<br />
+ a0<br />
= an<br />
( cos nωT<br />
+ j sin nωT<br />
) + ... + a1( cosωT<br />
+ j sin ωT<br />
)<br />
a = a cos nωT<br />
+ ... + a cosωT<br />
+ a + j( a sin nωT<br />
+ ... + a sin ωT<br />
)<br />
0<br />
n<br />
1<br />
0<br />
1444442<br />
444443<br />
Re<br />
( ωT<br />
)<br />
n<br />
1<br />
14444244443<br />
(4.23)<br />
ke které se sestrojí křivka H(jωT), podobně jako se sestrojovala frekvenční charakteristika<br />
k jakémukoliv frekvenčnímu přenosu spojitého systému.<br />
Skutečnost, zda je regulační obvod stabilní, lze zjistit podle definice uvedené v<br />
[Švarc, 2003]: Diskrétní obvod je stabilní, když křivka H(jωT) začíná na kladné reálné<br />
poloose a průvodič H opíše v kladném smyslu úhel πn (n.180°) (n je stupeň<br />
charakteristické rovnice) - (obr. 4.5).<br />
Im<br />
( ωT<br />
)<br />
+<br />
Im<br />
H(jωT)<br />
π 0<br />
Re<br />
Obr. 4.5
Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů Strana 51<br />
4.2.3 Nyquistovo kritérium<br />
Z frekvenčních kritérií se u spojitých systémů nejčastěji používá kritérium<br />
Nyquistovo. Také diskrétní regulační obvody se mohou pyšnit tímto kritériem, nicméně se<br />
diskrétní verze Nyquistova kritéria stability používání spíše zřídka, protože je k výpočtu a<br />
konstrukci křivek zapotřebí vhodný software. Ten ovšem není podmínkou, ale bez něj se<br />
stává výpočet příliš pracný. Proto zde řešení Nyquistova kritéria jen nastíním.<br />
Jedná se pochopitelně o frekvenční charakteristiku rozpojeného obvodu,<br />
sestrojovanou pro bezrozměrnou frekvenci ωT od 0 do π, protože pak je od π do 2π<br />
symetrická podle reálné osy a dál se její průběh periodicky opakuje.<br />
Pokud je uvažován jednoduchý diskrétní regulační obvod uvedený na obr. 4.6, pak<br />
pro určení stability je potřeba stanovit přenos sériového zapojení regulátor - tvarovač -<br />
regulovaná soustava, a to jako z-přenos G(z).<br />
w<br />
G R (z)<br />
T<br />
G<br />
T<br />
tvarovač<br />
( s)<br />
e<br />
= 1−<br />
s<br />
−sT<br />
G S (s)<br />
y<br />
T<br />
Obr. 4.6 - Diskrétní regulační obvod<br />
Po odvození uvedeném v [Davidová, 2002] je výsledný vztah pro z-přenos<br />
rozpojeného diskrétního regulačního obvodu<br />
−1<br />
⎧GS<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
( s)<br />
⎫<br />
G0 z = GR<br />
z ⋅GS<br />
z = GR<br />
z ⋅ 1−<br />
z ⋅ Z⎨<br />
⎬<br />
(4.24)<br />
⎩ s ⎭<br />
Aby bylo možné sestrojit frekvenční charakteristiku nutnou k určení stability, je<br />
třeba za hodnotu z dosadit výraz (4.22), čímž se stanoví frekvenční přenos diskrétního<br />
systému G(jωT) a z něho se vykreslí frekvenční charakteristika buď v komplexní rovině<br />
nebo v logaritmických souřadnicích.<br />
Při určováni stability diskrétního regulačního obvodu Nyquistovým kritériem platí<br />
stejná pravidla, jako pro spojité regulační obvody, tedy o stabilitě rozhoduje poloha<br />
kritického bohu –1 vzhledem k této charakteristice.<br />
Pro představu, jak diskrétní verzi Nyquistova kritéria řešit, pro názornost uvedu v kapitole<br />
5 příklad.<br />
4.3 Syntéza regulačních obvodů<br />
Na rozdíl od spojitých obvodů, v diskrétních regulačních obvodech je zapotřebí brát<br />
v úvahu další důležitý parametr. Je to vzorkovací perioda T a její velikost se obvykle volí<br />
na základě dynamických vlastností regulované soustavy. Pro určení hodnoty vzorkovací<br />
periody se využívá některý z těchto empirických vztahů [Balátě, 2003]
Strana 52<br />
Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů<br />
T<br />
T<br />
T<br />
T1<br />
≈ ,<br />
10<br />
⎛ 1 1 ⎞<br />
≈ ⎜ ÷ ⎟T<br />
⎝15<br />
6 ⎠<br />
⎛ 1 1 ⎞<br />
≈ ⎜ ÷<br />
⎝ 4 2 ⎠<br />
⎟∑<br />
95<br />
,<br />
τ ,<br />
j<br />
(4.25)<br />
(4.26)<br />
(4.27)<br />
kde T 1 je největší časová konstanta regulované soustavy, T 95 je doba, za kterou přechodová<br />
charakteristika regulované soustavy dosáhne 95% ustálené hodnoty a ∑τ j<br />
je součet<br />
časových konstant regulované soustavy. Vztah (4.26) se používá pro nekmitavou<br />
proporcionální regulovanou soustavu.<br />
V případě velkého dopravního zpoždění regulované soustavy se vzorkovací perioda<br />
stanovuje podle vzorce [Isermann, 2003]<br />
⎛ 1 1 ⎞<br />
T ≈ ⎜ ÷ ⎟ Td ,<br />
⎝ 8 3 ⎠<br />
nebo vztahu [Vítečková, 1998]<br />
T < 0,32Td<br />
,<br />
(4.28)<br />
(4.29)<br />
kde T d je hodnota dopravního zpoždění.<br />
Za vhodnou se považuje taková velikost vzorkovací periody, při které nedojde ke<br />
zhoršení kvality regulace o více než 15% ve srovnání s použitým analogickým spojitým<br />
regulátorem. Pokud je vzorkovací perioda příliš malá, zvyšuje se nárok na rychlost nejen<br />
číslicového regulátoru, ale rovněž převodníků a měřícího a akčního členu. Naopak<br />
zvětšováním vzorkovací periody dochází ke ztrátě informace v regulované veličině mezi<br />
jednotlivými okamžiky vzorkování, což vede k destabilizaci regulačního obvodu [Balátě,<br />
2003].<br />
Při návrhu diskrétního regulačního obvodu uvažujeme jednoduchý obvod, uvedený<br />
na obr. 4.6, který obsahuje spojitou regulovanou soustavu a před ní umístěný tvarovač.<br />
Spojitá regulovaná soustava je popsána z-přenosem, jež bude v dalším textu<br />
označován G S (z) a určí se podle vztahu uvedeném např. v [Balátě, 2003] a také v kapitole<br />
4.2.3 a po zjednodušení je sejný jako vztah (4.24).<br />
4.3.1 Typizovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika<br />
Metodu typizované logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky<br />
(TLAFCH) pro spojité regulační obvody jsem zpracoval v kapitole 3.3.2.3. Zde jsem uvedl<br />
návrh parametrů spojitých regulátorů. V této kapitole se pokusím zpracovat tuto metodu<br />
pro diskrétní regulační obvod. Tato metoda byla takto zpracována a publikována pouze v<br />
[Davidová, 2004].
Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů Strana 53<br />
Princip metody (TLAFCH) pro diskrétní regulační obvody je stejný jako v kapitole<br />
3.3.2.3, kde je tato metoda zpracována pro spojité regulační obvody.<br />
Je-li frekvenční přenos rozpojeného regulačního obvodu určen vztahem<br />
G<br />
0<br />
( jΩ) = G ( jΩ) G ( jΩ)<br />
R<br />
S<br />
, (4.30)<br />
pak přenos regulátoru je dán<br />
( jΩ)<br />
G<br />
=<br />
G<br />
( jΩ)<br />
( jΩ)<br />
což se v logaritmických souřadnicích vyjádří vztahem<br />
G<br />
R<br />
0<br />
S<br />
, (4.31)<br />
G<br />
R<br />
( jΩ) = G ( jΩ) − GS<br />
( jΩ) dB 0 dB<br />
dB<br />
. (4.32)<br />
Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika se tedy stanoví z rozdílů<br />
těchto charakteristik pro rozpojený regulační obvod a regulovanou soustavu. Typ a<br />
parametry regulátoru lze určit podle frekvencí zlomů a sklonů asymptot frekvenčního<br />
přenosu G R (jΩ), který se převede na z-přenos číslicového korekčního členu.<br />
Při sestrojování amplitudové frekvenční charakteristiky v logaritmických<br />
souřadnicích vycházíme z frekvenčního přenosu G S (jΩ). Pro určení frekvenčního přenosu<br />
je možné použít metodiku, která vychází z toho, že frekvenční charakteristiku lze rozdělit<br />
na dvě oblasti. První je charakteristika v oblast nízkých frekvencí a druhá v oblasti<br />
vysokých frekvencí.<br />
V oblasti nízkých frekvencí je dle odvozených vzorců uvedených v [Davidová,<br />
2004] zřejmé, že logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika spojité regulované<br />
soustavy se v této oblasti shoduje s logaritmickou amplitudovou frekvenční charakteristiku<br />
spojité regulované soustavy s tvarovačem na vstupu. Proto je možné použít metodiku<br />
sestrojování frekvenční charakteristiky, která byla použita pro spojité systémy.<br />
Začátek logaritmické frekvenční charakteristiky v oblasti vysokých frekvencí<br />
splývá s koncem této charakteristiky v oblasti vysokých frekvencí.<br />
Nyní zde popíšu sestrojení typizované logaritmické frekvenční charakteristiky<br />
rozpojeného regulačního obvodu. Stejně jako u spojitých systémů platí, že průběh<br />
nízkofrekvenční části charakteristiky určuje přesnost regulace v ustáleném stavu (velikosti<br />
trvalé regulační odchylky) a středofrekvenční část charakteristiky určuje dynamické<br />
vlastnosti uzavřeného regulačního obvodu. Na obr. 4.7 je uveden příklad tvaru<br />
charakteristiky se zakreslenými významnými lomovými frekvencemi. Snahou je, aby<br />
zvolený postup konstrukce této charakteristiky byl co možná nejjednodušší. Nejprve tady<br />
vypočítám frekvenci řezu Ω<br />
ř<br />
, při které asymptota protíná osu 0 dB. Tu stanovím na<br />
základě předpokládané doby regulace t r podle vztahu<br />
π<br />
Ω<br />
. (4.33)<br />
ř<br />
= ( 1 ÷ 4)<br />
t<br />
r<br />
Tímto bodem vedu asymptotu se sklonem –20 dB/dek, která tvoří středofrekvenční oblast<br />
typizované charakteristiky. K určení frekvencí ohraničujících středofrekvenční oblast<br />
použiji vztahy pro spojité systémy aplikované na diskrétní systémy
Strana 54<br />
Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů<br />
Ω<br />
Ω<br />
2<br />
≈<br />
( 2 ÷ )<br />
3<br />
4<br />
Ω<br />
≈<br />
Ω<br />
2<br />
ř<br />
3<br />
Ω<br />
ř<br />
(4.34)<br />
(4.35)<br />
A<br />
[dB]<br />
0 dB/dek<br />
–40 dB/dek<br />
–20 dB/dek<br />
Ω 3<br />
2 /( T − 2T∑<br />
)<br />
Ω 1<br />
Ω 2<br />
Ω ř<br />
Ω<br />
–40 dB/dek<br />
–60 dB/dek<br />
Obr. 4.7 - Typizovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika<br />
Podle vztahu (4.34) určím lomovou frekvenci Ω 3 z rozmezí hodnot, což umožňuje volit<br />
fázovou bezpečnost, neboť ta je na šířce středofrekvenční oblasti závislá. Čím se volí větší<br />
hodnota koeficientu z intervalu od 2 do 4, tím je větší také fázová bezpečnost. Podle<br />
vztahu (4.38) se stanoví lomová frekvence Ω 2 . Jelikož výraz neobsahuje rovnítko, i zde je<br />
možná případná úprava hodnoty této frekvence. Pokud totiž některá z převrácených hodnot<br />
časových konstant regulované soustavy se této vypočítané hodnotě blíží, je lepší použít<br />
tuto. Totéž platí i pro lomovou frekvenci Ω 3 . Je to z důvodu toho, že čím více se<br />
typizovaná frekvenční charakteristika rozpojeného regulačního obvodu svým tvarem blíží<br />
k tvaru charakteristiky regulované soustavy, tím je navrhovaný korekční člen jednodušší.<br />
Z bodu tvořícího začátek středofrekvenční oblasti se sestrojí asymptota o sklonu –<br />
40 dB/dek, případně –60 dB/dek. Její průsečík s frekvenční charakteristikou regulované<br />
soustavy určí lomovou frekvenci Ω 1 , která tvoří konec nízkofrekvenční oblasti. Sklon<br />
asymptoty v nízkofrekvenční oblasti se volí na základě požadovaného řádu integrace<br />
rozpojeného regulačního obvodu. Jestliže je regulovaná soustava proporcionální a chceme<br />
dosáhnout regulace s nulovou regulační odchylkou, pak je třeba volit sklon charakteristiky<br />
v nízkofrekvenční oblasti –20 dB/dek. Je-li však regulovaná soustava integrační s řádem<br />
integrace 1, případně 2, pak je výhodné, aby nízkofrekvenční část typizované<br />
charakteristiky splývala s počátkem charakteristiky regulované soustavy a měla tedy sklon<br />
–20 dB/dek, resp. –40 dB/dek.
Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů Strana 55<br />
Sklon asymptot ve vysokofrekvenční oblasti se ukázalo vhodné volit stejný jako u<br />
asymptot frekvenčních charakteristik regulované soustavy.<br />
Při určování parametrů číslicového regulátoru, popř. korekčního členu, se provede<br />
grafické sestrojení logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky podle vztahu<br />
(4.32), tedy jako rozdíl amplitudové frekvenční charakteristiky rozpojeného obvodu<br />
(typizované) a regulované soustavy, jak je vyobrazeno na obr. 4.8. Na základě tvaru této<br />
charakteristiky, podle frekvencí zlomů a sklonů asymptot, se stanoví frekvenční přenos<br />
G R (jΩ).<br />
A<br />
[dB]<br />
G S (jω)<br />
Ω1<br />
Ω 2<br />
Ω3<br />
Ω ř<br />
Ω 4<br />
Ω5<br />
Ω6<br />
Ω<br />
G R (jω)<br />
G 0 (jω)<br />
Obr. 4.8 - Sestrojení logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky<br />
číslicového regulátoru<br />
4.3.2 Metoda transformovaných frekvenčních charakteristik<br />
Mezi metody syntézy diskrétních regulačních obvodů, které jsou vhodné i pro<br />
průmyslovou praxi, patří metoda transformovaných frekvenčních charakteristik uvedená v<br />
[Černý, 1984], [Zeman, 1987]. Pro regulační obvod na obr. 4.6 se na základě vztahu (4.32)<br />
určí z-přenos spojité regulované soustavy G S (z). Vzájemný vztah mezi operátorem s a<br />
operátorem z je dán rovnicí<br />
T<br />
1+<br />
s<br />
sT<br />
z = e ≈ 2<br />
(4.36)<br />
T<br />
1−<br />
s<br />
2
Strana 56<br />
Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů<br />
Vzhledem k tomu, že frekvenční charakteristika soustavy je transcendentní funkcí<br />
proměnné jω, je znesnadněno přímé sestrojení frekvenční charakteristiky diskrétního<br />
systému pouhým dosazením s=jω. Proto se zavádí operátor q, který je definován<br />
transformací<br />
T<br />
1+<br />
q<br />
z = 2<br />
T<br />
1−<br />
q<br />
2<br />
2<br />
q =<br />
T<br />
. (4.37a,b)<br />
Vztahy (4.36) a (4.37) představují vzájemné zobrazení komplexních rovin Z, S a Q.<br />
Pomocí těchto transformací se levá komplexní polorovina roviny S převede do vnitřní části<br />
jednotkové kružnice roviny Z. Body s=jω, které leží na imaginární ose roviny S, se<br />
transformují na body q=jΩ, které leží rovněž na imaginární ose, ovšem roviny Q.<br />
Transformovaný přenos v proměnné q se stanoví ze vztahu (4.32) dosazením<br />
transformace (4.37a) za hodnotu<br />
z<br />
z<br />
−1<br />
+ 1<br />
G<br />
S<br />
−1<br />
⎧GS<br />
( ) ( )<br />
( s)<br />
q = 1−<br />
z ⋅ Z<br />
⎨<br />
⎩<br />
s<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
T<br />
1+<br />
q<br />
z=<br />
2<br />
T<br />
1−<br />
q<br />
2<br />
(4.38)<br />
Při praktickém výpočtu se přenos G S (s) rozloží na parciální zlomky a potom lze pro<br />
výpočet transformovaného přenosu G S (q) použít tabulku 4.1 převzatou z [Černý, 1984]. V<br />
ní jsou uvedeny základní typy přenosů a jim příslušející jednotlivé transformované<br />
přenosy.<br />
Transformovaný frekvenční přenos se určí dosazením<br />
q = jΩ<br />
(4.39)<br />
do transformovaného přenosu G S (q). Z něho se sestrojí amplitudová, případně fázová<br />
transformovaná logaritmická frekvenční charakteristika stejným postupem jako v případě<br />
spojitých systémů.
Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů Strana 57<br />
Tabulka 4.1 - Transformované přenosy<br />
Č. G S (s) G S (q)<br />
1<br />
1 s<br />
T<br />
1− q<br />
2<br />
q<br />
1<br />
2 2<br />
s<br />
T<br />
1−<br />
q<br />
2<br />
2<br />
q<br />
1<br />
3 1+<br />
s<br />
T 1<br />
T<br />
1−<br />
q<br />
2<br />
*<br />
1+<br />
T q<br />
1<br />
1<br />
4 ( ) 2<br />
1+ T s<br />
1<br />
⎛ T ⎞⎡<br />
⎛ T<br />
⎜1<br />
− q⎟⎢1<br />
+<br />
2<br />
⎜<br />
⎝ ⎠⎢⎣<br />
⎝ 2T<br />
*<br />
( 1+<br />
T q) 2<br />
1<br />
1<br />
T<br />
2T<br />
*<br />
1<br />
⎞<br />
− β<br />
⎟T<br />
⎠<br />
*<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
1<br />
5 ( 1+<br />
T s)<br />
s<br />
1<br />
1<br />
6 2 ( 1+<br />
T s)<br />
s<br />
1<br />
1<br />
7 ( 1+<br />
s)( + T s)<br />
T1 1<br />
2<br />
⎛ T ⎞<br />
⎜1<br />
− q⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
q<br />
⎛ T ⎞<br />
⎜1<br />
− q⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
q<br />
( 1+<br />
T β q)<br />
*<br />
( 1+<br />
T q)<br />
⎛ T ⎞⎛<br />
T1T<br />
2<br />
⎜1<br />
− q⎟<br />
1<br />
2<br />
⎜ +<br />
⎝ ⎠⎝<br />
T1<br />
− T<br />
1<br />
2 2<br />
( 1+<br />
T1<br />
β q − T1<br />
β q )<br />
2 *<br />
( 1+<br />
T q)<br />
*<br />
*<br />
( 1+<br />
T q)( 1+<br />
T q)<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
( β − β )<br />
2<br />
2<br />
1<br />
⎞<br />
q<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
8 ( 1+ T s)( + T s)<br />
⎜1<br />
q⎟⎢1<br />
+ ( T1β<br />
1<br />
+ T2β<br />
2<br />
)<br />
s<br />
1<br />
1<br />
2<br />
Poznámka:<br />
T<br />
⎛ T −<br />
⎝ 2<br />
*<br />
i<br />
⎞⎡<br />
⎠⎣<br />
i<br />
q<br />
⎛ T1<br />
β1<br />
− T2β<br />
2<br />
⎞<br />
q +<br />
⎜ β1β<br />
2<br />
+<br />
T1T<br />
2q<br />
T1<br />
T<br />
⎟<br />
⎝<br />
−<br />
2 ⎠<br />
*<br />
*<br />
( 1+<br />
T q)( 1+<br />
T q)<br />
T T<br />
= h<br />
2 2T<br />
= T<br />
β<br />
i − 1<br />
Ti* <br />
1<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
2
Strana 58<br />
Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů<br />
Pokud je splněna podmínka<br />
ωT<br />
2 ≤ 0,25<br />
pak je ω ≈ Ω a současně platí přibližný vztah<br />
, (4.40)<br />
G<br />
S<br />
( jΩ) ≈ G ( jω)<br />
S<br />
. (4.41)<br />
To znamená, že transformovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika<br />
(LAFCH)souhlasí přibližně s touto charakteristikou spojitého systému bez vzorkování při<br />
dané době vzorkování T při frekvencích<br />
2<br />
Ω ≤ 0,25 . (4.42)<br />
T<br />
Při určování parametrů číslicového regulátoru se vychází z jeho LAFCH, která se stanoví<br />
na základě LAFCH rozpojeného regulačního obvodu G 0 (jΩ), jež musí mít požadovaný<br />
průběh v nízkofrekvenční a středofrekvenční oblasti (podobně jako u spojitých systémů) a<br />
LAFCH regulované soustavy G S (jΩ) podle vztahu (4.32). Podle tvaru frekvenční<br />
charakteristiky regulátoru se určí transformovaný přenos regulátoru G R (q), do něhož se<br />
dosadí transformační vztah (4.40b) a získá se tak z-přenos regulátoru<br />
G<br />
R<br />
( z) = G ( z)<br />
R<br />
2 z−1<br />
q=<br />
T z+<br />
1<br />
(4.43)<br />
Z LAFCH rozpojeného regulačního obvodu lze odečíst frekvenci řezu Ω ř , z které je možné<br />
stanovit dobu regulace t r vztahem<br />
t r<br />
≈ , 5<br />
(4.44)<br />
Ω<br />
1 ř<br />
γ<br />
Velikost překmitu σ na přechodové charakteristice, udávaná v procentech, je dána fázovou<br />
bezpečností γ podle rovnice<br />
.<br />
σ = 70 −<br />
(4.45)
Strana 59<br />
5 POUŽITÍ VYBRANÝCH METOD NA PŘÍKLADECH<br />
V této kapitole uvedu příklady použití frekvenčních charakteristik při analýze a<br />
syntéze regulačních obvodů. Ukážu zde i příklady, na kterých budu demonstrovat diskrétní<br />
verze metod, které jsem v předchozí kapitole uvedl, kvůli jejich náročnosti, jen stručně.<br />
Uvedu zde tyto metody:<br />
• Michajlov-Leonhardovo kritérium pro spojité regulační obvody<br />
• Nyquistovo kritérium pro spojité regulační obvody<br />
• Michajlov-Leonhardovo kritérium pro diskrétní regulační obvody<br />
• Nyquistovo kritérium pro diskrétní regulační obvody<br />
• Metoda transformovaných frekvenčních charakteristik<br />
Z důvodu omezeného rozsahu diplomové práce, mohu uvést příklady pouze v<br />
omezeném množství. Rovnice a grafy byly zpracovány v programu Microsoft Office Excel<br />
2003, tyto poznámky jsou na přiloženém CD uvedeny v souboru (Výpočty a grafy.doc).<br />
5.1 Příklady pro spojité regulační obvody<br />
Zde uvedu dvě kritéria na analýzu regulačního obvodu, a to Michajlov-<br />
Leonhardovo a Nyquistovo.<br />
5.1.1 Michajlov-Leonhardovo kritérium<br />
Příklad 5.1: Podle obr. 5.1 určete stabilitu regulačního obvodu podle pomocí Michajlov-<br />
Leonhardova kritéria.<br />
v<br />
G S<br />
( s)<br />
=<br />
s<br />
1<br />
( 0,1s<br />
+ 1)( 0,5s<br />
+ 1)<br />
1<br />
G R<br />
1<br />
⎝ 0,5s<br />
⎛<br />
⎞<br />
( s) = 40 ⎜1+<br />
+ 0, s⎟ ⎠<br />
Obr. 5.1<br />
y<br />
w<br />
Řešení:<br />
Nejprve určím přenos rozpojeného obvodu, který ze známého vztahu<br />
( s) = G ( s) ⋅G<br />
( s)<br />
G0 S R<br />
je<br />
G<br />
0<br />
( s)<br />
=<br />
s<br />
1<br />
⎛<br />
40⎜1<br />
+<br />
⎝<br />
1<br />
0,5<br />
⎞<br />
+ 0,1s<br />
⎟ =<br />
⎠<br />
4s<br />
4 3 2<br />
( 0,1s<br />
+ 1)( 0,5s<br />
+ 1) s 0,05s<br />
+ 0,6s<br />
+ s<br />
2<br />
+ 40s<br />
+ 80
Strana 60<br />
Použití vybraných metod na příkladech<br />
Dále vyjádřím charakteristickou rovnici<br />
0,05s<br />
Michajlův-Leonhardův vektor je<br />
Tabulka 5.1<br />
H<br />
ω Re Im<br />
4<br />
3 2<br />
+ 0,6s<br />
+ 5s<br />
+ 40s<br />
+ 80 = 0<br />
4<br />
3<br />
2<br />
( jω) = 0,05( jω) + 0,6( jω) + 5( jω) + 40( jω)<br />
4 2<br />
= 0,05<br />
14<br />
ω<br />
44<br />
−<br />
2<br />
5<br />
4<br />
ω<br />
44<br />
+<br />
3<br />
80 +<br />
Re<br />
0 80 0<br />
0,5 78,75 19,93<br />
1 75,05 39,4<br />
2 60,8 75,2<br />
3 39,05 103,8<br />
5 -13,75 125<br />
7 -44,95 74,2<br />
8 -35,2 12,8<br />
9 3,05 -77,4<br />
9,5 36,00 -134,43<br />
10 80 -200<br />
10,2 101 -228,73<br />
3<br />
( 40ω<br />
− 0,6ω<br />
)<br />
j<br />
144<br />
2443<br />
Im<br />
+ 80 =<br />
K tomuto výrazu sestrojím na základě<br />
tabulky 5.1 Michajlov.Leonhardovu křivku H(jω)<br />
- obr. 5.2. Protože stupeň charakteristické rovnice<br />
je n=4 a křivka prochází v kladném smyslu<br />
čtyřmi za sebou jdoucími kvadranty, je regulační<br />
obvod stabilní.<br />
150<br />
Im<br />
100<br />
50<br />
0<br />
-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120<br />
-50<br />
-100<br />
Re<br />
-150<br />
-200<br />
-250<br />
Obr. 5.2 - Michajlov-Leonhardova křivka H(jω)
Použití vybraných metod na příkladech Strana 61<br />
5.1.2 Nyquistovo kritérium<br />
Příklad 5.2: Určete stabilitu regulačního obvodu podle obr. 5.3 pomocí Nyquistova<br />
kritéria.<br />
v<br />
G S<br />
( s)<br />
=<br />
1<br />
G R<br />
( s)<br />
=<br />
s<br />
1<br />
( s + 1)( 12s<br />
+ 1)<br />
Obr. 5.3<br />
y<br />
w<br />
Řešení: Nejprve určím, stejně jako v 5.1.1, přenos rozpojeného obvodu, který ze<br />
známého vztahu G0 ( s) = GS<br />
( s) ⋅GR<br />
( s)<br />
je<br />
G<br />
0<br />
G<br />
0<br />
= 1<br />
1<br />
=<br />
3<br />
s( s + 1)( 10s<br />
+ 1) 10s<br />
+ 11s<br />
2 + s<br />
1<br />
1<br />
jω<br />
=<br />
=<br />
3<br />
2<br />
3 2<br />
10 jω<br />
+ 11 jω<br />
+ jω<br />
−10<br />
jω<br />
−11ω<br />
+<br />
( s)<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
3 2<br />
−10<br />
jω<br />
+ 11ω<br />
+ jω<br />
=<br />
2 6<br />
5 2 4<br />
5<br />
4<br />
2 2 4<br />
2<br />
100 j ω −110<br />
jω<br />
−10<br />
j ω + 110 jω<br />
−121ω<br />
−11<br />
jω<br />
−10<br />
j ω + 11 jω<br />
+<br />
3 2<br />
−10<br />
jω<br />
+ 11ω<br />
+ jω<br />
=<br />
2 6 2 4<br />
4 2 4<br />
100 j ω −10<br />
j ω −121ω<br />
−10<br />
j ω +<br />
3<br />
( ω −10ω<br />
)<br />
3 2<br />
2<br />
−10<br />
jω<br />
+ 11ω<br />
+ jω<br />
11ω<br />
=<br />
=<br />
+ j<br />
6<br />
4 2<br />
6<br />
4 2<br />
6<br />
4 2<br />
−100ω<br />
−101ω<br />
− ω 14 −10044<br />
ω −2<br />
101 444<br />
ω − 3 ω 14 −100<br />
4ω<br />
44 −2<br />
101 4444<br />
ω − 3 ω<br />
Re<br />
2 2<br />
j ω<br />
3 2<br />
−10<br />
jω<br />
+ 11ω<br />
+<br />
⋅<br />
3 2<br />
jω<br />
−10<br />
jω<br />
+ 11ω<br />
+<br />
3 2<br />
−10<br />
jω<br />
+ 11ω<br />
+ jω<br />
=<br />
6 4<br />
4 4 2<br />
−100ω<br />
+ 10ω<br />
−121ω<br />
+ 10ω<br />
− ω<br />
Im<br />
jω<br />
=<br />
jω<br />
=<br />
2 2<br />
j ω<br />
=<br />
Tabulka 5.2<br />
ω Re Im<br />
0,2 -2,12 -0,58<br />
0,22 -1,80 -0,38<br />
0,24 -1,54 -0,25<br />
0,26 -1,33 -0,15<br />
0,28 -1,15 -0,08<br />
0,3 -1,01 -0,03<br />
0,4 -0,56 0,08<br />
0,5 -0,34 0,09<br />
0,6 -0,22 0,09<br />
1 -0,05 0,04<br />
Kořeny jmenovatele jsou 0, -0,1, -1. Žádný z<br />
nich není kladný (neleží v pravé komplexní<br />
polorovině), rozpojený obvod je tedy stabilní, a<br />
proto je možno Nyquistova kritéria použít.<br />
Frekvenční přenos G 0 (jω) rozdělím na reálnou a<br />
imaginární část a sestrojím frekvenční<br />
charakteristiku rozpojeného obvodu v<br />
komplexní rovině (tab. 5.2, obr. 5.4). Kritický<br />
bod [–1, 0] leží vlevo od frekvenční<br />
charakteristiky G 0 (jω)a proto je obvod stabilní.
Strana 62<br />
Použití vybraných metod na příkladech<br />
0,20<br />
Im<br />
Re<br />
0,10<br />
0,00<br />
-2,50 -2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00<br />
-0,10<br />
-0,20<br />
-0,30<br />
-0,40<br />
-0,50<br />
Obr. 5.4<br />
-0,60<br />
-0,70<br />
5.2 Příklady pro diskrétní regulační obvody<br />
Zde opět uvedu dvě kritéria na analýzu regulačního obvodu, a to Michajlov-<br />
Leonhardovo a Nyquistovo a také příklad na syntézu regulačního obvodu, tedy metodu<br />
typizované logaritmické frekvenční charakteristiky.<br />
5.2.1 Michajlov-Leonhardovo kritérium<br />
Příklad 5.3: Na základě charakteristické rovnice určete stabilitu diskrétního regulačního<br />
obvodu:<br />
3 2<br />
z − 0,3z + 0,7z − 0,5 = 0<br />
Řešení: Do charakteristické funkce obvodu<br />
H<br />
( jωT)<br />
H z<br />
dosadím za z vztah<br />
sT<br />
z = e<br />
= e<br />
3jωT<br />
− 0,3e<br />
2 jωT<br />
= cos3ωT<br />
+ jsin 3ωT<br />
− 0,3<br />
3 2<br />
( ) = z − 0,3z + 0,7z − 0, 5<br />
= e<br />
jωT<br />
= cos3<br />
14444444<br />
ωT<br />
− 0,3cos 2<br />
2<br />
ωT<br />
4<br />
+<br />
444444 3<br />
Re<br />
+ 0,7e<br />
jωT<br />
= cos ωT<br />
+<br />
− 0,5 =<br />
j sinωT<br />
( cos 2ωT<br />
+ jsin 2ωT) + 0,7( cosωT<br />
+ jsinωT)<br />
− 0,5 =<br />
0,7 cosωT<br />
− 0,5 + j( sin 3ωT<br />
− 0,3sin 2ωT<br />
+ 0,7sinωT)<br />
1444444<br />
2444444<br />
3<br />
Im
Použití vybraných metod na příkladech Strana 63<br />
Tabulka 5.3<br />
ωΤ Re Im<br />
0,00 1,00 0,00<br />
0,52 0,06 1,09<br />
1,05 -0,90 0,35<br />
1,57 -0,10 -0,30<br />
1,83 0,39 0,12<br />
2,09 0,40 0,87<br />
2,36 -0,19 1,50<br />
2,62 -1,16 1,61<br />
3,14 -2,40 0,00<br />
Pokračuji výpočtem, který je uveden v<br />
tab. 5.3 a následně vykreslením grafu (obr. 5.5).<br />
Podle definice stability regulačního obvodu,<br />
uvedené v kapitole 4.2.2, se dle obr. 5.5 jedná o<br />
obvod stabilní, protože křivka H(jωT) začíná na<br />
kladné reálné poloose a průvodič H opsal v<br />
kladném smyslu úhel πn (n.180°). Vzhledem k<br />
tomu, že stupeň charakteristické rovnice n=3, pak<br />
3.180° = 540°, což podle grafu na obr. 5.5<br />
souhlasí.<br />
2,00<br />
Im<br />
1,50<br />
1,00<br />
0,50<br />
-3,00 -2,50 -2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50<br />
0,00<br />
Re<br />
-0,50<br />
Obr. 5.5
Strana 64<br />
Použití vybraných metod na příkladech<br />
5.2.2 Nyquistovo kritérium<br />
Příklad 5.4: Pomocí Nyquistova kritéria vyšetřete stabilitu diskrétního regulačního<br />
obvodu uvedeném na obr. 5.6.<br />
w(t)<br />
T=1[s]<br />
1−<br />
e<br />
s<br />
−sT<br />
1<br />
( 2s + 1)( s + 1)<br />
T=1[s]<br />
y(k)<br />
y(t)<br />
Obr. 5.6<br />
Řešení:<br />
Základem je nejprve vyjádření přenosu řízení daného rovnicí<br />
G<br />
w<br />
( z)<br />
( )<br />
( )<br />
Y z<br />
=<br />
W z<br />
G<br />
R<br />
=<br />
1+<br />
G<br />
( z) G<br />
S<br />
( z)<br />
( z) G ( z)<br />
R<br />
S<br />
Vzhledem k tomu, že G R<br />
( z) = 1, stačí na základě vztahu (4.24) vyjádřit ( z)<br />
dosadit ho do G w<br />
( z)<br />
.<br />
G<br />
S<br />
−1<br />
( z) = ( 1−<br />
z )<br />
⎧<br />
Z⎨<br />
⎩s<br />
1<br />
( 2s + 1)( s + 1)<br />
⎫<br />
⎬ =<br />
⎭<br />
−1<br />
( 1−<br />
z )<br />
⎧1<br />
2 1 ⎫<br />
Z⎨<br />
− + ⎬ =<br />
⎩s<br />
s + 0,5 s + 1⎭<br />
G S<br />
a<br />
z −1<br />
⎡ z 2z z ⎤ ⎡ 1 2 1 ⎤<br />
=<br />
( z 1)<br />
z ⎢<br />
− + = −<br />
0,5T<br />
T<br />
z 1 z e z e<br />
⎢ − + =<br />
−<br />
− ⎥ z 1 z 0,607 z 0,368<br />
⎥<br />
⎣ − − − ⎦ ⎣ − − − ⎦<br />
0,154z + 0,094<br />
=<br />
2<br />
z − 0,975z + 0,223<br />
K získání Z-obrazů byl použit slovník Z-transformace uvedený v [Švarc, 2002]. Přenos<br />
řízení je tedy<br />
0,154z + 0,094<br />
2<br />
z − 0,975z + 0,223 0,154z + 0,094<br />
G<br />
w<br />
( z)<br />
=<br />
=<br />
2<br />
0,154z + 0,094 z − 0,821z + 0,317<br />
1+<br />
z2 − 0,975z + 0,223<br />
Teď využiji vztahu (4.22) pro vyjádření G( jω<br />
T)
Použití vybraných metod na příkladech Strana 65<br />
G<br />
=<br />
( jωT)<br />
=<br />
e<br />
2 jωT<br />
0,154( cosωT<br />
+ jsinωT)<br />
+ 0,094<br />
( cos 2ωT<br />
+ jsin 2ωT) − 0,975( cosωT<br />
+ jsinωT)<br />
= ....................... =<br />
jωT<br />
0,154e + 0,094<br />
=<br />
jωT<br />
− 0,975e + 0,223<br />
Re<br />
644444444444444<br />
744444444444444<br />
8<br />
⎧( cos 2ωT<br />
− 0,975cosωT<br />
+ 0,223) ⋅ ( 0,154cosωT<br />
+ 0,094) + ( 0,154sinωT)<br />
⎫<br />
2<br />
2<br />
⎪<br />
⋅<br />
( cos 2ωT<br />
− 0,975cosωT<br />
+ 0,223) + ( sin 2ωT<br />
− 0,975sinωT)<br />
⎪<br />
= ⎨<br />
⎬ +<br />
⎪ ( sin 2ωT<br />
− 0,975sinωT)<br />
⋅<br />
⎪<br />
⎪⎩<br />
1<br />
⎪⎭<br />
( sin 2ωT<br />
− 0,975sinωT) ⋅ ( − 0,154cosωT<br />
− 0,097) + ( 0,154sinωT)<br />
2<br />
2<br />
( cos 2ωT<br />
− 0,975cosωT<br />
+ 0,223) + ( sin 2ωT<br />
− 0,975sinωT)<br />
( cos 2ωT<br />
− 0,975cosωT<br />
+ 0,223)<br />
⎧<br />
⎫<br />
j<br />
⎪<br />
⋅<br />
⎪<br />
+ ⎨<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⋅<br />
⎩14 444444444444<br />
1<br />
⎪<br />
24444444444444<br />
3⎭<br />
Im<br />
=<br />
+ 0,223<br />
Tabulka 5.4<br />
ωΤ Re Im<br />
0 1,00 0,000<br />
0,1 0,94 -0,333<br />
0,2 0,79 -0,571<br />
0,3 0,60 -0,681<br />
0,4 0,42 -0,684<br />
0,7 0,09 -0,439<br />
1 -0,02 -0,207<br />
1,2 -0,04 -0,111<br />
1,5 -0,05 -0,030<br />
2 -0,04 0,017<br />
2,5 -0,03 0,018<br />
3 -0,03 0,005<br />
3,14 -0,03 0,000<br />
Vzhledem k velmi pracnému výpočtu<br />
zde uvádím pouze výsledek, do kterého jsou<br />
dosazeny hodnoty ωT (viz. tab. 5.4).<br />
Kritický bod [–1, 0] leží vlevo od této<br />
charakteristiky a proto je obvod stabilní.
Strana 66<br />
Použití vybraných metod na příkladech<br />
0,100<br />
Im<br />
0,000<br />
Re<br />
-0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20<br />
-0,100<br />
-0,200<br />
-0,300<br />
-0,400<br />
-0,500<br />
-0,600<br />
-0,700<br />
-0,800<br />
Obr. 5.7<br />
5.2.3 Metoda transformovaných frekvenčních charakteristik<br />
Příklad 5.5: Navrhněte parametry číslicového metodou transformovaných frekvenčních<br />
charakteristik pro regulovanou soustavu<br />
1<br />
G S<br />
( s)<br />
=<br />
1+<br />
4s 1+<br />
0,5s<br />
( )( )<br />
je-li vzorkovací perioda T = 1s.<br />
V tomto příkladu využiji tabulku 4.1 uvedenou v kapitole 4.3.2. Uvedený přenos<br />
odpovídá v této tabulce výrazu č. 7. Časové konstanty regulované soustavy jsou T 1 = 4s a<br />
T 2 = 0,5s a její zesílení K = 1. Nejprve určím jednotlivé dílčí hodnoty<br />
* T T 1 1 1<br />
T1 ≈ cot gh = cot gh = ⋅8,042<br />
≈ 4,021s<br />
2 2T1<br />
2 2 ⋅ 4 2<br />
* T T 1 1 1<br />
T2 ≈ cot gh = cot gh = ⋅1,313<br />
≈ 0,675s<br />
2 2T 2 2 ⋅ 0,5 2<br />
*<br />
T1<br />
4,021<br />
β<br />
1<br />
= −1<br />
= −1<br />
= 0,00525<br />
T 4<br />
1<br />
*<br />
T2<br />
0,657<br />
β<br />
2<br />
= −1<br />
= −1<br />
= 0,314<br />
T 0,5<br />
2<br />
2
Použití vybraných metod na příkladech Strana 67<br />
T1T<br />
2<br />
=<br />
2<br />
β<br />
T − T<br />
4 ⋅ 0,5<br />
4 − 0,5<br />
( β − ) ≈ ( 0,314 − 0,00525) 0,176s<br />
T3 1<br />
≈<br />
1 2<br />
Dosadím tyto číselné hodnoty a stanovím tím transformovaný přenos regulované soustavy<br />
( q)<br />
( 1−<br />
0,5q)( 1+<br />
0,176q)<br />
( 1+<br />
4,021q )( 1 0,657q)<br />
G S<br />
= .<br />
+<br />
Z něho potom za pomoci vztahu (4.42) určím transformovaný frekvenční přenos<br />
( jΩ<br />
)<br />
( 1−<br />
0,5jΩ<br />
)( 1+<br />
0,176jΩ<br />
)<br />
( 1+<br />
4,021jΩ<br />
)( 1 0,657jΩ<br />
)<br />
G S<br />
= .<br />
+<br />
Pro sestrojení transformované LAFCH regulované určím hodnotu amplitudy<br />
[ ]<br />
A dB = 20log1−<br />
20log<br />
2 2<br />
1+<br />
4,021 Ω<br />
− 20log<br />
2 2<br />
2 2<br />
+ 20log 1+<br />
0,5 Ω + 20log 1+<br />
0,176 Ω<br />
2 2<br />
1+<br />
0,657 Ω<br />
+<br />
Při sestrojení vlastní charakteristiky dále postupuji podle postupu pro konstrukci<br />
amplitudové logaritmické frekvenční charakteristiky. Na obr. 5.8 je zobrazena černou<br />
barvou.<br />
A<br />
[dB]<br />
20<br />
*<br />
Ω 1<br />
*<br />
Ω 2<br />
2 / T<br />
Ω 3<br />
–20<br />
Ω ř<br />
G 0 (jΩ)<br />
G R (jΩ)<br />
G S (jΩ)<br />
Ω<br />
Obr. 5.8 - Transformované frekvenční charakteristiky
Strana 68<br />
Použití vybraných metod na příkladech<br />
tvaru<br />
Jestliže použiji číslicový PI regulátor, jehož transformovaný přenos je v obecném<br />
G<br />
⎛ +<br />
⎛ 1+<br />
T q ⎞<br />
( ) =<br />
i<br />
q r<br />
⎜1<br />
⎟ = r<br />
⎜<br />
T q T q ⎟ 0<br />
0<br />
i<br />
i ⎠<br />
⎝<br />
1<br />
R<br />
,<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎝<br />
pak při volbě časové konstanty regulátoru T i rovnající se transformované časové konstantě<br />
regulované soustavy T je transformovaný přenos rozpojeného obvodu<br />
( q)<br />
*<br />
1<br />
( 1−<br />
0,5q)( 1+<br />
0,176q)<br />
4,021q( 1 0,657q)<br />
G O<br />
= 0,8<br />
.<br />
+<br />
Amplituda odpovídající jeho logaritmické frekvenční charakteristiky je<br />
[ ]<br />
A dB = 20log0,8 − 20log 4,021Ω<br />
− 20log<br />
2 2<br />
2 2<br />
+ 20log 1+<br />
0,5 Ω + 20log 1+<br />
0,176 Ω<br />
1+<br />
0,657<br />
2<br />
2<br />
Ω<br />
+<br />
Na obr. 4.4 je průběh LAFCH rozpojeného regulačního obvodu uveden červenou<br />
čarou. Pro zvolené zesílení r 0<br />
= 0, 8 a integrační časovou konstantu T i<br />
= 4,021s<br />
protíná<br />
tato charakteristika osu 0dB pod sklonem –20dB/dek při frekvenci<br />
odpovídá doba regulace podle vztahu (4.47) hodnotě<br />
−1<br />
Ω<br />
ř<br />
= 0,209s<br />
a tomu<br />
t<br />
r<br />
1,5<br />
≈ ≈ 7,18s . Ω<br />
ř<br />
Na závěr do transformovaného přenosu regulátoru s využitím vztahů (4.40b) a (4.46) určím<br />
z-přenos regulátoru<br />
G R<br />
( z)<br />
( z − 0,779)<br />
9,042z − 7,042<br />
= 0,8 ⋅<br />
= 0,899 .<br />
8,042z − 8,042 z −1
Strana 69<br />
6 ZÁVĚR<br />
Tématem této diplomové práce bylo použití frekvenčních charakteristik při analýze<br />
a syntéze regulačních obvodů.<br />
Cílem úvodní a druhé kapitoly bylo získání uceleného obecného přehledu o<br />
pojmech analýza a syntéza. Tyto pojmy zde byly rozebrány podrobně, takže má o nich<br />
čtenář dokonalý přehled a informovanost.<br />
Třetí kapitola se zabývala použitím frekvenčních charakteristik u spojitých<br />
systémů. Kapitola byla rozdělena do tří důležitých podkapitol, kde se první věnuje<br />
obecnému popisu frekvenčních charakteristik u spojitých systémů, druhá popisuje analýzu<br />
regulačních obvodů, tedy určování jejich stability a třetí rozebírá jejich syntézu, tedy návrh<br />
parametrů regulátoru. To vše samozřejmě pro spojité regulační obvody. U každé z metod<br />
byly uvedeny buď kompletní metody, nebo zkrácené včetně výpočtových vztahů a grafů.<br />
Ve čtvrté části byly, obdobně jako u třetí, zdůrazněny tři podkapitoly, které se<br />
věnují diskrétním regulačním obvodům. Obecné pojetí frekvenčních charakteristik plynule<br />
navazuje na druhou a třetí podkapitolu věnující se analýze a syntéze regulačních obvodů.<br />
Metody stability regulačních obvodů jsou podobné jako pro spojité obvody, ale byly<br />
upraveny pro obvody diskrétní. U každé z metod byly uvedeny, stejně jako u spojitých<br />
regulačních obvodů, buď kompletní metody, nebo zkrácené včetně výpočtových vztahů a<br />
grafů.<br />
V poslední, páté kapitole, byly některé uvedené metody aplikovány na vhodných<br />
příkladech, díky kterým je možné snadno pochopit danou metodu. Grafy a postupy<br />
výpočtu u jednotlivých příkladů pomohou pochopit problém a jeho řešení.<br />
Po vypracování této diplomové práce jsem dospěl k závěru, že frekvenční<br />
charakteristiky jsou dobrým nástrojem pro analýzu i syntézu regulačních obvodů.<br />
Vzhledem k tomu, že se ale jedná o grafické vyjádření, doporučuji pro vykreslování grafů<br />
a výpočet rovnic použít počítač a software typu Microsoft Office Excel.
Strana 71<br />
SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY<br />
1. BALÁTĚ, J. Automatické řízení. 2. přepracované vydání Praha : BEN, 2004. 664<br />
stran. ISBN 80-7300-148-9.<br />
2. ČERNÝ, M. Číslicová regulace elektrických pohonů. Praha : SNTL, 1984. 208s.<br />
3. DAVIDOVÁ, O. Využití frekvenčních metod při navrhování diskrétních systémů<br />
řízení. Brno, 2004. 106s. Disertační práce na FSI VUT v Brně na Ústavu<br />
<strong>automatizace</strong> a <strong>informatiky</strong>. Vedoucí disertační práce Doc. Ing. Ivan Švarc,<br />
CSc.<br />
4. FENCLOVÁ, M. Teorie automatického řízení - Návody ke cvičení. Praha :<br />
Vydavatelství ČVUT, 1996. 152s.<br />
5. ISERMANN, R. Digital Control Systems. Berlin : Springer-Verlag, 1981.<br />
6. KUBÍK, S. Teorie automatického řízení I. Praha : SNTL, 1980. 528 s. pod. č.j. 12<br />
037/80-30.<br />
7. SUCHNA, J. Metody syntézy spojitých regulačních obvodů. Brno, 2005. 74s.<br />
Diplomová práce na FSI VUT v Brně na Ústavu <strong>automatizace</strong> a<br />
<strong>informatiky</strong>. Vedoucí diplomové práce Ing. Olga Davidová, Ph.D.<br />
8. ŠVARC, I. Automatizace: Automatické řízení. 1. vydání Brno : CERM,<br />
9. 2002. 201 s. ISBN 80-214-2087-1.<br />
10. ŠVARC, I. Teorie automatického řízení I. 1. vydání Brno : Skriptum VUT,<br />
11. 1987. 210 s.<br />
12. VÍTEČKOVÁ, M. Seřízení regulátorů metodou inverze dynamiky. Ostrava : VŠB -<br />
Technická univerzita Ostrava, 1998. 56s. ISBN 80-7078-628-0.<br />
13. ZEMAN, K. Automatická regulace v elektrických pohonech I. Plzeň : Ediční<br />
středisko VŠSE Plzeň, 1987. 220s.<br />
14. ZÍTEK, P. Automatické řízení. Praha : Vydavatelství ČVUT, 2001. 148s.<br />
15. ZÍTEK, P. Matematické a simulační modely 1 - Modely v komplexním oboru.<br />
Praha: Vydavatelství ČVUT, 2001. 111s.<br />
16. HAVEL, P. Frekvenční metody syntézy. Praha, 2004. Dostupné na WWW:<br />
http://dce.felk.cvut.cz/sri2/ss/Synteza/Havel_frekv_met2.pdf.<br />
17. Internetová učebnice na Katedře řídicí techniky ČVUT-FEL Praha. Dostupná na<br />
WWW: http://dce.felk.cvut.cz/sri2/ss/<br />
18. MINÁR, K. Vyhledávací služba Gogole začala indexovat soubory ANALÝZA.<br />
VSB [online]. Dostupné na WWW: http://www.fs.vsb.cz/books/Analyza/prvni.html<br />
19. MODRLÁK, O. Analýza diskrétních regulačních obvodů. Liberec, 2004. Dostupné<br />
na WWW: http://www.fm.vslib.cz/~krtsub/fm/modrlak/pdf/cr_analyza.pdf<br />
20. MODRLÁK, O. Teorie automatického řízení I - Syntéza regulačních obvodů.<br />
Liberec, 2004. Dostupné na WWW:<br />
http://www.fm.vslib.cz/~krtsub/fm/tr1/tar1_syn.pdf<br />
21. MODRLÁK, O. Teorie automatického řízení I - Syntéza ve frekvenční oblasti a<br />
citlivost a robustnost regulačních obvodů. Liberec, 2004. Dostupné na WWW:<br />
http://www.fm.vslib.cz/~krtsub/fm/tr1/tar1_K5.9-10.pdf<br />
22. PSTRUŽINA, K. Atlas filosofie vědy. Dostupné na WWW:<br />
http://nb.vse.cz/kfil/win/atlas1/analyza.htm